7.9 Krumning og vendepunkter
Oppgave 7.90
a) 2
(4)
( ) 2 1
'( ) 2 2 ''( ) 2 '''( ) 0
0
f x x x
f x x
f x
f x
f
= − +
⇓
= −
⇓
=
⇓
=
⇓
=
b) 3 2
2
(4)
( ) 2 1
'( ) 3 2 2
''( ) 6 2 '''( ) 6
0
f x x x x
f x x x
f x x
f x
f
= − + +
⇓
= − +
⇓
= −
⇓
=
⇓
=
c) 4 3 2
3 2
2
(4)
( ) 2 3 2 3 2
'( ) 8 9 4 3
''( ) 24 18 4 '''( ) 48 18
48
f x x x x x
f x x x x
f x x x
f x x
f
= − + − +
⇓
= − + −
⇓
= − +
⇓
= −
⇓
=
Oppgave 7.91
Oppgave 7.92
a) –1 0 1 2 3 4 5
x
''( ) f x f
b)
Oppgave 7.93
a) f x( )= −2x2+3x+2 ⇒ f x'( )= − +4x 3 ⇒ f ''( )x = −4
Den hule siden vender ned for alle -verdier
Funksjonen har ingen vendepunkt og følgelig ingen vendetangent x
–3 –2 –1 0 1 2 3
x
''( ) f x f
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
x y
–3 –2 –1 0 1 2 3
x
''( ) f x
f
b) f x( )= − +x3 3x2 ⇒ f x'( )= −3x2+6x ⇒ f ''( )x = − +6x 6
( )
3 2
2
Den hule siden vender opp når 1 og ned når 1
(1) 1 3 1 2
Funksjonen har vendepunktet 1,2
Vendetangentens stigningstall: '(1) 3 1 6 1 3 3 Finner konstantleddet ved å sette inn koordinaten
x x
f
a f y x b
< >
= − + ⋅ =
= = − ⋅ + ⋅ = ⇒ = +
e til vendepunktet: 2 3 1 1 Likningen for vendetangenten er 3 1
b b
y x
= ⋅ + ⇔ = −
= −
–3 –2 –1 0 1 2 3
x
''( ) f x
f
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
x y
c) f x( )=x4−6x2 ⇒ f x'( )=4x3−12x ⇒ f ''( ) 12x = x2−12 12= ⋅ + ⋅ −
(
x 1) (
x 1)
( ) ( )
( ) ( )
4 2 4 2
1
Den hule siden vender ned når 1 1
Den hule siden vender opp når 1 og når 1
( 1) 1 6 1 5 (1) 1 6 1 5
Funksjonen har vendepunktene 1, 5 og 1, 5
'( 1) 4 Vendetangentenes stigningstall:
x
x x
f f
a f
− < <
< − >
− = − − ⋅ − = − = − ⋅ = −
− − −
= − = ⋅
( ) ( ) ( )
3
1 1
3
2 2
2
1 1
2 2
1 12 1 8 8 '(1) 4 1 12 1 8 8
5 8 1 3
5 8 1 3
Likningene for vendetangentene er 8 3 og 8 3
y x b
y x b
a f
b b
b b
y x y x
= +
− − ⋅ − = ⇒
= − +
= = ⋅ − ⋅ = −
− = ⋅ − + ⇔ =
⇒ − = − ⋅ + ⇔ =
= + = − +
- 10 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
x y
–3 –2 –1 0 1 2 3
x
12 1 1 ''( ) x x
f x
f +
−
Oppgave 7.94
a) 3 2
[ ]
3 2
1 9
( ) , 0, 90
1200 80
1 9 315
(30) 30 30 78,8 Etter 30 dager er høyden til solsikka 78,8cm
1200 80 4
h x x x x
h
= − + ∈
= − ⋅ + ⋅ = ≈
b) ( ) 1 3 9 2 '( ) 3 2 18 1 2 9 1
(
90)
1200 80 1200 80 400 40 400
h x = − x + x ⇒ h x = − x + x= − x + x= − ⋅ ⋅ −x x
stiger i hele perioden, dvs at solsikka vokser hele tiden h
c) 2 cm
dag
1 9 9
(30) 30 30 4, 5 Vekstfarten til solsikka etter 30 dager er 4,5
400 40 2
h = − ⋅ + ⋅ = =
d) 2
2
cmdag
1 9 1 9
'( ) ''( )
400 40 200 40
1 9
Maksimal vekstfart når ''( ) 0 0 200 45 0 45
200 40
1 9 81
'(45) 45 45 5,1
400 40 16
Solsikka vokser raskest etter 45 dager da vekstfarten er 5,1
h x x x h x x
h x x x x
h
= − + ⇒ = − +
= ⇒ − + = ⋅ ⇔ − + = ⇔ =
= − ⋅ + ⋅ = ≈
0 90 x
1 400
90 '( ) x x
f x f
−
−
e)
Oppgave 7.95 a)
[ ] ( ) ( )
Nullpunkter:
8 og 2
3 2 2
( ) 3 45 144 1000 , 0,11 '( ) 9 90 144 9 8 2
t t
B t t t t t B t t t t t
= =
= − + + ∈ ⇒ =− + = ⋅ − ⋅ −
( ) ( )
3 2 3 2
(2) 3 2 45 2 144 2 1000 1132 (8) 3 8 45 8 144 8 1000 808 har toppunktet 2,1132 og bunnpunktet 8,808
B B
B
= ⋅ − ⋅ + ⋅ + = = ⋅ − ⋅ + ⋅ + =
b) 2
2
dyr år
'( ) 9 90 144 ''( ) 18 90
Bestanden minker raskest når ''( ) 0 18 90 0 90 5 18 '(5) 9 5 90 5 144 81
Bestanden minker maksimalt med 81 etter 5 år
B t t t B t t
B t t t
B
= − + ⇒ = −
= ⇒ − = ⇔ = =
= ⋅ − ⋅ + = −
0 2 4 6 8 10 11
t
9 8 2 '( ) t t B t B
−
−
0 4 0 8 0 12 0 16 0 2 0 0 2 4 0 2 8 0 3 2 0
0 10 2 0 3 0 4 0 50 6 0 70 8 0 9 0
x dager y cm