ingeniorvarianten losningsforslag sensorveiledning statistikk

(1)

Eksamen, høsten 20 deleksamen Statistikk Ingeniør-varianten

Løsningsforslag og sensorveilednig.

Oppgavesettet har fire oppgaver, og på hver oppgave fikk studentene trukket en av fire mulige versjoner av oppgaven. Løsningsforslaget prøver å dekke alle versjonene, ofte gis fullstendig løsning for en versjon, så beskrives endringer i de andre versjonene.

Oppgave1. Oppgavetekst Versjon 1:

a) Une har et uavklart forhold til sin identitet som Senterpartivelger. Noen ganger føler hun at hun er Sp-velger, andre ganger ikke. For å beskrive sine følelser om parti-identitet bruker Une disse subjektive sannsynlighetene:

Den subjektive sannsynligheten for at Une føler seg som Sp-velger er 75%.

Gitt at Une føler seg som SP-velger, så er det en sannsynlighet på 14% for at hun synes at partileder Vedum er et fugleskremsel.

I motsatt fall, når Une ikke føler seg som Sp-velger, så er det en sannsynlighet på 83%for at hun synes at partileder Vedum er et fugleskremsel.

Hva er den subjektive sannsynligheten for at Une føler at hun er Sp-velger gitt at partileder Vedum er et fugleskremsel?

b) Det er i dag 3 869 200 personer med stemmerett i Norge. Av disse er det 700 325 Sp-velgere. Anta at det gjøres et utvalg på 100 personer som intervjues til en spørreundersøkelse. La X være antallet i utvalget som er Sp-velgere.

Hvilken fordeling har X? Finn forventning E(X) og varians Var(X). Er X til- nærmet normalfordelt? Angi et 95%-spredningsintervall for antallet Sp-velgere i utvalget.

c) Spørreundersøkelser blir aldri helt nøyaktige fordi endel personer i utvalget lyver under intervjuet. Anta at sannsynligheten for at en tilfeldig person lyver erp= 0,03.

La Y være antall løgnere i utvalget pån= 100personer.

Hvilken fordeling har den stokastiske variabelenY? ErY tilnærmet normalfordelt?

Finn en tilnærmet verdi for sannsynligheten for at det er 2 eller færre løgnere i utvalget.

Løsning Versjon 1:

a) Det er to hendelser i oppgaveteksten. La A være at “partileder Vedum er et fugle- skemsel” og la B være “Une føler seg som Sp-velger”. Avlest fra teksten har vi oppgitt

P(B) = 0,75 P(A|B) = 0,14 P(A|B) = 0,83

(2)

Vi finner sannsynligheten for ikke B:

P(B) = 1−P(B) = 1−0,75 = 0,25 Total sannsynlighet for A er

P(A) =P(A|B)·P(B) +P(A|B)·P(B) = 0,14·0,75 + 0,83·0,25 = 0,3125 Ved Bayes’ regel har vi

P(B|A) = P(A|B)·P(B)

P(A) = 0,14·0,75

0,3125 = 0,336

Det er 33,6%sannsynlig at Une føler seg som Sp-velger gitt at Vedum er et fugleskremsel.

b) Dette er oppsettet for en hypergeometrisk fordeling for X. Populasjonen er N = 3869200, hvorav M = 700325 er spesielle. Utvalget er n = 100. Formlene for hypergeometrisk fordeling gir

p= M

N = 700325

3869200 = 0,1810 E(X) =np= 100·0,1810 = 18,10 Var(X) =np(1−p)·N −n

N −1 = 100·0,1810·(1−0,1810)·3869200−100

3869200−1 = 14,82 Siden variansen er større enn10 ogpikke nær0eller1, så erX tilnærmet normalfordelt. Grensene for et95%spredningsintervall er gitt vedµ±z_α/2·σderα= 0,05.

Vi setter inn

µ=E(X) = 18,10 σ =p

Var(X) =p

14,82 = 3,850 z_α/2 =z0,025= 1,960

Grensene blir

nedre µ−z_α/2·σ = 18,10−1,960·3,850 = 10,55 øvre µ+z_α/2·σ = 18,10 + 1,960·3,850 = 25,65

Et 95% spredningsintervall for antall Sp-velgere i utvalget er[10,55,25,65].

c) Løsningen på denne deloppgaven i ulike oppgaveversjoner bruker for- skjellige metoder. Det avgjørende er om Y er tilnærmet normalfordelt eller ikke. Metoden under er for tilfellene der Y ikke er tilnærmet normalfordelt.

Antall løgnere Y i utvalget er binomisk fordelt med p= 0,03 ogn= 100. Variasen blir

Var(Y) =np= 100·0,03 = 3

Siden variansen er under 5sier vi ikke at Y er tilnærmet normalfordelt.

(3)

Vi finner punktsannsynligheter for binomisk fordeling ved formelen P(Y =y) =

n y

p^y(1−p)^n−y. Det gir:

P(Y = 0) = 100

0

·0,03⁰·0,97¹00 = 1·1·0,04755 = 0,04755

P(Y = 1) = 100

1

·0,03¹·0,97⁹9 = 100·0,03·0,04902 = 0,1471

P(Y = 2) = 100

2

·0,03²·0,97⁹8 = 4950·0,0009·0,05054 = 0,2252

Sannsynligheten for 2 eller færre løgnere i utvalget blir

P(Y ≤2) =P(Y = 0)+P(Y = 1)+P(Y = 2) = 0,04755+0,1471+0,2252 = 0,4198

(4)

Oppgavetekst versjon 2:

a) Fadi har et uavklart forhold til sin identitet som Arbeiderpartivelger. Noen ganger føler han at han er Ap-velger, andre ganger ikke. For å beskrive sine følelser om parti-identitet bruker Fadi disse subjektive sannsynlighetene:

Den subjektive sannsynligheten for at Fadi føler seg som Ap-velger er80%.

Gitt at Fadi føler seg som Ap-velger, så er det en sannsynlighet på90% for at han irriterer seg fordi partileder Støre kommer fra overklassen.

I motsatt fall, når Fadi ikke føler seg som Ap-velger, så er det en sannsynlighet på 15%for at han irriterer seg fordi partileder Støre kommer fra overklassen.

Hva er den subjektive sannsynligheten for at Fadi føler at han er Ap-velger gitt at han allerede irriterer seg fordi partileder Støre kommer fra overklassen?

b) Det er i dag 3 869 200 personer med stemmerett i Norge. Av disse er det 831 880 Ap-velgere. Anta at det gjøres et utvalg på 1000 personer som intervjues til en spørreundersøkelse. La X være antallet i utvalget som er Ap-velgere.

Hvilken fordeling har X? Finn forventning E(X) og varians Var(X). Er X til- nærmet normalfordelt? Angi et 95%-spredningsintervall for antallet Ap-velgere i utvalget.

Fasit versjon 2:

a) HendelserA“Fadi irriterer seg fordi Støre kommer fra overklassen” ogB “Fadi føler seg som Ap-velger”. Ved Bayes’ regel og total sannsynlighet

P(A|B)·P(B) +P(A|B)·P(B) = 0,90·0,80

0,90·0,80 + 0,15·0,20 = 0,96 b) X er hypergeometrisk fordelt.E(X) = 215,0 Var(X) = 168,7. Ja, X er tilnærmet

normalfordelt. Et95% spredningsintervall er[189,5,240,5].

c) Dette er metoden når Y er tilnærmet normalfordelt.

Y er binomisk fordelt medn= 1000ogp= 0,05. Variansen erVar(Y) =np(1−p) = 47,5. Siden variansen er stor erY tilnærmet normalfordelt. Vi kan finneP(Y ≤40) ved normaltilnærming. Treger derfor forventning og standardavvik:

µ=E(Y) =np= 50 σ=p

Var(Y) =p

47,5 = 6,892 Vi får

P(Y ≤40)≈G

40−µ σ

=G(−1,45) = 0,0734.

(5)

Dersom man bruker heltallskorreksjon får man den mer nøyaktige tilnærmingen P(Y ≤40)≈0,08404.

(6)

a) Helge har et uavklart forhold til sin identitet som MDG-velger. Noen ganger føler han at han er MDG-velger, andre ganger ikke. For å beskrive sine følelser om parti- identitet bruker Helge disse subjektive sannsynlighetene:

Den subjektive sannsynligheten for at Helge føler seg som MDG-velger er70%.

Gitt at Helge føler seg som MDG-velger, så er det en sannsynlighet på30%for at han er opptatt av å elektrifisere oljeplattformene før de stenges.

I motsatt fall, når Helge ikke føler seg som MDG-velger, så er det en sannsynlighet på 55% for at han er opptatt av å elektrifisere oljeplattformene før de stenges.

Hva er den subjektive sannsynligheten for at Helge føler at han er MDG-velger gitt at han for tiden er opptatt av å elektrifisere oljeplattformene før de stenges?

b) Det er i dag 3 869 200 personer med stemmerett i Norge. Av disse er det 170 240 MDG-velgere. Anta at det gjøres et utvalg på 6000 personer som intervjues til en spørreundersøkelse. La X være antallet i utvalget som er MDG-velgere.

Hvilken fordeling har X? Finn forventning E(X) og varians Var(X). Er X til- nærmet normalfordelt? Angi et 95%-spredningsintervall for antallet MDG-velgere i utvalget.

Fasit versjon 3:

a) HendelserA“Helge er opptatt av å elektrifisere oljeplattformene før de stenges” og B “Helge føler seg som MDG-velger”. Ved Bayes’ regel og total sannsynlighet

P(A|B)·P(B) +P(A|B)·P(B) = 0,30·0,70

c) Y er binomisk fordelt med n= 6000 og p = 0,04. Y tilnærmet normalfordelt.

P(Y ≤250)≈0,7450eller med heltallskorreksjon: P(Y ≤250)≈0,7555.

(7)

a) Ixi har et uavklart forhold til sin identitet som Kristelig Folkeparti-velger. Noen ganger føler hun at hun er KrF-velger, andre ganger ikke. For å beskrive sine følelser om parti-identitet bruker Ixi disse subjektive sannsynlighetene:

Den subjektive sannsynligheten for at Ixi føler seg som KrF-velger er 85%.

Gitt at Ixi føler seg som KrF-velger, så er det en sannsynlighet på 30% for at hun ønsker å se Olaug Bollestad i neste sesong av Farmen kjendis.

I motsatt fall, når Ixi ikke føler seg som KrF-velger, så er det en sannsynlighet på80%for at hun ønsker å se Olaug Bollestad i neste sesong av Farmen kjendis.

Hva er den subjektive sannsynligheten for at Ixi føler at hun er KrF-velger gitt at hun for tiden gjerne kunne ønske å se Olaug Bollestad i Farmen kjendis?

b) Det er i dag 3 869 200 personer med stemmerett i Norge. Av disse er det 135 666 KrF-velgere. Anta at det gjøres et utvalg på 600 personer som intervjues til en spørreundersøkelse. La X være antallet i utvalget som er KrF-velgere.

Hvilken fordeling har X? Finn forventning E(X) og varians Var(X). Er X til- nærmet normalfordelt? Angi et 95%-spredningsintervall for antallet KrF-velgere i utvalget.

Fasit versjon 4:

a) Hendelser A “Ixi ønsker å se Olaug Bollestad i Farme kjendis” og B “Ixi føler seg som KrF-velger”. Ved Bayes’ regel og total sannsynlighet

P(A|B)·P(B) +P(A|B)·P(B) = 0,30·0,85

c) Y er binomisk fordelt med n = 600 og p = 0,01. Varians lik 5,94, så Y tilnær- met normalfordelt, men det er helt på grensa. I dette tilfellet kan begge metoder brukes. Med normaltilnærming: P(Y ≤ 2) ≈ 0,0504 eller med heltallskorreksjon: P(Y ≤ 2) ≈ 0,0755. Med punktsannsynligheter: P(Y = 0) = 0,002405, P(Y = 1) = 0,01458,P(Y = 2) = 0,04410,P(Y ≤2) = 0,06108. I dette tilfellet er det relativt store forskjeller på de ulike tilnærmingene. Metoden med punktsannsynligheter gir det eksakt riktige svaret.

(8)

Oppgavetekst Versjon 5:

a) Hassen har et uavklart forhold til sin identitet som Venstre-velger. Noen ganger føler han at han er Venstre-velger, andre ganger ikke. For å beskrive sine følelser om parti-identitet bruker Hassen disse subjektive sannsynlighetene:

Den subjektive sannsynligheten for at Hassen føler seg som Venstre-velger er 55%.

Gitt at Hassen føler seg som Venstre-velger, så er det en sannsynlighet på9%

for at han ønsker å se Abid Raja i neste sesong av Skal vi danse.

I motsatt fall, når Hassen ikke føler seg som Venstre-velger, så er det en sannsynlighet på 69% for at han ønsker å se Abid Raja i neste sesong av Skal vi danse.

Hva er den subjektive sannsynligheten for at Hassen føler at han er Venstre-velger gitt at Hassen en lørdagskveld intenst ønsker at Abid Raja var deltager i Skal vi danse?

b) Det er i dag 3 869 200 personer med stemmerett i Norge. Av disse er det 135 123 Venstre-velgere. Anta at det gjøres et utvalg på2000personer som intervjues til en spørreundersøkelse. La X være antallet i utvalget som er Venstre-velgere.

Hvilken fordeling har X? Finn forventningE(X) og variansVar(X). Er X tilnær- met normalfordelt? Angi et 95%-spredningsintervall for antallet Venstre-velgere i utvalget.

Fasit Versjon 5:

a) HendelserA“Hassen ønsker å se Abid Raja i Skal vi danse” ogB “Hassen føler seg som Venstre-velger”. Ved Bayes’ regel og total sannsynlighet

P(A|B)·P(B) +P(A|B)·P(B) = 0,09·0,55

0,09·0,55 + 0,69·0,45 = 0,1375 b) X er hypergeometrisk fordelt. E(X) = 69,8 Var(X) = 67,4. Ja, X er tilnærmet

c) Y er binomisk fordelt med n = 2000 og p = 0,01. Varians 19,8. Y tilnærmet normalfordelt. P(Y ≤ 25) ≈0,8694 eller med heltallskorreksjon: P(Y ≤25) ≈ 0,8918.

(9)

a) Idunn har et uavklart forhold til sin identitet som Fremskrittspartivelger. Noen ganger føler hun at hun er Frp-velger, andre ganger ikke. For å beskrive sine følelser om parti-identitet bruker Idunn disse subjektive sannsynlighetene:

Den subjektive sannsynligheten for at Idunn føler seg som Frp-velger er 90%.

Gitt at Idunn føler seg som Frp-velger, så er det en sannsynlighet på 12% for at hun ønsker at Black Box teater kunne sette opp et show der dragkinggruppa Gutta harselerer med bompenger og alkoholavgifter.

I motsatt fall, når Idunn ikke føler seg som Frp-velger, så er det en sannsynlighet på 72% for at hun ønsker at Black Box teater kunne sette opp et show der dragkinggruppa Gutta harselerer med bompenger og alkoholavgifter.

Hva er den subjektive sannsynligheten for at Idunn føler at hun er Frp-velger gitt at Idunn en helg ønkser å se Gutta ha show på Black Box om bompenger og alkoholavgifter?

b) Det er i dag 3 869 200 personer med stemmerett i Norge. Av disse er det 472 166 Frp-velgere. Anta at det gjøres et utvalg på80personer som intervjues til en spørre- undersøkelse. La X være antallet i utvalget som er Frp-velgere.

Hvilken fordeling har X? Finn forventning E(X) og varians Var(X). Er X til- nærmet normalfordelt? Angi et 95%-spredningsintervall for antallet Frp-velgere i utvalget.

Fasit versjon 6:

a) Hendelser A “Idunn ønsker å se Gutta på Black Box” og B “Idunn føler seg som Frp-velger”. Ved Bayes’ regel og total sannsynlighet

P(A|B)·P(B) +P(A|B)·P(B) = 0,12·0,90

0,12·0,90 + 0,72·0,10 = 0,60 b) X er hypergeometrisk fordelt. E(X) = 9,76 Var(X) = 8,57. Ja, X er tilnærmet

c) Y er binomisk fordelt med n = 80 og p = 0,02. Varians lik 1,568, så Y ikke til- nærmet normalfordelt. Med punktsannsynligheter: P(Y = 0) = 0,1986,P(Y = 1) = 0,3243,P(Y = 2) = 0,2614,P(Y = 3) = 0,1387P(Y ≤3) = 0,9231.

(10)

a) Nathalie har et uavklart forhold til sin identitet som Høyrevelger. Noen ganger føler hun at hun er Høyrevelger, andre ganger ikke. For å beskrive sine følelser om parti-identitet bruker Nathalie disse subjektive sannsynlighetene:

Den subjektive sannsynligheten for at Nathalie føler seg som Høyrevelger er 60%.

Gitt at Nathalie føler seg som Høyrevelger, så er det en sannsynlighet på90%

for at hun tror at Erna Solberg ville gjort en god jobb som megler for en handelsavtale mellom Storbritannia og EU.

I motsatt fall, når Nathalie ikke føler seg som Høyrevelger, så er det en sannsynlighet på 27% for at hun tror at Erna Solberg ville gjort en god jobb som megler for en handelsavtale mellom Storbritannia og EU.

Hva er den subjektive sannsynligheten for at Nathalie føler at hun er Høyrevelger gitt at hun er sikker på at Erna Solberg ville gjort en god jobb som megler for en handelsavtale mellom Storbritannia og EU?

b) Det er i dag 3 869 200 personer med stemmerett i Norge. Av disse er det 888 222 Høyre-velgere. Anta at det gjøres et utvalg på 5000personer som intervjues til en spørreundersøkelse. La X være antallet i utvalget som er Høyre-velgere.

Hvilken fordeling har X? Finn forventning E(X) og varians Var(X). Er X til- nærmet normalfordelt? Angi et 95%-spredningsintervall for antallet Høyre-velgere i utvalget.

Fasit versjon 7:

a) HendelserA“Nathalie tror at Erna Solberg ville være en god megler for en handelsavtale mellom Storbritannia og EU” og B “Nathalie føler seg som Høyre-velger”.

Ved Bayes’ regel og total sannsynlighet P(B|A) = P(A|B)·P(B)

P(A|B)·P(B) +P(A|B)·P(B) = 0,90·0,90

0,60·0,90 + 0,27·0,10 = 0,8333 b) X er hypergeometrisk fordelt. E(X) = 1147,8 Var(X) = 883,2. Ja,X er tilnærmet

c) Y er binomisk fordelt medn= 5000ogp= 0,10. Variansen er450, såY tilnærmet normalfordelt.P(Y ≤450)≈0,0092eller med heltallskorreksjon:P(Y ≤450)≈ 0,0098.

(11)

a) Frank har et uavklart forhold til sin identitet som SV-velger. Noen ganger føler han at han er SV-velger, andre ganger ikke. For å beskrive sine følelser om parti-identitet bruker Frank disse subjektive sannsynlighetene:

Den subjektive sannsynligheten for at Frank føler seg som SV-velger er 65%.

Gitt at Frank føler seg som SV-velger, så er det en sannsynlighet på 96% for at han synes at heltedyrkelsen av kongehuset i NRK-serien Atlantic Crossing er historieforfalskning.

I motsatt fall, når Frank ikke føler seg som SV-velger, så er det en sannsynlighet på36%for at han synes at heltedyrkelsen av kongehuset i NRK-serien Atlantic Crossing er historieforfalskning.

Hva er den subjektive sannsynligheten for at Frank føler at han er SV-velger gitt at han har kommet til det standpunktet at heltedyrkelsen av kongehuset i NRK-serien Atlantic Crossing er historieforfalskning?

b) Det er i dag 3 869 200 personer med stemmerett i Norge. Av disse er det 278 900 SV-velgere. Anta at det gjøres et utvalg på 250 personer som intervjues til en spørreundersøkelse. La X være antallet i utvalget som er SV-velgere.

Hvilken fordeling har X? Finn forventning E(X) og varians Var(X). Er X til- nærmet normalfordelt? Angi et 95%-spredningsintervall for antallet SV-velgere i utvalget.

Fasit versjon 8:

a) HendelserA“Frank synes at Atlantic Crossing er historieforfalskning” ogB “Frank føler seg som SV-velger”. Ved Bayes’ regel og total sannsynlighet

P(A|B)·P(B) +P(A|B)·P(B) = 0,96·0,65

c) Y er binomisk fordelt med n = 250 og p = 0,01. Varians lik 2,475, så Y ikke tilnærmet normalfordelt. Med punktsannsynligheter: P(Y = 0) = 0,08106, P(Y = 1) = 0,2047,P(Y = 2) = 0,2574,P(Y ≤2) = 0,5432.

(12)

a) Marianne har et uavklart forhold til sin identitet som Rødt-velger. Noen ganger føler hun at hun er Rødt-velger, andre ganger ikke. For å beskrive sine følelser om parti-identitet bruker Marianne disse subjektive sannsynlighetene:

Den subjektive sannsynligheten for at Marianne føler seg som Rødt-velger er 95%.

Gitt at Marianne føler seg som Rødt-velger, så er det en sannsynlighet på96%

for at hun synes at leksefri skole er en god idé.

I motsatt fall, nå Marianne ikke føler seg som Rødt-velger, så er det en sannsynlighet på 51%for at hun synes at leksefri skole er en god idé.

Hva er den subjektive sannsynligheten for at Marianne føler at hun er Rødt-velger gitt at hun har kommet fram til at leksefri skole er en god idé?

b) Det er i dag 3 869 200 personer med stemmerett i Norge. Av disse er det 155 078 Rødt-velgere. Anta at det gjøres et utvalg på 1500personer som intervjues til en spørreundersøkelse. La X være antallet i utvalget som er Rødt-velgere.

Hvilken fordeling har X? Finn forventning E(X) og varians Var(X). Er X til- nærmet normalfordelt? Angi et95%-spredningsintervall for antallet Rødt-velgere i utvalget.

Fasit versjon 9:

a) HendelserA“Marianne synes leksefri skole er en god idé” ogB “Marianne føler seg som Rødt-velger”. Ved Bayes’ regel og total sannsynlighet

P(A|B)·P(B) +P(A|B)·P(B) = 0,96·0,95

c) Y er binomisk fordelt medn= 1500ogp= 0,20. Variansen er240, såY tilnærmet normalfordelt.P(Y ≤333)≈0,9834eller med heltallskorreksjon:P(Y ≤333)≈ 0,9847.

(13)

Oppgave2. Oppgavetekst versjon 1:

Henrik gambler gjerne med sine venner. Denne gangen har han planlagt å gjøre to veddemål samtidig, for han mener at sannsynligheten for å ha uflaks to ganger er veldig liten, og at han dermed kan forvente en fortjeneste på veddemålene sett under ett.

Mot Une vedder Henrik på at David Beckham blir den neste James Bond skuespilleren.

Mot Hassen vedder Henrik på at David Beckham er manager for Salford City i 2021.

La X være fortjenesten i veddemålet mot Une og la Y være fortjenesten i veddemålet mot Hassen. Dersom Daniel Craig fremdeles spiller James Bond i neste film, er Une og Henrik enige om å dele den første potten.

a) Henrik har innsideinformasjon via sine kontakter i Spice Girls og har funnet følgende sannsynligheter for utfallene av veddemålene:

x −100 0 100

y P(Y =y)

−100 ? 0,02 0,09 0,21

100 ? 0,08 0,01 ?

P(X=x) 0,8 0,1 0,1 1,0

Hjelp Henrik å fylle ut resten av tabellen. Hva sannsynligheten for at David Beck- ham er manager for Salford City i 2021 gitt at han er den neste som spiller James Bond? Finn forventningene E(X),E(Y) og E(X+Y).

b) Forklar hvordan man kan regne ut korrelasjonen mellom X og Y. Du trenger ikke gjøre utregningen av korrelasjonen, men du skal fortelle hvilke størrelser man regner ut i prosessen. Tror du korrelasjonen kommer til å være positiv, null eller negativ i dette tilfellet?

Henrik spekulerer også i verdipapirer. Han har investert90 000kroner i fotballaget Juv- entus og 20 000kroner i aksjer i Netflix. Anta at verdien av disse investeringene ikke er uavhengig, men har en ukjent korrelasjon.

c) Anta at standardavviket på investeringen i Juventus erσ₁ = 40 000og at standardavviket på investeringen i Netflix er σ₂ = 5 000. Hva er den laveste mulige verdien for standardavviket til summen av de to investeringene? Begrunn svaret.

Løsningsforslag versjon 1:

a) Tabellen er en simultanfordeling. Tallene i margen er summen av radene eller ko- lonnene. Vi finner P(Y = 100) først. Bruker at summen av kolonnen i margen blir 1. Da er0,21 +P(Y = 100) = 1,0, som girP(Y = 100) = 0,79. Punktsansynlighe- tene P(−100,−100) og P(−100,100) kan vi finne på tilsvarende måte. Vi ser på summen av radeneP(−100,−100) + 0,02 + 0,09 = 0,21 girP(−100,−100) = 0,10.

Videre gir P(−100,100) + 0,08 + 0,01 = 0,79 at P(−100,100) = 0,70. Fullstendig tabell blir

(14)

x −100 0 100

y P(Y =y)

−100 0,10 0,02 0,09 0,21

100 0,70 0,08 0,01 0,79

P(X=x) 0,8 0,1 0,1 1,0

Den betingede sansynligheten for at David Beckham er manager for Salford City i 2021 gitt at David Beckham blir neste James Bond er

P(Y = 100|X = 100) = P(100,100)

P(X= 100) = 0,01 0,1 = 0,1.

Vi finner forventningene ved sum av verdi ganger sannsylighet:

E(X) =−100·0,8 + 0·0,1 + 100·0,1 =−60 E(Y) =−100·0,21 + 100·0,79 = 58

Forventningen til summen av veddemålene er

E(X+Y) =E(X) +E(Y) =−60 + 58 =−2.

b) For å finne korrelasjonenρ mellomX og Y gjelder definisjonen ved formelen ρ= Cov(X, Y)

σ_X ·σ_Y . Til utregningen trenger man

– Forventningenµ_X =E(X) til X regnet ut som vist over.

– Variansen til X regnet ut f.eks. som Var(X) =E(X²)−µ²_X. – Standardavviket σ_X til X regnet ut som kvadratrot av varians.

– Forventningenµ_Y =E(Y)til Y regnet ut som vist over.

– Variansen til Y regnet ut f.eks. som Var(Y) =E(Y²)−µ²_Y. – Standardavviket σ_Y til Y regnet ut som kvadratrot av varians.

– Kovariansen mellomX ogY regnet ut f.eks. somCov(X, Y) =E(X·Y)−µX· µY.

Siden veddemålene i stor grad vil få motsatte resultaterav hverandre; sannsynlighetene 0,70 og 0,09 utgjør mesteparten av 100%, så er det grunn til å tro at korrelasjonen vil være negativ.

c) Variansen til en sum av to variabler er

Var(X+Y) = Var(X) + 2 Cov(X, Y) + Var(Y).

La X være inversteringen i Juventus og la Y være investeringen i Netflix. Det minste standardavviket til summen av investeringene inntreffer nårVar(X+Y)er minst mulig. Variansene til X og Y er konstante

Var(X) =σ₁² = (40 000)² = 1,6·10⁹ Var(Y) =σ₂² = (5 000)² = 2,5·10⁷

(15)

Den laveste mulige kovariansen innreffer når korrelasjoen er ρ=−1. Da blir Cov(X, Y) =ρ·σ₁·σ₂=−1·40 000·5 000 =−2·10⁸.

Minst mulige varians til summen blir

Var(X+Y) = 1,6·10⁹−2·2·10⁸+ 2,5·10⁷ = 1,225·10⁹. Minste mulige standardavvik blir

σ_sum=p

Var(X+Y) = 35 000.

Et mer uformelt resonement er at man har minimalt standardavvik på summen av investeringene når enhver fluktuasjon i den ene investeringen gir en motsatt endring i den andre. Da vil standardavviket til total investering være differansen mellom standardavvikene, så

σsum=σ1−σ2 = 40 000−5 000 = 35 000.

I dette argumentet er bruken av differase dårlig begrunnet. Om man skal begrunne denne formelen, så må man igjen se på formelen for varians av en sum, altså

Var(X+Y) =σ₁²+ 2ρσ1σ2+σ²₂.

Poenget er igjen å bruke minimal korrelasjon påρ=−1, såVar(X+Y) = (σ₁−σ₂)² ved andre kvadratsetning.

(16)

Mot Fadi vedder Henrik på at Magnus Carlsen vinner neste sjakk-VM. Mot Ixi vedder Henrik på at Magnus Carlsen er Vikingen i Maskorama. LaXvære fortjenesten i vedde- målet mot Fadi og laY være fortjenesten i veddemålet mot Ixi. Dersom Magnus Carlsen trekker seg fra neste sjakk-VM, er Fadi og Henrik enige om å dele den første potten.

a) Henrik har innsideinformasjon via sine kontakter i Fredriksstad Schakselskap og har funnet følgende sannsynligheter for utfallene av veddemålene:

x −100 0 100

y P(Y =y)

−100 0,12 0,06 0,42 ?

100 ? 0,04 ? 0,4

P(X=x) 0,2 0,1 0,7 1,0

Hjelp Henrik å fylle ut resten av tabellen. Hva sannsynligheten for at Magnus Carlsen trekker seg fra neste sjakk-VM gitt at han er Vikingen i Maskorama? Finn forventningene E(X),E(Y) ogE(X+Y).

Henrik spekulerer også i verdipapirer. Han har investert 50 000 kroner i Play Magnus appen og120 000kroner i flyselskapet Norwegian. Anta at verdien av disse investeringene ikke er uavhengig, men har en ukjent korrelasjon.

c) Anta at standardavviket på investeringen i Play Magnus er σ1 = 10 000 og at standardavviket på investeringen i Norwegian er σ₂ = 70 000. Hva er den laveste mulige verdien for standardavviket til summen av de to investeringene? Begrunn svaret.

Fasit versjon 2:

a) Tabell blir

x −100 0 100

y P(Y =y)

−100 0,12 0,06 0,42 0,6

100 0,08 0,04 0,28 0,4

P(X=x) 0,2 0,1 0,7 1,0 Den betingede sannsynligheten er

P(X= 0|Y = 100) = P(0,100)

P(Y = 100) = 0,04 0,4 = 0,1.

(17)

E(X) = 50,E(Y) =−20,E(X+Y) = 30

b) Utregning av ρ ved forventning, varians og standardavvik for X og Y. Deretter kovarians mellom X og Y ved definisjonen og korrelasjon ved kovarians delt på standardavvikene. I dette tilfellet er X ogY uavhengige.Man ser at tallene i tabellen er produkter av tallene i margen. Dermed vil korrelasjonen være ρ= 0.

c) Minimalt standardavvik er differansen:σ_minimal=σ2−σ1= 60 000.

(18)

Mot Helge vedder Henrik på at Espen Nakstad blir utnevnt til helseminister etter Stor- tingsvalget høsten 2021. Mot Idunn vedder Henrik på at Espen Nakstad skal krysse Uralfjellene sammen med Lars Monsen etter koronavaksinasjonen er fullført. LaX være fortjenesten i veddemålet mot Helge og la Y være fortjenesten i veddemålet mot Idunn.

Dersom Bent Høie fremdeles er helseminister etter Stortingsvalget 2010, er Helge og Henrik enige om å dele den første potten.

a) Henrik har innsideinformasjon via sine kontakter i NRK og har funnet følgende sannsynligheter for utfallene av veddemålene:

x −100 0 100

y P(Y =y)

−100 0,08 0,06 0,39 0,53

100 ? 0,18 ? 0,47

P(X=x) 0,36 0,24 ? 1,0

Hjelp Henrik å fylle ut resten av tabellen. Hva sannsynligheten for at Espen Nakstad blir med Lars Monsen over Uralfjellene gitt at han blir den neste helseministeren?

Finn forventningeneE(X),E(Y) og E(X+Y).

Henrik spekulerer også i verdipapirer. Han har investert200 000kroner i BioNTech aksjer og 80 000 kroner i nettbutikken Love Norway. Anta at verdien av disse investeringene ikke er uavhengig, men har en ukjent korrelasjon.

c) Anta at standardavviket på investeringen i BioNTech er σ₁ = 60 000 og at standardavviket på investeringen i Love Norway er σ2 = 40 000. Hva er den laveste mulige verdien for standardavviket til summen av de to investeringene? Begrunn svaret.

Fasit versjon 3:

a) Tabell blir

x −100 0 100

y P(Y =y)

−100 0,08 0,06 0,39 0,53

100 0,28 0,18 0,01 0,47

P(X=x) 0,36 0,24 0,40 1,0

(19)

Den betingede sannsynligheten er

P(Y = 100|X = 100) = P(100,100)

P(X = 100) = 0,01

0,40 = 0,025.

E(X) = 4,E(Y) =−6,E(X+Y) =−2

b) Utregning av ρ ved forventning, varians og standardavvik for X og Y. Deretter kovarians mellom X og Y ved definisjonen og korrelasjon ved kovarians delt på standardavvikene.Veddemålene utligner hverandre.Man ser at tallene øverste høyre hjørne og nederste venstre hjørne er store. Dermed kan man gå ut fra at korrelasjonen vil være negativρ <0.

c) Minimalt standardavvik er differansen:σ_minimal=σ₁−σ₂= 20 000.

(20)

Mot Nathalie vedder Henrik på at Ståle Solbakken blir den neste treneren for Norges fotballandslag. Mot Frank vedder Henrik på at Ståle Solbakken skal delta i Mestrenes Mester 2022. La Xvære fortjenesten i veddemålet mot Nathalie og la Y være fortjenesten i veddemålet mot Frank. Dersom Lars Lagerbäck forlenger kontrakten med Norges fotballandslag, er Nathalie og Henrik enige om å dele den første potten.

a) Henrik har innsideinformasjon fra Egil Drillo Olsen og har funnet følgende sannsynligheter for utfallene av veddemålene:

x −100 0 100

y P(Y =y)

−100 ? ? 0,76 0,8

100 0,12 0,04 0,04 0,2

P(X=x) 0,15 ? 0,8 1,0

Hjelp Henrik å fylle ut resten av tabellen. Hva sannsynligheten for at Ståle Sol- bakken deltar i Mestrenes Mester 2022 gitt at han blir ny landslagstrener i fotball?

Finn forventningeneE(X),E(Y) og E(X+Y).

Henrik spekulerer også i verdipapirer. Han har investert 50 000 kroner i restauranten Noma i København og80 000kroner i aksjer i sportsutstyrskjeden XXL. Anta at verdien av disse investeringene ikke er uavhengig, men har en ukjent korrelasjon.

c) Anta at standardavviket på investeringen i Noma erσ₁= 10 000og at standardavviket på investeringen i XXL er σ2 = 15 000. Hva er den laveste mulige verdien for standardavviket til summen av de to investeringene? Begrunn svaret.

Fasit versjon 4:

a) Tabell blir

x −100 0 100

y P(Y =y)

−100 0,03 0,01 0,76 0,8

100 0,12 0,04 0,04 0,2

P(X=x) 0,15 0,05 0,8 1,0 Den betingede sannsynligheten er

P(Y = 100|X = 100) = P(100,100)

P(X= 100) = 0,04

0,8 = 0,05.

(21)

E(X) = 65,E(Y) =−60,E(X+Y) = 5

b) Utregning av ρ ved forventning, varians og standardavvik for X og Y. Deretter kovarians mellom X og Y ved definisjonen og korrelasjon ved kovarians delt på standardavvikene.Veddemålene utligner hverandre.Man ser at tallene øverste høyre hjørne og nederste venstre hjørne er store. Dermed kan man gå ut fra at korrelasjonen vil være negativρ <0.

c) Minimalt standardavvik er differansen:σ_minimal=σ₂−σ₁= 5 000.

(22)

Per Erik har satt opp et eksperiment for å måle bølgelengden i emisjonsspektra til gasser. Dessverre er hans selvlagde måleinstrument noe unøyaktig. Per Erik antar at hver enkeltmåling har en feil som er tilfeldig og normalfordelt.

Anna-Lena har gitt Per Erik en ukjent gass, som kanskje kan være klorgass. Det er kjent at klorgass har en sterk spektrallinje på bølgelengde452,62 nm. Per Erik gjør5målinger av en sterk blå spektrallinje fra den ukjente gassen og får disse resultatene målt i nm:

453,58 452,85 453,07 451,50 499,70 a) Finn gjennomsnitt og standardavvik for målingene.

b) Gjør en hypotesetest der hypotesene er:

H₀ : Forventningsverdien til målingene er lik 452,62.

H₁ : Forventningsverdien til målingene er ulik 452,62.

Bruk signifikansnivå α= 0,05. Hva blir konklusjonen?

c) Per Erik ønsker å anslå hvor mange målinger han bør gjøre for å oppnå et mer sikkert resultat. Han er villig til å gjøre mer enn30målinger. Han ønsker å finne et 99%-konfidensintervall for bølgelengden til den blå spektrallinja. Dette konfidensintervallet ønsker han at skal ha en lengde mindre enn 1 nm. Bruk de foreløpige målingene til å gjette en rimelig verdi for standardavviket, og anslå deretter hvor mange målinger Per Erik bør gjøre.

a) Vi finner gjennomsnitt ved utregning:

¯ x= 1

5(453,58 + 452,85 + 453,07 + 451,50 + 499,70) = 452,14 Variansen regnes ut som

s² = 1 4

X

i=1

5(xi−¯x)² = 1

4 (1,44)²+ (0,71)²+ (0,93)²+ (−0,64)²+ (−2,44)²

= 2,45145

Standardavviket finner vi som kvadratrot av variansen s= 1,5657.

Disse utregningene kan man gjerne gjøre i Excel eller lignende, og da er det fint om man legger ved utklipp fra regnearket som dokumentasjon på utregningen.

b) Per Erik har antatt at målingene er normalfordelte. Han vet ikke hva standardavviket er. Han sammenligner forventningen med en oppgitt verdiµ0 = 452,62. Derfor

(23)

bør vi velge en T-test. Hypotesene erH₀ : µ= 452,62 ogH₁ : µ6= 452,62. Testen er derfor en tosidig T-test. Testobservator er

T = X¯ −µ0

S/√ n .

Vi skal forkaste nullhypotesen om tallverdien til T overstiger kritisk verdi t_α/2. Signifikansivå er oppgitt til α = 0,05. Vi finner kritisk verdi i tabellen for Student T-fordelingen. Vi har n−1 = 4frihetsgrader og da er

t0,025= 2,776.

Vi regner nå ut observert verdi avT. Setter innx¯= 452,14,s= 1,5657,µ0= 452,62 og n= 5. Det gir

t= 452,14−452,62 1,5657/√

5 =−0,68551146

Tallverdien av observert testobservator er mindre enn kritisk verdi. Vi beholder nullhypotesen.

Konklusjon: Hypotesetesten viste ikke signifikant avvik mellom Per Eriks målinger og den kjente blå spekrtallinjen i klorgass. Den kan være klorgass.

c) Per Erik er villig til å gjøre mer en 30 målinger. Da kan han ved sentralgrenseteoremet benytte et Z-intervall for å bestemme forventningsverdien mer presis. Man kan anslå antall målinger ved formelen

n≥

2·z_α/2·σ L

2

.

På signifikansnivå α= 0,01, som tilsvarer99%-konfidensintervall, bruker viz_α/2= 2,576. Vi har oppgitt L = 1. Videre antar vi at standardavviket er tilnærmet lik det målte standardavviker σ≈1,57. Det gir

n≥

2·2,576·1,57 1

2

= 65,4.

Det burde holde med 66målinger for å få et99%-konfidesintervall med lengde mindre enn 1 nm.

(24)

Mikjel har satt opp et eksperiment for å måle radioaktivitet i gjenstander. Dessverre er hans selvlagde måleinstrument noe unøyaktig. Mikjel antar at hver enkeltmåling har en feil som er tilfeldig og normalfordelt.

Anna-Lena har gitt Mikjel en gammel ventil fra reaktoren i Halden, som kanskje kan være radioaktiv. Dersom den spesifikke radioaktiviteten er mer enn 100 Bq/g ønsker Mikjel og Anna-Lena snarest mulig å avhende seg med ventilen ved å levere den inn til et godkjent mottak for radioaktivt avfall. Mikjel gjør 5 målinger av den spesifikke radioaktiviteten fra ventilen målt i Bq/g:

H₀ : Forventningsverdien til målingene er over100.

H1 : Forventningsverdien til målingene er under 100.

c) Mikjel ønsker å anslå hvor mange målinger han bør gjøre for å oppnå et mer sikkert resultat. Han er villig til å gjøre mer enn 30 målinger. Han ønsker å finne et 95%- konfidensintervall for spesifikk radioaktivitet i ventilen. Dette konfidensintervallet ønsker han at skal ha en lengde mindre enn2 Bq/g. Bruk de foreløpige målingene til å gjette en rimelig verdi for standardavviket, og anslå deretter hvor mange målinger Mikjel bør gjøre.

Fasit versjon 2:

a) x¯= 98,1 og s= 2,1213.

b) Ensidig T-test med tα = 2,132 og observert verdi for testobservator t = −2,003 Behold nullhypotese.

c) På signifikansnivå α = 0,05 og anslått verdi for standardavvik σ ≈ 2,12 burde 17 målinger gi den ønskede sikkerheten. Men Mikjel bør minst bruke30 målinger likevel for å kunne bruke sentralgrenseteoremet.

(25)

Jo har satt opp et eksperiment for å måle spesifikk varmekapasitet til metall. Dessverre er hans selvlagde måleinstrument noe unøyaktig. Jo antar at hver enkeltmåling har en feil som er tilfeldig og normalfordelt.

Anna-Lena har gitt Jo en bit ukjent metall, som kanskje kan være titan. Det er kjent at titan har en spesifikk varmekapasitet på 523 J/(kg·K). Jo gjør 5 målinger av den spesifikke varmekapasiteten til den ukjente metallbiten og får disse resultatene målt i J/(kg·K):

523 504 520 510 506 a) Finn gjennomsnitt og standardavvik for målingene.

H0 : Forventningsverdien til målingene er lik 523.

H₁ : Forventningsverdien til målingene er ulik 523.

c) Jo ønsker å anslå hvor mange målinger han bør gjøre for å oppnå et mer sikkert resultat. Han er villig til å gjøre mer enn 30 målinger. Han ønsker å finne et 95%- konfidensintervall for spesifikk varmekapasitet til den ukjente metallbiten. Dette konfidensintervallet ønsker han at skal ha en lengde mindre enn 2 J/(kg·K). Bruk de foreløpige målingene til å gjette en rimelig verdi for standardavviket, og anslå deretter hvor mange målinger Jo bør gjøre.

Fasit versjon 3:

a) x¯= 512,6og s= 8,4734.

b) Tosidig T-test medt_α/2 = 2,776og observert verdi for testobservator t =−2,744 Behold nullhypotese.

c) På signifikansnivå α = 0,05 og anslått verdi for standardavvik σ ≈8,5 burde278 målinger gi den ønskede sikkerheten.

(26)

Tore har laget et instrument for å måle diameteren til kuler. Dessverre er hans selvlagde måleinstrument noe unøyaktig. Tore antar at hver enkeltmåling har en feil som er tilfeldig og normalfordelt.

Anna-Lena har gitt Tore en liten ball laget av et nyutviklet materiale. Kanskje denne ballen kan brukes til å spille golf? Ifølge golfens regler skal golfballer ha en diameter ikke mindre enn 42,67 mm. Tore gjør 5 målinger av diameteren til ballen og får disse resultatene målt i mm:

H0 : Forventningsverdien til målingene er mindre enn42,67.

H₁ : Forventningsverdien til målingene er ikke mindre enn42,67.

c) Tore ønsker å anslå hvor mange målinger han bør gjøre for å oppnå et mer sikkert resultat. Han er villig til å gjøre mer enn 30 målinger. Han ønsker å finne et 99%- konfidensintervall for diameteren til ballen. Dette konfidensintervallet ønsker han at skal ha en lengde mindre enn 0,1 mm. Bruk de foreløpige målingene til å gjette en rimelig verdi for standardavviket, og anslå deretter hvor mange målinger Tore bør gjøre.

Fasit versjon 4:

a) x¯= 43,25 og s= 0,3429.

b) Ensidig T-test med tα = 3,747 og observert verdi for testobservator t = 3,783 Forkast nullhypotese. Golfballen har diameter signifikant større enn 42,67 mm.

c) På signifikansnivå α= 0,01 og anslått verdi for standardavvik σ≈0,34 burde307 målinger gi den ønskede sikkerheten.

(27)

Kent har satt opp et eksperiment for å måle frekvensen på lyd. Dessverre er hans selvlagde måleinstrument noe unøyaktig. Kent antar at hver enkeltmåling har en feil som er tilfeldig og normalfordelt.

Anna-Lena har gitt Kent en stemmegaffel, som lager en klar tone. Det er vanlig å stemme instrumenter ut fra enstrøken A på 440,0 Hz. Kent gjør 5 målinger av en tonen fra stemmegaffelen og får disse resultatene målt i Hz:

c) Kent ønsker å anslå hvor mange målinger han bør gjøre for å oppnå et mer sikkert resultat. Han er villig til å gjøre mer enn 30 målinger. Han ønsker å finne et 95%-konfidensintervall for frekvensen fra stemmegaffelen. Dette konfidensintervallet ønsker han at skal ha en lengde mindre enn0,1 Hz. Bruk de foreløpige målingene til å gjette en rimelig verdi for standardavviket, og anslå deretter hvor mange målinger Kent bør gjøre.

Fasit versjon 5:

a) x¯= 440,28og s= 0,1779.

b) Tosidig T-test med t_α/2 = 2,776 og observert verdi for testobservator t = 3,519.

Forkast nullhypotese. Stemmegaffelen har en annen frekvens enn 440 Hz.

c) På signifikansnivå α = 0,05 og anslått verdi for standardavvik σ ≈0,18 burde 50 målinger gi den ønskede sikkerheten.

(28)

Magnus har laget sitt eget Voltmeter. Dessverre er hans selvlagde måleinstrument noe unøyaktig. Magnus antar at hver enkeltmåling har en feil som er tilfeldig og normalfordelt.

Anna-Lena har funnet et svært gammelt batteri, og hun vil gjerne at Magnus måler polspenningen. Miljøskadelige kvikksølvbatterier har en spenning på 1,35 V. Kanskje det er et slikt kvikksølvbatteri? Magnus gjør 5 målinger av polspenningen og får disse resultatene målt i V:

H0 : Forventningsverdien til målingene er lik1,35.

H₁ : Forventningsverdien til målingene er ulik1,35.

c) Magnus ønsker å anslå hvor mange målinger han bør gjøre for å oppnå et mer sikkert resultat. Han er villig til å gjøre mer enn 30 målinger. Han ønsker å finne et95%-konfidensintervall for polspenningen på batteriet. Dette konfidensintervallet ønsker han at skal ha en lengde mindre enn0,01 V. Bruk de foreløpige målingene til å gjette en rimelig verdi for standardavviket, og anslå deretter hvor mange målinger Magnus bør gjøre.

Fasit versjon 6:

a) x¯= 1,365og s= 0,030749.

b) Tosidig T-test med t_α/2 = 2,776 og observert verdi for testobservator t = 1,091.

Behold nullhypotese.

c) På signifikansnivå α= 0,05 og anslått verdi for standardavvik σ≈0,03 burde139 målinger gi den ønskede sikkerheten.

(29)

Beathe har satt opp et eksperiment for å måle massen salt av oppløst i vann. Dessverre gir hennes selvlagde laboratorieoppsett noe unøyaktige avlesninger. Beathe antar at hver enkeltmåling har en feil som er tilfeldig og normalfordelt.

Anna-Lena har gitt Beathe en mettet oppløsning, og de ønsker å bestemme hvor mye salt oppløsningen inneholder. Det er kjent at en mettet natriumnitratoppløsning 25^◦C inneholder 91,2 g pr desiliter. Beathe gjør 5 målinger av den mettede oppløsningen og får disse resultatene målt i g pr desiliter:

H0 : Forventningsverdien til målingene er lik91,2.

H₁ : Forventningsverdien til målingene er ulik91,2.

c) Beathe ønsker å anslå hvor mange målinger hun bør gjøre for å oppnå et mer sikkert resultat. Hun er villig til å gjøre mer enn 30 målinger. Hun ønsker å finne et95%- konfidensintervall for oppløst masse av salt. Dette konfidensintervallet ønsker hun at skal ha en lengde mindre enn1,0 gpr desiliter. Bruk de foreløpige målingene til å gjette en rimelig verdi for standardavviket, og anslå deretter hvor mange målinger Beathe bør gjøre.

Fasit versjon 7:

a) x¯= 90,9 og s= 3,9478.

b) TosidigT-test med t_α/2 = 2,776og observert verdi for testobservator t =−0,170.

c) På signifikansnivå α = 0,05 og anslått verdi for standardavvik σ ≈ 4 burde 246 målinger gi den ønskede sikkerheten.

(30)

Birte har satt opp et eksperiment for å måle molar masse til proteiner. Dessverre er hennes selvlagde måleoppsett noe unøyaktig. Birte antar at hver enkeltmåling har en feil som er tilfeldig og normalfordelt.

Anna-Lena har gitt Birte et ukjent protein, som kanskje kan være insulin. Det er kjent at insulin har en molar masse på5793,6 g/mol. Birte gjør5målinger av en proteinet og får disse resultatene målt i g/mol:

c) Birte ønsker å anslå hvor mange målinger hun bør gjøre for å oppnå et mer sikkert resultat. Hun er villig til å gjøre mer enn 30 målinger. Hun ønsker å finne et95%- konfidensintervall for den molare massen. Dette konfidensintervallet ønsker hun at skal ha en lengde mindre enn 50 g/mol. Bruk de foreløpige målingene til å gjette en rimelig verdi for standardavviket, og anslå deretter hvor mange målinger Birte bør gjøre.

Fasit versjon 8:

a) x¯= 5770,7og s= 77,156.

b) TosidigT-test med t_α/2 = 2,776og observert verdi for testobservator t =−0,664.

c) På signifikansnivå α = 0,05 og anslått verdi for standardavvik σ ≈ 80 burde 40 målinger gi den ønskede sikkerheten.

(31)

I fotball har man begrepet hjemmebanefordel. Etter 12.mars i 2020 har koronatiltakene gitt store begrensninger i fotballen. Blant annet har kampene blitt spilt uten publikum, eller med kun et begrenset publikum. Dette kan ha hatt innvirkning på hjemmebanefordelen. I denne oppgaven skal du se på hjemmebanefordelen i Eliteserien i Norge før og etter koronatiltakene, og sammenligne ved hypotesetesting.

a) LaX₁ være antall poeng til hjemmelaget i fotballkamper spilt med koronarestrik- sjoner. Det gis 3 poeng ved hjemmeseier, 1 poeng ved uavgjort, og 0 poeng ved borteseier. Data fra Eliteserien i Norge er hentet fra nifs.no. Dette datasettet inneholder alle kamper spilt fra og med 16.juni til og med 8.november 2020:

Resultat Antall kamper Hjemmeseier X₁= 3 88

UavgjortX₁ = 1 43 Borteseier X1 = 0 61

Vis utregning av gjennomsnitt og standardavvik for dette datasettet. Svarene skal bli X¯₁ ≈1,5990og S₁ ≈1,3423.

b) Til sammenligning la X2 være poeng til hjemmelaget i en fotballkamp spilt før innføringen av koronatiltakene. Vi har følgende data fra Eliteserien 2019. Dette datasettet inneholder alle kamper spilt fra og med 30.mars til og med 1.desember 2019.

Resultat Antall kamper Hjemmeseier X₂= 3 113

UavgjortX2 = 1 73 Borteseier X2 = 0 54

Vi legger disse to datasettene inn i Excel og får følgende utskrift:

t-Test: To utvalg med antatt like varianser

Eliteserien før Eliteserien etter

Gjennomsnitt 1.716666667 1.598958333

Varians 1.6013947 1.801674302

Observasjoner 240 192

Gruppevarians 1.690356105

Antatt avvik mellom gjennomsnittene 0

fg 430

t-Stat 0.935044907

P(T<=t) ensidig 0.175144977

T-kritisk, ensidig 1.648404969

P(T<=t) tosidig 0.350289953

T-kritisk, tosidig 1.965496192

Bruk utskriften fra Excel til å gjennomføre en hypotesetest der den ene hypotesen er

H : I Eliteserien er hjemmebanefordelen mindre etter innføringen av koronatiltak. (µ₁ < µ₂)

(32)

Benytt signifikansnivå α= 0,05.

Hvilken hypotesetest kan du bruke i dette tilfellet? Hvilke forutsetninger krever denne testen? Gjelder forutsetningene for datasettet som er oppgitt? Hva er nullhypotese og alternativ hypotese? Hva blir konklusjonen? Gi din kommentar til resultatet.

a) Datasettet består av 88 kopier av 3-ere, 43 kopier av 1-ere og 61 repeterte 0-ere.

Gjenomsnittet blir

¯

x= 1

88 + 43 + 61(88·3 + 43·1 + 61·0)≈1,5990.

Variansen regnes også ved å gange opp kvadratavvikene etter antall kopier:

s² = 1

88 + 43 + 61−1 88·(3−1,5990)²+ 43·(1−1,5990)²+ 61·(0−1,5990)²

≈1,8017 Ved kvardatrot blir standardavviket s≈1,3423.

b) I hypotesetesten vil ma sammenligne forventningsverdien i to ulike datasett. Vi kjenner ikke standardavviket i noen av dem. Dessuten er dataene ikke paret. Det er mer enn 30 målinger i hver dataserie, så man trenger ikke anta at målingene er normalfordelt. Vi bruker en ensidig uparet T-test med antatt like varianser. Fra utskriften ser man at variansene er tilnærmet like store, så antagelsen om variansene er i orden. Det er også en forutsetning at dataene er uavhengige, altså at resultatet i en forballkamp ikke påvirker resultatet i en annen kamp. Denne antagelsen virker jo umiddelbart gal, men kanskje det jevner seg ut med mange kamper i datasettet, så vi regner likevel.

HypotesenHsom er oppgitt er at hjemmebanefordelen har blitt mindre etter innfø-

ringen av koronatiltak. Dette er påstanden vi ønsker å bevise, altså erH vår alternative hypotese.

Nullhypotesen blir at hjemmebanefordelen ikke har blitt mindre etter innføringen av koronatiltak.

Vi gjennomfører hypoteseteste ved å sammenligne signifikansnivået α= 0,05 med avlest p-verdi. For en ensidig test ser vi at p = 0,175144977. Dette er større enn α. Vi beholder nullhypotesen. Kommentar: Det trengs nok flere spilte kamper før man ka påvise en signifikant sammenheng.

(33)

I fotball har man begrepet hjemmebanefordel. Etter 12.mars i 2020 har koronatiltakene gitt store begrensninger i fotballen. Blant annet har kampene blitt spilt uten publikum, eller med kun et begrenset publikum. Dette kan ha hatt innvirkning på hjemmebanefordelen. I denne oppgaven skal du se på hjemmebanefordelen i Toppserien for kvinner i Norge før og etter koronatiltakene, og sammenligne ved hypotesetesting.

a) LaX₁ være antall poeng til hjemmelaget i fotballkamper spilt med koronarestrik- sjoner. Det gis 3 poeng ved hjemmeseier, 1 poeng ved uavgjort, og 0 poeng ved borteseier. Data fra Toppserien i Norge er hentet fra nifs.no. Dette datasettet inneholder alle kamper spilt fra og med 3.juli til og med 15.november 2020:

b) Til sammenligning la X2 være poeng til hjemmelaget i en fotballkamp spilt før innføringen av koronatiltakene. Vi har følgende data fra Toppserien 2019. Dette datasettet inneholder alle kamper spilt fra og med 23.mars til og med 16.november 2019.

Toppserien før Toppserien etter

Gjennomsnitt 1.462121212 1.593023256

Varians 1.792447375 1.797127223

fg 216

t-Stat -0.705193298

P(T<=t) ensidig 0.240724851

P(T<=t) tosidig 0.481449703

H: I Toppserien er hjemmebanefordelen mindre etter innføringen av koronatiltak. (µ₁ < µ₂)

(34)

Fasit versjon 2:

a) Se løsningsforslag på versjon 1.

b) p= 0,240724851større ennα. Merk her at fortegnet på testobservator er negativt.

I observerte data har faktisk hjemmebanefordelen økt i Toppserie etter innføringen av koronatiltak. Økningen er ikke signifikant.

(35)

I fotball har man begrepet hjemmebanefordel. Etter 12.mars i 2020 har koronatiltakene gitt store begrensninger i fotballen. Blant annet har kampene blitt spilt uten publikum, eller med kun et begrenset publikum. Dette kan ha hatt innvirkning på hjemmebanefordelen. I denne oppgaven skal du se på hjemmebanefordelen i Premier League i England før og etter koronatiltakene, og sammenligne ved hypotesetesting.

a) LaX₁ være antall poeng til hjemmelaget i fotballkamper spilt med koronarestrik- sjoner. Det gis 3 poeng ved hjemmeseier, 1 poeng ved uavgjort, og 0 poeng ved borteseier. Data fra Premier League i England er hentet fra nifs.no. Dette datasettet inneholder alle kamper spilt fra og med 17.juni til og med 8.november 2020:

b) Til sammenligning la X2 være poeng til hjemmelaget i en fotballkamp spilt før innføringen av koronatiltakene. Vi har følgende data fra Premier League 2019/20.

Dette datasettet inneholder alle kamper spilt fra og med 9.august 2019 til og med 9.mars 2020.

Premier League før Premier League etter

Gjennomsnitt 1.596551724 1.476470588

Varians 1.743240663 1.848555517

fg 458

t-Stat 0.931221785

P(T<=t) ensidig 0.176114723

P(T<=t) tosidig 0.352229446

H: I Premier League er hjemmebanefordelen mindre etter innføringen av koronatiltak. (µ₁ < µ₂)

(36)

Fasit versjon 3:

b) p= 0,176114723større ennα. Reduksjonen av hjemmebanefordel i Premier League er ikke signifikant.

(37)

I fotball har man begrepet hjemmebanefordel. Etter 12.mars i 2020 har koronatiltakene gitt store begrensninger i fotballen. Blant annet har kampene blitt spilt uten publikum, eller med kun et begrenset publikum. Dette kan ha hatt innvirkning på hjemmebanefordelen. I denne oppgaven skal du se på hjemmebanefordelen i Bundesliga i Tyskland før og etter koronatiltakene, og sammenligne ved hypotesetesting.

a) LaX₁ være antall poeng til hjemmelaget i fotballkamper spilt med koronarestrik- sjoner. Det gis 3 poeng ved hjemmeseier, 1 poeng ved uavgjort, og 0 poeng ved borteseier. Data fra Bundesliga i Tyskland er hentet franifs.no. Dette datasettet inneholder alle kamper spilt fra og med 16.mai til og med 8.november 2020:

b) Til sammenligning la X2 være poeng til hjemmelaget i en fotballkamp spilt før innføringen av koronatiltakene. Vi har følgende data fra Bundesliga 19/20. Dette datasettet inneholder alle kamper spilt fra og med 16.august 2019 til og med 11.mars 2020.

Bundesliga før Bundesliga etter

Gjennomsnitt 1.517857143 1.282758621

Varians 1.820307495 1.676436782

fg 367

t-Stat 1.660783636

P(T<=t) ensidig 0.048805473

P(T<=t) tosidig 0.097610946

H: I Bundesliga er hjemmebanefordelen mindre etter innføringen av koronatiltak. (µ₁ < µ₂)

(38)

Fasit versjon 4:

b) p = 0,048805473 mindre enn α. Forkast nullhypotese. Reduksjonen av hjemmebanefordel i Bundesliga er signifikant.

(39)

I fotball har man begrepet hjemmebanefordel. Etter 12.mars i 2020 har koronatiltakene gitt store begrensninger i fotballen. Blant annet har kampene blitt spilt uten publikum, eller med kun et begrenset publikum. Dette kan ha hatt innvirkning på hjemmebanefordelen. I denne oppgaven skal du se på hjemmebanefordelen i Primera Divisón i Spania før og etter koronatiltakene, og sammenligne ved hypotesetesting.

a) LaX₁ være antall poeng til hjemmelaget i fotballkamper spilt med koronarestrik- sjoner. Det gis 3 poeng ved hjemmeseier, 1 poeng ved uavgjort, og 0 poeng ved borteseier. Data fra Primera Divisón i Spania er hentet fra nifs.no. Dette datasettet inneholder alle kamper spilt fra og med 11.juni til og med 8.november 2020:

b) Til sammenligning la X2 være poeng til hjemmelaget i en fotballkamp spilt før innføringen av koronatiltakene. Vi har følgende data fra Primera Divisón 19/20.

Dette datasettet inneholder alle kamper spilt fra og med 16.august 2019 til og med 10.mars 2020.

Primera División før Primera División etter

Gjennomsnitt 1.711111111 1.497409326

Varians 1.656009913 1.720045337

fg 461

t-Stat 1.747742528

P(T<=t) ensidig 0.040587195

P(T<=t) tosidig 0.08117439

H : I Primera Divisón er hjemmebanefordelen mindre etter innføringen av koronatiltak. (µ₁ < µ₂)

(40)

Fasit versjon 5:

b) p = 0,040587195 mindre enn α. Forkast nullhypotese. Reduksjonen av hjemmebanefordel i Primera División er signifikant.