3 Empiriske undersøkelser av den svarte økonomi
3.5 Oppsummering av resultater
3.5.2 Virkninger på skatteunndragelse av formelle sanksjoner
Os conjuntos podem ser representados exibindo, ou não, detalhes sobre os elementos que lhes pertençam.
V.2.1 – Representações nominativas e não nominativas
Uma representação nominativa não exibirá quaisquer detalhes sobre os elementos do conjunto. Nestas representações serão preferencialmente utilizadas letras maiúsculas isoladas, latinas de face itálica ou gregas, como A , X ou . Conjuntos bem conhecidos, como o dos reais, usufruem de representações nominativas específicas.
Na frase “Seja Z o conjunto dos inteiros”, a porção “ Z ” constitui a representação nominativa e a porção “dos inteiros” constitui a representação não nominativa.
Uma representação não nominativa poderá exibir alguns, ou mesmo todos, os elementos constitutivos de um conjunto. Nestes casos é vulgar o uso de chavetas. As chavetas não são entendidas como elementos, mas como organizadores aglutinantes.
[EV.01] Por exemplo, a expressão
a representa um conjunto cujo único elemento é a. Por sua vez, a expressão
a representa um conjunto cujo único elemento é
a ▼.V.2.1.2 – Sobre o uso de chavetas
Nunca se usam chavetas numa representação nominativa. Isto porque, embora não esteja formalmente vedado, o uso de chavetas nas representações nominativas é considerado aberrante, pelo que não é praticado. Por outro lado, todas as representações não nominativas que utilizam chavetas fazem-no de forma equilibrada, pois a cada chaveta que abre tem que posteriormente corresponder sempre uma, e apenas uma, chaveta que fecha. Cumulativamente ao respeito pelo equilíbrio, as representações são estruturadas de modo a que, na escrita sequencial, da esquerda para a direita, da expressão simbólica que constitui a representação do conjunto, qualquer chaveta que abre, “{ ”, fica sempre localizada mais à esquerda do que a correspondente chaveta que fecha, “} ”. Como se verá, é utilizado o nome “sistema de parêntesis” para, no caso unidimensional, indicar esta tecedura da escrita.
V.2.2 – Exibição dos elementos de um conjunto
Como se viu uma representação não nominativa pode exibir alguns, ou mesmo todos, os elementos constitutivos de um conjunto. Quando a representação de um conjunto exibir elementos, a sua sequência de apresentação é formalmente indiferente. Na prática e desde que permita a sua discriminação, a disposição dos elementos é irrelevante e indiferente para a descrição do conjunto. Este facto é bem conhecido.
São usadas chavetas rodeando os elementos, como em
abc
, para descrever o facto de que um conjunto é formado por certos elementos, neste caso os elementos a, b e c. O número de repetições com que cada elemento surge na representação de um conjunto é considerado irrelevante. Por isso as expressões
abc
,
aabc
ou, até mesmo,
abaca
representam o mesmo conjunto. Refira-se, no entanto, que é possível recorrer ao conceito de multiconjunto, (Blizard-89), para considerar distintos estes casos. Num multiconjunto cada elemento goza de uma multiplicidade.V.2.3 – Notação para o elemento genérico
O elemento genérico de um conjunto será preferencialmente representado por uma letra minúscula, como a, ou x , correspondente, quando apropriado, à maiúscula da representação nominativa.
Quando é conveniente discriminar vários elementos genéricos de um conjunto, pode ser utilizada a subetiquetagem identificadora dos seus elementos com letras gregas minúsculas, como a , a. Esta opção pelas letras gregas minúsculas é propositada. Por um lado, é feita para atenuar o mais possível a possibilidade de intuição de uma ordem, pois é comum, embora não obrigatório, as subetiquetas latinas, como n, i , k serem utilizadas para representar índices estipuladores de ordenações. Por outro lado, serve também para salientar que as subetiquetas representam-se apenas a si próprias e não devem ser vistas como variáveis. A este propósito relembre-se que, no caso de uma sequência U , a subetiqueta n n é vista como uma variável local, ou muda, que assume valores em N.
Quando A for um conjunto, com elemento genérico a, tal facto poderá ser representado por A
a
.V.2.4 – Representação em extensão
Na representação em extensão de um conjunto são patentes todos os seus elementos. [DV.01] Quando na representação de um conjunto, como
abc
, são exibidos todos oselementos, tal representação é dita extensiva ou em extensão. ▲
Este tipo de descrição de um conjunto só pode ser usado se o cardinal do conjunto for finito.
Nas representações extensivas, o primeiro símbolo é sempre uma chaveta que abre e o último é sempre uma chaveta que fecha. A título de exemplo, considere-se o conjunto representado em extensão pela expressão
b a a, conjunto esse que também admite
a ab
como representação extensiva.Numa representação extensiva, o uso de um separador gráfico, como a vírgula, entre os elementos do conjunto, é considerado apenas um facilitador da leitura, de cariz opcional, sem outro significado formal, pelo que se tem:
abc
a,b,c
. No entanto existem autores, como Hehner, (Hehner-2004), que não só exigem o uso da vírgula como descrevem formalmente as suas propriedades.Serão usadas chavetas dentro de chavetas, quando os elementos de um conjunto forem eles próprios conjuntos representados em extensão, como em
a
ou em
a ab
.V.2.5 – Representação em compreensão
Um conjunto pode ser representado indicando a propriedade exclusiva aos seus elementos (Bourbaki-1970) (Jech-2006).
[DV.02] Esta representação é dita compreensiva, ou em compreensão. ▲
Esta representação é especialmente indicada quando o conjunto é de cardinal não finito Nesta representação é usada uma expressão de estrutura genérica
x|propriedade
, que refere qual é o elemento genérico e qual é a propriedade exclusiva.[EV.02] Como exemplo possível podemos considerar:
| ésoluçãodaequação 13
a a x
A . ▼
A propriedade exclusiva de um conjunto é, por vezes, referida como sendo a regra característica a que apenas os seus elementos, e nada mais para além destes, estão vinculados.
[EV.03] Como exemplo de um conjunto cujo cardinal é não finito, e que portanto não admite representação em extensão, podemos considerar o conjunto de todos os naturais, N
1234
. Note-se, no entanto, que o conjunto
1234
N
V já tem cardinal finito e igual a um. ▼
V.2.6 – Sobre a notação para a pertença
Como se viu, quando a for elemento de um conjunto A , tal facto será escrito a . A [DV.03] Esta expressão admite as leituras “a é elemento de A ”, “a pertence a A ” ou
ainda “a é possuído por A ”, leituras estas postuladas como equivalentes. ▲ Para representar esse facto também é possível escrever A , [Aubyn-04], que se lê “ A a possui a”. Quando vários elementos, como por exemplo a, b, c pertencem a um conjunto
A , tal poderá ser escrito simplificadamente como a,b,cA, em lugar de
aA
bA
cA
.A expressão a representa o caso em que A a não pertence ao conjunto A , ou seja
aA
aA. Esta expressão a , pode ser lida dos seguintes três modos equivalentes: A “a não é elemento de A” ou “a não pertence a A” ou ainda “a não é possuído por A”. Equivalentemente, é possível escrever A , [Aubyn - 04], que é lido “A não possui a”. a Quando vários elementos, como por exemplo a, b, c não pertencem a um conjunto A , tal poderá ser escrito simplificadamente como a,b,cA, em lugar de
aA
bA
cA
.Quando se tem quea e que A A, tal não permite concluir que a. A propriedade de pertencer a um conjunto não é transitiva.
Note-se que uma expressão como a tem também uma valoração bilógica A