A função potência na forma CRRA (constant relative risk aversion) já foi intensamente utilizada em diversos artigos (e.g., Mehra e Prescott, 1985; Ang, Bekaert e Liu, 2005), inclusive artigos que se tornaram referências importantes na compreensão do processo de decisão de investimentos e no desenvolvimento de modelos de apreçamento de ativos. A principal justificativa para o uso deste tipo de função se deve à independência da composição do portfólio ótimo de investimentos em relação à riqueza inicial do investidor. A função CRRA pressupõe ainda um comportamento intuitivo e desejado: quanto maior a riqueza do investidor, maior será o valor absoluto investido no ativo com risco (i.e., apresenta um comportamento do tipo DARA - decreasing absolute risk aversion).
As funções utilidade aplicadas em artigos acadêmicos geralmente se encaixam na classe de funções chamada HARA (hyperbolic absolute risk aversion), que pressupõe decisores com aversão ao risco. Conforme Feigenbaum (2003), a classe HARA de funções utilidade pode ser representada de forma abrangente da seguinte forma:
− + − = − 1 1 1 ) ( 1γ γ α γ γ M c c U
Onde M pertence ao conjunto (-1,0,1) e α >0. Se M for igual a 0 e α for igual a γ
γ
γ − −
1 , por exemplo, teremos uma função similar à
Entre as principais formas funcionais que se encaixam nesta classe, e que poderiam ser testadas no lugar da função potência, pode-se mencionar as seguintes funções:
• Funções das categorias CARA (constant absolute risk aversion) e IARA (increasing absolute risk aversion)
• Função logarítmica (ou de Bernoulli)
• Funções da categoria DRRA (decreasing relative risk aversion)
Dado que a substituição da função na forma CRRA por outra função só seria justificável no caso da função substituta apresentar propriedades que repliquem de forma mais adequada o comportamento real dos investidores, é interessante analisar as propriedades específicas de cada tipo de função.
A função CARA (e.g., função exponencial negativa) pressupõe um comportamento contra-intuitivo: quanto mais rico o investidor, menor será seu alfa ótimo. Suponhamos, por exemplo, que um determinado investidor dobre sua riqueza entre dois períodos. De acordo com a função CARA, este investidor manteria o mesmo valor absoluto investido em ações, o que significa que seu alfa ótimo diminuiria pela metade. Em outras palavras, quanto mais rico o investidor, menor será a participação do ativo com risco no seu portfólio ótimo e maior será o prêmio pelo risco exigido do mercado acionário para manter um mesmo nível de investimento. Esta propriedade, ainda que eventualmente seja aceitável em casos específicos, traz implicações econômicas que dificilmente justificariam seu uso como modelo adequado para replicar o comportamento real da maioria dos investidores. Diversos artigos, como Friend e Blume (1975) e Guiso, Jappelli e Terlizzese (1996), identificaram uma correlação positiva entre investimento em ativos com risco e riqueza, contrário portanto ao comportamento previsto pela função CARA.
Funções do tipo IARA pressupõem um comportamento ainda mais extremado, tornando-a ainda menos adequada: que o valor absoluto investido em ações cai com o aumento da riqueza.
A função de Bernoulli ou logarítmica (U=log(W)) apresenta um comportamento similar à função potência em termos de aversão relativa ao risco (CRRA), sendo na realidade um caso específico desta: quando o grau de aversão ao risco (γ) tende a 1, a função potência na forma apresentada nesta tese tende a um comportamento equivalente à função logarítmica. Uma função do tipo DRRA poderia trazer maiores contribuições na qualidade de replicação do comportamento dos investidores por prever um tipo de comportamento economicamente aceitável e que não pode ser replicado na função CRRA. Enquanto a função
CRRA prevê que, após um período de ganhos elevados na bolsa, o investidor venderá parte da sua carteira de ações para manter seu alfa constante (supondo as outras variáveis inalteradas), a função DRRA pressupõe que este investidor irá aumentar o tamanho do seu alfa (comprando ainda mais ações). O raciocínio inverso também é válido: caso o investidor tenha retornos negativos na bolsa, a função CRRA prevê que o investidor comprará ações para manter seu alfa constante, e a função DRRA prevê que este investidor venderá ações, diminuindo assim seu alfa.
Apesar destas duas formas funcionais serem mais comumente mencionadas pela sua capacidade em replicar a aversão ao risco do investidor como função da sua riqueza, não há consenso sobre qual delas é mais adequada. Arrow (1965) e Friend e Blume (1975), por exemplo, sugerem que a função CRRA é adequada, enquanto outros autores (e.g., Guiso, Jappelli e Terlizzese, 1996; Ogaki e Zhang, 2001) encontraram evidências de que os investidores mais ricos tendem a apresentar maior participação de ativos com risco em seu portfólio, apontando para a forma funcional do tipo DRRA.
Conforme Ogaki e Zhang (2001), a função DRRA pode ser representada na forma abaixo: γ γ ϕ − − − = 1 1 ) ( ) (W W U
onde ϕ=parâmetro de preferência que determina se a função acima será CRRA (ϕ=0), IRRA (ϕ<0) ou DRRA (ϕ>0), sujeito à condição W >ϕ.
A função acima, quando na forma DRRA (ϕ>0), permite simular comportamentos com alfas ótimos mais baixos que a função CRRA quando o valor de ϕ é alto proporcionalmente ao tamanho da riqueza. Exemplificando, para um cenário com índice de Sharpe de 0,2, desvio-padrão de 20% e CDI de 8%, a função DRRA permite gerar alfas ótimos de 12% para grau de aversão ao risco de γ=4 e grau de aversão a perdas de D=1, contra um alfa ótimo de aproximadamente 28% para uma função na forma CRRA com os mesmos níveis de aversão ao risco e aversão a perdas. Estes resultados indicam que a propriedade DRRA pode ser uma possível alternativa para explicar baixas taxas de investimento para os investidores mais pobres, mas, para níveis maiores de riqueza, os resultados da função acima se aproximam da função CRRA. Adicionalmente, a função na forma DRRA só acomoda alfas muito baixos (próximos de zero) quando considerados graus de aversão ao risco no limite dos parâmetros fixados anteriormente (γ →7).