4. ETTERSPØRSEL ETTER HELSETJENESTE- HELSETJENESTE-FORSIKRING
4.1 Velferdsgevinst ved forsikring
Vi skal nedenfor vise at forsikring gir velferdsgevinster i forhold til en situasjon uten forsikring. Gjennomgangen i avsnitt 4.1 og 4.2 er for øvrig basert på Ehrlich og Becker (1972). Forsikring innebærer at man kan omfordele inntekt fra en god tilstand til en dårlig tilstand.
Modellforutsetninger
(i) Vi antar følgende to tilstander med. tilhørende sannsynligheter og inntekter (toppskrift e for eksogen)
To tilstander Sannsynlighet Eksogen inntekt
0-syk p I0e
1-frisk 1-p I1e
der I1e
> I0e
.
(ii) Vi ser på én representativ konsument (dvs. én sykdomstype) som har
risikoaversjon og som maksimerer forventet nytte i tråd med von Neumann-Morgenstern aksiomene.
(iii) Det eksisterer fullstendige forsikingsmarkeder og konsumenten er prisfast kvantumstilpasser i dette markedet, som er karakterisert av frikonkurranse.
(iv) Det er fullstendig informasjon, dvs. forsikringsselskapet kjenner med sikkerhet konsumentens ulykkessannsynlighet
Symboler
I0e=eksogen inntekt dersom syk I1e
=eksogen inntekt dersom frisk
Le=utgifter til helsetjenester dersom syk (=I1e
-I0e
) p=sannsynlighet for å bli syk
s=utbetaling fra forsikringsselskap Π=forsikringspremie
I0=inntekt dersom syk og med forsikring I1=inntekt dersom frisk og med forsikring U*=konsumentens forventede nytte
u(.)=von Neumann Morgenstern nyttefunksjon
Modell
Tap hvis tilstand 0 inntreffer er lik:
(4.1) Le=I1e - I0e > 0
Tolkning: Tilstandsavhengig inntekt er det man står igjen med når man har trukket fra forbruk av helsetjenester. I0e
< I1e
fordi sykdom fører til at en må bruke penger på helsetjenester. Le kan tolkes som utgift til helsetjenester (tap).
Konsumentene står ovenfor følgende budsjettbetingelser dersom han velger forsikring: I tilstand 0 får han en utbetaling når man har betalt en premie i tilstand 1.
(4.2) I0=I1e-Le+s der vi har løst (4.1) mhp. I0e
og satt inn i I0=I0e
+s. Inntekten dersom man blir syk er lik den eksogene inntekten (som er like eksogen inntekt dersom frisk minus tap) pluss forsikringstbetalingen, s. I tilstand 1 (frisk) er inntekten gitt ved:
(4.3) I1=I1e-Πs ; 0 < Π < 1
Inntekten dersom man er frisk er lik den eksogene inntekten minus forsikringspremien.
(4.2) og (4.3) er formulert som om man bare må betale premie dersom man er frisk. Dette er imidlertid ikke noe sentralt poeng.
Fra (4.2) og (4.3) har vi nå vi løser (4.2) mhp. s og setter inn i (4.3):
(4.4) I1=I1e-Π(I0-I1e
+Le)
Vi setter så inn for Le fra (4.1) i (4.4). Forsikringstakers budsjettbetingelse blir da gitt ved:
(4.5) I1=I1e - Π(I0 - I0e
)
Inntekten i tilstand 1 er lik eksogen inntekt dersom man er frisk minus premiesatsen multiplisert med differansen mellom inntektene dersom man kommer i tilstand 1.
Fra ligning (4.5) har vi at:
(4.6) dI
dI
1 0
= − <Π 0
Ligning (4.6) viser bytteforholdet mellom inntekt i tilstand 0 og inntekt i tilstand 1. Dersom konsumenten ønsker å øke inntekten i tilstand 0 med én krone må han redusere inntekten i tilstand 1 med Π-kroner.
Vi definerer:
Aktuarisk rettferdig premie=Premie som gjør at den forventede inntektsendring er lik 0.
Vi beregner den aktuariske premien:
p(I0-I0e
)+(1-p)(I1-I1e)=0 ⇒
(setter inn for I1 fra (4.5)) p(I0-I0e)+(1-p)(I1e-Π(I0-I0e)-I1e)=0 ⇒ p(I0-I0e)+(1-p) Π(I0-I0e)=0 ⇒ p-(1-p)Π=0 ⇒
(4.7) Π =
− p
p 1
Ligning (4.7) sier at den aktuariske premiesatsen skal tilsvare relativ risiko. Dersom p/(1-p)=
0,10, så skal premiesatsen være 10% av det utbetalte beløp. p/(1-p) kalles oddsraten for tilstand 0.
Fra (4.6) og (4.7) får vi dermed:
(4.8) dI
dI
p p
1
0 = −1
− < 0
∂
Ligning (4.7) sier at den aktuarisk rettferdige premien er lik forholdet mellom sannsynlighetene. Ligning (4.8) sier at desto større sannsynlighet for å være syk (høy p) desto høyere inntekt må man gi avkall på i tilstand 1 dersom inntekten i tilstand 0 tilstand skal øke med én enhet.
Optimeringsproblem
Vi antar at forsikringstaker maksimerer forventet nytte mhp. I0 gitt budsjettbetingelsen (4.5):
Forventet nytte (av den stokastiske inntekten) er i tråd med von Neumann-Morgenstern aksiomene gitt ved:
(4.9) U*=E{U(I)}=(1-p)u(I1)+pu(I0) u ’ > 0, u’’ < 0 Vi setter inn for I1 fra (4.5) i (4.9) og får:
(4.10) U*=(1-p)u[I1e-Π(I0-I1e
)]+pu(I0)
Førsteordensbetingelsen for en indre løsning blir:
(4.11)
Fra (4.11) får vi følgende løsningsbetingelse:
(4.12)
Løsningsbetingelsen (4.12) sier at den marginale substistusjonsbrøk mellom nytten i tilstand 1 og tilstand 0 (venstresiden) skal være lik bytteforholdet mellom inntekt i tilstand 1 og inntekt i tilstand 0 (høyresiden).
Andreordensbetingelsen er gitt ved:
(4.13)
At u1’’
, u0’’
< 0 gjelder per definisjon for et individ med risikoaversjon.
Førsteordensbeingelsen vil dermed gi oss et maksimum.
Vi kan illustrere løsningen i følgende figur:
Figur 4.1 Etterspørsel etter forsikring
Punkt E viser initialsituasjonen uten forsikring. Punkt P viser tilpasning med forsikring og premie høyere enn aktuarverdien. Punktet A viser tilpasning ved aktuarisk premie. I punktet E er konsumenten villig til å gi avkall på mer enn forsikringspremien (fordi helningen på indifferenskurven er større i tallverdi enn helningen på budsjettlinjen i punkt E, som er lik
|Π|), oppstår det etterspørsel etter forsikring. I figuren har vi markert helningen på en indifferenskurve. Denne beregnes på følgende måte:
I1
I1=Io
I0
E
helning=-pu'(I0 )/(1-p)u'(I1)
P • A •
Helning=-Π
Helning=-p/(1-p) Budsjettlinjen ved aktuarisk premie
450
I0e
I1e
MSB dI
For gitt forventet nytte lik U*0 vil inntekten i tilstand 1 være en funksjon av inntekten i tilstand 0, dvs. I1=I1(I0). Vi deriverer uttrykket ovenfor implisitt mhp. I0 og får:
(4.14)
Den marginale substitusjonsbrøk er lik forholdet mellom grensenyttene vektet med sine respektive sannsynligheter.
Forsikring blir etterspurt hvis følgende betingelse er oppfylt:
(4.15)
Dette er tilfellet i pkt. E. Helningen på indifferenskurven størrelsen på MSB. Siden helningen på indifferenskurven er brattere (f.eks. en person som er villig til å oppgi mer inntekt i tilstand 1 for å få 1 krone ekstra i tilstand 0 enn det han trenger å gjøre).
Bevegelsen fra pkt. E til pkt. P indikerer at individet er villig til å få redusert inntekt i tilstand 1 fordi han ønsker mer inntekt i tilstand 0. Det er forsikring som gjør at det kommer i stand bevegelse fra E til P.
Dersom forsikringsselskapet har administrasjonskostnader, så vil prisen være høyere enn den aktuarisk rettferdige, og dermed vil helningen pkt. P være brattere enn den gjennom pkt. A.
Optimal forsikring ved aktuarisk premie
Vi setter nå (4.7) inn i førsteordensbetingelsen (4.12):
(4.16)
Fra (4.16) følger at:
u
u0 I I
1
0 1
1
'
' = ⇔ = (4.17)
Ligning (4.18) sier at forsikringstakeren forsikrer seg fullt ut ved aktuariske betingelser.
Optimal forsikring ved premie høyere enn aktuarverdien (pga. administrasjonskostnader) Mer generelt har man:
(4.18) Π = +
−
(1 )
λ 1p p
der λ representerer en mark-up. Denne gir uttrykk for hvor mye %-vis høyere premiesatsen er i forhold til aktuarverdien. Aktuarisk rettferdig premie innebærer dermed at λ=0. Ofte har man at λ=λ(p) med λ’(p) > 0. Dersom λ > 0, dvs., Π > p/1-p, så vil optimal forsikring innebære at I0 < I1 og vi får tilpasning i punkt P i figur 4.1.
Relevans av forsikring mhp. helsetjenester
Dersom man får bruk for helsetjenester kan man komme i en situasjon hvor helsetjenesteutgiftene blir store, og dermed inntektene små. Et individ har dermed incentiver til å overføre inntekt fra den friske til den syke tilstanden ved hjelp av forsikring.