Agora consideramos uma estrutura alternativa para a localização dos pontos de frequência aplicando uma transformada passa-tudo para deformar o eixo de frequência, baseada em MAKUR e MITRA (2001).
Lembrando que uma função sistema é a razão da transformada da sequência de saída e a transformada da sequência de entrada ; uma função sistema de resposta infinita com resposta de magnitude unitária para todas as frequências, isto é, | ( )| ,
para todo , é chamada uma função de transferência passa-tudo (MITRA, 2001).
Aplicando uma transformada passa-tudo para deformar o eixo de frequência, os pontos uniformemente espaçados sobre o eixo de frequência deformado são equivalentes aos pontos de frequência uniformemente espaçados sobre o eixo de frequência original. Isso levou ao conceito de transforma da Fourier discreta warped (WDFT – Warped discrete Fourier transform) que avalia as amostras de frequência de em pontos desigualmente espaçados sobre o círculo unitário. Escolhendo os parâmetros de deformação podemos espaçar algumas amostras de frequência mais próximas umas das outras fornecendo uma melhor resolução em um intervalo de frequência selecionado sem aumentar o comprimento da DFT. MAKUR e MITRA (2001) propuseram, então, uma realização eficiente da WDFT que é exata e mais fácil de implementar do que o cálculo direto da WDFT.
A WDFT é um caso especial da NZT. Mais especificamente, a WDFT de pontos ̂ de uma sequência de comprimento é dada por amostras de frequência igualmente espaçadas de uma transformada Z, ̂ , modificada a partir de aplicando-se a transformação
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̂ (53)
em que ̂ é o filtro passa-tudo de coeficientes reais de ordem . Note que a transformação passa-tudo deforma a escala de frequência e, assim, os pontos uniformemente espaçados sobre o círculo unitário no plano ̂ são aplicados nos pontos não uniformemente espaçados sobre o círculo unitário do plano .
Aplicando o mapeamento da equação (53) em (16), obtemos ̂ ∑ ̂ (54) Se denotarmos ̂ ̂ ̂ ̂ (55) em que ̂ ̂ ̂ ̂ , chegamos a ̂ ∑ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
em que ̂ ∑ ̂ ̂ ̂ é um polinômio de grau que é uma função de e o denominador ̂ ̂ ̂ é outro polinômio de grau que não é, entretanto, uma função de .
A WDFT é definida como ̂ avaliada em ̂ , ou seja, ̂ ̂ | ̂ ̂ | ̂ ̂ | ̂ (56) Definindo-se ̂ ̂ ̂ ∑ [ ∑ ] ̂ (57)
em que é o -ésimo coeficiente de ̂ . Analogamente, defina
̂ ̂ ̂ (58)
em que ̂ e ̂ têm grau . Como ̂ | ̂ o cálculo da WDFT como
mostrado em (56) pode ser simplificado para
̂ ̂ | ̂ | ̂
̂ (59)
Sejam ̂ , ̂ os pontos DFT de sequências de comprimento obtida a partir dos coeficientes de ̂ e ̂
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̂ ̂ | ̂ ̂ ̂ | ̂ (60)
Então,
̂ ̂
̂ (61)
Usando a notação matricial, defina o vetor de entrada como
[
] (62)
e seja o vetor coluna formado a partir dos coeficientes de ̂ . Então, podemos encontrar como
(63)
em que é uma matriz real discutida adiante. Além disso, ̂ pode ser obtido como
[ ̂
̂ ̂ ]
(64)
em que é a matriz DFT , { } . Finalmente, os coeficientes da WDFT são obtidos como segue:
[ ̂ ̂ ̂ ] [ ̂ ̂ ̂ ][ ̂ ̂ ̂ ] (65)
Assim, obtemos uma fatoração da matriz WDFT no produto de uma matriz diagonal, a matriz DFT, e uma matriz real.
A matriz tem coeficientes reais uma vez que ̂ tem coeficientes reais. Como denota o coeficiente de ̂ , podemos escrever
[ ]
(66)
em que é uma matriz real .
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A partir de ̂ ∑ ̂ ̂ ̂ , a -ésima coluna de é obtida a partir dos coeficientes de ̂ ̂ ̂ , considerando que a -ésima coluna de
é obtida a partir dos coeficientes de ̂ ̂ ̂ . A partir de ̂ ̂ ̂ ̂ pode ser mostrado que
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (67)
Uma vez que cada coluna é de dimensão , segue-se que a -ésima coluna de é a imagem espelho de sua -ésima coluna. Portanto, as linhas também são pares de imagem espelho. Se denota a -ésima linha de , então é a imagem espelho de
.
Assim, é obtido a partir de pela soma de linha da última, como pode ser visto de ̂ ̂ ̂ ∑ [∑ ] ̂ .
Seja a -ésima linha de , . Então, ∑
(68)
Para um inteiro apropriado, tal que , a -ésima linha de é ∑ ∑ (69)
Isto ocorre porque , portanto qualquer tal que também satisfará . Mas, é a imagem espelho de . Portanto, segue-se que também é a imagem espelho de . Note que, se para algum , , então esta linha é simétrica.
Uma vez que todas as linhas de são pares de imagem espelho (ou, simétricas), cada uma dessas partes pode ser expressa como a soma e a diferença de um vetor linha simétrico e uma antissimétrico. Assim, pode ser calculado usando apenas multiplicações para cada linha.
O exemplo mais simples de uma aplicação não trivial é obtida usando a função passa- tudo de primeira ordem tendo ̂ ̂ , em que | | para estabilidade. Então, de (53) e (55), temos
̂
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Substituindo e ̂ ̂, em que a frequência angular original é e a frequência warped é ̂, tomando a raiz quadrada de ambos os lados e tomando a razão da parte imaginária e da parte real de cada lado, temos
(
( ̂
))
Esta transformação mantém a ordem dos pontos de frequência. Entretanto, para um positivo (negativo), a aplicação não linear se estende para a região de altas (baixas) frequências fornecendo altas resoluções de frequência enquanto comprime a parte restante. A DFT convencional torna-se um caso especial quando e a aplicação é linear. A Figura 4.1 ilustra a amostragem não uniforme de WDFT mostrando a localização das amostras sobre o círculo unitário do plano para a DFT e WDFT para (MAKUR e MITRA, 2001).
Figura 4.1: exemplo ilustrativo da localização das amostras de frequência para a DFT e WDFT para .
Quanto ao custo computacional, sendo um vetor de entrada complexo dimensional, o cálculo direto dos coeficientes WDFT a partir de (semelhante ao NDFT) requer que se multiplique por uma matriz complexa , ou multiplicações reais e somas reais (assumindo que uma multiplicação complexa envolve quatro multiplicações reais e duas somas reais, e uma soma complexa envolve duas somas reais). A realização proposta tem exigência total de multiplicações reais e somas reais.
Uma vez que a WDFT oferece a escolha de aumentar a frequência de resolução de qualquer parte selecionada do eixo espectral sem mudar , como também determina a frequência de qualquer ponto exato pela escolha de coeficientes passa-tudo, ela pode ser usada como uma ferramenta na análise de sinal. A principal aplicação da WDFT para os fins
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do nosso trabalho é na análise de sinal, na resolução de duas ou mais senoides estreitamente espaçadas com uma transformada de comprimento menor do que o necessário no uso da DFT convencional (MAKUR e MITRA, 2001). Outras aplicações também são encontradas em MENEZES (2014) e MAKUR e MITRA (2001).
Nas seções seguintes vamos aos métodos para calcular a NDFT baseados em BAGCHI e MITRA (1967) e RAO, KIM e HWONG (2010).