3 Empiriske undersøkelser av den svarte økonomi
3.5 Oppsummering av resultater
2.6.3 Formell teori med normer
A decomposição EMD foi desenvolvida na NASA em finais da década de 90 do séc. XX (Huang-1998). A EMD foi desenvolvida para a decomposição, em componentes mais simples e fáceis de interpretar, de sinais que oscilam em torno de uma tendência mas que possuem características não estacionárias. Este é o caso de muitos sinais de interesse prático, como os biológicos, fisiológicos, meteorológicos, climáticos, econométricos, para referir apenas alguns.
II.2.1 - Descrição geral
A EMD - decomposição em modos empíricos - é efectuada por meio de um algoritmo intrinsecamente discreto e de características locais, não se encontrando desenvolvida nenhuma contrapartida analítica.
A EMD decompõe um sinal nas suas IMFs constituintes. Por IMF entende-se um sinal de média nula e envolventes simétricas. Uma IMF é um sinal passa banda, acomodado a uma interpretação AM/FM.
O algoritmo funciona por refinamentos sucessivos, “peneira” o sinal, até o reduzir a uma IMF. Retira essa IMF ao original e recomeça, considerando o resíduo da operação anterior como um novo original. Termina quando o resíduo for irredutível. É um algoritmo considerado “simples” e “natural”, de características locais (Ortigueira-2004).
II.2.2 - O algoritmo
O algoritmo de decomposição EMD é intrinsecamente computacional, não se encontrando desenvolvida nenhuma contrapartida analítica. A descrição do algoritmo é a seguinte:
1) Proceda-se ao sifting de S, obtendo-se uma IMF . Para isso, seja i S~ uma cópia auxiliar de S:
1 a) Determinar todos os máximos e mínimos de S~.
1 b) Determinar as correspondentes envolventes,
n m M para a envolvente superior, e
n mM para a envolvente inferior.
1 c) Definir 2 M M M
, a média das envolventes.
1 d) Para continuar, verifique-se se M cumpre a condição para continuar a iteração. É ela:
A energia de M é superior a um determinado mínimo.
1 e) Se M não cumprir condição, ou seja se tiver energia desprezável, então termina-se esta parte 1), faz-se i:S~ e avança-se para 2).
1 f) Se M cumprir a condição, ou seja se tiver energia não desprezável, então vai reinicializar-se esta parte 1).
1 g) Reinicializa-se subtraindo M a S~, de forma a obter um novo S~. Ou seja, S~S~M . Recomeça-se o processo a partir de 1 a)
2) Defina-se o novo sinal S como sendo S Si. Incremente-se a variável de iteração, i i1.
3) Para o novo S, verifique-se se cumpre ambas as condições para continuar a iteração. São elas:
Energia acima de um mínimo,
Exibição de mais do que três extremos.
4) Se S cumprir ambas as condições de iteração, recomece-se a partir de 1). Se S não cumprir pelo menos uma das condições para continuar a iteração, considerar S o trend final,
I
Ficou assim descrito o algoritmo de EMD que permite obter uma colecção de IMFs
I i
i
0 , e um trend residual I. Notar que o algoritmo, embora analise a totalidade do sinal, não faz apelo a propriedades globais, uma vez que o que determina as envolventes é a localização dos extremos.
II.2.3 - As IMFs
Esta decomposição origina sinais apelidados modos empíricos oscilantes de média nula,
ti
, também referíveis como IMF (Intrinsic Mode Functions), funções de modo intrínsecas. Por coerência com a literatura internacional é neste texto preferencialmente utilizada a sigla IMF para as referir.
As IMFs costumam ser quase ortogonais entre si e admitem ser interpretadas como sinais passa banda AM/FM de portadora sinusoidal: i
t Ai
t cos
i
t
, cujas envolventes são simétricas (Ortigueira-2004). Isto porque cada IMF constitui-se como um sinal que tem de cumprir o seguinte par ) ) de condições (Huang-1998):) O número de extremos e o número de cruzamentos por zero diferem no máximo por uma unidade.
) Em qualquer ponto o valor médio das envolventes definidas pelos máximos e pelos mínimos é nulo.
Para além de um conjunto de IMFs, i
t 0iI, a EMD origina também um sinal residual, I
t , apelidado trend, onde se encontra a informação de média e tendência.Como o EMD não tem uma definição analítica, mas apenas algorítmica e tão-somente para sinais finitos em tempo discreto, é mais adequando falar da IMF i
i
n
do que na IMF i
t .II.2.3.1 - As IMFs como sinais AM/FM
Na EMD as IMF, embora sem a ortogonalidade garantida, são de interesse fulcral, pois desempenham o papel de funções de base. Embora a EMD seja sempre efectuada por uma algoritmo apenas aplicável a sinais em tempo discreto, uma IMF genérica, tal como definida
por Huang (Huang-1998) é um sinal em tempo contínuo,
t , que tem sempre de cumprir o par de condições ) ) atrás referido. Note-se no entanto que um sinal contínuo com as envolventes definidas pelos extremos, simétricas e de média nula - condição -, acaba sempre por ter de exibir uma diferença máxima de uma unidade entre o número de cruzamentos por zero e o número de extremos - condição ) -.Constata-se assim que os sinais sinusoidais sin
0t ou cos
0t são IMFs, onde 0 é uma frequência fixa. Considere-se agora uma função
t A
t cos 0t , onde A
t é um sinal de características espectrais tais que a sua frequência máxima é muito inferior a 0. Tal função
t representa a modulação em amplitude de uma sinusóide, normalmente apelidada «portadora», e também é uma IMF cuja envolvente é A
t , uma vez que verifica as condições ) ). Considere-se agora que a frequência é levemente variável, ou seja que se tem
t como uma função que evolui suavemente em torno de uma frequência central 0, e que A
t continua a variar lentamente, só que desta feita em comparação com as variações de
t t
cos . Nestas condições, tem-se que
t A
t cos
t t
ainda é uma IMF, pois tem todas as condições para continuar a verificar as condições ) ). Sendo assim, é natural considerar que neste último caso, mais geral,
t pode ser vista como um sinal AM/FM, onde a envolvente A
t modula em amplitude a componente FM representada por
t t
cos . Pode concluir-se assim que um sinal AM/FM verifica a definição de IMF. Por outro lado observa-se que todas as IMFs obtidas a partir de sinais concretos podem ser interpretadas como sinais AM/FM.
Cada IMF pode ser decomposta numa componente AM, correspondente à sua envolvente, e numa componente FM, de envolvente constante e que pode ser desmodulada.
II.2.3.2 - IMFs e bancos de filtros
Como se referiu, as IMF são sinais passa banda, de média necessariamente nula, quase ortogonais entre elas, e de cariz AM/FM. As iterações no sifting são uma forma de reduzir a dissemelhança entre a envolvente superior e a inferior. Uma vez que as envolventes sejam simétricas, pode considerar-se que se tem um sinal modulado em amplitude e em que a
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
frequência 0 da portadora não é constante. Ou seja, o sifting é um processo iterativo que transforma o sinal original num sinal modulado em amplitude (AM) e frequência (FM).
Em termos espectrais observa-se, como seria de esperar, que a banda ocupada pelas envolventes é uma fracção da frequência central 0. Também se observa que todas as componentes espectrais inferiores às das envolventes são expelidas pelo processo de sifting, sendo reintroduzidas aquando do próximo processo de sifting. Em consequência as IMFs são geradas pelo algoritmo por ordem decrescente de frequências centrais. Além disso o algoritmo comporta-se como um banco de filtros (Rato-2008b) (Flandrin-2004b), podendo o resultado final, o conjunto de IMFs, ser considerado como uma decomposição tempo frequência. i
Tal também justifica o fenómeno de desdobramento de IMFs cujas bandas se sobrepõem. Detalhando, se se adicionarem duas IMFs cujas bandas não se sobreponham, a decomposição EMD irá recuperá-las. Mas se as bandas se sobrepuserem, então irá ser obtida uma colecção de IMFs, diferentes das originais e em maior número.
[EII.03] Exemplo ilustrativo do comportamento da EMD como um banco de filtros (Rato-2008). É sintetizado um sinal com duas mil amostras provenientes da amostragem regular de um processo de ruído branco gaussiano. Tal sinal é submetido à EMD, obtendo-se 10 IMFs. O que é apresentado é o módulo do espectro de cada IMF em unidades lineares e em frequências normalizadas.
II.2.3.3 - Súmula das características das IMFs
A sequência das IMFs obtidas vem ordenada das de frequência central mais elevada, para as de frequências centrais mais baixas. Não é possível saber de antemão em quantas IMFs um sinal se vai decompor.
Esta decomposição é não linear, mas proporcional. Por ser não linear, se somarmos dois sinais, o conjunto das IMFs da soma não é o somatório das IMFs dos sinais individuais. Mas por ser proporcional, se multiplicarmos um sinal por uma constante, então todas as IMFs vêm multiplicadas por essa constante. Assim, se se multiplicar o sinal por menos um, todas as IMFs virão com o sinal trocado.
Além disso, a inversão do sentido do tempo, não altera o conjunto das IMFs em nada mais que a inversão do sentido do tempo em todas elas.
Finalmente se se somar uma constante ao sinal, todas as IMFs ficam inalteradas, excepto a componente de trend.