Oppsummering MAT111

Oppsummering MAT111

November 19, 2020

Hensikt

I Hensikten med denne oppsummeringen er b˚ade ˚a gi en oversikt over og trekke linjer mellom ulike deler av pensum og

˚a hjelpe dere i eksamensforberedelsene.

I Viktig: ˚A forberede seg til eksamen = ˚a lære seg og forst˚a (mest mulig av) pensum i kurset, og bruke oppgaver dere har f˚att i løpet av semesteret som støtte i dette

I Bruk spesielt oppgavene gitt p˚a settene hver uke utenfor boken (merket G. og S.) og de fire obligatoriske

innleveringene, hvor det er gitt detaljerte løsningsforslag.

Notasjon i teksten:

I OII:3crefererer til Oppgave 3c i Oblig. innl. II.

I 36:S.1brefererer til Oppgave S.1b i Oppgavesett uke 36.

I 38:G.2arefererer til Oppgave G.2a i Oppgavesett uke 38.

I *bak en oppgave betyr at oppgaven st˚ar under “Mer dybde”

Tema i denne oppsummeringen

I Induksjon

I Komplekse tall; algebra, finne røtter, faktorisere polynom

I Grenser; definisjon, skvis, l’H

I Kontinuitet; skjærings- og ekstremalverdisetn.

I Derivasjon, sekantsetn. (med konsekvenser), implisitt, funksjonsdrøfting

I Taylor; feilestimat

I Inverse funksjoner

I Løsninger; hvor mange? numerisk: Newton og fikspunkt

I Integrasjon, Riemann summer; numerisk integrasjon.

I Fundamentalteoremet

I Integrasjonsteknikker; substitusjon, delvis integrasjon

I Uegentlige integraler; areal, volum

I Differensialligninger; separable, 1.ord. lineære

Matematisk induksjon

Marg i§2.3, se ogs˚a

folk.uib.no/nmabd/MAT111/20/notes/induksjon.pdf

I Brukes til ˚a bevise p˚astander som involverer heltall (ikke annet!)

OI:2; 34:S.3,G.2,G.11^∗; 41:G9*

Eks.

I summeformler (§5.1) OI:2b; 34:G.1, G.6

I n-te deriverte av funksjoner(spesielt viktig for ˚a finnente ordens Taylorpolynomer). Viktig ˚a kunne h˚andteren!, f.eks. bruke at n!(n+ 1) = (n+ 1)! OI:2a, 39:G.2; 2.6.15,16 i lærebok I Vær obs p˚a føring: Vis basistilfellet og la det s˚a være klart

hvordan induksjonstrinnet forekommer: Man ANTAR utsagnet for n=k og bruker antagelsen for ˚a VISE utsagnet for n=k+ 1.

Komplekse tall C (App. I)

Definisjonz =x+iy, regneregler, enkle ligninger, avmerking i det komplekse plan(OBS: fortegnene p˚ax ogy bestemmer kvadranten) OI:1ab; 34:S.1a,S.2,G.3a,G.4ac,G.5,G.7, G.8^∗-10^∗

Komplekse tall C (App. I) Polar form

I Polarform z =r(cosθ+isinθ) =re^iθ og multiplikasjon z1·z2 = r1e^iθ1·r2e^iθ2

= r1r2(cos(θ1+θ2) +isin(θ1+θ2)). Potenser: zⁿ=rⁿe^{i nθ} OI:1b; 34:S.1b,G.4b

Komplekse tall C (App. I) Finne røtter

I Finne n-te røtter av et tallc ∈C, dvs. løse zⁿ=c

ved ˚a bruke polarform: omc =re^iθ, s˚a er z =zk for en k = 0, . . . ,n−1, der

z_k =r^1/ne^{i(θn+2πkn )}.

OI:1c; 34:S.1c,G.3b,G.4c

Se https://www.geogebra.org/m/dcutmqtufor en illustrasjon der n= 5.

I Ikke bland inn komplekse tall med mindre det st˚ar eksplisitt oppgitt i oppgaven eller dere faktoriserer polynomer. (Resten av kurset omhandlerreellefunksjoner av ´en reellvariabel.)

Faktorisering av polynomer og polynomdivisjon (§P.6)

I r rot i polynometP(x)⇐⇒ P(x) = (x−r)Q(x) der Q(x) finnes ved polynomdivisjon. OI:1c

I Fundamentalteoremet i algebra (T.2 i App.II): OverCkan et polynom P(x) faktoriseres i lineære faktorer:

P(x) =K(x−r1)· · ·(x−rn),

der r1, . . . ,rn∈Cer (de komplekse) røttene tilP og K ∈Cer en konstant. OI:1d; P.6.7-8 i lærebok

I Over Rkan P faktoriseres i lineære og kvadratiske faktorer (tekst etter T.1 i P.6). OI:1d, 34:G.8^∗

Faktorisering av polynomer og polynomdivisjon-annen bruk

I −δ-oppgaver limx→af(x) =Lmedf polynom eller rasjonal funksjon: faktoriserer ut|x−a|fra|f(x)−L|

|f(x)−L|=|x−a|g(x)

og kontroll´erg(x) f.eks. ved kurvedrøfting. 35:G.1

I Grenser av kvotienter _g^f(x)_(x) der vi faktoriserer ut samme faktor i f(x) ogg(x) og forkorter. 36:G.2a; 41:G.1a,G.2a

I Integrasjon og funksjonsdrøfting 4.6.19 i lærebok¹ og:

polynomdivisjon gir

x³+ 2x²+x−1

x²−1 =x+ 2 +2x+ 1 x²−1

I Integrasjon: faktorisering før delbrøsoppspalting.

1s˚ax+ 2 er skr˚a asymptote (§4.6)

− δ definisjon av grenser, §1.5

I Def. lim

x→af(x) =Lbetyr

til enhver >0 finnes δ >0 (kan avhenge av) s.a.

(∗) 0<|x−a|< δ, x∈D_f ⇒ |f(x)−L|< .

I Bruk av def. p˚a enkle funksjoner.² O.I:4, 35:G.1-3, 41:G.7d, 47:G.7b

I Vær obs p˚a føring!

Gitt >0, m˚a man “finne” δ >0 slik at (∗) er oppfylt.

2Som oftest: faktoris´er ut|x−a|fra|f(x)−L|

− δ definisjon av grenser, §1.5 (forts.)

I Bruk av def. til ˚a viseandre resultater (f.eks.

grensesetningene T.2 i §1.2, skviseloven T.4 i §1.2, T.7 i

§1.4...) OI:7; 39:G.6c^∗; 44:G.2^∗ 1.5.31-38^∗i lærebok

I Bruk av definisjon til ˚a vise at en grense ikkeeksisterer:

x→0limsin 1

x

eller limx→∞sinx. 37:G.1a

I Bruk av definisjon til ˚a avgjøre grenser og kontinuitet av mer kompliserte funksjoner 36:G.7^∗,G.9^∗.

3Eksemplene p˚a denne siden regnes som vanskelig del av eksamen; en god intuitiv forklaring vil ofte ta deg langt.

Grenseverdier: hovedteknikker

I Grensesetningene (T. 2 i§1.2), ogs˚a forx→ ±∞ og ensidige grenser. Husk muligheten ˚a forkorte felles faktorer i teller og nevner. OI:3; 36:G.2a; 41:G.1a,G.2a

I Skviseloven (T. 4 i §1.2), ogs˚a forx → ±∞og ensidige grenser. Brukes typisk n˚ar en faktor “svinger” men er begrenset, somf(x) =xsin ¹_x

OI:3e; OIII:2; 36:G.8^∗; 37:G.1abc,G.2(i)(ii); 41:G.7c

I l’Hˆopitals regler (4.3) (b˚ade n˚ar x→a og x→ ±∞, og for ensidige grenser) §4.3 (husk betingelsene)

OIII:2; 41:S.1-2,G.1bc,G.2b,G.4c,G.7,G.8^∗-10^∗; 43:S.1,G.3,G.6a^∗; 46:G.3a

Grenseverdier: andre teknikker

I lim

x→af(x) =L⇐⇒ lim

x→a⁻f(x) = lim

x→a⁺f(x) =L(T. 1 i §1.2)

(Typisk hvisf har forskjellig uttrykk p˚a høyre og venstre side ava) 36:G.2bc,G.3, 37:G.4

I x → ±∞: isol´er høyeste potens avx. 36:S.1

I n˚ar teller→76= 0 og nevner→0 med konstant fortegn:

f(x)→ ∞ ellerf(x)→ −∞ 1.3.13-14,21-22 i lærebok I kontinuitet! “grensen kan trekkes inn” limf(g(x)) vs

f(limg(x)) (T.7 i§1.4) 4.3.29,32 i lærebok. Feks.

x→0lim(sinx)^tanx = lim

x→0e^tanxln(sinx) =^∗ e^{limx→0tanxln(sinx)}

Kjente grenser

I T. 8 i§2.5

x→0lim sinx

x = 1,

(ikke l’H: vi trenger denne for ˚a kunne derivere sin.)

I T. 5 i§. 3.4: Hvem vinner ave^x,x^a,lnx?

xlim→∞

x^a

e^x = 0, lim

x→∞

lnx

x^a = 0, lim

x→−∞|x|^ae^x = 0, lim

x→0⁺x^alnx= 0.

(her er l’Hˆopitals regler ok) 3.4.1-3,5, 4.6.33,40 i lærebok

Grenseverdier: bruk

I Avgjøre om f er kont. ia vha. definisjon.

OI:5b, OI:6a; OIII:2; 36:G.2b,G.8^∗; 37:G.1b,G.2(i)(ii),G.4; 39:S.1;

41:S.1-2a,G.1b,G.2c; 43:S.1,G.6a^∗; 44:G.1a; 46:G.3a

I Avgjøre om f er deriv´erbar ia (og evt. regne utf⁰(a)) vha.

definisjon.

OI:6b; OIII:2; 36:G.2c,G.3b,G.8^∗; 37:G.1d,G.2,G.4; 39:S.1;

41:S.1-2,G.1c; 43:S.1; 44:G.1a I Beregning av uegentlige integraler

46:G.1b,G.2c,G.3d,G.7^∗; 47:G.4c,G.5b I Finne asymptoter OIII:2e; 41:G.6a;

I Avgjøre eksistens av globale ekstremalverdier, skissere graf

OII:4; 41:G.4c,G.6bc; 42:G.7cd; 44:G.1b-c; 46:G.3b

Kontinuitet-basisresultater §1.4

I Definisjon kont. i punkt a:

x→alimf(x) =f(a)

OI:6a,7; OIII:2; 36:G.2b,G.8^∗; 37:G.1b,G.2(i)(ii); 39:S.1;

41:S.1-2a,G.1b,G.2c; 43:S.1,G.6a^∗; 44:G.1a; 46:G.3a I “f kont.” betyr

“f kont. i alle punkter i sin def.mengde” 41:G.2c I “f kont. p˚aI” betyr “f begrenset til I er kont.”

I T.7 i §1.4:

limf(g(x)) =f(lim(g(x))

hvis f kont. iL= limg(x). (“Grensen trekkes inn i en kont.

funksj.”)

Viser at sammensetninger av kont. funksjoner er kont.

I Konstante funksjoner,x og |x|er kontinuerlige (lett ved def.!)

Kontinuitet-basisresultater (forts.)

I Deriv´erbar ⇒ kontinuerlig, s˚a f.eks.

I polynomer og rasjonale funksjoner

I Trigonometriske funksjoner

I “Integralfunksjoner”F(x) =Rx

a f(t)dt hvisf er kont.

(Fund.teoremet§5.5), spesielt lnx=Rx 1

dt t (§3.3)

I a^x =e^xlna og log_ax= ^ln_ln^x_a

I T.6-7 i §1.4: kombinasjoner av kont. funksjoner(ved aritmetiske regler som ±,·, /, røtter, absoluttverdi og sammensetninger) er kontinuerlige.

I Inverse funksjoner til kont. funksjoner er kont. (39:G.6c^∗, st˚ar dessverre ikke eksplisitt i boken).

Kontinuitet: Skjæringssetningen (IVT, T.9 i §1.4)

f kont. p˚a[a,b]

=⇒ for enhver d mellom f(a) og f(b) finnes c ∈[a,b]s.a.

f(c) =d

dvs. “f antar alle verdier mellom f(a) ogf(b)”

Geometrisk: grafen til en kontinuerlig funksjon er sammenhengendep˚a intervaller

Kontinuitet: Skjæringssetningen/IVT (IVT, T.9 i §1.4)

f kont. p˚a[a,b]

=⇒ for enhver d mellom f(a) og f(b) finnes c ∈[a,b]s.a.

f(c) =d

I Bruk: vise at f har nullpunkt i [a,b] (f(a) og f(b) har motsatt fortegn). OIII:2b; 40:G.2a;G.5a; 41:G.6d; 45:G.7

I Lignende: vise at ligningf(x) =g(x) (medf og g kont.!) har løsning ved ˚a bruke skjæringssetn. p˚ah(x) =f(x)−g(x).

OI:5c; OII:2; 36:G.5^∗; 38:G.1,G.4(2); 40:S.1a,G.7b; 41:G.4d,G.6d;

47:G.7c

I Brukes i bevis, som f.eks. for sekantsetningen/Rolles teorem (T.2.8.15) og MVT for integraler, og i teoretiske spørsm˚al

36:G.4,G.5,G.6^∗; 37:G.6^∗; 2.8.29^∗i lærebok

Kontinuitet: Ekstremalverditeoremet/Max-Min (T.8 i §1.4)

f kont. p˚a[a,b] =⇒ finnes p,q ∈[a,b]slik at f(p)≤f(x)≤f(q) for alle x ∈[a,b]

(dvs. f oppn˚ar maks. og min.)

I Bruk: begrunne at maks. og min. forekommer

38:G.7b; 41:G.3a

I Bruk: kan konkludere at f erbegrenset (siden

|f(x)| ≤K = max{|f(p)|,|f(q)|}).

Nyttig ˚a bruke i mange tilfeller (eks. estim. av restledd i Taylors formel, feilestimering i numerisk integrasjon; her bruker vi at en høyere derivert er kontinuerlig og dermed begrenset)

og i bevis (f.eks. for Rolles teorem (T.2.8.15)eller fundamentalteoremet)

Deriv´ erbarhet-basisresultater §2.1-6

I Def f deriv´erbar ix dersomf⁰(x) = limh→0 f(x+h)−f(x) h

eksisterer.

I Betyr at grafen til f har entangentlinje(grensen til sekantlinjene) i (x,f(x)) med endelig stigning, f⁰(x). OI:5a

OBS Husk hvordan man finner ligning til en linje med gitt stigning i et punkt 36:G.1; 42:G.11^∗; 46:G.9^∗

Deriv´ erbarhet-basisresultater (forts.)

I Dersom grensen limh→0 f(x+h)−f(x)

h ikke eksisterer, men er∞ eller −∞, har grafen til f en vertikal tangentlinje i (x,f(x)).

I Dersom grensen lim_h→0 ^f(x+h)−f_h ^(x) ikke eksisterer, og er heller ikke∞ eller −∞, har grafen til f ingentangentlinje i (x,f(x)).

Deriv´ erbarhet-basisresultater (forts.)

I M˚a kunne bruke def. av derivert, spesielt i tilfeller derf

“skifter uttrykk” i et punkt OI:6b; OIII:2b; 36:G.2c,G.3,G.8^∗; 37:G.1d,G.2,G.4; 39:S.1; 41:S.1-2a,G.1c; 43:S.1; 44:G.1aeller i mer teoretiske betraktninger 38:G.8^∗, 39:G.7^∗, 40:G.8^∗; 44:G.4^∗.

I Viktig(T.1 i§2.3): f deriv. i x ⇒ f kont. ix. 36:G.5

Motsatt gjelder ikke: 38:G.7a

(begge kont. men ikke deriv. i 0)

Deriv´ erbarhet-basisresultater (forts.)

I Derivasjonsregler i§2.3-6,§3.3,5-6, spesieltKjerneregel(§2.4)

OIV:1 ++++

I For ˚a beregne _dx^d f(x)^g(x), skriv om som

f(x)^g(x)=e^ln(^f(x)g(x)) =e^{g(x) lnf(x)} og bruk kjerneregel.

43:G.2(ii); 3.3.43,48,61 i lærebok

I Mer senere: Derivasjonsregel for invers funksjon

I Mer senere: Derivasjonsregel for “integralfunksjoner”

d dx

Rx

a f(t)dt (Fund.teoremetT. 5 i§5.5)

Deriv´ erbarhet: Implisitt derivasjon §2.9

I Ligning med to størrelser, eks. x og y, som beskriver kurve i planet. Stundom vil kurven definere den ene, f.eks. y, som funksjon av den andre. ⁴ ˚A derivere implisitt betyr at vi deriverer begge sidene av ligningen mhpx, og m˚a derfor bruke kjerneregel der y dukker opp. (Eks. _dx^d y= ^dy_dx,

d

dxy²= 2y^dy_dx, _dx^d (cosy) =−siny^dy_dx osv....)

OII:3; 37:G.3; 40:G.7a; 42:G.6,G.8a^∗

I Kan f.eks. brukes til ˚a finne stigningen (og dermed ligningen) til tangenten til en kurve i planet i et bestemt punkt, siden ^dy_dx angir stigningen til tangenten. OII:3; 37:G.3; 40:G.7a; 42:G.6a I Brukes til ˚a finne derivert til inverse funksjoner (§3.3, 3.6),

ved ˚a bruke y=f⁻¹(x)⇔x=f(y). OII:4c; 41:G.10^∗ I Kan ogs˚a brukes, ved ˚a derivere videre, til ˚a finne høyere

ordens deriverte. 42:G.6b,G.8c^∗; 46:G.8^∗

4implisitt: vi har ikke eteksplisittuttrykky = uttrykk ix

Deriv´ erbarhet: Implisitt derivasjon (forts.)

I Noen ganger har vi en ligning med to størrelser, six og y, der begge er funksjoner av en tredje størrelse, si t (“tiden” i praktiske problemer). N˚ar vi deriverer ligningen mhpt, f˚ar vi en ligning som involverer ^dx_dt, ^dy_dt,x(t) og y(t).

I Ofte praktiske problemstilinger (“relaterte rater”§4.1):

I To avstanderx(t) ogy(t) (eller en vinkel) som er avhengige av tiden og relatert til hverandre med en ligning. (Husk trigonometriske betraktninger)

I Volum av vann i vannkarV(h) er funksjon av vannhøydeh, som igjen er funksjon av tident. Ofte kombinert med rotasjonslegemer.

40:G.1,G.3,G.6; 45:G.5; 47:S.5b

Deriv´ erb.: Sekantsetningen (MVT, T.2.8.11)

f kont. p˚a[a,b], deriv. p˚a(a,b) =⇒ finnes c∈(a,b)slik at f⁰(c) = f(b)−f(a)

b−a

I Geometrisk tolkning: finnes punktc der tangentlinjen til grafen har samme stigning (nemlig f⁰(c)) som sekantlinjen mellom (a,f(a)) og (b,f(b)) (nemlig ^f(b)−f_b−a^(a)).

I Praktisk tolkning: har man kjørt med gjennomsnittsfartv, s˚a har man p˚a ett eller annet tidspunkt kjørt med

(momentan)fartv. 38:G.4(1)

Deriv´ erbarhet: Sekantsetning/ (MVT) (forts)

f kont. p˚a[a,b], deriv. p˚a(a,b) =⇒ finnes c∈(a,b)slik at f⁰(c) = f(b)−f(a)

b−a

I Rolles teorem er spesialtilfellet medf(a) =f(b), som gir f⁰(c) = 0 for en c ∈(a,b). Denne versjonen av

sekantsetningen brukes ofte. 38:G.2 +++

I Den generaliserte sekantsetningen(T. 16 i §2.8) bruker vi for utledningen av l’Hˆopital.

Konsekvenser av sekantsetning: bestemme monotoni

I Avgjøre om en deriv´erbar funksjon er voksende/avtagende:

funksjonsdrøfting. (T. 2.8.12, “Kor. I”) f⁰>0p˚a(a,b)⁵ og f kont. p˚a[a,b]

⇒ f strengt voksende p˚a [a,b]

(dvs. a≤x₁<x₂ ≤b ⇒f(x₁)<f(x₂)).

OII:2; OIII:2c,5b; 41:S.2d,S.3,G.3b,G.4a,G.6b;

42:S.2,G.1,G.3,G.10^∗-11^∗; 44:G.1ab; 47:G.11^∗

5

Viktig atf⁰>0 (hhv. <0) holderp˚a et helt intervallog ikke bare i ett punkt OIII:2; 2.8.30 i læreboken^∗

Konsekvenser av sekantsetn: antiderivasjon (“Kor II”)

I To antideriverte tilf (dvs. F s.a. F⁰=f) p˚a et intervall er like opp til en konstant. ⁶

38:G.8^∗; 44:G.3^∗; 3.5.50^∗i lærebok

Notasjon: det ubestemte integraletR

f(x)dx er en “generell antiderivert” til f.

I Fundamentalteoremet (T. 5.5.5) sier at enhver kontinuerlig funksjon f definert p˚a et intervallI haren antiderivert p˚aI, nemlig “arealfunksjonen”

F(x) = Z x

a

f(t)dt, for a∈I.⁷

Det er ikke alltid en slik antiderivert kan skrives ved hjelp av

“vanlige” funksjoner, dvs. uten “Rx a”.

6og er ˚arsaken til konstantenC som alltid dukker opp n˚ar vi finner ubestemte integraler

7Forskjellige valg avagir forskjellige antideriverte, like opp til en konstant.

Konsekvenser av (bevis) sekantsetning: finne maks/min

I ViktigT.14 i §2.8: f deriv´erbar i ˚apent intervall I med lokal maks/min i p∈I ⇒ f⁰(p) = 0.

I Viktig konsekvensT.6 i §4.4: Eventuelle(globale og lokale) ekstremalverdier kan forekomme kun i eventuelle

I endepunkter i def. mengden,

I kritiske/stasjonære punkter (derf⁰= 0),

I singulære punkter (derf⁰ ikke eksisterer).

OIII:2; 41:S.2d,S.3,G.4a; 44;G.1ab

I Kombin´er eventuelt medEkstremalverditeoremetsom garanterer atmaks og min forekommer (nødvendigvis i noen av punktene ovenfor) n˚ar f er kont. p˚a lukket, begrenset intervall.

Andre anvendelser av sekantsetning/Rolles teorem

I Vise ulikheter: Hvis|f⁰| ≤K i et intervall I, har man

|f(a)−f(b)| ≤K|b−a| for alle a,b ∈I.

OII:1b; 38:G.5; 41:G.7b

I Dette siste, n˚ar K <1, sier at betingelse (ii) i Fikspunktteoremet(T. 1 i §4.2) er oppfylt40:S.2c,G.4 I Maks. antall nullpunkter: omf⁰(x)>0 p˚a et intervall er

funksjonen strengt voksende og kan ha maks ett nullpunkt der

OII:2; 38:S.1(1),S.2,G.1; 40:G.5a; 47:G.7c

I “Anvendte” spørsm˚al som involverer strekning og fart

38:G.4(1),G.10^∗

I Nyttig i mange teoretiske spørsm˚al

38:G.7c,G.8^∗-9^∗; 39:G.7^∗; 43:G.6b^∗

Taylorpolynom (§4.9-10)

I Taylorpolynom av orden n tilf om punktet x=a er P_n(x) =

n

X

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)ⁿ (forutsetter at alle deriverte ovenfor eksisterer).

OIII:4; 42:S.1a,G.2a,G.4a,G.5b,G.7e,G.8c^∗,G.9^∗; 44:S.2; 46:G.8^∗; 47:S.3ab,G.7e;

I Dette er det entydige polynomet som oppfyller at de første n deriverte i aer lik de første n deriverte tilf i a.

I Taylorpolynomet av orden 1 kalles ogs˚a den lineære tilnærmingen til f i a (kaltL(x) i§4.9), og er ligningen til tangenten til grafen til f i (a,f(a));

y =f(a) +f⁰(a)(x−a).

Taylors formel med restledd (§4.9-10)

I Taylors teorem (T. 12 i §4.10): f(x) =P_n(x) +E_n(x) der E_n(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(s)

(n+ 1)! (x−a)ⁿ⁺¹ for ens mellom x oga.

42:S.1a,G.2a,G.4b

I Sier: “f(x)≈P_n(x) med feilE_n(x)”. 42:S.1b,G.2,G.4a I Ved ˚a begrensef⁽ⁿ⁺¹⁾(s) (for alles mellom x oga), kan vi

begrense En(x) og dermed gi et overslag over feilen og mer presist angi et intervall der f(x) ligger uttrykt ved Pn(x).

Hvis f.eks. m≤f⁰⁰(x)≤M for allex i et ˚apent intervallI som inneholder a, da vil ogs˚am≤f⁰⁰(s)≤M, slik at

f(a) +f⁰(a)(x−a) +m

2(x−a)²≤f(x)≤f(a) +f⁰(a)(x−a) +M 2(x−a)²

for allex ∈I. Dette kan brukes til ˚a angi et intervall derf(x) ligger.

OIII:4; 42:S.1b,G.2,G.4ab,G.5c,G.9^∗; 44:S.2; 47:S.3ab

Entydighet av Taylorpolynomer

I T. 13 i §4.10: Taylorpolynomet Pn(x) om x =a er det eneste polynomet av grad≤n som oppfyller at

|f(x)−Pn(x)| ≤K|(x−a)ⁿ⁺¹|for en konstant K >0i en omegn om a.

I Kan brukes til ˚a beregne nye Taylorpolynomer vha gamle og beregne grenser (slutten av §4.10).

Funksjonsdrøfting, §4.3-4.6

For en oversikt, se

folk.uib.no/nmabd/MAT111/fudr/funksjonsdrofting-handout.pdf OII:4; OIII:2; 41:S.2,S.3,G.3,G.4,G.5,G.6; 42:G.7; 44:G.1abc; 46:G.3,G.9a^∗; 47:G.7a

I Avgjøre (strengt) voksende/avtagende

I Finne lokale og globale maks/min, se ovenfor.

I Avgjøre krumning (vha. dobbeltderivert)

I Finne mest mulig informasjon om graf, eks. asymptoter, grenser mot ±∞....

I Husk at symmetrier kan gjøre betraktningene enklere!

Generelt er det ofte lurt ˚a tenke enkelt!

Funksjonsdrøfting, §4.3-4.6 (forts.)

I Ofte ikke egen oppgave, men del av andre (eks. finne hvor mange løsninger en ligning har=finne antall nullpunkt til funksjon; studie av restledd i Taylors formel; vurdering av fortegn p˚a feil i Newtons metode og trap´esregelen, estimering av feil i numerisk integrasjon) OI:5c; OII:1c,4de; OIII:3, 4b;

38:S.1(1),S.2; 40:S.1a,G.2a,G.5,G.7b; 41:G.6d; 45:G.7a; 47:G.7c I Kan være et “praktisk” Maks/Min-problem (§4.8). Viktig ˚a

begrunne at verdien man finner er maks/min (kan være min.

mens man leter etter maks.). OIII:3; 42:S.2,G.1,G.3,G.10^∗-11^∗; 47:G.11a^∗

Inverse funksjoner

Def. Funksjon f med defmengdeD(f) er´en-til-´en hvis x₁ 6=x₂ ∈D(f)⇒f(x₁)6=f(x₂) ⁸

For ´en-til-´enf kan vi definere deninverse funksjonen f⁻¹ ved f⁻¹(y) = den entydige x ∈D(f) slik at f(x) =y for alley ∈V(f) (verdimengden til f), dvs.

(∗) f⁻¹(y) =x ⇐⇒f(x) =y

I (*) sier ogs˚a: “f er den inverse til f⁻¹”, m.a.o. f⁻¹−1

=f

I (*) sier ogs˚a: f(f⁻¹(y)) =y og f⁻¹(f(x)) =x Ekslne^x =x og e^lnx =x 39:G.1

8ekvivalent: omx1,x2∈D(f) medf(x1) =f(x2) s˚a erx1=x2. (Geometrisk: horisontale linjer skjærer graf tilf i høyst ett punkt)

Inverse funksjoner (forts.)

I Egenskapen

(∗) f⁻¹(y) =x ⇐⇒f(x) =y bruker vi ofte: f.eks.

I lnx=y ⇐⇒e^y =x,

I x=asinθ⇐⇒ ^x_a = sinθ⇐⇒θ= sin^{−1 x}_a n˚ar vi substituerer i integraler (§6.3)

I N˚ar vi “integrerer iy-retning” for ˚a beregne arealer og volumer og skriver ligningene til kurvene som grafer til funksjoner avy 45:G.6a

Inverse funksjoner: eksempler §3.2-3, 3.5

I e^x = exp(x),x ∈R er invers tillnx:=Rx 1

1

x dx,x ∈(0,∞)

I sin⁻¹(x), x∈[−1,1]er invers tilsinx,x ∈[−^π₂,^π₂]

I tan⁻¹(x),x ∈R er invers tiltanx,x∈(−^π₂,^π₂)

I Husk de deriverte av disse.

Inverse funksjoner: egenskaper

I f og f⁻¹ har ombyttede definisjons- og verdimengder

OII:4; 41:G.6e,G.10^∗

I Grafene tilf og f⁻¹ er speilbilder av hverandre om linjen x =y OII:4; 41:G.6e

Inverse funksjoner til kont. funksjoner er kont. ⁹

939:G.6c^∗, st˚ar ikke eksplisitt i boken, men sier tilsvarende for deriv´erbare funksjoner

Inverse funksjoner: egenskaper (forts.)

I Derivasjonsregel for invers funksjon: dersom f⁻¹ er invers funksjon til f og f⁰(f⁻¹(x))6= 0, da er

d

dxf⁻¹(x) = 1 f⁰(f⁻¹(x))

(litt gjemt i en boks i §3.1). Denne utledes ved ˚a sette y =f⁻¹(x) og bruke implisitt derivasjon p˚ax =f(y).

OII:4; 41:G.10^∗; 42:G.8ab^∗; 3.1.29 i lærebok

˚ A finne uttrykket for den inverse funksjonen

I Løsey =f(x) med hensyn p˚ax og f˚a ut x=f⁻¹(y). ¹⁰

41:G.5b,G.6e; 3.1.9,11,21,23 i bok

10Ofte er ikke dette mulig, s˚a ikke gjør det med mindre dere blir bedt om det!

˚ A vise at en invers eksisterer = ˚ a vise ´ en-til-´ en

I Vis algebraisk atf(x₁) =f(x₂)⇒ x₁=x₂. 3.1.9,11,21,23 i bok

Ofte vanskelig, men ofte lett ˚a bruke motsatt vei, dvs. finne x₁6=x₂ medf(x₁) =f(x₂), som viser at f ikkeer ´en-til-´en.

OII:4

I Vis at f er ´en-til-´en ved ˚a vise atf er strengt voksende eller strengt avtagende (Sekantsetning)OII:4; 41:G.5b,G.6e,G.10^∗; 43:G.4a

(NB: derivert-testen gjelder bare intervallvis) 43:G.4b

(p˚a intervaller erkont. fu. f ´en-til-´en⇔ f enten strengt voks.

eller strengt. avt.) 39:G.6ab^∗; 43:G.4b

Løsninger p˚ a ligninger/nullpunkter til funksjoner

I For ˚a løse en ligning er det ofte lurt ˚a omforme det til et uttrykk p˚a formenf(x) = 0.

I Er f kontinuerlig, kan man vise eksistens av løsning ved skjæringssetning og man kan lokalisere løsningen i et intervall (a,b) ved ˚a vise atf(a) og f(b) har motsatt fortegn.

OI:5b; OII:2; OIII:1b; 38:S.1,G.1,G.4b; 40:S.1a,G.2a,G.5a,G.7b;

41:G.4d,G.6d; 45:G.7a; 47:G.7a;

I Er f deriv´erbar, kan man drøftef (finne hvor f er voksende og avtagende) for ˚a angi maks antall løsninger.¹¹ OI:5c;

38:S.1,S.2,G.1,G.4b; 40:S.1a,G.2a,G.5a,G.7b; 41:G.4d,G.6d; 45:G.7a;

47:G.7c

11Ofte m˚a man kombinere med sunn fornuft, f.eks. vilf(x) = ¹₂x+ sinx variere mellom ˚a være voksende og avtagende, men det er lett ˚a se at den ikke har nullpunkter p˚a (0,∞).

Løsninger p˚ a ligninger/nullpunkter til funksjoner (forts.)

I NB: P˚a oppgaver som ikke involverer beregninger, men ˚a begrunne eksistens av løsninger, er det spesielt viktig at man nevner hvilket teorem man har brukt (f.eks.

skjæringssetningen) og at forutsetningene for ˚a bruke det er oppfylt (f.eks. kontinuerlig funksjon)

I Merk: Noen ganger er det ˚a avgjøre om en ligning har en løsning en del av et annet spørsm˚al:

I sjekkeomen funksjon har ekstremalverdier OIII:3

I sjekkeomen kurve i planet gitt ved en ligning F(x,y) = 0 skjærer f.eks. y-aksen (harF(0,y) = 0 noen løsninger?) OII:2;

40:G.7b

I Merk: ˚A avgjøre omen løsning finnes ellerhvor mange løsninger finnes, erikke det samme som ˚a ˚a løse ligningen eller finne tilnærmede verdier p˚a løsningen(e). Ikke gjør dette med mindre dere blir bedt om det!

Løsning p˚ a ligning form f (x ) = 0: Newtons metode §4.2

I Newtons metode x_n+1=x_n−^f_f^(x0(xⁿn⁾, ved ˚a starte i et punkt x₀, kan brukes til ˚a finne tilnærmede verdier til et nullpunkttilf

OIII:1; 40:S.1b,G.2b,G.5b,G.7b; 42:G.4c; 45:G.7c; 47:G.7d I Krumning og monotoni til graf avgjør om den tilnærmede

løsningen er for stor eller for liten i forhold til den riktige verdien av nullpunktet. OIII:1; 40:S.1b,G.2b; 42:G.4cSe

folk.uib.no/nmabd/MAT111/Newton/newton-FPI-handout.pdf

Løsning p˚ a ligning form f (x ) = 0: Newtons metode (forts.)

I V kan brukeskjæringssetningen til ˚a avgjøre om den

tilnærmede løsningen er korrekt med et visst antall desimaler:

˚A hevde f.eks. at nullpunktet er 0.5641 med 4 desimalers nøyaktighet, er det samme som ˚a hevde at nullpunktet ligger i intervallet [0.56405, 0.56415).

Boken og løsningsforslag (grr) p˚a tidligere eksamensoppgaver er litt late p˚a dette punktet, se heller igjen

folk.uib.no/nmabd/MAT111/Newton/newton-FPI-handout.pdf OIII:1; 40:G.5b,G.7b; 45:G.7c

Husk atomlimn→∞xn=Ls˚a erf(L) = 0.

Løsning p˚ a ligning form f (x ) = x : Fikspunktiterasjon §4.2

I Fikspunktenetil en funksjonf er løsningene til f(x) =x.

OIII:1; 40:S.2a,G.4

I Da kan man bruke Fikspunktiterasjon x_n+1 =f(x_n), ved ˚a starte i et punkt x₀, for ˚a finne en tilnærmet verdi p˚a en løsning. OIII:1; 40:S.2b

I Monotoni tilf avgjør om vi har trappekonvergens(venstre) eller spiralkonvergens(høyre).

Løsning p˚ a ligning form f (x ) = x : Fikspunktiterasjon §4.2

I FikspunktteoremetT.1 i §4.2 garanterer (under visse betingelser) b˚ade at løsningen finnes og er entydig, og at følgen {x_n} i fikspunktiterasjonen konvergerer mot løsningen.

12 OIII:1; 40:S.2c,G.4

Merk: betingelse (ii) iFikspunktteoremetkan sjekkes vhja

Sekantsetningenhvis f er deriv´erbar med |f⁰| ≤K for en K <1, se

folk.uib.no/nmabd/MAT111/Newton/newton-FPI-handout.pdf. ¹³ Husk atomlimn→∞xn=Ls˚a erf(L) =L.

12dvs. xnkommer s˚a nær vi vil den virkelige løsningen barener stor nok.

13Merk ogs˚a (samme side) atSekantsetningenviser at iterasjonen ikke konvergerer dersom vi er i intervaller der|f⁰| ≥1.

40:S.2c,G.4

Riemannsummer og egenskaper bestemt integral (§5.2-4)

I Definisjon og beregning av (enkle) øvre og nedre (Riemann)summer P_n

i=1f(c_i)∆x_i (§5.3). 43:G.5^∗; 5.3.7,9 i bok I Definisjon av det bestemte integralet Rb

a f(x)dx som grensen av øvre (og nedre) summer.

Vi sier atf er integr´erbar p˚a [a,b] n˚ar disse grensene er like.

44:G.2^∗ I Viktig:

f er integrerbar p˚a [a,b] dersom

I f er kontinuerlig T.2 i§5.4 (bevis i MAT112)

I f er voksendeeller

I f er avtagende.

Riemannsummer og egenskaper bestemt integral (forts.)

I Geometrisk tolkning avRb

a f(x)dx som arealet mellom grafen tilf p˚a [a,b] ogx-aksen ¹⁴ 44:S.1,G.1d, ++

I Basisegenskaper til bestemt integral (§5.4): f.eks.

Ra

a f(x)dx = 0 , Rc

a f(x)dx =Rb

a f(x)dx+Rc

b f(x)dx, om f(x)≥0 forx ∈(a,b) s˚a er Rb

a f(x)dx ≥0 . . . 5.4.9,13 i lærebok ++

14telt negativt derf <0 eller hvisb<a

Fundamentalteoremet i kalkulus (T. 5 i §5.5), del I

Laf være kontinuerlig p˚a et intervall I som inneholdera. Da er funksjonenF(x) =Rx

a f(t)dt kontinuerlig og deriv´erbar p˚a I med F⁰(x) = d

dx Z x

a

f(t)dt =f(x).

OIV:1; 43:S.1,G.3,G.6^∗; 44:S.2,G.3^∗; 45:G.5; 47:G.11^∗

M.a.o. erF(x) den antideriverte tilf p˚aI som oppfyller F(a) = 0.

Fundamentalteoremet i kalkulus, del I (forts.)

I Mer generelt (kjerneregel medu =g(x)):

d dx

Z g(x) a

f(t)dt = d

du Z u

a

f(t)dt

·du

dx =f(g(x))·g⁰(x)

OIV:1,5c,6a; 43:G.4a; 47:G.7h I Enda mer generelt:

d dx

Z g(x) h(x)

f(t)dt =f(g(x))g⁰(x)−f(h(x))h⁰(x).

43:G.2(i)

Fundamentalteoremet i kalkulus, del I (forts.)

I Kan alts˚a jobbe med integralfunksjoner p˚a formen F(x) =Rh(x)

g(x)f(t)dt p˚a “vanlig m˚ate”, siden vi kan derivere dem, f.eks. kan vi funksjondrøfte dem, finne Taylorpolynomer osv... 43:G.1,G.4a,G.6b^∗; 44:S.2,G.3^∗;

I Varianter med kombinasjoner av andre funksjoner, f.eks.

1 x

Rh(x)

g(x)f(t)dt, kombinasjon med l’Hˆopitals regler, integralligninger.... 43:S.1,G.3,G.6^∗

Fundamentalteoremet i kalkulus (T. 5 i §5.5), del II

Bestemte integraler til kontinuerlige funksjoner kan beregnes vha antideriverte: finn hvilken som helst F slik at F⁰(x) =f(x) p˚a [a,b], da er Rb

a f(x)dx =F(b)−F(a).

44:S.1,G.1; 45:G.7,G.9; 46:G.2ab,G.9b^∗; 47:G.2a ++

I Husk: alle slike F er like opptil ˚a addere en konstant C, og vi skriver dem som R

f(x)dx =F(x) +C (“ubestemt integral”

eller “generell antiderivert”)

I Alle kontinuerlige f p˚a [a,b] har en antiderivert p˚a [a,b], nemligRx

c f(t)dt for en hvilken som helstc ∈[a,b] ved fundamentalteoremets del I,¹⁵

15men ikke allef har enelementærantiderivert, dvs. en antiderivert som kan uttrykkes vha kjente funksjoner uten ”Rx

c”. Dette gjelder f.eks. e^±x2. For slike funksjoner m˚a bestemte integraler regnes ut vha approksimasjoner

(Trap´esmetoden, Simpsons metode). Men ikke gjør det med mindre dere blir bedt om det.

Integrasjons/antideriveringsteknikker §5.6, 6.1-3

Se oversikten p˚a

folk.uib.no/nmabd/MAT111/int/integrasjon.html

I Substitusjon§5.6, 6.3: Tenk enkelt, gjenkjenn deriverte av uttrykk i integranden (da er uttrykket en god kandidat til u) og prøv deg gjerne frem med flere forsøk.¹⁶

Inverse substitusjoner er ogs˚a substitusjoner. OIV:2;

44:S.1a,G.1d; 45:G.7b; 46:G.1(a2),G.3d ++

I Delvis integrasjon§6.1brukes n˚ar integranden er et produkt der den ene faktoren forenkles ved derivasjon og den andre ikke blir mye verre ved integrasjon.

OIV:2d; 45:S.1ab; 46:G.2b,G.9b^∗; 47:G.4b ++

I Prosedyre for rasjonale funksjoner §6.2: polynomdivisjon, delbrøksoppspalting og fullføring av kvadrat. Se

folk.uib.no/nmabd/MAT111/int/Intrasjfn-handout.pdf 46:G.1(a1),G.4a; 47:G.4a, G.10a

16Husk at man ikke bare substituerer innu for et utrykk i integranden, men ogs˚a differensialet etter regelen “du= ^du_dx dx” eller “dx= ^dx_du du”.

Integrasjons/antideriveringsteknikker (forts.)

I Man m˚a ofte kombinere flere av teknikkene. Husk fullføring av kvadrat for ˚a omformeax²+bx+c tilAu²+B.

I Eksamen vil ikke inneholde oppgaver som krever triks eller geniale substitusjoner, i s˚a fall vil hint bli gitt.

I Husk “elementære antideriverte”, dvs. dem vi kjenner fordi vi har lært den deriverte av en funksjonEks (fora>0)

Z dx

a²+x² = 1

atan⁻¹ x a +C

46:G.1(a1); 47:G.2a

I P˚a “nakne” integrasjonsoppgaver: Null poeng for ˚a sl˚a opp i permen i læreboken. Integraler skal utledes vha “elementære antideriverte” og teknikkene dere har lært.

Uegentlige integraler (§6.5)

To typer

I R∞

a f(x)dx = lim_R→∞

R_R

a f(x)dx

I Rb

a f(x)dx = lim_c→a⁺Rb

c f(x)dx (n˚ar f ikke def. ia)

˚A beregne disse betyr bare ˚a først finne et bestemt integral og s˚a ta en grense (som ikke trenger eksistere). 46:G.2c,G.3d,G.7^∗; 47:G.4c,G.5b

I “p-integralene”Ra 0

dx

x^p og R∞ a

dx

x^p for forskjellige p er kjent (T.

2 i§6.5). ¹⁷

I Noen ganger er vi kun interessert i ˚a vite om integralet konvergerer (=grensen finnes) eller divergerer mot∞ (grensen er ∞), og sammenligner med en kjent funksjon, gjerne 1/x^p (“Sammenligningsteoremet” T.3 i §6.5)

46:G.1b; 47:G.7i; 6.5.30,31,35 i lærebok

17disse trenger vi imidlertid ikke ˚a huske, vi kan utlede dem n˚ar det trengs.

Areal (§5.7)

I Areal av omr˚ade i planet avgrenset av grafer/kurver ved bestemt integral. Viktig ˚a kunne finne skjæringspunkter mellom kurver. OIV:4; 44:S.1,G.1d; 46:G.2a

I Ofte kan det være lurt ˚a integrere i en “annen retning”.

Volum (§7.1)

I Volum av rotasjonslegemet som oppst˚ar n˚ar et omr˚ade i planet roteres om x- ellery-aksen: skivemetodeneller sylinderskallmetoden.¹⁸

OIV:4; 45:G.5,G.6a,G.7b,G.9^∗; 47:G.5a,G.6,G.8a,G.9

18bruk gjerne Riemann integral (“infinitesimale volumelementer”) istedenfor

˚a pugge uttrykk

Volum (§7.1)

I Husk at aksen til et rotasjonslegeme er gittog kan hetex eller y eller Per.

I I skivemetoden integrerer vilangsdenne aksen, mens

I for sylinderskall integrerer vinormalt p˚a aksen.

Eks Vannvolum i tank med vannhøydeh med skivemetoden integreres vertikalt.

OIV:4; 45:G.5,G.6a,G.9

Volum (forts.)

I Volumoppgaver kan ha en “anvendt vri”, som ˚a beregne volum av vann i en tank V(h) =Rh

0 . . .som funksjon av vannhøydenh, og regne ut relasjonen mellom endringsraten volum og vannhøyde mhp tiden t: ^dV_dt = ^dV_dh ·^dh_dt (“relaterte rater”, husk kjerneregel, og ˚a bruke fundamentalteoremet for

˚a regne ut ^dV_dh slik at man ikke trenger løse integralet!)

45:G.5,G.6,G.9; 47:S.5,G.6,G.8

I Omr˚ader kan være ubegrenset og uttrykkene man f˚ar er da uegentlige integraler (som kan konvergere eller divergere).

47:G.4c,G.5b

Differensialligninger og startverdiproblemer (§7.9)

I To typer “elementære”:

I y⁰(x) =f(x)⇒y(x) =R

f(x)dx (§2.10);38:G.3,G.6; 39:G.5^∗

I y⁰(x) =ky(x)⇒y(x) =Ce^kx (§3.4).

OII:5; 39:G.3,G.4^∗; 40:G.8^∗; 45:G.4a

I To typer generaliseringer i §7.9, med to løsningsmetoder:

I Separable(husk evt. konstante løsninger!)

OIV:5; 45:S.2b,G.1,G.3,G.8^∗, G.10^∗-13^∗; 46:G.4a,G.5; 47:S.4a;

7.9.4,6 i lærebok

I Første ordens lineære–løses ved ˚a gange ligningen med integrerende faktore^µ(x) slik at den ene siden i ligningen blir en derivert. OIV:6; 45:S.1c,G.2b,G.4c; 47:G.10b; 7.9.11,18 i lærebok

I Kanskje m˚a man omforme ligningen slik at den f˚ar ønsket form. 47:G.10b

Differensialligninger og initialverdiproblemer (forts.)

I De generelle løsningene vil inneholde en konstant C p˚a hvert intervall de er definert ¹⁹

I Initialverdiproblembetyr at man i tillegg har oppgitt en funksjonsverdi i et punkt, dvs. y(a) =y0, slik at man kan bestemme C (eller bruke bestemt integral). Løsningen er gyldig i det største intervallet som inneholder ader y(x) er definert og deriv´erbar.

OII:5; OIV:5; 38:G.3a,G.6; 39:G.3; 45:S.1cd,S.2,G.1-4,G.8^∗,G.10^∗-13^∗ I Initialverdiproblemet kan være utkledd som en integralligning,

dvs. en ligning med en funksjon og et integral: deriv´er og bruk fundamentalteoremets del I for ˚a f˚a ut en

differensialligning 7.9.21-22 i lærebok

19(pga. antiderivasjon i ett eller annet trinn; det er viktig ˚a sette innC i riktig trinn!).

Differensialligninger og startverdiproblemer (forts.)

I Noen ganger m˚a man kunne sette opp ligningen n˚ar man f˚ar opplyst f.eks. at en endringsrate er proporsjonal med noe. ²⁰ Dette vil (som oftest) involvere en ytterligere konstant K som vil dukke opp i løsningen i tillegg til integrasjonskonstanten C. Da trenger man to “startverdier” (evt. et forhold mellom to verdier) for ˚a bestemme begge konstantene. OII:5; OIV:5;

39:G.3,G.4^∗-5^∗; 45:S.2b,G.1-4,G.8^∗,G.11^∗-13^∗; 46:G.4-5,G.6^∗

I Spørsm˚al knyttet til løsningen: “Hva skjer med populasjonen n˚ar tiden g˚ar (mot ∞)?”, “N˚ar er vanntanken tom?”

OII:5; OIV:5; 38:G.3b; 39:G.3,G.4-5^∗;

45:S.1d,S.2b,G.1,G.2b,G.3,G.8^∗,G.11^∗-13^∗; 46:G.4b,G.5 47:S.4c I Problemet kan ogs˚a være “teoretisk formulert” vha.

egenskaper til en funksjon, som man da skal finne 40:G.8^∗; 44:G.4^∗; 45:G.10^∗

20F.eks. Newtons avkjølingslov(§3.4))

Numerisk integrasjon §6.6-7

I Benyttes f.eks. n˚ar vi ikke klarer ˚a finne en elementær antiderivert til en integrandf, f.eks. f(x) = cos(x²).

I Tre metoder i MAT111, alle starter med ˚a dele opp [a,b] i n like store delintervaller av breddeh = ^b−a_n :

I Midtpunktregelen²¹

I Trap´esregelen: tilnærmerf med en lineær funksjon gjennom endepunktene p˚a hvert delintervall. Krumningen tilf avgjør om den tilnærmede verdien blir for stor eller for liten.

47:S.2,S.3c,G.3,G.7g,G.11b^∗

I Simpsons regel: tilnærmerf med en kvadratisk funksjon gjennom endepunktene p˚a hvert par av delintervall. Den tilnærmede verdien er da sum av arealer under parabler.

47:S.1, S.4b,G.1

21er RiemannsummenP

f(ci)∆xi =P

f(ci)hderci er midtpunktet i hvert delintervall [xi−1,xi]) – ikke brukt noe særlig i MAT111

Numerisk integrasjon (forts.)

I Hver metode kommer med estimater p˚a feil ved tilnærmingen, som avhenger av en øvre skranke p˚a en høyere derivert tilf (som man da m˚a finne) og antall delintervaller n man benytter. 47:S.1bc,S.2,S.3c,G.2bc,G.7f,G.11b^∗

I Numeriske metoder kan ogs˚a brukes n˚ar vi ikke har et uttrykk for funksjonenf, men kun et endelig antall verdier avf, f.eks.

“m˚alinger” i en mer anvendt situasjon 47:G.1

Et annet alternativ er ˚a erstatte funksjonen med sitt Taylorpolynom og gi et estimat p˚a feilen.

Det var alt for denne gang

I Lykke til med forberedelsene.

I Jobb med oppgaver og pensum:

I praksis hjelper til ˚a forst˚a teori og

I teori hjelper til ˚a mestre ukjent praksis.

I Aldri vær fornøyd med “riktig svar” om du ikke forst˚ar hvorfor du kom derhen.

En god test p˚a om duforst˚ar: kan du forklare det til en annen s˚a hen forst˚ar det?!