-
A argumentação na aula de Matemática
Em filosofias tradicionais da Matemática, o ideal matemático é o de um universo apodíctico no qual a validade dos enunciados deriva de fundamentos absolutos e auto-evidentes através de encadeamentos de raciocínios dedutivos. Nesta concepção, persegue-se a busca de uma linguagem artificial que permita afastar ambiguidades e aquilo que se prova é considerado necessário e irrefutável. A validade e o carácter de necessidade é garantido pelo formalismo da linguagem. Em tempos recentes, tem-se, no entanto, assistido a um forte questionamento desta concepção sobre a natureza da Matemática. Assinala-se o seu carácter redutor, destaca-se a necessidade de analisar em profundidade as práticas matemáticas reais, tanto actuais como passadas, e sublinha-se a importância de encontrar abordagens filosóficas que enquadrem e descrevam estas práticas de modo a serem consideradas as múltiplas vertentes da actividade matemática, em lugar de uma filosofia que prescreva o que devem ser. Para designar, globalmente, estas abordagens Tymoczko (1986) usa o termo “quasi-empiricismo” e Hersh (1997), defendendo que “a
parte da cultura humana, desenvolvida historicamente e apenas inteligível num contexto social” (p. xi), refere-se a esta perspectiva como “humanista”. Ambas as perpectivas, significativamente influenciadas pelo pensamento de Lakatos (1984), têm subjacente uma epistemologia falibilista.
Uma abordagem filosófica quasi-empiricista ou humanista traz para primeiro plano aspectos negligenciados pelas “escolas de pensamento absolutistas” (Ernest, 1991) preocupadas em garantir, de uma vez por todas, a certeza matemática. Entre estes aspectos estão a formulação de conjecturas, a apresentação de explicações ou justificações matemáticas que não satisfazem os cânones de rigor impostos à prova e práticas argumentativas envolvidas, em particular, no estabelecimento de conjecturas razoáveis e nos processos de comunicação entre os matemáticos.
René Thom (1973) afirmava que toda a pedagogia da Matemática tem subjacente, se bem que nem sempre de uma forma muito articulada e coerente, uma filosofia da Matemática. Aceitando esta perspectiva, a valorização da argumentação na aula de Matemática não será independente destas novas abordagens à filosofia da Matemática surgidas no século XX, embora elas não sejam o único factor de influência.
No entanto, apesar da frequente utilização da palavra “argumentação” em educação matemática e do valor que lhe é atribuído, a noção de argumentação não tem sido amplamente discutida, contrariamente ao que acontece, por exemplo, com os conceitos de prova ou demonstração (Pedemonte, 2002). De que se fala, quando se fala em argumentação? E o que há de particular na argumentação em Matemática ou na aula de Matemática? Dedico a primeira parte deste capítulo a uma reflexão sobre estas questões tendo por referência o pensamento de alguns filósofos que se debruçaram sobre o tema e literatura do âmbito da educação matemática. A segunda parte foca-se em aspectos relativos ao ensino orientado para a construção de uma cultura de argumentação.
À volta dos significados de argumentação e de argumentação em
Matemática
A argumentação presente na vida quotidiana, quer esta assuma a forma oral, escrita ou visual, é considerada por Oléron (1996) como um percurso “através do qual uma pessoa — ou um grupo — tenta conduzir um auditório a adoptar uma posição recorrendo a apresentações ou asserções — argumentos — que visam mostrar a sua validade ou fundamento” (p. 4). Esta definição permite destacar três características fundamentais da argumentação. Em primeiro lugar, é um fenómeno social, na medida em que mobiliza diversas pessoas. Em segundo lugar é um percurso através do qual se procura influenciar alguém. Em terceiro lugar, ao fazer intervir justificações e elementos de prova a favor da tese defendida, é um processo que comporta elementos racionais pelo que tem ligações com o raciocínio e a lógica.
Mobilizando raciocínios, linguagem, símbolos, imagens, a argumentação põe em jogo relações entre pessoas, mobiliza intenções, estratégias, processos de persuasão, e situa-se num contexto social, científico, económico, político, ideológico. Pode, assim, ser analisada através de múltiplas disciplinas, o que não facilita a obtenção de um ponto de vista claro e coerente sobre o seu significado e natureza. De facto, ao debruçarmo-nos sobre a argumentação, podemos interessar- nos pela sua articulação com a lógica, pela sua inserção na linguagem e nas actividades linguísticas, pelo desenvolvimento da capacidade de argumentar nas crianças e adolescentes, pelo seu papel e importância na produção de conhecimento científico, etc.
Não existindo um quadro de referência unanimemente aceite que permita fixar um conceito de argumentação e variando o uso do termo consoante as disciplinas que o solicitam (Plantin, 1990), opto por ter por fio condutor o pensamento de Perelman e Toulmin, articulando-o com considerações relativas à argumentação na aula de Matemática. Para analisar o pensamento destes filósofos apoio-me em obras
trabalhos sobre argumentação (Carrilho, 1992; Coelho, 1999; Grácio, 1992, 1993a, 1993b; Oléron, 1996; Plantin, 1990). O valor dos trabalhos de Perelman e Toulmin é fortemente reconhecido em diversos países, entre os quais Portugal, e ambos os filósofos são referidos por vários investigadores que estudaram questões associadas à argumentação na aula de Matemática (Balacheff, 1999; Boero, 1999; Duval, 1999; Krummheuer, 1995; Pedemonte, 2002).
Toulmin e Perelman, em colaboração com Olbrechts-Tyteca, publicaram no mesmo ano, 1958, duas obras respectivamente intituladas The uses of argument e
Traité de l’argumentation: La nouvelle rhétorique, “que alterariam de modo
profundo a compreensão do trabalho argumentativo”2 (Carrilho, 1992, pp. 21-2). Apesar das diferenças no pensamento destes filósofos, ambos criticam fortemente a limitação da lógica à lógica formal ocorrida sob a influência da lógica matemática e de perspectivas filosóficas logicistas e formalistas e procuram autonomizar o estudo da argumentação de modo a poder contemplar os raciocínios em que a forma não se pode separar do conteúdo.
Estruturo esta secção em três partes principais. Em primeiro lugar, abordo, brevemente, a origem da teoria da argumentação. Em segundo lugar, foco-me em aspectos do pensamento de Perelman e, por último, centro-me no pensamento de Toulmin. Termino cada uma destas duas últimas partes apoiando-me em contributos destes dois filósofos para equacionar aspectos da argumentação em Matemática.
Origem da teoria da argumentação
De acordo Oléron (1996), foi “Aristóteles o primeiro autor que expôs uma concepção sistemática da argumentação” (p. 5) considerando-a, na sua obra
Tópicos, essencialmente sob o ângulo do raciocínio e reservando para a Retórica os
aspectos relativos à persuasão de um auditório. Assim, através destas duas obras, a argumentação em Aristóteles aparece, na perspectiva deste autor, “como a
2
No presente trabalho apoiar-me-ei em traduções destas obras intituladas, respectivamente, Les usages de
l’argumentation (Toulmin, 1993) e Tratado da argumentação: A nova retórica (Perelman & Olbrechts-
associação ou a coordenação de um procedimento racional e de um percurso social” (idem).
Para Coelho (1999), os dois modos básicos de raciocinar propostos por Aristóteles foram a demonstração analítica e a argumentação dialéctica. Segundo este autor a demonstração analítica, para Aristóteles, funda-se em proposições evidentes — proposições que garantem, por si mesmas, a própria certeza — e conduz o pensamento a conclusões verdadeiras, pelo que é sobre o estudo dos silogismos analíticos que se alicerça toda a lógica formal. É nos Analíticos que Aristóteles estuda as formas de inferência válida, que permitem inferir, a partir de determinadas premissas, hipóteses, uma conclusão que daí resulta necessariamente, pelo nexo intrínseco que se gera entre os juízos envolvidos (Perelman, 1993). Esta inferência caracteriza-se por ser válida independentemente do conteúdo das proposições em jogo e por “estabelecer uma relação entre a verdade das premissas e da conclusão” (idem, pp. 21-2, destaque no original). Uma vez que a verdade é “uma propriedade das proposições, independente da opinião dos homens, os raciocínios analíticos são demonstrativos e impessoais” (idem, p. 22). Foi o interesse de Aristóteles pelos raciocínios analíticos que, segundo Perelman, lhe valeu “ser considerado, na história da filosofia, como o pai da lógica formal” (idem, p. 21).
Contrariamente aos raciocínios analíticos, a argumentação dialéctica expressa- se através de argumentos sobre enunciados prováveis dos quais se poderiam extrair conclusões apenas verosímeis (Coelho, 1999). Segundo Perelman (1993), para Aristóteles é dialéctico um raciocínio cujas premissas de partida são constituídas por opiniões geralmente aceites. A expressão “geralmente aceite” “tem um aspecto qualitativo, o que o aproxima mais do termo ‘razoável’ do que do termo ‘provável’” (p. 22) e não se deve ser interpretada “como uma probabilidade calculável (idem).
Assim, os raciocínios dialécticos, partindo do que é aceite, não são inferências válidas, constringentes e impessoais, mas consistem antes em argumentações visando a aceitação ou a rejeição de teses em debate; incluem argumentos mais ou
menos fortes, mais ou menos convincentes e que nunca são puramente formais. O raciocínio dialéctico difere, pois, do analítico por não partir de premissas verdadeiras e imediatas, mas antes de premissas geralmente aceites, por chegar, portanto, não a proposições necessárias mas a proposições verosímeis (Grácio, 1993b). É o estudo dos raciocínios dialécticos que faz de Aristóteles “igualmente o pai da teoria da argumentação” (Perelman, 1993, p. 21).
A demonstração analítica e a argumentação dialéctica constituem duas maneiras diferentes de raciocinar o que não significa que no pensamento de Aristóteles haja uma hierarquia entre elas: “não se excluem mutuamente, não se sobrepõem, não se substituem uma à outra” (Coelho, 1999, p. xii). Mais tarde, primeiro pelas mãos do cristianismo e depois do racionalismo, perdeu-se, segundo Coelho, esta equiparação entre a importância dos raciocínios analítico e dialéctico. Privilegiou-se, na perspectiva deste autor, o raciocínio analítico e a dialéctica, que ao longo dos tempos nem sequer conservou o seu sentido original, foi frequentemente relegada para o plano dos sofismas e passou a ser identificada com as técnicas de persuasão sem compromisso ético, com os discursos vazios feitos por oradores hábeis em convencer um auditório quaisquer que fossem as teses defendidas. Assim, o raciocínio dialéctico, tal como foi concebido por Aristóletes, foi “vítima de uma grande injustiça” (idem, p. xiii):
O raciocínio dialéctico, já nos Tópicos, é distinguido com clareza do chamado silogismo erístico, alicerçado em premissas apenas aparentemente prováveis. Quer dizer, ao tomar como objecto de sua preocupação filosófica o estudo da maneira específica de raciocinar por argumentos, Aristóteles não pretendeu que qualquer encadeamento entre proposições, que desrespeitasse os postulados da demonstração analítica, pudesse, tão-somente pela força da retórica de quem o sustentava, alcançar o estatuto de argumentação dialéctica. (Coelho, 1999, p. xiii, destaque no original).
Do legado aristotélico, a filosofia, na perspectiva de Coelho (1999), reteve durante vinte e três séculos, fundamentalmente, o modo analítico de raciocinar, não havendo grandes preocupações em resgatar a dialéctica como uma arte do diálogo e da controvérsia, como “um saber necessário, sério, pertinente, sujeito a regras próprias e, portanto, controlável” (p. xiv). Criticando fortemente o racionalismo
herdado de Descartes e as fortes limitações que este impôs à concepção de actividade racional, Perelman propôs-se reabilitar a retórica e o raciocínio dialéctico de Aristóteles não se limitando, contudo, a transpor acriticamente para os tempos de hoje o seu pensamento (Coelho, 1999). É neste contexto, que demarca a teoria da argumentação da teoria da demonstração, defendendo que sob influência de Kant e dos lógicos matemáticos, a lógica moderna, tal como se desenvolveu desde os meados do século XIX, foi identificada com “a lógica formal, isto é, com os raciocínios analíticos de Aristóteles, e negligenciou completamente os raciocínios dialécticos, considerados como estranhos à lógica” (Perelman, 1993, p. 23). Segundo este filósofo, esta opção constitui um erro pois “se é inegável que a lógica formal constitui uma disciplina separada que se presta, como as matemáticas, a operações e ao cálculo, é também inegável que raciocinamos, mesmo quando não calculamos” (idem, p. 24). Em discussões públicas ou deliberações pessoais, quando se apresentam argumentos a favor ou contra uma tese ou se critica ou refuta uma crítica, na sua perspectiva, “não se demonstra, como em Matemática, mas argumenta-se” (idem). Para a lógica poder enquadrar o estudo do raciocínio sob todas as suas formas, Perelman sublinha, assim, a importância de “completar a teoria da demonstração, desenvolvida pela lógica formal, com uma teoria da argumentação estudando os raciocínios dialécticos de Aristóteles” (idem).
Racionalidade, adesão e justificação: O contributo de Perelman
Em termos globais, a questão de fundo da vasta e variada obra de Perelman é a questão da racionalidade: “Como compreender a actividade racional? Como conceber a nossa faculdade de raciocinar e de provar? Em que consiste a competência racional e quais os domínios que podem ser abrangidos por ela? Como conceber a razão?” (Grácio, 1993a, p. 5). De acordo com Perelman e Olbrechts-
Tyteca (1999), ao fazer da evidência3 a marca da razão, Descartes não considerou racionais senão as demonstrações que a partir de ideias claras e distintas, estendiam, através de provas necessariamente verdadeiras, a evidência dos axiomas aos teoremas. Esta tendência acentuou-se ainda mais quando sob a influência de lógicos-matemáticos, a lógica foi limitada à lógica formal, ou seja, ao estudo dos meios de demonstração utilizados nas ciências matemáticas. Como resultado “os raciocínios alheios ao campo puramente formal escapam à lógica e, com isso, também à razão” (idem, pp. 2-3). Ora, segundo Perelman (1993), a razão está num discurso partilhado e é “graças à intervenção sempre renovada dos outros que melhor se pode distinguir, até nova ordem, o subjectivo do objectivo” (p. 54). Assim, muito do seu trabalho encerra uma forte crítica à lógica formal e foi dedicado a autonomizar o registo argumentativo face a esta lógica.
Neste âmbito, Perelman contrapõe às perspectivas absolutistas, segundo as quais o fundamento tudo deve fundar de uma forma radical, a ideia de fundamento como fundamento suficiente, ou seja, fundamento “que funciona para uma situação determinada, que não é de momento contestado, mas que de forma alguma é incontestável” (Grácio, 1993b, p. 43). Assim sendo, fundamentar “é justificar as transformações que se operam relativamente a um quadro de referências anterior e não estabelecer, de uma vez por todas e a partir do zero, o critério a partir do qual nada mais necessitaria de justificação” (idem, p. 44).
Nas obras de Perelman é, frequentemente, afirmado que racionar e provar não é apenas calcular, nem caminhar simplesmente de axiomas e regras de um sistema para teoremas (Grácio, 1993b). Ao procurarmos mostrar a conformidade e coerência entre convicções que temos e as opções a que elas conduzem, ao esforçamo-nos por apresentar razões que justificam asserções ou posicionamentos, ao tentarmos convencer-nos a nós próprios ou a outros do valor que sustenta a sua
3
Para Perelman e Olbrechts-Tyteca (1999) “é a ideia de evidência como característica da razão que cumpre criticar se quisermos deixar espaço para uma teoria da argumentação que admita o uso da razão para dirigir a nossa acção e para influenciar os outros. A evidência é concebida, ao mesmo tempo, como a força à qual toda a mente normal tem de ceder e como sinal de verdade daquilo que se impõe por ser evidente” (p. 4, destaque no original).
razoabilidade, também raciocinamos. Grácio apresenta a seguinte síntese sobre a racionalidade defendida por Perelman:
Mas o que caracteriza esta racionalidade não escorada pelo critério de evidência? Vimos já: é uma racionalidade que implica continuidade, atenção aos precedentes, justificação do novo a partir de uma referência ao pré- existente; uma racionalidade dialéctica em que a razão e a vontade não estão separadas, mas articuladas numa conjunção de exigências que são as do razoável; uma racionalidade ligada, não à ideia de verdade, mas às ideias de adesão e de justificação; não às ideias extremas de necessidade ou arbitrariedade, mas à ideia de razão em situação, exigindo essa situação que a ordem da razão seja, antes de mais, uma ordem adaptativa. (Grácio, 1993b, p. 82)
Perelman, apoiando-se, em particular, no pensamento de Popper, defende que se suprimirmos a crença na existência de verdades eternas e na ideia de que o erro apenas deriva da intervenção humana e se, em lugar disso, situarmos o pensamento científico num contexto histórico e cultural, a admissão de uma hipótese apenas pode ser apoiada por “boas razões, reconhecidas como tal por outros homens, membros da mesma comunidade científica” (Perelman, 1993, p. 170). Assim, o “estatuto do conhecimento deixa de ser impessoal, pois todo o conhecimento científico se torna um pensamento humano, falível, situado e sujeito à controvérsia. Toda a ideia nova deverá ser sustentada por argumentos provenientes do método próprio da disciplina, apreciados em função desta” (idem). Deste modo, a racionalidade, o saber e a acção são, para Perelman, essencialmente falíveis. No entanto, a falibilidade não é equivalente a arbitrariedade, nem deve ser entendida em oposição à ideia de infalibilidade que, durante muitos séculos, esteve associada à razão cartesiana e, muito em especial, ao conhecimento matemático. Falibilidade é
a própria expressão da nossa condição humana, de uma natureza que não se autoproduz, que não se faz integralmente a si mesma, mas que é sempre condicionada, na sua criatividade, pelo passado, pela tradição e pelos sentidos que historicamente moldam e são moldados pelos contextos e quadros de referência a partir dos quais a vida humana se organiza. (Grácio, 1993b, p. 23)
A finalidade da teoria da argumentação “é o estudo das técnicas discursivas que permitem provocar ou aumentar a adesão dos espíritos às teses que se lhes apresentam ao assentimento” (Perelman & Olbrechts-Tyteca, 1999, p. 4). Esta
teoria, designada por Perelman (1993) por “nova retórica (ou uma nova dialéctica)” (p. 24), defende que todo o discurso que tenda a influenciar uma ou várias pessoas, a dirigir uma acção e “que não aspira a uma validade impessoal é do domínio da retórica” (idem, p. 172). Neste sentido, esta teoria engloba, “como caso particular, a dialéctica da antiguidade, técnica da controvérsia” (idem) e “cobre o imenso campo do pensamento não formalizado” (idem, p. 173). Nas palavras de Perelman (1987), “existe argumentação desde que o discurso não seja redutível a um cálculo” (p. 237). Neste contexto, é dado um papel de relevo à justificação considerada de modo muito diferente da noção de demonstração (Grácio, 1993b).
A opção pela aproximação do Tratado da argumentação à retórica em vez de à dialéctica, concebida pelo próprio Aristóteles como a arte de raciocinar a partir de opiniões geralmente aceites, prende-se, segundo os seus autores, com várias razões de que destacam duas. Por um lado, evitar o risco de confusão que a palavra dialéctica poderia trazer, uma vez que desde “Hegel e por influência de doutrinas nele inspiradas ela assumiu um sentido muito distante do seu sentido primitivo, geralmente aceite na terminologia filosófica contemporânea” (Perelman e Olbrechts-Tyteca, 1999, p. 5). Por outro lado, e esta é a razão que consideram mais importante, porque na Antiguidade, embora o raciocínio dialéctico fosse visto como paralelo ao analítico, não foi aproveitada a ideia de que a dialéctica diz respeito a premissas a que se adere com uma intensidade variável: as opiniões de que falava Aristóteles. A importância da adesão das pessoas a quem se dirige um discurso, às teses que se lhe apresentam foi, antes, destacada por todas as teorias antigas da retórica. Assim, a aproximação da teoria da argumentação à retórica tem também por objectivo destacar que “é em função de um auditório que toda a argumentação se desenvolve” (Perelman e Olbrechts-Tyteca, 1999, p. 6). A adesão e o acordo são vistos por Grácio (1993b), como corolários da noção de auditório proposta por Perelman.
O Tratado da argumentação incide sobre as provas que Aristóteles designa por dialécticas. Da retórica tradicional os autores retêm a ideia de auditório, embora destaquem que são ultrapassados alguns dos limites desta retórica e deixados de
lado aspectos considerados importantes na Antiguidade. Por exemplo, um dos aspectos que diferencia a nova retórica da retórica da antiguidade é, segundo Perelman e Olbrechts-Tyteca (1999), ela não “limitar o estudo da argumentação àquela que é adaptada a um público de ignorantes” (p. 7). Contrariamente, a retórica tradicional apresentava-se como “o estudo de uma técnica para o uso do vulgo, impaciente para chegar rapidamente a conclusões” (idem). Mais concretamente, a teoria da argumentação concebida por Perelman
diz respeito aos discursos dirigidos a todas as espécies de auditórios, trate-se de uma turba reunida na praça pública ou de uma reunião de especialistas, quer nos dirijamos a um único indivíduo ou a toda a humanidade; ela examinará mesmo os argumentos que dirigimos a nós mesmos aquando de uma deliberação íntima. (Perelman, 1993, p. 24, destaque no original)
Uma vez que o objecto da teoria da argumentação, é o estudo do discurso não demonstrativo, ou seja, a análise dos raciocínios que não se limitam a inferências formalmente correctas, a cálculos mais ou menos mecanizados, esta teoria “cobre todo o campo do discurso que visa convencer ou persuadir, seja qual for o auditório