Segundo Dreyfus (1991) para que haja a compreensão em matemática os processos mentais e psicológicos estão intimamente ligados, ou seja, esses aspectos raramente são separados. As imagens mentais e matemáticas estão muito ligadas, e essa ligação entre esses processos é relevante para entender a aprendizagem e o pensamento matemático avançado.
Hoffman propôs uma filosofia da educação matemática com base no simples reconhecimento de que a matemática é uma atividade humana, útil no mundo real, nesta base, ele exige que nós devemos transmitir aos nossos alunos uma visão da matemática como uma ciência que integra a observação, experimentação e a descoberta. (HOFFMAN6 1989 apud DREYFUS, 1991, p. 29 tradução nossa)7
O uso do computador como ambiente de aprendizagem, utilizando diferentes representações de um mesmo conceito pode contribuir para o estabelecimento das relações entre as diferentes representações e ao surgimento de ideias para uma formação de conceito que podemos chamar de processos de investigação. Neste processo o indivíduo deve manipular e investigar mentalmente os objetos.
Quando se constrói um gráfico de uma função, neste procedimento está envolvido um processo matemático, seguido de regras que podem ser iniciadas por uma linguagem matemática. Entretanto, quem está executando este processo, está visualizando mentalmente esses gráficos, em outras palavras, há a visualização desta função, e esta pode auxiliar na compreensão deste objeto. A essência do pensamento matemático avançado está presente nos processos de representar, visualizar, generalizar, assim como outros, como classificar, conjecturar, induzir, analisar, sintetizar, abstrair e formalizar.
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Hoffman, K. M., The science of Patterns: A Practical Philosophy of Mathematics Education, Lecture to SIG/RME, AERA Annual Meeting, San Francisco, CA.
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Hoffman has proposed a philosophy of mathematics education based on the simple recognition that mathematics is a human activity, useful in the real world, on this basis he requires that we should transmit to our students a picture of mathematics as a science which incorporates observation, experiment and discovery.
Podemos relacionar a visualização um dos processos do pensamento matemático avançado segundo Dreyfus (1991) com a concepção deste processo segundo Espinosa (1995), que não somente espera-se que o indivíduo crie uma imagem mental de um conceito, mas também os processos internos (como as transformações mentais) dos conceitos matemáticos adquiridos, e possa exteriorizar essa imagem mental de forma verbal, escrita, etc. A articulação de uma representação a outra tem relação com o processo de associação mental, preservando o significado das diferentes representações de um mesmo conceito. As representações mentais são de grande relevância na matemática. No caso das funções, os gráficos, tabelas de valores, diagramas de flechas, fórmulas algébricas são as diversas representações deste conceito.
Dreyfus (1991) aponta que para ser bem sucedido na matemática, é desejável ter ricas representações mentais de conceitos nos quais estão contidos muitos aspectos ligados a esse conceito, enquanto que em uma representação pobre se tem poucos elementos para permitir a flexibilidade na resolução de problemas. Essa inflexibilidade é observada nos estudantes, quando aparece uma pequena alteração na estrutura de um problema, ou mesmo em sua formulação, podem bloqueá-los. Imagens mentais pobres do conceito de função são típicas entre universitários iniciantes, que pensam apenas em fórmulas quando se trata de funções, mesmo sendo capazes de recitar um conjunto geral de definições teóricas.
É importante ter muitas representações de um mesmo conceito, porém somente a existência delas por si próprias não é suficiente para permitir a flexibilidade da utilização do conceito na resolução de problemas. É necessário o processo de alternar entre as representações existentes de um mesmo conceito. Entretanto, ensinar e aprender este processo de mudança não é fácil, porque esta estrutura é muito complexa.
Generalizar é derivar ou induzir dados, para identificar aspectos comuns, e expandir os domínios de validade. Um exemplo é observar regularidades em uma sequência numérica, com o objetivo de encontrar uma expressão algébrica que descreva o padrão desta sequência. É partir de um caso particular para um caso
geral. Conforme Dreyfus (1991), isto não é uma tarefa fácil, mas deve ser salientado que a generalização que ocorre com relação a determinados objetos matemáticos; é útil para o estudante porque ele deixa de (esperar) o conhecido em “terra firme”, para lidar com a generalidade que adicionou à situação.
A abstração está ligada ao processo de generalizar, porém a natureza do processo mental da abstração é diferente do processo de generalização. Abstrair é um processo da construção de estruturas mentais a partir de estruturas matemáticas, ou seja, de relações entre objetos matemáticos. Requer a capacidade de deslocar a atenção dos próprios objetos para as estruturas de suas propriedades e relacionamentos. Essa atividade mental construída por parte do aluno é fortemente dependente de sua atenção, focalizada sobre essas estruturas, que fazem parte do conceito abstrato.
Dreyfus (1991) elencou quatro fases dos processos entre a representação e abstração no processo de aprendizagem:
1 . Usar uma representação única;
2 . Usar mais de uma representação em paralelo; 3 . Fazer ligações entre as representações paralelas; 4 . Integrar representações e flexibilizações entre elas.
Na primeira fase os processos começam a partir de um caso concreto em uma única representação. Na aprendizagem de função, os estudantes normalmente se encontram com várias representações (gráficos, tabelas, diagramas de flecha, expressões algébricas), isso caracteriza a segunda fase, em que as várias representações de um mesmo objeto são utilizadas em paralelo. O difícil processo de transição para o conceito abstrato depende do modo essencial sobre as ligações entre as representações que são formadas. O
estabelecimento destas ligações constitui a terceira fase. As fortes ligações permitem aos alunos mudar as representações, o que os torna conscientes do conceito subjacente e, portanto, suscetíveis de influenciar positivamente a abstração. Na quarta etapa o processo de integrações entre as representações é uma síntese do que lhe foi mostrado como parte do processo de abstração: os
vínculos, as relações, as propriedades comuns continuam a constituir o conceito abstrato.
Em outras palavras, o pensamento matemático avançado é composto de uma grande variedade de processos de interação. É importante que o professor de matemática esteja consciente desses processos, a fim de compreender algumas dificuldades que os alunos enfrentam.