itd15013-06.05.14

ITD15013 Matematikk 1, andre deleksamen, mai 2014 Side 1 av 6

EKSAMEN

Emnekode:

ITD15013

Emne:

Matematikk 1 Dato:

6. mai 2014

Eksamenstid:

09.00 – 12.00 Hjelpemidler:

- To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider.

- Formelhefte.

Kalkulator er ikke tillatt.

Faglærer:

Christian F Heide

Eksamensoppgaven:

Oppgavesettet består av seks sider inklusiv denne forsiden og to vedlegg. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene.

Oppgavesettet består av seks oppgaver med i alt 11 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Der det er mulig skal du:

 vise utregninger og hvordan du kommer fram til svarene

 begrunne dine svar, selv om dette ikke er eksplisitt sagt i hvert spørsmål

Sensurdato: 28. mai 2014

Karakterene er tilgjengelige for studenter på studentweb senest 2 virkedager etter oppgitt sensurfrist. Følg instruksjoner gitt på: www.hiof.no/studentweb

ITD15013 Matematikk 1, andre deleksamen, mai 2014 Side 2 av 6 Oppgave 1

Figuren viser grafene til sinus og cosinus. Finn arealet av det skraverte området. (Grafene skjærer hverandre i punktet x ^₄).

Oppgave 2

Løs følgende initialverdiproblem:

0 ,

6 ) 1 ( 2

' y x³ y  x

xy

Oppgave 3

a) Den laplacetransformerte til en funksjon f(t) er gitt ved:

1

1 2 ) 1

(  

 

s s s

F

Finn f(t), altså den inverse laplacetransformasjonen til F(s). b) Bruk laplacetransformasjon til å løse følgende initialverdiproblem:

) 2 ( 3 2 '

''y y  t

y  y(0)0, y'(0)3 hvor (t2) er en enhetspuls (Diracs delta) ved t = 2.

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3 3,3 3,6 3,9 4,2

sinx cosx

ITD15013 Matematikk 1, andre deleksamen, mai 2014 Side 3 av 6 Gitt følgende matrise:





























9 12 9 3

5 8 7 3

14 6 3 0 A

a) Finn alle løsninger av ligningssystemet Ax = 0.

b)

i) Forklar hva som menes med at vektorer er lineært avhengige eller uavhengige.

ii) Er kolonnevektorene i A lineært uavhengige? Begrunn svaret.

c) Finn en basis for kolonnerommet og en basis for nullrommet til matrisen.

d) For matrise A, finn

i) dimensjonen til kolonnerommet ii) rangen

iii) nulliteten

Oppgave 5

a) Gitt følgende matrise.



 



 2 1

4 A 5

Finn matrisens egenverdier og de tilhørende egenvektorsettene.

b) En lineærtransformasjon T: R²  R² speiler vektorer om linjen x₂  x₁ som figuren nedenfor viser. Hva er transformasjonens egenverdier og tilhørende egenvektorsett?

v T(v) x₂ = x₁

x1

x2

ITD15013 Matematikk 1, andre deleksamen, mai 2014 Side 4 av 6 Oppgave 6

Finn verdien av følgende uegentlige integral dersom det konvergerer:



1 dx x

ITD15013 Matematikk 1, andre deleksamen, mai 2014 Side 5 av 6

Vedlegg 1: Laplacetransformasjonen – formelliste

Definisjon av laplacetransformasjonen:

) (s

Y = L(y(t)) =



) (t

y Y(s) = L(y(t)) Konvergensområde/

kommentar

1 s

1 s > 0

) , 3 , 2 , 1

(n 

tⁿ !₁



sn

n s > 0

eat

a s

1 s > a

) , 3 , 2 , 1

(n 

e

t^{n at} 1

) (

!

a ⁿ

s

n s > a

t

sin _{2 2}







s s > 0

t

cos s2 2

s s > 0

t

e^atsin 2 2

)

( 





a

s sa

eat

t

y( ) Y(sa)

) (t a

u  e ^as

s 1 

Enhetssprang

) ( )

(t a u t a

y   e^as Y(s)

) (ta

 _e^as Enhetspuls

(Diracs delta)

Derivasjon og integrasjon:

L





L





L ^









ITD15013 Matematikk 1, andre deleksamen, mai 2014 Side 6 av 6 Vedlegg 2: Eksakte trigonometriske verdier for noen vinkler