Teachers’ past learner experiences and teacher cognition

A dificuldade de estimação da taxa livre de risco e do retorno esperado de mercado em países emergentes e, mais especificamente, no Brasil, já foi levantada por vários autores (e.g., Damodaran, 1999; Sanvicente e Minardi, 1999; Tomazoni e Menezes, 2002; Iglesias, Battisti e Pacheco, 2006). Ao contrário dos EUA, onde a estimação do retorno de mercado e do prêmio pelo risco com base em dados históricos gera resultados relativamente próximos mesmo quando utilizados critérios diferentes, no Brasil este tipo de estimação gera valores extremamente discrepantes dependendo do período analisado e do critério utilizado. Adicionalmente, o retorno do mercado acionário brasileiro apresenta uma volatilidade muito

mais elevada do que a americana, o que dificulta ainda mais o uso de médias históricas de retorno para efeito de simulações de curto prazo.

Damodaran (1999), por exemplo, estima que o prêmio médio anual do mercado acionário americano no período entre 1926 e 1997 varia entre 5,6% e 12,0%, dependendo do período e da forma de estimação, enquanto o desvio-padrão do retorno anual de mercado é estimado em 20,0%. No Brasil, a estimação do retorno de mercado e do prêmio pelo risco gera resultados muito discrepantes dependendo do período analisado. Adicionalmente, o curto histórico de dados resulta em estimações estatisticamente menos confiáveis.

Como exemplo, o quadro abaixo apresenta a média e o desvio-padrão do retorno anual do Ibovespa, assim como a taxa CDI, para o período de 1974 a 2006 e para dois sub-períodos (apesar da existência do índice Ibovespa desde 1968, a base de dados para a taxa CDI compreende apenas o período a partir de 1974).

Tanto o retorno do mercado acionário como a variação da taxa CDI foram deflacionados pelo índice IPC-FIPE. A escolha do índice de inflação foi arbitrária uma vez que o objetivo é neutralizar o efeito da inflação na volatilidade dos ativos, tendo o mesmo impacto na taxa livre de risco e no retorno do ativo com risco. A mudança do índice de inflação utilizado para deflacionar os retornos não altera os resultados dos testes.

Quadro 2: Histórico Anual de Retorno e Risco: Ibovespa e CDI (dados deflacionados pelo IPC-FIPE)

Período Ibovespa CDI Prêmio Sharpe

Média Aritmética 1974-2006 31.11% 9.92% 21.19% 0.25 1974-1996 34.78% 7.91% 26.87% 0.28 1997-2006 22.67% 14.55% 8.12% 0.16 Desvio-Padrão 1974-2006 84.23% 15.39% 80.98% 1974-1996 95.79% 17.68% 91.10% 1997-2006 51.78% 6.66% 52.51% Fonte: IpeaData (cotações). Estatísticas estimadas pelo autor

Nota-se, pelos dados acima, que no período total de existência conjunta das duas séries estudadas (1974-2006), o retorno anual do Ibovespa apresentou um desvio-padrão de 84,2% e o prêmio pelo risco um desvio-padrão de 80,9%, o que confirma a elevada volatilidade e a conseqüente dificuldade em se estimar o prêmio pelo risco de mercado no Brasil. Adicionalmente, observa-se ainda que no sub-período amostral que é foco deste estudo (1997 a 2006), o mercado acionário apresentou, comparativamente ao sub-período de 1974 a 1996, um retorno médio anual sensivelmente menor, ao mesmo tempo em que a taxa CDI apresentou um retorno sensivelmente maior, resultando em um prêmio médio pelo risco

bastante divergente entre os dois períodos. Por outro lado, o desvio-padrão do retorno anual do mercado acionário também sofreu uma redução sensível.

Quanto à questão do curto período de dados históricos, uma forma de tentar reduzir, ao menos parcialmente, este problema é utilizar dados mensais, conforme apresentado no quadro abaixo:

Quadro 3: Histórico Mensal de Retorno e Risco: Ibovespa e CDI (dados deflacionados pelo IPC-FIPE)

Período Ibovespa Over/CDI Prêmio Sharpe *

Média Aritmética 1974-2006 2.24% 0.74% 1.50% 0.09 1974-1996 2.51% 0.57% 1.94% 0.10 1997-2006 1.63% 1.13% 0.50% 0.05 Desvio-Padrão 1974-2006 16.44% 2.52% 16.26% 1974-1996 18.55% 2.96% 18.32% 1997-2006 10.03% 0.73% 10.04% * Índice de Sharpe mensal.

Fonte: IpeaData (cotações). Estatísticas estimadas pelo autor

O uso de dados mensais permite aumentar sensivelmente o tamanho da amostra (de 33 observações anuais para 402 observações mensais), resultando em estimativas estatisticamente mais confiáveis, além de apresentarem uma distribuição mais próxima da normal (conforme será visto mais adiante), de acordo com a premissa do modelo.

Uma dificuldade adicional encontrada nas simulações foi o fato de alguns portfólios gerarem retornos abaixo de -100% - isto ocorre principalmente nas simulações com premissas anuais. Assim, se o retorno esperado de mercado é de 30% ao ano e seu desvio-padrão é de 60%, a premissa de distribuição normal resulta em uma probabilidade razoável de ocorrerem cenários com retornos abaixo de -100% (considerando um intervalo de confiança de 3 desvios-padrão, por exemplo). Como na prática este resultado é impossível de acontecer (ao menos no mercado a vista), o número de desvios-padrão considerados da distribuição destes portfólios foi reduzido até o ponto onde não são gerados retornos abaixo de -100%. O corte foi feito nos dois extremos da distribuição, de forma simétrica.

A decisão quanto ao uso de média aritmética ou geométrica dos retornos é uma questão de extrema importância na determinação dos parâmetros das simulações. Se o impacto de assumir uma ou outra média no mercado americano já resulta em divergências razoáveis, no caso do mercado brasileiro as divergências decorrentes do uso de um ou outro critério são muito grandes, principalmente devido à correlação negativa entre os retornos e à grande volatilidade do mercado acionário no Brasil. Exemplos de estimativas do mercado americano mostram que o prêmio pelo risco anual estimado com base na média aritmética

resulta em valores entre 150 e 200 pontos-base (1,5% a 2,0%) acima do prêmio pelo risco anual estimado pela média geométrica para o período de 1926 a 1997 (Damodaran, 1999). No caso brasileiro, a diferença de prêmio pelo risco estimado por uma média e outra pode chegar a mais de 1800 pontos-base (18%) ao ano para o período de 1974 a 2006.

De forma geral, os autores apresentam desvantagens para as duas metodologias

quando o objetivo é estimar retornos no longo prazo: enquanto o uso da média aritmética tem

o defeito de superestimar os retornos no longo prazo, a média geométrica tem o defeito inverso, de subestimar os retornos de longo prazo (Blume, 1974; Indro e Lee, 1997).

Apesar de não haver um consenso para estimativas de longo prazo, diversos autores consideram adequado o uso da média aritmética quando se tratam de estimativas de curto prazo, sendo a média geométrica mais indicada para estimações de longo prazo. Damodaran (1999), por exemplo, menciona as vantagens de cada forma de cálculo, indicando que a média aritmética é adequada para estimativas de prêmio pelo risco de curto prazo (um ano, por exemplo), mas ressaltando que se os retornos históricos forem negativamente correlacionados, a média aritmética tenderá a superestimar o prêmio pelo risco, sendo então mais adequada a média geométrica, principalmente quando os prazos de estimação forem mais longos (5 ou 10 anos). Varga (2001) reforça o uso da média aritmética para períodos intermediários (ou de curto prazo) em contrapartida ao uso da média geométrica para análises de longo prazo. Bodie, Kane e Marcus (2006) também indicam a média aritmética como adequada para referências de curto prazo. Tanto Blume (1974) como Indro e Lee (1997) mostram que quanto menor o horizonte de investimento (N) vis-à-vis o horizonte da amostra histórica (T), maior é a adequação da média aritmética. Inversamente, à medida que N aumenta e se aproxima de T, a média geométrica se torna mais adequada. No limite mínimo, quando N=1, a média aritmética é a forma correta de estimar os retornos.

Dado o embasamento teórico apresentado acima, que considera adequado o uso da média aritmética para análises de curto prazo, foi decidido utilizar este critério na estimação dos parâmetros de retorno e risco das simulações do presente trabalho. Assim, para horizontes de decisão mensais, foi utilizada a média aritmética histórica mensal, e para horizontes de decisão anuais, foi utilizada a média aritmética do retorno anual. A média aritmética ainda se justifica pela forma que as informações quanto ao retorno dos ativos chega aos investidores e como estes incorporam mentalmente esta informação (principalmente os investidores individuais): os relatórios das instituições financeiras e as notícias dos jornais normalmente apresentam as taxas de retorno do CDI e do mercado acionário em prazos anuais ou mensais. Assim, é razoável supor que o investidor toma suas decisões raciocinando nas mesmas

medidas das informações que lhe são apresentadas, e não na forma de uma média geométrica estimada com base em retornos de prazos mais longos.

Deve ficar claro ainda que as médias aritméticas encontradas não foram utilizadas para estimar o retorno de longo prazo, o que certamente seria incorreto, conforme já mostrado pelos autores citados anteriormente (Blume, 1974; Indro e Lee, 1997).

Nesta primeira etapa de simulações, baseada em dados ex-post, decidiu-se utilizar como referência três tipos de dados para dar maior abrangência e robustez na análise dos resultados:

i) média aritmética anual dos dois sub-períodos apresentados acima (1974-1996 e 1997-2006);

ii) média aritmética móvel anual histórica de 10 anos; e

iii) médias aritméticas móveis mensais históricas de 10 anos e 5 anos.

Em que pese o fato do sub-período de 1997 a 2006 ter como premissa dados do próprio período amostral, seu uso se justifica pela eventual mudança estrutural de parâmetros que os dados estatísticos acima sugerem.

Os Apêndices III.i a III.iii apresentam as tabelas com os valores de α ótimo (aqueles que maximizam a utilidade esperada da riqueza final do investidor) para diferentes premissas de γ e D e de acordo com cada critério de estimação de expectativas expostos acima (os resultados para valores de γ e D que são classificados como rejeição forte não foram apresentados, conforme definido anteriormente na Seção 3.1). Os anos cujas premissas indicavam prêmio de risco negativo foram excluídos da amostra, já que seus resultados gerariam 100% de investimento em CDI, independentemente do coeficiente de γ e D. O Apêndice III.i apresenta as tabelas resultantes das simulações com base no critério (i) (sub- períodos amostrais de 1974-1996 e 1997-2006). O Apêndice III.ii apresenta o resultado das simulações anuais tendo por base o critério (ii) (média móvel anual histórica de 10 anos) e o Apêndice III.iii apresenta o resultado das simulações anuais tendo por base o critério (iii) (média móvel mensal histórica de 10 e 5 anos).

Com base nos resultados destas simulações, é possível fazer, resumidamente, as seguintes inferências prévias (estas inferências serão complementadas na análise das simulações que utilizam dados ex-ante mais à frente):

• A função utilidade tradicional com graus de aversão ao risco (γ) entre 0,5 e 2 gera resultados compatíveis com o comportamento dos fundos de pensão (incluindo

fundo Previ) no período de 1997 a 2006 na maioria dos cenários de expectativas com base em dados ex-post;

• A função utilidade tradicional com graus de aversão ao risco entre γ=0,5 e γ=4 gera resultados compatíveis com o comportamento médio dos fundos de pensão,

excluindo o fundo Previ, na maioria dos cenários de expectativas com base em

dados ex-post;

• O comportamento agregado dos investidores individuais é passível de ser replicado pela função utilidade tradicional apenas em alguns anos/cenários. No caso da função com aversão a perdas, o comportamento pode ser replicado por esta função para todo período apenas se considerado um horizonte mensal para tomada de decisão.

Visando evitar a rejeição indevida da hipótese H0, a análise acima foi feita utilizando

os patamares máximos de cada ano para o alfa real agregado dos investidores individuais, conforme Gráfico 1 da Seção 3.2.

Estas conclusões sugerem, primeiramente, não ser possível rejeitar a hipótese H0 na

forma média ou forte para os fundos de pensão independentemente do prazo utilizado para a estimativa das premissas de retorno e risco, e independentemente de considerar ou não o fundo Previ no cálculo do alfa real.

No caso dos investidores individuais, a análise dos resultados ainda não é conclusiva. Se tomada como base a média histórica entre 1974 e 1996, a função utilidade tradicional gera alfa ótimo de 9,2% para γ=7. Ou seja, permite replicar o resultado de alguns anos, mas não justifica o baixo investimento da maioria dos anos, principalmente dos primeiros anos da amostra. Se tomada por base a média do próprio período amostral (1997-2006), que ofereceu um prêmio pelo risco menor, é possível replicar o comportamento dos investidores individuais nos 10 anos da amostra com graus de aversão ao risco entre γ=3 e γ=7, dentro portanto do intervalo de rejeição (ainda que graus de aversão ao risco entre 3 e 5 sejam rejeitados apenas na forma fraca, graus de aversão ao risco entre 6 e 7 são rejeitados na forma média).

A análise dos resultados com base na média móvel anual de 10 anos (Apêndice III.ii) mostra que o comportamento dos investidores individuais seria rejeitado na forma forte para os anos 1997, 1998, 2000 e 2001 (γ >7), enquanto a rejeição na forma média (5<γ ≤7) ocorreria para o ano de 1999. Nos outros anos, o comportamento dos investidores individuais não seria rejeitado ou seria rejeitado apenas na forma fraca.

Quando utilizada a média móvel mensal de 10 anos (Apêndice III.iii), é possível rejeitar o comportamento dos investidores individuais na forma forte para os anos 1998 e 2001, e na forma média para os anos 1997, 1999 e 2000. Para a média móvel mensal de 5 anos, a rejeição na forma forte ocorre para os anos 1998, 2001 e 2004, enquanto a rejeição na forma média ocorre para os anos 1997 e 2000. Nos outros anos, a rejeição é apenas fraca ou não há rejeição (os anos de 1999, 2003 e 2005 não foram apresentados na análise com média móvel mensal de 5 anos pois o prêmio pelo risco era negativo).

A comparação dos alfas ótimos gerados pela função preferência com aversão a perdas (D<1) com os alfas reais dos investidores individuais, apesar de apresentar um grau de rejeição menor, também não permite replicar todos cenários de forma adequada. Se utilizada a média do período de 1974 a 1996 como base para expectativas, a função com aversão a perdas permite replicar o comportamento de todos anos, exceto 1997 e 1998. O período de 1999 em diante pode ser replicado, por exemplo, por valores de γ=2 e 0,6< D<0,7, não sendo possível rejeitar a função preferência com aversão a perdas nestes anos para qualquer nível de rejeição. No entanto, se tomado como base expectativas estimadas com base nos dados do próprio período de 1997 a 2006, a função preferência com aversão a perdas pouco agrega aos resultados da função utilidade tradicional. Isto ocorre porque, à medida que se analisa portfólios com baixo investimento em ações, as possibilidades de retorno negativo são mínimas, neutralizando o impacto da aversão a perdas. O uso de uma função preferência com aversão a perdas que tem como valor referencial (para diferenciar ganhos e perdas) o retorno do ativo livre de risco é menos suscetível a este tipo de problema, como será visto mais adiante. A análise dos resultados com base na média móvel anual de 10 anos mostra resultados similares ao período de 1997 a 2006: a função preferência com aversão a perdas pouco agrega aos resultados obtidos pela função tradicional.

Quando utilizada a média móvel mensal de 10 ou 5 anos como premissa para expectativas, nota-se que não é possível rejeitar a função com aversão a perdas em nenhum ano entre 1997 e 2006, já que parâmetros nos intervalos 0,5≤γ ≤2 e 0,6≤ D≤1 permitem replicar o comportamento destes investidores em todos anos.

Resumidamente, os resultados gerais das simulações dos modelos com dados ex-post sugerem que a hipótese nula (H0) não deve ser rejeitada para os fundos de pensão. No caso do

comportamento agregado dos investidores individuais, a rejeição ou não da hipótese nula é menos clara dada a dificuldade do modelo em replicar o comportamento dos investidores em alguns anos e em alguns cenários. A aplicação de uma função com aversão a perdas se

mostrou uma substituição mais adequada para horizontes de decisão mensais, mas sua adequação para horizontes de decisão anuais também não é óbvia.

A análise com dados ex-ante (com a aplicação do índice de Sharpe) na próxima parte permitirá compreender melhor o comportamento de cada modelo em diferentes cenários de prêmio pelo risco. A terceira parte completará esta seção apresentando os resultados de simulações de uma função preferência com aversão a perdas com valor referencial equivalente ao retorno do ativo livre de risco.