7.9 Krumning og vendepunkter

(1)

7.9 Krumning og vendepunkter

Oppgave 7.90

a) ²

(4)

( ) 2 1

'( ) 2 2 ''( ) 2 '''( ) 0

0

f x x x

f x x

f x

f

= − +

⇓

= −

⇓

=

⇓

=

⇓

=

b) ³ ²

2

(4)

( ) 2 1

'( ) 3 2 2

''( ) 6 2 '''( ) 6

0

f x x x x

f x x x

f x x

f x

f

= − + +

⇓

= − +

⇓

= −

⇓

=

⇓

=

c) ⁴ ³ ²

3 2

2

(4)

( ) 2 3 2 3 2

'( ) 8 9 4 3

''( ) 24 18 4 '''( ) 48 18

48

f x x x x x

f x x x x

f x x x

f x x

f

= − + − +

⇓

= − + −

⇓

= − +

⇓

= −

⇓

=

Oppgave 7.91

Oppgave 7.92

a) –1 0 1 2 3 4 5

x

''( ) f x f

(2)

b)

Oppgave 7.93

a) _{f x}_{( )}_{= −}₂_x²₊₃_x₊₂ _⇒ _{f x}_{'( )}_{= − +}₄_x ₃ _⇒ _f _{''( )}_x _{= −}₄

Den hule siden vender ned for alle -verdier

Funksjonen har ingen vendepunkt og følgelig ingen vendetangent x

–3 –2 –1 0 1 2 3

x

''( ) f x f

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

x y

–3 –2 –1 0 1 2 3

x

''( ) f x

f

(3)

b) _{f x}_{( )}_{= − +}_x³ ₃_x² _⇒ _{f x}_{'( )}_{= −}₃_x²₊₆_x _⇒ _f _{''( )}_x _{= − +}₆_x ₆

( )

3 2

2

Den hule siden vender opp når 1 og ned når 1

(1) 1 3 1 2

Funksjonen har vendepunktet 1,2

Vendetangentens stigningstall: '(1) 3 1 6 1 3 3 Finner konstantleddet ved å sette inn koordinaten

x x

f

a f y x b

< >

= − + ⋅ =

= = − ⋅ + ⋅ = ⇒ = +

e til vendepunktet: 2 3 1 1 Likningen for vendetangenten er 3 1

b b

y x

= ⋅ + ⇔ = −

= −

–3 –2 –1 0 1 2 3

x

''( ) f x

f

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

x y

(4)

c) ^{f x}^{( )}⁼^x⁴⁻⁶^x² ^⇒ ^{f x}^{'( )}⁼⁴^x³⁻¹²^x ^⇒ ^f ^{''( ) 12}^x ⁼ ^x²⁻^{12 12}⁼ ^{⋅ + ⋅ −}

(

^x ¹

) (

^x ¹

)

( ) ( )

4 2 4 2

1

Den hule siden vender ned når 1 1

Den hule siden vender opp når 1 og når 1

( 1) 1 6 1 5 (1) 1 6 1 5

Funksjonen har vendepunktene 1, 5 og 1, 5

'( 1) 4 Vendetangentenes stigningstall:

x

x x

f f

a f

− < <

< − >

− = − − ⋅ − = − = − ⋅ = −

− − −

= − = ⋅

( ) ( ) ( )

3

1 1

3

2 2

2

1 1

2 2

1 12 1 8 8 '(1) 4 1 12 1 8 8

5 8 1 3

Likningene for vendetangentene er 8 3 og 8 3

y x b

a f

b b

y x y x

= +

− − ⋅ − = ⇒

= − +

= = ⋅ − ⋅ = −

− = ⋅ − + ⇔ =

⇒ − = − ⋅ + ⇔ =

= + = − +

- 10 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

x y

–3 –2 –1 0 1 2 3

x

12 1 1 ''( ) x x

f x

f +

−

(5)

Oppgave 7.94

a) ³ ²

[ ]

3 2

1 9

( ) , 0, 90

1200 80

1 9 315

(30) 30 30 78,8 Etter 30 dager er høyden til solsikka 78,8cm

1200 80 4

h x x x x

h

= − + ∈

= − ⋅ + ⋅ = ≈

b) ^{( )} ¹ ³ ⁹ ² ^{'( )} ³ ² ¹⁸ ¹ ² ⁹ ¹

(

⁹⁰

)

1200 80 1200 80 400 40 400

h x = − x + x ⇒ h x = − x + x= − x + x= − ⋅ ⋅ −x x

stiger i hele perioden, dvs at solsikka vokser hele tiden h

c) ₂ _cm

dag

1 9 9

(30) 30 30 4, 5 Vekstfarten til solsikka etter 30 dager er 4,5

400 40 2

h = − ⋅ + ⋅ = =

d) ₂

2

cmdag

1 9 1 9

'( ) ''( )

400 40 200 40

1 9

Maksimal vekstfart når ''( ) 0 0 200 45 0 45

200 40

1 9 81

'(45) 45 45 5,1

400 40 16

Solsikka vokser raskest etter 45 dager da vekstfarten er 5,1

h x x x h x x

h x x x x

h

= − + ⇒ = − +

= ⇒ − + = ⋅ ⇔ − + = ⇔ =

= − ⋅ + ⋅ = ≈

0 90 x

1 400

90 '( ) x x

f x f

−

(6)

e)

Oppgave 7.95 a)

[ ] ( ) ( )

Nullpunkter:

8 og 2

3 2 2

( ) 3 45 144 1000 , 0,11 '( ) 9 90 144 9 8 2

t t

B t t t t t B t t t t t

= =

= − + + ∈ ⇒ =− + = ⋅ − ⋅ −

( ) ( )

3 2 3 2

(2) 3 2 45 2 144 2 1000 1132 (8) 3 8 45 8 144 8 1000 808 har toppunktet 2,1132 og bunnpunktet 8,808

B B

B

= ⋅ − ⋅ + ⋅ + = = ⋅ − ⋅ + ⋅ + =

b) ²

2

dyr år

'( ) 9 90 144 ''( ) 18 90

Bestanden minker raskest når ''( ) 0 18 90 0 90 5 18 '(5) 9 5 90 5 144 81

Bestanden minker maksimalt med 81 etter 5 år

B t t t B t t

B t t t

B

= − + ⇒ = −

= ⇒ − = ⇔ = =

= ⋅ − ⋅ + = −

0 2 4 6 8 10 11

t

9 8 2 '( ) t t B t B

−

0 4 0 8 0 12 0 16 0 2 0 0 2 4 0 2 8 0 3 2 0

0 10 2 0 3 0 4 0 50 6 0 70 8 0 9 0

x dager y cm