4.3.1 Amostragem regular, irregular e vazamento espectral
SCHONEWILLE (2000) descreve com muita propriedade o processo de amostragem regular e irregular reproduzido a seguir. Um sinal digital contínuo de banda limitada pode ser reconstruído se for uniformemente amostrado com um intervalo suficientemente pequeno de amostragem .
O processo de amostragem é uma multiplicação do sinal contínuo por um ―trem de impulsos‖ que gera o sinal amostrado. No domínio de Fourier, o espectro do sinal contínuo é convoluído com o espectro do ―trem de impulsos‖, que também é um ―trem de impulso‖, com intervalo , a periodicidade no domínio de Fourier. O resultado é um espectro repetido. A reconstrução é uma multiplicação com uma função retangular no domínio de Fourier, que é equivalente à convolução do sinal amostrado com uma função sinc (SCHONEWILLE, 2000).
No caso da amostragem não uniforme, a amostragem é uma multiplicação por um ―trem de impulsos‖ não uniformemente espaçado. O espectro desta função de amostragem não é um ―trem de impulsos‖, mas tem um pico em e um caráter de ruído para outros valores . O espectro do sinal contínuo não é repetido, mas perturbado. É claro que agora o sinal não pode ser reconstruído com perfeição pelo filtro passa baixa (SCHONEWILLE, 2000).
Como se pode ver, o vazamento espectral causado pela amostragem não uniforme prejudica a reconstrução do sinal. A seguir apresentamos a transformada de Fourier anti- vazamento (ALFT – antileackage Fourier transform) que visa atenuar o vazamento dos coeficientes de Fourier (XU, ZHANG, et al., 2005).
4.3.2 Algoritmo
Em 1949, Shannon publicou o artigo ―Communication in the Presence of Noise‖ (Comunicação na Presença de Ruído), que precisou um mecanismo geral para converter um sinal analógico em uma sequência de números. Isto o levou a afirmar o teorema da amostragem clássico logo no início do seu artigo, nos seguintes termos (UNSER, 2000) Teorema 3: se uma função não contém frequências maiores do que (em radianos por segundo), ela é completamente determinada dando suas coordenadas em séries de pontos espaçados com afastamento de segundos.
A fórmula da reconstrução foi dada por Shannon ∑
Algoritmos para os Cálculos das Transformadas
Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016. 53
em que é a função base.
Em grades regulares, com e inteiros, as funções base , como Fourier, são ortogonais, ou seja,
em que é a função delta de Kronecker e é o produto interno convencional em . Além disso, vale a condição unitária
∑
Porém, em uma grade arbitrariamente irregular, a condição de ortogonalidade e a condição unitária não valem. Essas condições são importantes pois simplificam grandemente a implementação da reconstrução dos dados e reduzem o vazamento espectral.
É fácil reconstruir a condição unitária em uma grade irregular (XU, ZHANG, et al., 2005). Geralmente, pode-se normalizar a condição unitária com alguns pesos aplicados aos dados. Denotando por , então a reconstrução normalizada torna-se
∑∑
(88)
Entretanto, o método de reconstrução baseado em (88) não atende à condição de ortogonalidade, logo os dados reconstruídos não batem com as medições originais em uma grade irregular. Então, trabalhamos no método de interpolação em grades irregulares prestando atenção à condição de ortogonalidade, que é considerada a condição mais importante na reconstrução dos dados (UNSER, 2000).
Para inserir a condição unitária aos coeficientes de Fourier consideramos agora a soma de Fourier normalizada para um único valor de variáveis da transformada de Fourier. A transformada direta e inversa são definidas como
∑
(89)
em que é o intervalo de soma, é o peso dos dados no somatório, é o coeficiente de Fourier para a frequência e denota a componente da frequência nos dados de entrada.
Em uma grade amostrada regularmente, afetará apenas a estimativa dos coeficientes de Fourier de frequência por causa da condição de ortogonalidade de Fourier. Mas em uma grade irregularmente amostrada, a condição de ortogonalidade falha, e o
Algoritmos para os Cálculos das Transformadas
Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016. 54
Para reduzir o vazamento, XU, ZHANG, et al. (2005) propõem o ALFT, que trabalha estimando os coeficientes de Fourier recursivamente, começando com os de máxima energia e continuando descendo para o de menor energia (ou magnitude). Depois de cada passo de estimativa, o calculado será redefinido para zero pela atualização dos dados de entrada. Matematicamente, é equivalente a remover o componente dos dados de entrada:
(90)
com o índice de iteração do algoritmo.
Portanto, a regularização pelo ALFT em uma grade irregular pode ser implementada nos seguintes passos:
Entrada: , .
1: Inicie o vetor ̂, que receberá os valores transformados, com zeros.
2: Calcule todos os coeficientes de Fourier dos dados de entrada usando o NDFT. 3: Selecione o coeficientes de Fourier com maior energia.
4: Guarde o valor de maior energia no vetor ̂.
5: Subtraia a contribuição deste coeficiente dos dados de entrada – Equação (90). 6: Repita as etapas 3 a 5 até um limiar.
Saída: valores de ̂ .
Figura 4.6: algoritmo 5 – ALFT.
Usa-se, então, esta entrada recém subtraída para resolver, para o próximo coeficiente de Fourier, com o mesmo critério de energia máximo. Repetimos o procedimento até que todos os coeficientes sejam resolvidos, isto é, até que todos os valores nas entradas atualizadas tendam a zero (na pratica, abaixo de um limiar). Baseado neste procedimento, não há necessidade de afunilar a borda dos dados para mitigar os efeitos de envoltória. Assumimos aqui que as funções de base global são ortogonais. A Equação (90) funciona como um mecanismo de ortogonalização para as bases de Fourier em uma grade irregular. Isto leva a uma solução prática para a minimização dos efeitos de vazamento de uma frequência para a outra. Ademais, a última atualização dos dados de entrada na grade irregular tenderá a zero depois de todas as operações de subtração. Isto implica que os dados reconstruídos dos coeficientes de Fourier obtidos se ajustam às medições originais. Portanto, o método de regularização de dados proposto atende a todos os requisitos de interpolação (XU, ZHANG, et al., 2005).
No caso de amostragem regular, os coeficientes de Fourier do ALFT são idênticos ao do FFT. Mas, por causa do cálculo que envolve a subtração, o algoritmo ALFT não é tão
Algoritmos para os Cálculos das Transformadas
Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016. 55
rápido quanto a FFT. Na verdade, o seu custo computacional é muito alto, aproximadamente de (XU, ZHANG e LAMBARÉ, 2010).
Capítulo 5
Aplicações das transformadas em sísmica
Tiago Cavalcanti da Rocha, Fevereiro/2016. 57