Onsdag 6. mai 1998
Lsninger
1a) En permanent blge forandrer ikke form. Dvs. at hvis den forplanter seg med en
konstant hastighet c i en rom-dimensjon, sa er blgeprolen u(x;t), som funksjon av
romkoordinaten x og av tiden t, en funksjon av bare en variabel = x ct. Altsa:
u(x;t)=(x ct).
Et solitonerenpermanent blgesom erlokalisert,dvs.at u(x;t) ogalledensderiverte
mhp.xgarmot 0narjxj!1,ogsom dessutenerstabilidenforstandat denbevarer
form, asymptotisknart!1,ved kollisjonermedandre lokaliserte blger(somikke
behvervresolitoner).
1b) At felteneu og u+Æu beggeerlsningeravsine{Gordon-ligningen, betyr at
u
tt u
xx
+sinu = 0;
(u+Æu)
tt
(u+Æu)
xx
+sin(u+Æu) = 0:
NarÆu eren innitesimalperturbasjon, og vi trekkerdenene ligningenfradenandre,
farvi at
Æu
tt Æu
xx
+(cosu)Æu=0:
1c) Foravise at energienE eren bevegelseskonstant, regnerviut dentidsderiverte.
Narvisetter innfrasine{Gordon-ligningen, farviat
dE
dt
= Z
1
1 dx(u
t u
tt +u
x u
xt
+(sinu)u
t )
= Z
1
1 dx(u
t u
xx +u
x u
xt )= u
x u
t j
1
1
=0:
Integranden iintegralet for E er energitettheten,kall den =(x;t). Beviset ovenfor,
for at energien er bevart, gar ut paa nne et uttrykk for energistrmmen j = j(x;t)
slik at kontinuitetsligningen
@
@t +
dj
dx
=0
er oppfyltsom enkonsekvens av sine{Gordon-ligningen. Lsningenerj = u
x u
t .
Energitettheten bestaravtre leddsomhverforsegerikke-negative. Detreintegralene
ma vre endelige hverfor seg forat E skal bliendelig. Det betyr at den tidsderiverte
u
t
ogden romderiverteu
x
beggemavre kvadratisk integrerbarefra 1 til1, ogat
funksjonen 1 cosuma vreintegrerbar.
Denenklestematenaoppnadetpa,erat u
t
!0,u
x
!0og1 cosu!0\tilstrekkelig
raskt"narjxj!1. Detbetyrspesieltfordenasymptotiskeoppfrselentiluigrensene
x!1 atu !2m narx! 1og at u!2n narx!1,medm og nheltallige.
Hvis m6=n, betyr detat lsningeninneholderett ellerere solitoner.
1d) Den oppgitte lsningen'(x)=4arctane x
eruavhengig av tident. Denligningen som
vi skalvise eroppfylt,erderfor
' 00
(x)+sin('(x))=0:
' 0
= 4e
x
1+e 2x
= 2
coshx
;
' 00
=
2sinhx
cosh 2
x :
Dener=arctane x
. Daharvi f.eks. at
sin(2) =
2sin cos
cos 2
+sin 2
=
2tan
1+tan 2
= 2e
x
1+e 2x
= 1
coshx
;
cos (2) = cos
2
sin 2
cos 2
+sin 2
=
1 tan 2
1+tan 2
= 1 e
2x
1+e 2x
= tanhx;
sin' = sin(4)=2sin(2)cos(2)=
2sinhx
cosh 2
x :
Flgelig er ' 00
+sin'=0,somvi skullevise.
Vi harvidereat
(cos')' 0
= d
dx
sin'= 2
coshx +
4sinh 2
x
cosh 3
x
= 2
coshx
4
cosh 3
x
;
og detgir at
cos'=1 2
cosh 2
x
;
forvrigdet resultatetsom skullevises underneste punkt.
Vi fardaat
E = Z
1
1 dx
1
2 ('
0
) 2
+1 cos'
= Z
1
1 dx
4
cosh 2
x
= 4tanhxj 1
1
=8:
Ved speilingomorigo, x! x,farvi lsningen4arctane x
,et antitvinn.
Ved translasjonen avstandafarvilsningen4arctane x a
.
Begge disse nye lsningenehar uforandretenergi, E=8
(det seren lett veda bytte integrasjonsvariabel).
VedLorentz-transformasjonfarvilsningen4arctane (x ct)=
p
1 c 2
,denbevegersegmed
konstant blgeprolog med konstant hastighetc(vimaforutsetteat jcj<1).
Siden denopprinneligelsningenhadde energi8 ogimpuls0,vil den
Lorentz-transformerte lsningenhaenergi
E= 8
p
1 c 2
:
1e) Vi haralleredevistat V(x)=1 (2=cosh 2
x).
Schrodinger-ligningen
d 2
dx 2
+V(x)
!
(x)= (x);
med = '
0
og med = 0, flger direkte ved derivasjon av sine{Gordon-ligningen
' 00
+sin'=0.
Grunntilstandsenergienkan nemlignnes ved minimaliseringav
1
N Z
1
1
dx
d 2
dx 2
+V
!
= 1
N Z
1
1 dx
d
dx
2
+V 2
!
;
der blgefunksjonen=(x)varieresog N ernormeringsintegralet for,
N = Z
1
1 dx
2
:
Veda velge en funksjon utennullpunktminimaliserer vi bidraget fra(d=dx) 2
, som
er positivt (dette bidraget tolkes i kvantemekanikken som forventningsverdien av den
kinetiskeenergien).
1f) Foraunderske omkspunkteterstabilteller ustabilt,mavi underske tidsavhengige
innitesimale perturbasjoner Æu =Æu(x;t). Ligningenfor Æu fant vi under punkt 1b),
nemlig
Æu
tt Æu
xx
+(cos')Æu=0:
Siden dette er en linerligningfor Æu, Fourier-transformerer vi mhp.tiden. Det vilsi
at vi studererlsningermed eksponensielltidsavhengighet,
Æu(x;t) =Æw(x)e t
:
Her eren Lyapunoveksponent. Dafarvi Schrodinger-ligningen,
d 2
dx 2
+V(x)
!
Æw(x)= 2
Æw(x):
Underpunkt1e)konkludertevimedategenverdien 2
har0somnedregrense,dvs.at
alle Lyapunoveksponentene errent imaginre. Detnnes altsaingen mulige innitesi-
maleperturbasjoner somdivergerer eksponensielt.
Siden rent imaginreLyapunoveksponenterer etmarginalt tilfelle nardet gjelder sta-
bilitet, burde vi strengt tatt studere den perturberte sine{Gordon-ligningen til andre
orden iÆu,men sa grundigtilverksgarvi ikke her.
2a) Hvis f(x
)=x
,og erliten,sa er
f(x
+)=x
+f
0
(x
)+O(
2
):
Hvis derfor jf 0
(x
)j<Æ<1, sa vildetvre muligavelge litennok tilat
jf(x
+) x
j<Æjj:
Hvis vibetegnerdennganger itererte funksjonenmedf n
,harvida at
jf n
(x
+) x
j<Æ
n
jj:
Det viser at iterasjonen konvergerer mot x
, som altsa er et stabilt kspunkt. Hvis i
stedet jf 0
(x
)j>Æ>1, gjelderdenmotsatte ulikheten forsma nok,
jf(x
+) x
j>Æjj:
Fordenoppgitte n-syklusenharvi at x
0
,eller en hvilken somhelst x
k
,eret kspunkt
for f n
,altsaat f n
(x
0 ) =x
0
. Dvs.at n-syklusenerstabil ellerustabilalt etter om den
deriverte
[f n
] 0
(x
0 )=
df n
(x
0 )
dx
0
er mindreeller strreenn1 iabsoluttverdi. I flgekjerneregelener
[f n
] 0
(x
0 )=f
0
(x
n 1 )f
0
(x
1 )f
0
(x
0 ):
Eller,samme formelskrevet paen annenmate,
dx
n
dx
0
= dx
n
dx
n 1
dx
2
dx
1 dx
1
dx
0 :
Stabilitetsbetingelsenerderfor at
[f n
] 0
(x
0 )
=
f 0
(x
n 1 )
f 0
(x
1 )
f 0
(x
0 )
<1:
2b) Denisjonenpafunksjonen gerat g(h(x))=h(f(x))foret vilkarligpunkt x.
Dvs. at gh = hf, eller ekvivalent g = ghh 1
= hfh 1
. Vi skriver f.eks. hf for en
funksjonsom ersammensetningenavde to funksjonene h ogf,frst f og sa h.
Dersom x
eretkspunktforf,dvs.f(x
)=x
,ogvidere y
=h(x
), sa er
g(y
)=g(h(x
))=h(f(x
))=h(x
)=y
;
som viser at y
er etkspunktforg.
Betingelsenfor at x
er etstabiltkspunktforf,erat jf 0
(x
)j<1.
Betingelsenfor at y
eretstabiltkspunktforg,erat jg 0
(y
)j<1.
Vi skalviseat disse to betingelsene erekvivalente.
Det flgeravat g 0
(y
)=f
0
(x
),som bevisesslik:
Ved derivasjonav ligningeng(h(x))=h(f(x)) farvi at g 0
(h(x))h 0
(x)=h 0
(f(x))f 0
(x).
Innsatt x=x
gir detat
g 0
(y
)h
0
(x
)=h
0
(x
)f
0
(x
);
og dermedg 0
(y
)=f
0
(x
).
At stabilitetskriteriet for en n-syklus, nemlig j [f n
] 0
(x
0
)j < 1, er koordinatuavhengig,
flger ganskedirekte. Viharat
g n
=(hfh 1
) n
=hfh 1
hfh 1
hfh 1
=hf n
h 1
:
Pasamme mate somovenfor beviservi da at [g n
] 0
(y
0 )=[f
n
] 0
(x
0 ).
Lyapunov-eksponentenforiterasjonen x
k+1
=f(x
k ) er
= lim
n!1 1
n n
X
k=1 lnjf
0
(x
k
)j= lim
n!1 1
n lnj[f
n
] 0
(x
1 )j;
mensLyapunov-eksponentenforiterasjonen y
k+1
=g(y
k ) er
= lim
n!1 1
n lnj[g
n
] 0
(y
1
)j= lim
n!1 1
n
lnjh 0
(x
n+1
)j+lnj[f n
] 0
(x
1
)j+lnj[h 1
] 0
(y
1 )j
:
Forutsatt at denderiverte h eren begrensetfunksjon, slikat
lim
n!1 1
n lnjh
0
(x
n+1
)j=0;
sa gjelderat =. Lyapunoveksponentenerdermed koordinatuavhengig.
2c) Fire slagsattraktorer:
stabilekspunkt, medtre negative Lyapunov-eksponenter;
grensesykler, medto negative Lyapunov-eksponenter, dentredje lik0;
toruser, meden negativ Lyapunov-eksponenter og to lik0;
bisarreattraktorer,meden negativLyapunov-eksponent,enlik0ogdentredjepositiv.
Den ene Lyapunov-eksponenten som alltid er lik 0, unntatt for et stabilt kspunkt,
svarer til en innitesimalperturbasjon av startpunktet i denretningen i rommet som
er tangent tilbanen.
2d) Gitt maleserienx
1
;x
2
;:::;x
N .
Takens's metode tila imitereet faserom gar paa velge en dimensjon d, og sa \tegne"
en attraktor som bestaravflgendepunkteri ddimensjoner:
(x
1
;x
2
;:::;x
d ),(x
2
;x
3
;:::;x
d+1
),opp til(x
N d+1
;x
N d+2
;:::;x
N ).
Hvis d bare velges stor nok, viser det seg at denne metoden gir brukbare estimat av
f.eks. dimensjonentilen attraktor.
2e) Bruk Takens's metode med dimensjonen d = 2, dvs. tegn en kurve med x
k+1 som
funksjonavx
k
fork=1;2:::;8 (de8 punktenevilihvertfallantydeen kurve).
Den frstelistengirda en parabel, mensdenandregir en merirregulr kurve.
Etgodttipseraltsaatdenfrstelistenergenerertvedenkaotiskiterasjonaven\glatt"
funksjon, mensdenandreeren liste av tilfeldigetall.
