Mecanismes de dissipació d'ones magnetohidrodinàmiques a plasmes astrofísics

Facultat de nom

Memòria del Treball de Fi de Grau

Mecanismes de dissipació d'ones

magnetohidrodinàmiques a plasmes astrofísics

Andrés Albillos Mayol Grau de Física

Any acadèmic 2014-2015

DNI de l’alumne: 43215640C

Treball tutelat per Jose Luis Ballester Mortes Departament de Física

S'autoritza la Universitat a incloure el meu treball en el Repositori Institucional per a la seva consulta en accés obert i difusió en línea, amb finalitats exclusivament acadèmiques i d'investigació

Paraules clau del treball:

Magnetohidrodinàmica, dissipació, ones, ...

Índex

1 Introducció 5

2 Objectiu del treball 5

3 Metodologia 5

4 Equacions de la Magnetohidrodinàmica (MHD) 5

4.1 Conguració d'equilibri . . . 6

4.2 Equacions linealitzades . . . 8

4.3 Anàlisi de Fourier . . . 9

4.4 Relació de dispersió general . . . 10

5 Cas ideal 13 6 Cas resistiu 15 6.1 Propagació paral·lela . . . 15

6.2 Propagació perpendicular . . . 16

6.3 Propagació obliqua . . . 16

7 Efecte de la difusivitat de Hall 16 7.1 Propagació paral·lela . . . 17

7.2 Propagació perpendicular . . . 18

7.3 Propagació obliqua . . . 18

8 Efectes produits per la consideració conjunta del efecte Hall i la difusivitat mag- nètica 19 8.1 Propagació paral·lela . . . 19

8.2 Propagació perpendicular . . . 20

8.3 Propagació obliqua . . . 20

9 Cas viscòs 20 9.1 Efecte deη₀ . . . 21

9.1.1 Propagació paral·lela . . . 21

9.1.2 Propagació perpendicular . . . 21

9.1.3 Propagació obliqua . . . 22

9.2 Efecte deη1 . . . 23

9.2.1 Propagació paral.lela . . . 23

9.2.2 Propagació perpendicular . . . 23

9.2.3 Propagació obliqua . . . 23

9.3 Efecte deη2 . . . 24

9.3.1 Propagació paral·lela . . . 24

9.3.2 Propagació perpendicular . . . 25

9.3.3 Propagació obliqua . . . 25

9.4 Efecte deη₃ . . . 25 3

9.4.1 Propagació perpendicular . . . 25

9.4.2 Propagació obliqua . . . 26

9.5 Efecte deη₄ . . . 27

9.5.1 Propagació paral·lela i obliqua . . . 27 10 Efecte conjunt del terme de Hall i del coecient de viscositat η₀ 27 11 Aplicació al cas de ones lentes a llaços coronals de alta temperatura 27

12 Sumari i conclusions del treball 28

13 Referències 29

1 Introducció

La major part de l'univers es troba en estat de plasma (estrelles, nùvols moleculars, nebuloses planetàries, etc), i, generalment, aquests plasmes es troben magnetitzats. Un exemple típic de plasma magnetitzat és la atmòsfera del Sol i, en particular, la seva capa més externa coneguda com la Corona solar. Una de les eines utilitzades per l'estudi del comportament macroscòpic dels plasmes magnetitzats és la Magnetohidrodinàmica (MHD) que es pot veure com una síntesi entre l'electromagnetisme i la dinàmica de uids (Goossens, 2003; Goedbloed and Poedts, 2004; Priest, 2014). La MHD tracta el plasma totalment ionitzat com un uid en equilibri termodinàmic i els efectes relativistes són menyspreats, i una de les típiques aplicacions de la MHD és l'estudi de la propagació d'ones en el si de plasmes magnetitzats.

2 Objectiu del treball

L'objectiu d'aquest treball és l'estudi de la propagació de ones magnetohidrodinàmiques (MHD), en el si de un plasma magnetitzat amb condicions físiques típiques de la Corona solar, i del seu esmorteïment temporal mitjançant mecanismes dissipatius tals com la difusivitat magnètica i la viscositat. Com a una petita aplicació, els resultats obtinguts en el cas viscós (viscositat compresiva, η₀) s'han aplicat a les observacions d'esmorteïment temporal de les ones lentes a llaços coronals de alta temperatura.

3 Metodologia

La metodologia emprada ha estat la següent:

1. En primer lloc hem denit una conguració d'equilibri per el plasma coronal magnetitzat 2. Considerant pertorbacions de petita amplitud, s'han linealitzat les equacions de la MHD 3. A les equacions linealitzades s'ha fet un anàlisi de Fourier en ones planes

4. A partir de les equacions resultants, i eliminant les perturbacions de les velocitats, hem ob- tingut les relacions de dispersió per cada cas considerat

5. Com que volem estudiar l'esmorteïment temporal de les ones MHD, considererem la freqüència ω compleja (ω=ω_r+iω_i) i el nombre d'ona, k, real.

4 Equacions de la Magnetohidrodinàmica (MHD)

Les equacions MHD que hem considerat són les següents:

5

∂ ~B

∂t =∇ ×(~v×B) +~ η∇²B~ −ηH∇ ×[(∇ ×B)~ ×B]~ (1) ρD~v

Dt =−∇p+(∇ ×B)~ ×B~

µ − ∇ ·Π (2)

Dρ

Dt +ρ∇ ·~v= 0 (3) Dp

Dt −γp ρ

Dρ

Dt = 0 (4)

p= ρRT

˜

µ (5)

∇ ·B~ = 0 (6) corresponents a l'equació d'inducció, equació de moment, equació de continuitat, equació d'energia (cas adiabàtic), equació d'estat i condició solenoidal del camp magnètic, respectivament, i on _Dt^D =

∂

∂t +~v · ∇. A les equacions de d'alt, η és la difusivitat magnètica d'Ohm, ηH és la difusivitat magnètica de Hall, Π és el tensor viscositat (Braginskii, 1965; Vranjes, 2014), i p, ρ, ~v, B~ i γ representen la pressió, densitat, velocitat, camp magnètic i coecient adiabàtic del plasma. A la equació d' inducció (1), s'han considerat els termes d'advecció, de difusivitat magnètica d'Ohm i de difusivitat de Hall.

Les forçes considerades a l'equació de moment (2) són: El gradient de pressió del plasma, la força de Lorentz, que es pot interpretar com la suma d'una tensió magnètica (B₀²/µ) i una pressió magnètica (B₀²/2µ), i la força de viscositat, mentres que la força gravitatòria no s'ha tengut en compte. L' expressió general de la força de viscositat, F~v, vé donada per la divergència del tensor viscositat, Π:

F~v =−∇ ·Π =−∂Πij

∂x_j eˆi (7)

i les components Π_ij s'expressen en funció de les components del tensor de tensions, W_αβ, denit com:

W_αβ = ∂vα

∂x_β + ∂vβ

∂x_α −2

3δ_αβ∇ ·~v (8)

4.1 Conguració d'equilibri

Consideram geometría cartesiana i un plasma de hidrogen completament ionitzat e innit, amb densitat, pressió i temperatura constants, permeat per un camp magnètic horitzontal i uniform (Figura 1). Les condicions físiques d'aquest plasma són característiques de la Corona solar:

y

x z

𝐵

Figura 1: Plasma innit amb un camp magnètic uniform orientat segons l'eix X.

B~₀ = 10⁻³ˆi T (9)

T0 = 10⁶ K (10)

µ= 0.5 (11)

ρ0= 1.66×10⁻¹³ kg m⁻³ (12)

~

v0 = 0 (13)

En un camp magnètic intens, el producte de la freqüència ciclotrònica iònica (ω_ci) i el temps de col.lisió del ions (τi) ésωciτi >>1. En el nostre estudi, la freqüència ciclotrònica iònica ésωci∼10⁵ rad/s (T ∼6.5×10⁻⁵ s), i ω_ciτ_i ∼9000, es a dir tenim un camp magnètic intens i, en aquest cas, les components del tensor viscositat en un sistema de coordinades amb l'eix X paral.lel al camp

7

magnètic tenen la forma següent (Vranjes, 2014):

Π_xy = Π_yx=−η₂W_xy−η₄W_xz (14) Πyz= Πzy=−η₁Wyz+η3

2 (Wyy−Wzz) (15) Π_xz= Π_zx=−η₂W_xz+η₄W_xy (16) Πxx=−η₀Wxx (17) Π_yy=−η₀

2(W_yy+W_zz)−η₁

2(W_yy−W_zz)−η₃W_yz (18) Π_zz =−η₀

2(W_yy+W_zz)−η₁

2(W_zz−W_yy) +η₃W_yz (19) (20) on lesη0,η1,η2,η3 iη4 són els coecients de viscositat iónica donats per (Huba, 2004):

η₀ = 0.96nkT_iτ_i (21)

η1 = 3nkTi

10ω²_ciτ_i (22)

η2 = 6nkTi

5ω_ci²τ_i (23)

η3 = nkT_i

2ωci (24)

η4 = nkTi

ωci (25)

on nés la densitat de particles,k la constant de Boltzmann,T_i, la temperatura dels ions (asumida igual a la temperatura del plasma). Una vegada tenim els elements del tensorΠ, feim les derivades adients i obtenim les components cartesianes de la força de viscositat.

4.2 Equacions linealitzades

La conguració d'equilibri d'alt descrita és perturbada mitjançant perturbacions de petita amplitud tal com:

B~ =B~0+B~1 (26)

T =T0+T1 (27)

p=p0+p1 (28)

~v=v~₀+v~₁ =v~₁ (29)

ρ=ρ₀+ρ₁ (30)

Aquestes expressions es sustitueixen dins les equacions MHD i es retenen ùnicament els termes d'ordre zero i els termes lineals en les perturbacions. Les equacions linealitzades obtingudes són:

∂ ~B₁

∂t =∇ ×(v~₁×B~₀) +η∇²B~₁−η_H∇ ×[(∇ ×B~₁)×B~₀] (31) ρ₀∂ ~v₁

∂t =−∇p₁+ (∇ ×B~₁)×B~₀

µ − ∇ ·Π₁ (32)

∂ρ1

∂t +ρ0∇ ·v~1 = 0. (33)

∂p1

∂t +γp0∇ ·v~1 = 0. (34) p1 =p0

T₁ T0

+ρ₁ ρ0

(35)

∇ ·B~1 = 0. (36) 4.3 Anàlisi de Fourier

Donat que el medi que consideram té dimensions innites, sense cap frontera, podem fer un anàlisi de Fourier en ones planes. Llavors, asumim que totes les perturbacions es comporten tal com:

δ(~r, t) =δ0·exp(i(ωt−~k·~r)) (37) onδ correspon a les perturbacionsB~1,v~1,p1,ρ1,T1;δ0 és una amplitud constant, i~k= (kx, ky, kz). Aplicant aquest análisi de Fourier a les equacions linealitzades, i llevant el subíndex1de les pertur- bacions vectorials per comoditat, obtenim:

−iωB_x =ηk²Bx−i(kyB0vy+kzB0vz)−ηH(kykxBz−kzkxBy)B0. (38)

−iωB_y =ηk²B_y−ik_xB₀v_y−η_H(k_zk_xB_x−k²_xB_z)B₀. (39)

−iωB_z=ηk²Bz−ikxB0vz−ηH(k²_xBy−kxkyBx)B0. (40)

iρωv_x−iρ₀v²k_x = +ik_xc²_sρk_xv_x+k_yv_y+k_zv_z

ω −η₀(4

3k_x²v_x−2

3(k_xk_yv_y+k_xk_zv_z))−

−η₂(4

3k²_xv_x+k_xk_yv_x+k_x²v_y−2

3(k_xk_yv_y+k_xk_zv_z))−η₄(k²_xv_z−k_x²v_y). (41) iρωvy−iρ0v²ky = +ikyc²_sρkxvx+kyvy+kzvz

ω − i

µ(kxB0By−kyB0Bx)−

−η0

2(4

3k²_yvy− 2

3(kxkyvx+k²_yvy) +4

3kykzvz−2

3(kxkyvx+kykzvz))+

−η₁(k_z²vy+kykzvz+1 2(4

3k²_yvy+2

3(kxkyvx+k_y²vy)+4

3kykzvz−2

3(kxkyvx+kykzvz))−η₂(kxkyvx+k²_xvy)−

−η₃

2 (k_yk_zv_x+k²_yv_y+1 2(−4

3k_yk_zv_y−2

3(k_xk_zv_x+k_yk_zv_y)+4

3k_z²v_z+2

3(k_xk_zv_x+k²_zv_z))−η₄(k_x²v_x+k_xk_zv_x) (42) 9

iρωvz−iρ0v²kz = +ikzc²_sρkxvx+kyvy+kzvz

ω − i

µ(kxB0Bz−kzB0Bx)−

−η0

2(4

3kykzvy−2

3(kxkzvx+k²_zvy) +4

3k²_zvz−2

3(kxkzvx+k²_zvz))−

−η1(kykzvy+k_y²vz+ 1 2(−4

3kykzvy−2

3(kxkyvy+kykzvy) + 4

3k_z²vz+ 2

3(kxkzvx+k_z²vz))−

−η₂(4

3k²_xv_x−2

3(k_xk_yv_y+k_xk_zv_z))−η₃(k²_zv_y+k_yk_zv_z+1 2(−4

3k²_yv_y+4

3(k_xk_yv_x+k_y²v_y) +4

3k_yk_zv_z))−

−η₄(k_xk_yv_x+k²_xv_y) (43)

ωρ1 =ρ0(kxvx+kyvy+zvz) (44)

p₁=c²_sρ₁ (45)

p1 =p0

T1

T₀ +ρ1

ρ₀

(46) kxBx+kyBy+kzBz = 0 (47) A partir de aquestes equacions, eliminant les perturbacions de les velocitats (v_x, v_y, v_z) es pot obtenir una relació de dispersió que descriuiria el comportament de les diferents ones MHD presents al medi, així com el seu esmorteïment temporal.

En els casos en que un mecanisme dissipatiu és present, la resolució de la relació de dispersió, asumint un nombre d'ona real, ens proporcionará freqüencies complexes, i la part imaginària de la freqüencia és la responsable del esmorteïment de la pertorbació. Aquest efecte es pot veure fàcilment a partir de l'equació (37) si sustituim ω per ω(k) = ω_r(k) +iω_i(k), obtenguent δ = δ0·exp(i(ω_r(k)t−~k·~r))·exp(−ω_i(k)t). Es veu que la part real,ωr, de la freqüència és la responsable de la propagació de la pertorbació, i la imaginària, ω_i, ho es del seu esmorteïment temporal. Les representacions gràques dels resultats es presenten en termes del període d'oscil.lació T = _ω^2π

r, i el temps d'esmorteïment, τ = ^2π_ω

i.

En el nostre estudi, considererem ùnicament propagació en el plá XZ, es a dir, el vector d'ona és~k(kx,0, kz)amb kx=ksinθ, kz =kcosθ, i on θés l'angle que forma el vector d'ona~kamb l'eix Z.

4.4 Relació de dispersió general

Seguint el procediment anteriorment explicat podem obtenir la següent relació de dispersió:

-Ihk²+ ä wMw² 1 2

B0²hH²m²Cos@qD⁶

I-3ä rII9h1²+27h0h1+18h2h1-12h3²+4h0h3-3h0h4+9h3h4Mk²+18ä h1r wMcs²+ 2wIHh0+ h2L I18h1²+Hh0-3h3L H5h3+3h4LMk²+9äHh1+ h3L Hh0+3h1-3h3Lr wM+ k²I3äcs²I9h1²+27h0h1+18h2h1-12h3²+4h0h3-3h0h4+9h3h4Mr -

2Hh0+ h2L I18h1²+Hh0-3h3L H5h3+3h4LMwMCos@2qDMSin@qD²k⁸+

3 B0²hH²m²Cos@qD⁵Sin@qD³Ik²I3äH3h1H2h2+ h4L+ h4Hh0+3h2+ h3-3h4LLrcs²+ I2h4h0²+H6h1h4- h2H5h3+ h4LLh0+3h1Hh2- h4L Hh3-3h4L-

3h3h4H2h2+ h3-3h4LMwMSin@qD²-6ä h1h2r w²Mk⁸+

mCos@qD⁴IB0²k⁶hH²mII2H5h3+3h4Lh0²+I36h1²+36h2h1+ h2H10h3-3h4L- 6I5h3²+8h4h3+3h4²MMh0+3I12h2h1²+3I4h2²-7h4h2+3h4²Mh1+ 9h3h4²+2h2²H5h3+3h4L-2h2I5h3²+13h4h3+6h4²MMMw -

3äcs²Ih0H27h1+27h2+4h3-3h4L+3I3h1²+9h2h1+6h2²- 4h3²+6h4²-3h2h4- h3h4MMrMSin@qD⁶+

3 B0²äk⁴hHIB0I3 cs²Hh0+ h3-3h4Lr -2äHh0+ h2Lh3wM+3hHm r w

II3h1²+11h2h1+ h0H9h1+ h2+ h3L-3h3Hh3+ h4LMw -9äcs²Hh0+ h1+ h2LrMM Sin@qD⁴+k²I-9ä h0hHr w²B0³+9I3rIwIä hH²m w r²+ h1M- äk²h h1Mcs²+

wI4h h1Hh0+ h2Lk²+ wI- h0hH²m w r²-6h1hH²m w r²+4ä h0h1+4ä h1h2MMM B0²+ mIhk²+ ä wM²I2Hh0+ h2L I18h1²+Hh0-3h3L H5h3+3h4LMw -

3äcs²I9h1²+27h0h1+18h2h1-12h3²+4h0h3-3h0h4+9h3h4MrMM Sin@qD²+9ä r wIhk²+ ä wM I3h1m rIw - äk²hMcs²+

wI3h1 B0²+Hh1+ h3L Hh0+3h1-3h3LmIhk²+ ä wMMMMk⁴+3mCos@qD³Sin@qD IB0²k⁶hH²mI3äI6h2²+H6h4-4h3Lh2+3h1H2h2+ h4L+ h4Hh0+ h3-6h4LMrcs²+

I2h4h0²+H6Hh1- h4Lh4-5h2Hh3- h4LLh0+

3Ih1Hh2- h4L Hh3-3h4L+ h4I2h2²-2Hh3+2h4Lh2- h3²+3h4²+2h3h4MMMwM Sin@qD⁶+3 B0²äk⁴hHIhHm r wI3äH2h2+ h4Lrcs²+

I-2h2²-2h1h2+Hh3-3h4Lh2+ h4H2h0- h3+3h4LMwM+

B0I3 cs²Hh2-2h4Lr - äH2h0Hh2-2h4L+ h4H-2h2- h3+3h4LLwMMSin@qD⁴+ k²I3ä m rIh²H3h1H2h2+ h4L+ h4Hh0+3h2+ h3-3h4LLk⁴+

6ä hHh1+ h2- h4Lh4wk²-H3h1H2h2+ h4L+ h4Hh0+3h2+ h3-3h4LLw²M cs²+ wI3Hh2- h4L Hh3-3h4L Ihk²+ ä wMB0²+

mIh²I2h4h0²- h2H5h3+ h4Lh0-3Hh3-3h4L Hh3h4+ h1Hh4- h2LLMk⁴- 2ä hHh0h2H5h3+ h4L-9h4Hh3h4+ h1Hh4- h2LLLwk²+

I-2h4h0²+ h2H5h3+ h4Lh0+3Hh3-3h4L Hh3h4+ h1Hh4- h2LLMw²MMM Sin@qD²-6ä h1h2m r w²Ihk²+ ä wM²Mk⁴+9mCos@qDSin@qD IB0²k⁶hH²m

I3äI2h2²+ h4h2- h4²Mrcs²+ h4I2h2²-4h4h2+3h4²+2h0Hh2- h4L- h3h4MwM Sin@qD⁸+B0²äk⁴hH

IhHm r wI3äH2h2+ h4Lrcs²+I-2h2²+Hh3-3h4Lh2+ h4H2h0- h3+3h4LMwM+ B0I3 cs²Hh2-2h4Lr - äH2h0Hh2-2h4L+ h4H-2h2- h3+3h4LLwMMSin@qD⁶+ k²II3äH2h2+ h4LrIhk²+ ä wMcs²+ wIhHh2Hh3-3h4L+ h4H2h0- h3+3h4LLk²+

ä wIh4H2h0- h3+3h4L+ h2I-2ä hH²m w r²+ h3-3h4MMMMB0²+ mIhk²+ ä wM² I3äI2h2²+ h4h2- h4²Mrcs²+ h4I2h2²-4h4h2+3h4²+2h0Hh2- h4L- h3h4MwMM Sin@qD⁴- r wIhk²+ ä wM I3H2h2+ h4Lm rIhk²+ ä wMcs²+

ä wI2h2 B0²+I2h2²-Hh3-3h4Lh2+ h4H-2h0+ h3-3h4LMmIhk²+ ä wMMM Sin@qD²+4ä h h2m r²w⁴Mk⁴+3 Cos@qD²

IB0²k⁸hH²m²II9h4³-12h2h4²+9h3h4²-6h2²h4-20h2h3h4+10h2²h3+ 3h1I4h2²-7h4h2+3h4²M+ h0H12h1h2- h4H3h2+10h3+6h4LLMw - 3äcs²I6h2²+9h0h2+3h1h2-3h4h2+6h4²-4h3h4MrMSin@qD⁸+ B0²k⁶hHmI3hHm r wI3H3h0+2h1+4h2Lrcs²+ äI4h2²+5h0h2+11h1h2-

7h4h2+3h4²+8h0h1-3h3h4MwM+B0I3äHh0+ h3-6h4Lrcs²+

MM ⁶+

7h4h2+3h4²+8h0h1-3h3h4MwM+B0I3äHh0+ h3-6h4Lrcs²+

I-4h0²+H-4h2+2h3+6h4Lh0-12h2²+9h4²+2h2Hh3+9h4LMwMMSin@qD⁶+ k⁴I3I4Hh0+ h2Lw -3äcs²rMB0⁴-3äHh0-3h4LhHm r w²B0³+

3mI3rIwI2ä hH²m w r²+3h0+2h1+3h2M- äk²hH3h0+2h1+3h2LMcs²+ wIhI4h2²+4h0h2+8h1h2-3h4h2+3h4²+8h0h1Mk²+

ä wI4h2²+4h0h2+8h1h2-3h4h2+7ä hH²m r²w h2+ 3h4²+8h0h1+5ä h0hH²m r²w +6ä h1hH²m r²wMMMB0²+ m²Ihk²+ ä wM²II10h3h2²+6h4h2²-12h4²h2-20h3h4h2+9h3h4²+

3h1I4h2²-7h4h2+3h4²M+ h0H12h1h2- h4H3h2+10h3+6h4LLMw - 3äcs²I6h2²+9h0h2+3h1h2-3h4h2+6h4²-4h3h4MrMMSin@qD⁴+ 3 k²r wI3ä wB0⁴+ mI6rIhk²+ ä wMcs²+ ä wIhH5h0+6h1+7h2Lk²+

ä wI3ä hH²m w r²+5h0+6h1+7h2MMMB0²+

m²I3H3h0+2h1+3h2LrIk⁴h²- w²Mcs²+ ä wIh²Hh0h2+11h1h2-3h3h4Lk⁴- 6ä h h3h4wk²-Hh0h2+11h1h2-3h3h4Lw²MMMSin@qD²-

3m r²w²Ihk²+ ä wM I3m rIw - äk²hMcs²+ wI3 B0²+Hh0+6h1LmIhk²+ ä wMMMMk²- 3

8

äI24 B0²äk¹⁰h4I3h4²-4h2²MhH²m²wSin@qD¹⁰+

24 B0²k⁸hHmIhHm r wI3äcs²h2r -I4h2²+4h0h2-7h4h2+3h4²MwM+ B0I3h4rcs²+ äI-4h2²+8h4h2+3h4²+4h0h4MwMMSin@qD⁸+ 24 k⁶II3rcs²+4äHh0+ h2LwMB0⁴-3h4hHm r w²B0³+

mI3rIh h2 k²+ wIä h2- hH²m r²wMMcs²+ ä wIhI4h2²+4h0h2-7h4h2+3h4²Mk²+ ä wI4h2²+4h0h2-7h4h2+7ä hH²m r²w h2+3h4²+4ä h0hH²m r²wMMMB0²+ ä h4I3h4²-4h2²Mm²wIhk²+ ä wM²MSin@qD⁶-24 k⁴r wI3wB0⁴+

mI6rIw - äk²hMcs²+ wIhH8h0+11h2Lk²+ wI-3hH²m w r²+8ä h0+11ä h2MMMB0²+ m²Ihk²+ ä wM²II4h2²+4h0h2-7h4h2+3h4²Mw -3äcs²h2rMMSin@qD⁴-

24 k²m r²w²Ihk²+ ä wM I3m rIhk²+ ä wMcs²+ ä wI6 B0²+H4h0+7h2LmIhk²+ ä wMMM Sin@qD²+

mI3 B0²cs²h2h3hH²m rSin@2qD⁵k¹⁰-B0³äHh0+ h2L H2h0+3h4LhHwSin@2qD⁴k⁸+ 2mI3rI2h²h2h3 k⁴- ä hH6h1h2-4h3h2+Hh0+ h3Lh4Lwk²-2h2h3w²Mcs²+

wI3ä h²Hh0h1- h2h3Lh4 k⁴+ hII3h3H2h2+ h3L-2h0²Mh4-3h1

Hh2h3- h4h3+2h0h4LMwk²+3äIB0²h2hH²r²- h0h1h4+ h2h3h4Mw²MM Sin@2qD³k⁶-12m r w²I4h²h0h1 k⁴+ hI3H3h0+2h1+3h2Lrcs²+

äH8h0h1+11h2h1+ h0h2LwMk²-4h0h1w²MSin@2qD²k⁴+ 24ä h2m r²w³Ik⁴h²- w²MSin@2qDk²+72m r³w⁴Ihk²+ ä wM²MM =0

2 Untitled-1

Donat que aquesta relació de dispersió és molt complexa i resulta difícil esbrinar el comportament de les ones, considererem diferents casos que, al mateix temps, ens permetrán introduir els diferents tipus d'ones MHD. Els casos considerats seràn:

1. Ideal 2. Resistiu

3. Ideal amb efecte Hall 4. Resistiu amb efecte Hall 5. Viscós

En general, dins cada cas considerat distingirem entre propagació paral.lela al camp magnètic (θ= π/2), propagació perpendicular (θ= 0) i propagació obliqua (θ=π/4)

5 Cas ideal

En aquest cas no es considera cap mecanisme dissipatiu, ni l'efecte Hall, i la relació de dispersió vé donada per:

(ω²−k²c²_asin²θ)(ω⁴−k²(c²_a+c²_s)−c²_ac²_sk⁴sin²θ) = 0 (48) on c_a és la velocitat de Alfvén:

ca= B0

√ρµ (49)

ic_s, la velocitat del só (c_s= qγRT

˜

µ ). Tenint en compte les condicions físiques del medi considerat, els valors d'aquestes velocitats són: c_a= 2190 km/sic_s= 166 km/s, es a dir,c_a >> c_s.

La relació de dispersió (48) es pot separar en dos. El primer parèntesi correspon a la relació de dispersió de les ones d'Alfvén:

ω =caksinθ (50)

mentres que el segon correspon a la relació de dispersió de les ones magnetoacústiques:

ω² = k²

2 (c²_a+c²_s)±k² 2

p(c²_s+c²_a)²−4c²_sc²_ak²sin²(θ) (51) A partir de la relació de dispersió de les ones magnetoacústiques podem obtenir dues ones: la ona ràpida, que correspon al signe positiu, i la ona lenta, que correspon al signe negatiu. Per propagació paral·lela al camp magnètic, la relació de dispersió és:

1. Ona ràpida: ω =c_ak 2. Ona lenta: ω=csk

13