Representasjonsrom for Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten

Representasjonsrom for Hantzsche-Wendt-

mangfoldigheten

Tony Valle

Masteroppgave, våren 2017

Oppgaven er normert til 60 studiepoeng.

Forsiden viser et utsnitt av rotsystemet til den eksepsjonelle liegruppen E₈, projisert ned i planet. Liegrupper ble oppfunnet av den norske matematikeren Sophus Lie (1842–1899) for å uttrykke symmetriene til differensiallikninger og spiller i dag en sentral rolle i flere deler av matematikken.

1. Introduksjon . . . 2

2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 3 2.1 Denisjon . . . 3

2.2 Homologi . . . 7

2.2.1 Y uttrykt som et CW-kompleks . . . 7

2.2.2 Cellulærhomologi . . . 9

2.2.3 Beregning av randavbildninger . . . 11

2.2.4 Beregning av cellulærhomologien . . . 17

2.3 Fundamentalgruppen . . . 20

3. Representasjoner av fundamentalgruppen . . . 24

3.1 Γ representert iSU(2) . . . 24

3.2 Γ representert i SO(3) . . . 31

4. Vektorbunter overY . . . 38

4.1 Stiefel-Whitneyklasser . . . 38

Denne oppgaven har som mål å studere Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten gjennom representasjoner av dens fundamentalgruppe. Vi har valgt Hantzsche- Wendt-mangfoldigheten av to grunner; for det første er den en rasjonal ho- mologi 3-sfære, en klasse mangfoldigheter av generell interesse, og for det andre er denne den eneste slike som tillater en at Riemannsk metrikk.

Oppgaven består i hovedsak av to deler. Den første modellerer Hantzsche- Wendt-mangfoldigheten som et CW-kompleks og bruker videre denne CW- strukturen til å beregne cellulærhomologien. Utledningen inkluderer en vel- lykket metodisk beregning av randavbildningene ved hjelp av gradbereg- ninger. Den andre delen handler om å konstruere representasjonsrom, og vi lager to eksempler på slike. På slutten beveger vi oss i retning av konsepter relatert til Floerhomologi, siden dette er en viktig anvendelse av represen- tasjonsrom.

Kim A. Frøyshov var veileder for denne oppgaven.

GRUNNLEGGENDE EGENSKAPER

2.1 Denisjon

Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten Y er en 3-mangfoldighet som kan kon- strueres ved å ta en kvotient av en annen 3-mangfoldighet, og konstruksjo- nen går som følger. La C være det komplekse planet og S¹ ⊂ C betegne enhetssirkelen. Mangfoldigheten vi tar utgangspunkt i er 3-torusen T³ = S¹×S¹×S¹. Vi skal først denere en gruppevirkning fra gruppen

G=Z/(2)×Z/(2) ={(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)}

på T³. Elementene i T³ kan skrives på formen (x, y, z) hvor x, y, z ∈ C er slik at|x|=|y|=|z|= 1. Følgende tabell beskriver hvordan Gvirker påT³

(∗)

(0,0)(x, y, z) = (x, y, z) (1,0)(x, y, z) = (−x,y,¯ z)¯ (0,1)(x, y, z) = (¯x,−y,−¯z) (1,1)(x, y, z) = (−¯x,−¯y,−z)

Vi ser at for eksempel(1,1)virker påT³ved å speilexogyom realaksen og z om både real- og imaginæraksen. De andre elementene i G virker også ved å foreta en speiling på hver komponent. Vi kan bruke dette til å vise at (∗) oppfyller gruppevirkningsaksiomet g1(g2a) = (g1g2)a. For det første observerer vi at speilingene som virker på hver komponent av T³ er et element i gruppenH ={e, r, i, ri}, der elementetr svarer til speiling om imaginæraksen ogitil en speiling om realaksen. PåS¹virker denne gruppen slik at h₁(h₂z) = (h₁h₂)z er oppfylt. Derfor induserer også produktetH× H×H en gruppevirkning på S¹ ×S¹ ×S¹ = T³. Det samme må gjelde enhver undergruppe avH×H×H. Virkningen av Gsvarer til virkningen av undergruppen {(e, e, e),(ri, i, i),(i, ri, r),(r, r, ri)}.

Siden vi nå vet at (∗) er en gruppevirkning kan vi dele T³ opp i ekvi- valensklasser med hensyn påG: a∼bhvis og bare hvisa=gb for eng∈G.

La T³/Gbetegne kvotientrommet med hensyn på denne partisjonen.

Denisjon 1. Y =T³/G kalles Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten.

Enhver kvotient vil beskrive et topologisk rom, men det er ikke alltid gitt at dette rommet blir en mangfoldighet. Y =T³/G oppfyller alle kravene i

et teorem, kjent som kvotientmangfoldighetsteoremet [5, teorem 21.10], som angir en tilstrekkelig betingelse for at et kvotientrom er en mangfoldighet.

Her kan man imidlertid se det ved å bruke enklere metoder. Vi legger først merke til at for en gitt g ∈Gvil funksjonen fg :T³ → T³ som tar a7→ ga være kontinuerlig. Følgelig er også f_g⁻¹ = f_g⁻¹ kontinuerlig, som betyr at avbildningene{f_g|g∈G}er homeomorer.

Denisjon 2. La G være en gruppe og X et topologisk rom. En virkning fra G påX kalles fri hvisgx6=x for alleg∈G\ {e} og x∈X.

En annen måte å si at Gvirker fritt på X er at avbildningen f_g er k- spunktfri hvis og bare hvis g 6= e. Hvis gruppevirkningen (∗) skal være fri må det alltid nnes en komponent i(x, y, z) som forandrer seg når man an- vender et ikkeidentitetselement. Dette vil for eksempel være tilfellet dersom en av komponentene skifter fortegn. I tabellen (∗) nner vi faktisk at alle operasjonene har en komponent som skifter fortegn. Gvirker derfor fritt på T³

Lemma 1. Hvis G virker kontinuerlig på M er q : M → M/G en åpen avbildning.

Bevis. La U være en åpen mengde i M. Siden fg er åpen for alle g ∈ G erV =S

g∈Gf_g(U) åpen i M. Nå holder det å vise atV =q⁻¹q(U): Hvis x ∈ U, er q⁻¹q(x) = Gx = {gx | g ∈ G} ⊆ {gy | g ∈ G og y ∈ U} = V. Omvendt, hvisx∈V erx=gyfor eny∈U ogq(x) =q(y). x∈q⁻¹(q(x)) = q⁻¹(q(y))⊆q⁻¹(q(U)).

Følgende setning er det som skal til for å vise atY er en mangfoldighet.

Vi vil samtidig gi Y en glatt struktur som gjør den lokalt dieomorf med T³, der T³ har produktstrukturen S¹×S¹ ×S¹. I denne oppgaven betyr glatt at alle koordinattransformasjonerU ⊆Rⁿ→V ⊆Rⁿ erC^∞.

Setning 1. La M være en glatt mangfoldighet og G en endelig gruppe som virker fritt og glatt på M. Da er kvotientrommet M/G en mangfoldighet, og det nnes en unik glatt struktur på M/G slik at kvotientavbildningen q:M →M/G er en lokal dieomor.

Bevis. Vi viser først at M/G er en mangfoldighet, som vil si at den er Hausdor, annentellbar og lokalt homeomorf medRⁿ.

Hvis B er en tellbar basis for M er B⁰ = {q(B) | B ∈ B} en tellbar samling åpne mengder iM/G(Lemma 1). Det holder å vise at enhver åpen U i M/G kan skrives som en union av elementer i B⁰. q⁻¹(U) er en åpen mengde iM, og kan derfor skrives som en union av basiselementer iB_i∈ B. U er følgelig unionen av q(B_i).

Nå viser vi at alle punkter x ∈ M har en åpen omegn U slik at q|U er injektiv. Velg et punkt x ∈ M. La funksjonen f_x : G → M være den

som tar elementet g∈G til gx. fx er injektiv fordi G virker fritt på M. f tilordner altså hverg∈Get unikt punktfx(g)iM. Siden mengden av disse punktene er endelig og M er Hausdor, nnes disjunkte åpne mengder U_g slik atfx(g)∈Ug. For alleg∈G erg⁻¹Ug en åpen omegn omx, så snittet

U = \

g∈G

g⁻¹Ug

er også en åpen omegn omx. U oppfyller atq|U er injektiv: Hvisx1, x2∈U og q(x1) = q(x2) må det nnes en g ∈ G slik at x1 = gx2. gx2 ∈ gU medfører atx₁ ∈gU. Altså erx₁∈U∩gU. Bruker vi inklusjoneneU ⊆U_e og U ⊆g⁻¹Ug nner vi at

U ∩gU ⊆U_e∩g(g⁻¹U_g) =U_e∩U_g

som er tom med mindreg=e. Men da er også x₁ =x₂, såq|U injektiv.

Lax¯∈M/G,x∈M være slik atq(x) = ¯xogU være en omegn omxsom gjør q|_U injektiv. Siden q|_U er kontinuerlig og åpen er q|_U en homeomor mellom U og q(U). Velg nå et kart ϕ:V → Vˆ omkringx. Restrikterer vi ϕog q til U ∩V blir de homeomorer fra U∩V til ϕ(U ∩V) og q(U∩V) henholdsvis. q(U∩V) er derfor en omegn omx¯som er homeomorf med den åpne mengdenϕ(U ∩V)⊆Rⁿ.

Det gjenstår å vise at M/G er Hausdor. For hvert par av punkter

¯

x,y¯ ∈ M/G kan vi nne x, y ∈ M slik at q(x) = ¯x og q(y) = ¯y. Anta

¯

x og y¯ er forskjellige. f_x : G → M, g 7→ gx, er som før injektiv, samme gjelder f_y : G → M. Siden q(f_x(g)) = ¯x og q(f_y(g)) = ¯y for alle g ∈ G, er fx(G)∩fy(G) = ∅. fx(G) ∪fy(G) er dessuten endelig, så det nnes disjunkte omegn U_g om f_x(g) og V_g om f_x(g), disjunkte i forstanden at U_g1 ∩V_g2 = ∅ for alle g₁, g₂ ∈ G og U_g1 ∩U_g2 = V_g1 ∩V_g2 = ∅ for alle g16=g2. La Wg =Ug∪Vg. Da er ogsåWg disjunkte. Ved samme argument som tidligere oppfyller mengden

W = \

g∈G

g⁻¹W_g

at q|_W er injektiv. x, y ∈ W fordi gx, gy ∈ Ug ∪Vg = Wg, og dermed er x, y∈g⁻¹(Ug∪Vg) =g⁻¹Wg. SidenUeog Ve er disjunkte omegn omx ogy er ogsåU_e∩W ogV_e∩W disjunkte omegn omxog y. q er åpen og injektiv iW, og avbilder derforUe∩W ogVe∩W til åpne og disjunkte omegn rundt

¯

x ogy¯. Y er følgelig Hausdor.

Til slutt skal vi legge en glatt struktur påM/G. For hver åpne U ⊆M slik at q|U er injektiv og for hvert kart (ϕ, V) som snitter U betrakter vi kart på formen

ϕ◦(q|_W)⁻¹:q(W)→ϕ(W)

derW =U∩V. Vi vil vise at disse er glatt kompatible. La((ϕ|_U)(q|_U)⁻¹, q(U)) og((ψ|_V)(q|_V)⁻¹, q(V))være to slike kart og velg et punktx¯∈q(U)∩q(V).

Da nnes punkter x ∈U og x⁰ ∈ V slik atq(x) =q(x⁰) = ¯x. Det følger av denisjonen tilq atx⁰ =gx for en g∈ G. Velg nå en åpen omegnU⁰ ⊆U om x slik at gU⁰ ⊆V; en slik nnes ved kontinuitet av g :M → M. Den generelt gjeldende likheten qg=q kan nå restrikteres til (q|_V)(g|_U⁰) =q|_U⁰, noe som medfører at g|_U⁰ = (q|_V)⁻¹(q|_U). Dermed er

(ψ|_V)(q|_V)⁻¹((ϕ|_U⁰)(q|_U⁰)⁻¹)⁻¹ = (ψ|_V)⁻¹(q|_V)⁻¹(q|_U⁰)(ϕ|_U⁰)⁻¹

= (ψ|_V)(g|_U⁰)(ϕ|_U⁰)⁻¹

og denne vet vi er glatt fordi g : M → M er glatt. Alle punkter i M/G er inneholdt i et slikt kart, altså utgjør disse kartene en glatt struktur på M/G.

Vi viser nå at denne glatte strukturen gjørqtil en lokal dieomor. Velg et kart ((ϕ|_U)(q|_U)⁻¹, q(U)). Da er for det første q|_U : U → q(U) ⊆ M/G en homeomor. Vi er altså i mål hvis vi kan vise atq|_U og(q|_U)⁻¹ er glatte.

Laxvære et punkt iU ⊆M og velg et kart(ψ, V)omkringxslik atV ⊆U. Da er

(ϕ|_U)(q|_U)⁻¹(q|_U)(ψ|_V)⁻¹ = (ϕ|_U)(ψ|_V)⁻¹

glatt, som betyr at q|_U er glatt. Vi kan restriktere((ϕ|_U)(q|_U)⁻¹, q(U))til et kart((ϕ|_V)(q|_V)⁻¹, q(V))om q(x), og får at

(ψ|_V)(q|_U)⁻¹((ϕ|_V)(q|_V)⁻¹)⁻¹ = (ψ|_V)(q|_U)⁻¹(q|_V)(ϕ|_V)⁻¹

= (ψ|_V)(ϕ|_V)⁻¹

som betyr at også (q|_U)⁻¹ er glatt. q|_U er dermed en dieomor og q en lokal dieomor.

La nå(M/G)₁og(M/G)₂væreM/Gutstyrt med hver sin glatte struktur slik atq1 :M →(M/G)1 og q2 :M →(M/G)2 er lokale dieomorer. La id: (M/G)1 →(M/G)2 være identiteten. For enx¯=q1(x)∈(M/G)1, velg omegn U₁, U₂ om x slik at q₁|_U1 : U₁ → q₁(U₁) og q₂|_U2 : U₂ → q₂(U₂) er dieomorer. La videre U = U₁ ∩U₂; da er fortsatt restriksjonene q₁|_U : U →q1(U) og q2|_U :U →q2(U) dieomorer.

id|_q1(U) = (q₂|_U)(q₁|_U)⁻¹ :q₁(U)→q₂(U)

er følgelig en dieomor fordi den er en sammensetning av dieomorer.

Dermed er id både en homeomor og en lokal dieomor, altså er det en dieomor. (M/G)₁ og (M/G)₂ er følgelig dieomorfe, og må derfor ha samme glatte struktur. Dette viser at det kun nnes én glatt struktur på (M/G) slik atq :M →M/Ger en lokal dieomor.

Kravet om at G skal virke fritt er nødvendig fordi det nnes tilfeller der G virker glatt men ikke fritt på M på en slik måte at M/G ikke er lokalt homeomorf med Rⁿ. Ta for eksempel M = S¹ og G = {e, µ} der µ speiler S¹ om imaginæraksen. G virker ikke fritt på M fordi µi = i.

KvotientrommetM/Gblir det man får ved å brette sirkelen i to på midten, altså halvsirkelen bestående av punktene i S¹ med positiv realdel samt±i. Denne er homeomorf med I = [0,1] ⊆ R, og ytterpunktene 0,1 ∈ I har ingen omegn som er homeomorf med en åpen delmengde av R. M/G er derfor ingen mangfoldighet.

Vi skal nå gjøre oss bedre kjent med Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten Y ved å beregne noen elementære invarianter, nemlig homologien og funda- mentalgruppeen. Vi tar homologien først.

2.2 Homologi

For å beregne homologien til Y skal vi modellere Y som et CW-kompleks og regne ut cellulærhomologien til dette komplekset. Istedet for å beskrive et CW-kompleks påY direkte nner vi en passende delmengdeV ⊆T³som blir avbildet på Y av q, og legger en CW-struktur på denne. Vi sørger for at denne i sin tur avbildes til en CW-struktur påY.

2.2.1 Y uttrykt som et CW-kompleks

La ζ :R→S¹ være gitt ved ζ(x) =e^2πix,p=ζ×ζ×ζ :R³→T³ og V ={p(x, y, z)|(x, y, z)∈[0,1

2]×[0,1]×[0,1 2]}

•

• • • • •

(Se gur). Punkt én er å se at q avbilder denne på Y. q er denert av gruppevirkningen(∗) som vi her beskriver med følgende isomor:

(0,0) 7→ (e, e, e) (1,0) 7→ (ri, i, i) (0,1) 7→ (i, ri, r) (1,1) 7→ (r, r, ri)

Notasjonen er den samme som i forrige av seksjon, altså betegnerr speiling om imaginæraksen, i speiling om realaksen, etc. Måten vi går fram på for å vise surjektivitet er å ta et vilkårlig punkt utenfor V og vise at det er ekvivalent med et som ligger i V. Det nnes tre typer punkter utenfor V; enten ligger første komponent, tredje komponent, eller både første og tredje komponent i nedre halvsirkel. Disse punktene avbildes tilV av henholdsvis (0,1),(1,1)og (1,0), og vi er ferdig.

Vi skal nå denere en CW-struktur påV. Vi begynner med 0-skjelettet V⁰, som skal bestå alle punkter med kun reelle komponenter. Det er i alt 8

slike. For å beskrive resten av cellene innfører vi variablene s, t1, u∈(0,¹₂) og t2 ∈(¹₂,1). For alle c1, c2 ∈ {−1,1} ⊆S¹ skal V¹ bestå av V⁰ og bildet til

s7→(ζ(s), c1, c2) t17→(c1, ζ(t1), c2) t27→(c1, ζ(t2), c2) u7→(c1, c2, ζ(u))

totalt seksten 1-celler. For alle c ∈ {−1,1} lar vi V² bestå av følgende ti 2-celler:

(s, t₁)7→(ζ(s), ζ(t₁), c) (s, t₂)7→(ζ(s), ζ(t₂), c) (t₂, u)7→(c, ζ(t₂), ζ(u)) (t₁, u)7→(c, ζ(t₁), ζ(u)) (s, u)7→(ζ(s), c, ζ(u))

Til slutt lar vi V³ bestå av

(s, t1, u)7→(ζ(s), ζ(t1), ζ(u)) (s, t2, u)7→(ζ(s), ζ(t2), ζ(u)).

Hver celle har dessuten en karakteristisk avbildning som utvider den gitte av- bildningen kontinuerlig til å inkludere randen til domenet. Lar viS, T₁, U ∈ [0,¹₂]ogT2 ∈[¹₂,1]er for eksempel

(T₂, U)7→(0, ζ(T₂), ζ(U))

en utvidelse av(t2, s)7→ (c, ζ(t2), ζ(u)). Et kjent resultat i topologi sier at ingen andre utvidelser kan nnes sidenT³ er Hausdor, følgelig er de unikt denert. Vi trenger de karakteristiske avbildningene senere.

Cellene vi har denert dekker hele V: V³\V² er alle punkter iV hvor alle komponenter har imaginærdel, V²\V¹ er alle med én reell komponent (dvs. en komponent med imaginærdel lik 0), V¹ \V⁰ alle punkter med to reelle komponenter og V⁰ alle med tre reelle komponenter. For alle n- celler, n > 0, ligger randen til cellen i Vⁿ⁻¹ fordi randen alltid har minst én reell komponent mer enn det indre. Videre snitter ingen celler av ulik dimensjon nettopp fordi de har forskjellig antall reelle komponenter. Celler av lik dimensjon snitter heller ikke, fordi de reelle komponentene er ulike for de forskjellige cellene. Vi har altså en CW-struktur på V.

Alternativt til denne konstruksjonen kan vi lage tre individuelle cellestruk- turer i S¹ og uttrykke CW-strukturen som produktstrukturen til disse tre.

I dette tilfellet lar vi alle komponentene ha en 0-celle i 1 og -1, forbundet av en 1-celle i øvre halvplan, og så gir vi dessuten midterste komponent en 1-celle i nedre halvplan. At det resulterende produktet sammenfaller med konstruksjonen vi gjorde over er klart fra denisjonen, se [3].

Neste steg er å avbilde dette CW-komplekset til Y og se hva vi får.

Observer først at q er injektiv på alle cellene: hver celle er nemlig en del- mengde av et kartesisk produkt av tre åpne halvsirkler. Siden hvert ikke- identitetselement i G speiler en av komponentene om origo, tilhører alle

punktene i et slikt produkt ulikeG-ekvivalensklasser. Dette impliserer at q er injektiv på de ulike cellene. For å se atq sender celler av ulik dimensjon til disjunkte celler iY kan vi bruke at antallet reelle komponenter i et punkt iT³ ikke forandres hvis man anvender et element fraG. Siden celler av ulik dimensjon har ulikt antall reelle komponenter vil deres bilder være disjunkte iY.

Enkelte celler av lik dimensjon vil overlappe i Y, men som vi skal se er alle disse overlappene fullstendig. Leser vi av tabellen for gruppevirknin- genG nner vi at 0-cellen (1,1,1)er ekvivalent med (−1,1,1),(1,−1,−1) og (−1,−1,−1). De re andre 0-cellene er tilsvarende ekvivalente, så vi får to 0-celler i Y. Så over til 1-cellene: eneste gruppeelement som ikke speiler førstekomponenten til (ζ(s), c₁, c₂) er (r, r, ri). De re 1-cellene på denne formen avbildes altså til to ulike 1-celler iY. Tilsvarende blir 1-cellen (c1, c2, ζ(u))slått sammen med

(i, ri, r)(c1, c2, ζ(u)).

Hver 1-celle på formen(c₁, ζ(t₁), c₂) eller (c₁, ζ(t₂), c₂) erG-ekvivalent med tre andre på samme form, fordi (ri, i, i),(i, ri, r) og (r, r, ri) skifter fortegn på henholdsvis første, tredje, og første+tredje komponent. V¹avbildes altså til seks ulike 1-celler iY. 2-cellene iY beskriver vi med følgende tabell:

e²₁ : q(ζ(s), ζ(t1),1) ∼ q((r, r, ri)(ζ(s), ζ(t1),1)) e²₂ : q(ζ(s), ζ(t2),1) ∼ q((r, r, ri)(ζ(s), ζ(t2),1)) e²₃ : q(1, ζ(t₁), ζ(u)) ∼ q((i, ri, r)(1, ζ(t₁), ζ(u))) e²₄ : q(−1, ζ(t1), ζ(u)) ∼ q((i, ri, r)(−1, ζ(t1), ζ(u))) e²₅ : q(ζ(s),1, ζ(u))

e²₆ : q(ζ(s),−1, ζ(u))

Vi har altså seks 2-celler iY. De to 3-cellene(ζ(s), ζ(t1), ζ(u))og(ζ(s), ζ(t2), ζ(u)) avbildes hver for seg fordi deres ekvivalente punkter iT³ har negativ imag- inærdel i enten første eller andre komponent, og er derfor ikke med iV. Det er følgelig to 3-celler iY.

2.2.2 Cellulærhomologi

Metoden vi skal bruke for å beregne homologien tilY er hentet fra [3]. Den går ut på å beregne homologien til et enklere kjedekompleks enn det ordinære (singulære), basert på en gitt CW-struktur. Den forenklede homologien til CW-komplekset kalles cellulærhomologien, men den er kanonisk isomorf med den ordinære singulærhomologien.

Vi gjengir ikke ordlyden til de aktuelle resultatene fra [3], fordi de in- neholder en del notasjon som virker unødvendig kompliserende å innføre.

Istedet gir vi en fri framstilling som skal dekke det praktiske.

Kjedekomplekset til cellulærhomologien er en følge abelske grupper{C_k}^∞_k=0 med homomorerd_k beskrevet i følgende diagram

. . . −→^d4 C₃ −→^d3 C₂ −→^d2 C₁ −→^d1 C₀ −→^d0 0

derdk−1d_k = 0for allek >0. For alle k erC_k er en fri abelsk gruppe med generatorer i en-til-en korrespondanse medk-cellene i CW-komplekset. For eksempel er i dette tilfelletC₃den abelske gruppen generert av to elementer, fordiY har to 3-celler. Hverd_ker i sin tur bestemt av bildet til generatorene, og jobben som foreligger består hovedsaklig i å bestemme disse. Homologien til kjedekomplekset er som vanlig H_k= Ker(d_k)/Im(d_k+1).

Nå tar vi frem igjen de karakteristiske avbildningene som vi nevnte tidligere. Hvis Φ : D^k → Y er den karakteristiske avbildningen til en k- celle e^k og ∂D^k betegner randen til D^k, kalles Φ|_∂Dk festeavbildningen til e^k. Legg merke til at festeavbildningen til en gitt k-celle alltid har bilde i Y^k−1, hvis k > 0. Man kan se dette ved å løfte til T³ gjennom q og telle antallet reelle komponenter.

La oss begynne med beskrivelsen av hvordan d₃ avbilder en generator i C3. Vi kaller 3-cellen som svarer tilq(ζ(s), ζ(t1), ζ(u)) =q(p(s, t1, u))fore³₁ og q(ζ(s), ζ(t2), ζ(u)) =q(p(s, t2, u)) fore³₂. Hvis V1 = [0,¹₂]×[0,¹₂]×[0,¹₂] og V₂ = [0,¹₂]×[¹₂,1]×[0,¹₂], kan den karakteristiske avbildningen til e³_i uttrykkes som sammensetningen

Vi ,→ R³ −→^p T³ −→^q Y

og vi kaller denne Φ³_i, i = 1,2. De tilhørende festeavbildningene kaller vi ϕ³_i. Siden randen tilVi er homeomorf med en kuleoverate S² kan festeav- bildningene formuleres som en komposisjon

S² −→^≈ ∂V_i ^ϕ

3

−→i Y²

For hver 2-celle i Y lar vi q_j² : Y² → S² være kvotientavbildningen som kollapserY²\e²_j. En av disse satt sammen med forrige avbildning gir

∆²_ij :S² →S²

Meningen er at vi skal beregne den såkalte graden til hver∆²_ij. Generelt kan enhver kontinuerlig avbildning f :Sⁿ → Sⁿ tilordnes et heltall degf, kalt graden til f. Når vi har funnet deg ∆²_ij for alle i og j, er d2 gitt ved den

"cellulære randformelen" [3, s.140]:

Setning 2 (Den cellulære randformelen). d_k(e^k_i) =P

jdeg(∆^k_ij)e^k_j

deg ∆²_ij kommer vi frem til ved å beregne det som kalles lokal grad i punktene(∆²_ij)⁻¹(y), for eny∈q_j²(e²_j). Merk at for en slik y er inversbildet

en endelig mengde{x₁, ..., xm}. Hvis vi betegner den lokale graden til∆^k_ij i x_l med deg ∆^k_ij|x_l er deg ∆^k_ij gitt ved følgende formel [3, s.136]

deg ∆^k_ij =

m

X

l=0

deg ∆^k_ij|x_l

Vi angir nå regnereglene vi trenger for å nne den lokale graden i et punkt.

Første regel er at den lokale graden er±1i alle punkter (dette fordi∆²_ij er lokalt injektiv ix_l). For å bestemme fortegnet skal vi se hva∆²_ij gjør med avbildninger av typen

{σ :D^k→S^k |σ kontinuerlig og injektiv}

hvorD^kbetegner en lukket ball iR^kmed radius 1. Disse funksjonene fordeles nemlig naturlig inn i to ekvivalensklasser med hensyn på "homeotopi": σ₁ ' σ₂ hvis det nnes en kontinuerligH :S^k×I →S^k slik atH(x,0) =id_Sk(x), f(x) = H(x,1) er en homeomor, og σ2 =f ◦σ1. Fortegnet til den lokale graden kan nå beregnes slik: Vi tar utgangspunkt i enσ, som representerer ekvivalensklassen[σ]. x_l har en omegn U ⊆S^k slik at∆^k_ij|_U er injektiv. Vi velger nå et element σ⁰ ∈ [σ] slik at σ⁰(D^k) ⊂ U, og ser på [∆^k_ijσ⁰]. Hvis [σ] = [∆^k_ijσ⁰]erdeg ∆^k_ij|x_l= 1, ellers erdeg ∆^k_ij|x_l=−1. Denne verdien er veldenert, det vil si, enten er[∆^k_ijσ⁰] = [σ], eller så er [∆^k_ijσ⁰]6= [σ]for alle valg av σ⁰∈[σ].

Den andre regelen er at for en speiling µ:Sⁿ→ Sⁿ om et (hyper)plan gjennom origo vil[µσ]6= [σ]. Hvis vi aksepterer dette som fakta har vi alt vi trenger for å nne de lokale gradene.

2.2.3 Beregning av randavbildninger

Vi begynner med å bestemmed3. Det første vi gjør er å identisereS² med randen til[0,¹₂]³. Vi denerer så avbildninger

ψ²_i :∂[0,1

2]³ −→^≈ ∂Vi⊆R³

derψ²₁(s, t, u) = (s, t, u) og ψ₂²(s, t, u) = (s, t+¹₂, u). Festeavbildningene til e³_i kan nå uttrykkes som

ϕ³_i =qpψ_i²

Videre kan alle karakteristiske avbildningerΦ²_j faktoriseres gjennom enϕ³_i: La ιU, ιO, ιV, ιH, ιF, ιB : [0,¹₂]² → ∂[0,¹₂]³ parametrisere de seks atene i

∂[0,¹₂]³ slik:

ι_U(s, t) = (s, t,0) ι_O(s, t) = (s, t,¹₂) ι_V(s, t) = (0, s, t) ι_H(s, t) = (¹₂, s, t) ιF(s, t) = (s,0, t) ιB(s, t) = (s,¹₂, t)

Da er

Φ²₁(s, t) =qp(s, t,0) =ϕ³₁ιU(s, t) Φ²₂(s, t) =qp(s, t+¹₂,0) =ϕ³₂ιU(s, t) Φ²₃(s, t) =qp(0, s, t) =ϕ³₁ι_V(s, t) Φ²₄(s, t) =qp(¹₂, s, t) =ϕ³₁ι_H(s, t) Φ²₅(s, t) =qp(s,0, t) =ϕ³₁ι_F(s, t) Φ²₆(s, t) =qp(s,¹₂, t) =ϕ³₁ι_B(s, t) Indeksene til ι står for under, over, venstre, høyre, foran og bak. Her er tanken atx-aksen går fra venstre mot høyre, y-aksen går forfra og bakover, og z-aksen går nedenfra og opp.

Lemma 2. Laq₁ⁿ:Yⁿ→Sⁿ, kvotienten som kollapser komplementet til eⁿ₁ være gitt. Da kan kvotientene q_iⁿ deneres entydig gjennom likningen

qⁿ_iΦⁿ_i =q₁ⁿΦⁿ₁

Bevis. La qˆⁿ_i : Yⁿ → Sⁿ være en kontinuerlig avbildning som kollapser komplementet tileⁿ_i. Da nnesx₀, x⁰₀∈Sⁿslik atqˆⁿ₁|_eⁿ

1 :eⁿ₁ →Sⁿ\ {x₀}og ˆ

q_iⁿ|_eⁿ

i :eⁿ_i → Sⁿ\ {x⁰₀} er homeomorer. Φⁿ₁|_(0,1

2)ⁿ og Φⁿ_i|_(0,1

2)ⁿ er i sin tur homeomorer ned påeⁿ₁ ogeⁿ_i. Sammensetningen

Sⁿ\ {x⁰₀} ^qˆ

n i|_en

i

−1

−→ eⁿ_i

Φⁿ_i|

(0,1 2)n−1

−→ (0,¹₂)ⁿ

Φⁿ₁|

(0,1 2)n

−→ eⁿ_i

ˆ q₁ⁿ|_en

−→1 Sⁿ\ {x₀} er følgelig også en homeomor, kall den f. Vi utvider f til en bijeksjon h : Sⁿ → Sⁿ ved å legge til at h(x₀) =h(x⁰₀). Vi vil vise at h er en åpen avbildning, for da må ogsåh⁻¹være åpen ved symmetri. I så fall erq_iⁿ=hqⁿ_i kontinuerlig, og oppfyller dessuten likningenqⁿ_iΦⁿ_i =q₁ⁿΦⁿ₁ fordi

x∈∂[0,1

2]ⁿ ⇒ q₁ⁿΦⁿ₁(x) =x0=h(x⁰₀) =hqˆⁿ_iΦⁿ_i(x) =q_iⁿΦⁿ_i og

x∈(0,1

2)ⁿ ⇒ q_iⁿΦⁿ_i(x) =hˆq_iⁿΦⁿ_i(x) =fqˆⁿ_iΦⁿ_i(x) =q₁ⁿΦⁿ₁(x) der siste likhet følger av denisjonen tilf.

Hvis U ⊆Sⁿ\ {x⁰₀} er åpen, er h(U) =f(U) åpen i Sⁿ\ {x₀}, fordi f er åpen. Siden Sⁿ\ {x₀} er åpen i Sⁿ, er h(U) = h(U)∩(Sⁿ\ {x₀}) også åpen iSⁿ. Det gjenstår bare å vise athavbilder åpne omegn omx⁰₀ til åpne mengder. LaU være en åpen omegn omx⁰₀. C=Sⁿ\U er kompakt fordi det er en lukket delmengde av et kompakt rom (Sⁿer kompakt). C er fremdeles kompakt i ethvert underromAavSⁿhvisC⊆A, så spesielt erCen kompakt delmengde av Sⁿ\ {x⁰₀}. Siden h(C) = f(C), f : Sⁿ\ {x⁰₀} → Sⁿ\ {x₀} er kontinuerlig, og kontinuerlige funksjoner avbilder kompakte mengder på kompakte mengder, er h(C) en kompakt delmengde av Sⁿ\ {x₀}. Når en delmengde er kompakt i et underrom avSⁿmå den også være kompakt iSⁿ. h(C) er følgelig kompakt i Sⁿ. Videre erSⁿ Hausdor, så enhver kompakt delmengde er lukket. Altså erSⁿ\h(C) =h(U)åpen, og vi er ferdig.

For å se atq_iⁿer unik observerer vi først atq_iⁿer entydig gitt påeⁿ_i ⊆Y². Resten av punktene i Y² skal avbildes til ett punkt, og bare ett punkt på Sⁿ er ledig. Den resulterende avbildningen blir derfor identisk medq_iⁿ.

La heretterDⁿidentiseres med [¹₈,³₈]ⁿ⊆[0,¹₂]ⁿog ιn: [¹₈,³₈]ⁿ→[0,¹₂]ⁿ være inklusjonsavbildningen. Laσ =ι_Uι2 :D²→S².

∆²₁₁σ=q₁²ϕ³₁ιUι2=q²₁Φ²₁ι2 :D² →S²

er injektiv. Hvis[∆²₁₁σ]6= [σ], erstatter viq²₁ medqˆ₁² =µq₁², og får at [∆²₁₁σ] = [ˆq₁²ϕ³₁σ] = [µq₁²ϕ³₁σ]6= [q₁²ϕ³₁σ]6= [σ] ⇒ [∆²₁₁σ] = [σ]

derµ betegner en speiling av S². Resten av q²_i denerer vi som i lemmaet over, nemlig slik at q_i²Φ²_i =q²₁Φ²₁.

Festeavbildningeneϕ³_i sender det indre i hver av de seks sidene til∂[0,¹₂]³ bijektivt på en 2-celle iY². For hvert valg aviog inklusjonι_$vil altsåϕ³_iι_$ι2

avbildes injektivt inn i nøyaktig én 2-celle. Laq²_j være den ene avbildningen som gjørq_j²ϕ³_iι_$ι₂ injektiv og ikke konstant. Sammenlikner vi[q²_jϕ³_iι_$ι₂]med [ι_$ι2]nner vi den lokale graden tilq²_jϕ³_i = ∆²_ij i punktetι_$(¹₄,¹₄). Alle andre punkter i S² som avbildes til ∆²_ijι_$(¹₄,¹₄) må ligge i andre ater, så det er ikke mer å beregne for paret (ϕ³_i, ι_$).

Det nnes to festeavbildninger og seks sideinklusjoner, så vi har i alt tolv lokale grader å beregne. Første steg er å identisere hvilken 2-celle som blir truet av ϕ³_iι_$, for hvert par (ϕ³_i, ι_$). Vi kjenner seks av de, nemlig de som inngår i denisjonen avΦ²_j; disse treer naturligvise²_j. AtΦ²_j svarer til et par fremgår av denisjonen, for eksempel svarerΦ²₃ til (ϕ³₁, ιV). De seks parene vi ikke har identisert er(ϕ³₁, ι_O),(ϕ³₂, ι_O),(ϕ³₂, ι_V),(ϕ³₂, ι_H),(ϕ³₂, ι_F) og (ϕ³₂, ι_B). Vi gjennomfører en av beregningene som demonstasjon:

ϕ³₁ι_O(s, t) =qpψ₁²ι_O(s, t,¹₂) =qp(s, t,¹₂) =qp((r, r, ri)(s, t,¹₂)) =

=qp(s⁰, t⁰,0) =qpψ²₁ιU(s⁰, t⁰) =ϕ³₁ιU(s⁰, t⁰) = Φ²₁(s⁰, t⁰) Her ers⁰ = ¹₂−sog t⁰= ¹₂−t. Tabellen under viser alle resultatene samlet.

ϕ2ιO(s, t) = ϕ1ιU(s⁰, t⁰) = Φ1(s⁰, t⁰) [(r, r, ri)]

ϕ1ιO(s, t) = ϕ2ιU(s⁰, t⁰) = Φ2(s⁰, t⁰) [(r, r, ri)]

ϕ₂ι_V(s, t) = ϕ₁ι_V(s, t⁰) = Φ₃(s, t⁰) [(i, ri, r)]

ϕ2ιH(s, t) = ϕ1ιH(s, t⁰) = Φ4(s, t⁰) [(i, ri, r)]

ϕ2ιF(s, t) = ϕ1ιF(s, t) = Φ6(s, t) ϕ₂ι_B(s, t) = ϕ₁ι_B(s, t) = Φ₅(s, t)

Tallet som angir dimensjonen til funksjonene ble utelatt for å gjøre tabellen mer leselig.

Vi trenger en ting til før vi kan slå fast hva de lokale gradene er. Neste tabell inneholder dette.

µ_zι_O(s, t) = µ_z(s, t,¹₂) = ι_U(s, t) µyzιF(s, t) = µyz(s,0, t) = ιU(s, t) µ_yµ_yzι_B(s, t) = µ_yzµ_y(s,¹₂, t) = ι_U(s, t) µ_xyµ_yzι_V(s, t) = µ_yzµ_xy(0, s, t) = ι_U(s, t) µxµxyµyzιH(s, t) = µyzµxyµx(¹₂, s, t) = ιU(s, t)

µyz er speilingen om planet y =z og µxy speilingen om planet x = y. Vi beregner nå to av de lokale gradene som demonstrasjon og lister opp resten.

∆²₂₃ιV(s, t) =q₃²ϕ³₂ιV(s, t) =q₃²Φ²₃(s, t⁰) =q²₁Φ²₁(s, t⁰) =q₁²ϕ³₁ιU(s, t⁰)

= ∆²₁₁ι_U(s, t⁰) = ∆²₁₁(s, t⁰,0) = ∆²₁₁µ_y(s, t,0) = ∆²₁₁µ_yι_U(s, t) Av dette følger det at

[∆²₂₃ιVι2] = [∆²₁₁µyιUι2]6= [ι_Uι2] = [µxyµyzιVι2] = [ιVι2] Sådeg ∆²₂₃|ι_V =−1. Et eksempel til:

∆²₁₁ιO(s, t) =q₁²ϕ³₁ιO(s, t) =q²₁ϕ³₁ιU(s⁰, t⁰) = ∆²₁₁ιU(s⁰, t⁰) = ∆²₁₁µxµyιU(s, t)

⇒[∆²₁₁ι_Oι₂] = [∆²₁₁µ_xµ_yι_Uι₂] = [ι_Uι₂] = [µ_zι_Oι₂]6= [ι_Oι₂] sådeg ∆²₁₁|ι_O =−1.

0 0 1 −1 1 −1

0 0 −1 1 −1 1

Denne matrisen oppsummerer alle gradene til∆²_ij. Rad nummeriinneholder bildet til e³_i ∈ C₃ og kolonne j inneholder koesienten til e²_j ∈ C₂. Vi har med andre ord at

d₃(e³₁) =e²₃−e²₄+e²₅−e²₆ og d3(e³₂) =−d₃(e³₁).

For å beregne gradene til ∆¹_ij følger vi samme oppskrift;S¹ identiseres med∂[0,¹₂]² og vi denerer følgende inklusjoner til kantene påS¹:

ιU(t) = (t,0) ιO(t, t) = (t,¹₂) ι_V(t) = (0, t) ι_H(t, t) = (¹₂, t) Vi lar videre ϕ²_j = Φ²_j|_∂[0,1

2]² for j = 1,2,3,4,5,6. Tabellen under navngir 1-cellene.

e¹₁ : q(p( t, 0, 0)) e¹₂ : q(p( t, ¹₂, 0))

= q(p( t⁰, ¹₂, ¹₂)) = q(p( t⁰, 0, ¹₂)) e¹₃ : q(p( 0, t, 0)) e¹₄ : q(p( ¹₂, t, 0))

= q(p( ¹₂, ¯t⁰, 0)) = q(p( 0, t¯⁰, 0))

= q(p( 0, ¯t, ¹₂)) = q(p( ¹₂, ¯t, ¹₂))

= q(p( ¹₂, t⁰, ¹₂)) = q(p( 0, t⁰, ¹₂)) e¹₅ : q(p( 0, 0, t)) e¹₆ : q(p( ¹₂, 0, t))

= q(p( 0, ¹₂, t⁰)) = q(p( ¹₂, ¹₂, t⁰))

¯t er forkortelse for t+ ¹₂. De karakteristiske avbildningene uttrykkes som følger:

Φ¹₁(t) =qp(t,0,0) =ϕ²₁ι_U(t) Φ¹₂(t) =qp(t,¹₂,0) =ϕ²₁ι_O(t) Φ¹₃(t) =qp(0, t,0) =ϕ²₁ιV(t) Φ¹₄(t) =qp(¹₂, t,0) =ϕ²₁ιH(t) Φ¹₅(t) =qp(0,0, t) =ϕ²₅ι_V(t) Φ¹₆(t) =qp(¹₂,0, t) =ϕ²₅ι_H(t)

q₁¹ : Y¹ → S¹ deneres slik at [q¹₁ϕ²₁ιUι1] = [ιUι1], og for i = 2,3,4,5,6 denerer viq¹_i slik atq_i¹Φ¹_i =q₁¹Φ¹₁ er oppfylt. Neste trinn i prosedyren er å uttrykkeϕ²_iι_$ ved hjelp av Φ¹_j.

ϕ₁ι_U(t) = Φ₁(t) ϕ₂ι_U(t) = Φ₂(t) ϕ1ιO(t) = Φ2(t) ϕ2ιO(t) = Φ1(t)

ϕ1ι_V(t) = Φ3(t) ϕ2ι_V(t) = Φ4(t⁰) [(ri, i, i)]

ϕ₁ι_H(t) = Φ₄(t) ϕ₂ι_H(t) = Φ₃(t⁰) [(ri, i, i)]

ϕ3ι_U(t) = Φ3(t) ϕ4ι_U(t) = Φ4(t)

ϕ₃ι_O(t) = Φ₄(t⁰) [(r, r, ri)] ϕ₄ι_O(t) = Φ₃(t⁰) [(r, r, ri)]

ϕ3ιV(t) = Φ5(t) ϕ4ιV(t) = Φ6(t)

ϕ3ι_H(t) = Φ5(t⁰) [(i, ri, r)] ϕ4ι_H(t) = Φ6(t⁰) [(i, ri, r)]

ϕ5ιU(t) = Φ1(t) ϕ6ιU(t) = Φ2(t)

ϕ5ιO(t) = Φ2(t⁰) [(r, r, ri)] ϕ6ιO(t) = Φ1(t⁰) [(r, r, ri)]

ϕ₅ι_V(t) = Φ₅(t) ϕ₆ι_V(t) = Φ₅(t⁰) [(i, ri, r)]

ϕ5ιH(t) = Φ6(t) ϕ6ιH(t) = Φ6(t⁰) [(i, ri, r)]

ι_U kan faktoriseres gjennomι_$ og speilinger av S¹: µ_yι_O(t) = µ_y(t,¹₂) = ι_U(t) µxyιV(t) = µxy(0, t) = ιU(t) µ_xyµ_xι_H(t) = µ_xyµ_x(¹₂, t) = ι_U(t) La oss beregne deg ∆¹₃₅|ι_V og deg ∆¹₄₃|ι_O

∆¹₃₅ι_V(t) =q₅¹Φ¹₅(t) =q¹₁Φ¹₁(t) = ∆¹₁₁ι_U(t)

⇒[∆¹₃₅ι_Vι1] = [∆¹₁₁ι_Uι1] = [ι_Uι1] = [µxyι_Vι1]6= [ι_Vι1] deg ∆¹₃₅|ι_V =−1.

∆¹₄₃ι_O(t) =q¹₃Φ¹₃(t⁰) =q₁¹Φ¹₁(t⁰) = ∆¹₁₁ι_U(t⁰) = ∆¹₁₁µ_xι_U(t)

⇒[∆¹₄₃ιOι1] = [∆¹₁₁µxιUι1]6= [ι_Uι1] = [µyιOι1]6= [ι_Oι1] deg ∆¹₄₃|ι_O = 1.

Generelt er det et enkelt mønster her. Hvis vi betrakter avbildninger

∆¹_ijι_O og ∆¹_ijι_V, skifter fortegnet én gang. Hvis ϕ_iι_V(t) = Φ¹_j(t⁰) skifter det

en gang til. Vi kan med andre ord lese gradene direkte ut av forrige tabell, og resultatet ser slik ut:

















1 −1 −1 1 0 0

−1 1 −1 1 0 0

0 0 1 1 −2 0

0 0 1 1 0 −2

1 1 0 0 −1 1

1 1 0 0 1 −1

















Radisvarer til bildet ave²_i og kolonnejinneholder koesientene tilhørende e¹_j. For eksempel vil dette si at d2(e²₁) =e¹₁−e¹₂−e¹₃+e¹₄.

Til slutt nner vi d1, også denne ved å følge samme prosedyre: S⁰ =

∂[0,¹₂]¹={0,¹₂},ϕ¹_i = Φ¹_i|_∂[0,1

2]¹ og ι_H, ι_V :D⁰ →S⁰ er simpelthen gitt ved ι_V(0) = 0 ι_H(0) = ¹₂

Vi gir navn til 0-cellene:

e⁰₁ : q(p( 0, 0, 0)) e⁰₂ : q(p( 0, ¹₂, 0)) q(p( ¹₂, 0, 0)) q(p( ¹₂, ¹₂, 0)) q(p( 0, ¹₂, ¹₂)) q(p( 0, 0, ¹₂)) q(p( ¹₂, ¹₂, ¹₂)) q(p( ¹₂, 0, ¹₂)) De karakteristiske avbildningene er

Φ⁰₁(0) =qp(0,0,0) = Φ¹₁(0) =ϕ¹₁ι_V(0) Φ⁰₂(0) =qp(0,¹₂,0) = Φ¹₂(0) =ϕ¹₂ιV(0)

og vi denererq_j⁰ på samme måte som tidligere. Følgende relasjoner gjelder ϕ₁ι_V(0) =qp(0,0,0) = Φ₁(0) ϕ₁ι_H(0) =qp(¹₂,0,0) = Φ₁(0) ϕ2ιV(0) =qp(0,¹₂,0) = Φ2(0) ϕ2ιH(0) =qp(¹₂,¹₂,0) = Φ2(0) ϕ3ι_V(0) =qp(0,0,0) = Φ1(0) ϕ3ι_H(0) =qp(0,¹₂,0) = Φ2(0) ϕ₄ι_V(0) =qp(¹₂,0,0) = Φ₁(0) ϕ₄ι_H(0) =qp(¹₂,¹₂,0) = Φ₂(0) ϕ5ιV(0) =qp(0,0,0) = Φ1(0) ϕ5ιH(0) =qp(0,0,¹₂) = Φ2(0) ϕ6ι_V(0) =qp(¹₂,0,0) = Φ1(0) ϕ6ι_H(0) =qp(¹₂,0,¹₂) = Φ2(0) og ιV(0) =µxιH(0). Vi beregnerdeg ∆⁰₂₂|ι_H:

∆⁰₂₂ιHι0(0) =q⁰₂ϕ¹₂ιHι0(0) =q₂⁰Φ⁰₂ι0(0) =q⁰₁Φ⁰₁ι0(0) = ∆⁰₁₁ιVι0(0)

⇒[∆⁰₂₂ι_Hι₀] = [∆⁰₁₁ι_Vι₀] = [ι_Vι₀] = [µ_xι_Hι₀]6= [ι_Hι₀]