3.1
Resultados Preliminares
Dutra, Ferraz e Polcino Milies provaram em [4], Teorema 3.3, o seguinte resultado: Teorema 3.1.1. Sejam Dn um grupo diedral com a seguinte apresenta¸c˜ao
Dn = ha, b | an = 1 = b2, bab = a−1i
e Fq um corpo finito com q elementos tal que mdc(q, 2n)=1. O n´umero de componentes
simples da ´algebra FqDn ´e minimal se e somente se vale uma das seguintes condi¸c˜oes:
i) n = 2 ou 4 e q ´ımpar;
ii) n = 2m com m ≥ 3 e q congruente `a 3 ou 5 m´odulo 8;
iii) n = pm com p primo ´ımpar e a classe q ´e um gerador de U(Z pm);
iv) n = pm com p primo ´ımpar e a classe q ´e um gerador do subgrupo
U2(Z
pm) = {x2 | x ∈ U(Zpm)} e −1 n˜ao ´e um quadrado em U (Zpm) ;
v) n = 2pm e com p primo ´ımpar e a classe q ´e um gerador de U (Z 2pm);
3.1 Resultados Preliminares 26
vi) n = 2pm com p primo ´ımpar e a classe q ´e um gerador do subgrupo
U2(Z
2pm) = {x2 | x ∈ U(Z2pm)} e −1 n˜ao ´e um quadrado em U (Z2pm);
vii) n = 4pm com p primo ´ımpar, q e (-q) tˆem ordem ϕ(pm) m´odulo 4pm;
viii) n = pm1
1 p m2
2 com p1 e p2 primos ´ımpares, mdc(ϕ(pm11), ϕ(p m2
2 )) = 2, q e (-q) tˆem
ordem ϕ(pm1
1 )ϕ(pm2 2)/2 em U (Zpm11 pm22 );
ix) n = 2pm1
1 pm22 com p1 e p2 primos ´ımpares, mdc(ϕ(pm1 1), ϕ(pm2 2)) = 2, q e (-q) tˆem
ordem ϕ(pm1
1 )ϕ(pm2 2)/2 em U (Z2pm11 pm22 ).
Neste cap´ıtulo, consideraremos grupos metac´ıclicos n˜ao abelianos com a apre- senta¸c˜ao:
G = ha, b | an = 1 = b2, bab = aii.
tendo como objetivo principal, estender o Teorema 3.1.1.
Vamos enunciar alguns resultados de teoria dos n´umeros que ser˜ao utilizados na demonstra¸c˜ao do principal resultado deste cap´ıtulo.
Lema 3.1.2. [22, Corol´ario 4.2.7] Seja ξ uma raiz n-´esima primitiva da unidade. Ent˜ao Gal(Q(ξ), Q) ∼= U (Zn).
Defini¸c˜ao 3.1.3. Seja n um inteiro. Definimos a fun¸c˜ao de Euler ϕ(n) como o
n´umero de inteiros a = 1, 2, . . . , n tais que mdc(a,n)=1.
Lema 3.1.4. [13, Lema 5.4] Se n = pm, onde p ´e um n´umero primo, ent˜ao
ϕ(pm) = pm−1(p − 1).
Teorema 3.1.5. [13, Teorema 5.6] Sejam m e n um n´umeros inteiros primos entre si. Ent˜ao ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
Teorema 3.1.6. [13, Teorema 6.11] Seja n um n´umero inteiro. Ent˜ao o grupo U (Zn)
3.1 Resultados Preliminares 27 Lema 3.1.7. Seja m ≥ 3 um inteiro. Ent˜ao
52m−3
≡ 2m−1+ 1 (mod 2m)
−52m−3
≡ 2m−1− 1 (mod 2m).
Demonstra¸c˜ao. Sabe-se que 2m−1 ´e a maior potˆencia de 2 que divide 52m−3
− 1 ([13, Lema 6.9]). Logo
52m−3
− 1 = 2m−1s
onde s = 2k + 1 ´e um inteiro ´ımpar. Assim, 52m−3
− 1 = 2mk + 2m−1
donde
52m−3
≡ 2m−1+ 1 (mod 2m).
Como 2m−1 ≡ −2m−1 (mod 2m), a segunda afirma¸c˜ao segue imediatamente.
Teorema 3.1.8. [13, Teorema 6.10] Se m ≥ 3, ent˜ao U(Z2m) = {±5j | 0 ≤ j ≤ 2m−2}.
Em outras palavras, U (Z2m) = −1 ×5 . Al´em disto, as unidades de ordem 2 em
Z2m s˜ao −1, 2m−1 − 1 e 2m−1+ 1. Ainda, como |U(Z2m)| = 2m−1, ent˜ao o(5) = 2m−2.
Defini¸c˜ao 3.1.9. Um elemento x ∈ U (Zn), diz-se res´ıduo quadr´atico m´odulo n
se x = s2 para algum s ∈ U(Z
n). O subgrupo dos res´ıduos quadr´aticos m´odulo n ser´a
denotado por Qn.
Teorema 3.1.10. [13, Teorema 7.14] Seja x um n´umero inteiro ´ımpar. Ent˜ao x ∈ Q4
3.1 Resultados Preliminares 28 Lema 3.1.11. [13, Lema 7.3] Seja n > 2. Suponhamos que U (Zn) seja um grupo
c´ıclico. Ent˜ao Qn ´e um grupo c´ıclico de ordem ϕ(n)/2, gerado por g2, onde g ´e um
gerador de U (Zn).
Teorema 3.1.12. [13, Teorema 7.15] Seja n = n1n2· · · nk com nj primos entre si.
Ent˜ao x ∈ Qn se e somente se x ∈ Qnj para cada j.
Lema 3.1.13. [19, Corol´ario 6.6] Todo grupo abeliano finito A ´e um produto direto de
grupos c´ıclicos A = Cm1 × Cm2 × · · · × Cmt com m1 | m2 | · · · | mt.
Defini¸c˜ao 3.1.14. Dizemos que um grupo abeliano finito A possui fatores invari-
antes (m1, · · · , mt) se A = Cm1 × Cm2 × · · · × Cmt com m1 | m2 | · · · | mt..
Lema 3.1.15. [19, Corol´ario 6.14]
1. Dois grupos abelianos finitos s˜ao isomorfos se e somente se eles possuem os mes- mos fatores invariantes.
2. Sejam A, B e C grupos abelianos finitos. Se A × B ∼= A × C, ent˜ao B ∼= C. Para cada m ∈ Z, definimos uma fun¸c˜ao:
fm : G −→ G
ajbk 7−→ ajmbk, k = 0, 1.
´
E f´acil verificar que fm ´e um homomorfismo de grupos. Ainda, fm ◦ fn = fmn,
donde fm ∈ Aut(G) se m ∈ U(Zn).
3.1 Resultados Preliminares 29 Proposi¸c˜ao 3.1.16. O grupo das unidades dos inteiros m´odulo n ´e isomorfo a um subgrupo do grupo Aut(G).
Demonstra¸c˜ao. Considere a seguinte fun¸c˜ao:
ψ : U (Zn) −→ Aut(G)
m 7−→ fm.
Note que fm = I implica que, em particular, a = am, donde am−1 = 1. Consequen-
temente, m ≡ 1 (mod n).
Seja, agora, Fq um corpo finito com q elementos, tal que mdc(q, |G|) = 1. Como
|G| = 2n, tem-se que q ∈ U(Zn) e, portanto, fq ∈ Aut(G). Seja e ´e o expoente do grupo
G. Dada uma raiz e-´esima primitiva da unidade ξ, o grupo de Galois Gal(Fq(ξ), Fq) ´e
c´ıclico, gerado pelo automorfismo de Frobenius σ : ξ 7→ ξq.
Vamos mostrar que existe uma rela¸c˜ao entre Gal(Fq(ξ), Fq) e o subgrupo de Aut(G)
gerado por fq. Mais precisamente, temos a seguinte resultado, que tem interesse em si
mesmo, mas n˜ao ser´a necess´ario adiante.
Proposi¸c˜ao 3.1.17. Seja e o expoente de G e seja ξ uma raiz primitiva e-´esima da unidade. Ent˜ao os grupos Gal(Fq(ξ), Fq) e hfqi s˜ao isomorfos.
Demonstra¸c˜ao. Definimos a seguinte aplica¸c˜ao:
Φ : Gal(Fq(ξ), Fq) −→ hfqi
σt 7−→ f qt.
Notemos inicialmente que σk(ξ) = ξqk
. 1. Φ ´e um homomorfismo de grupos.
σk1σk2 = σk1+k2, portanto Φ(σk1σk2) = f
3.2 A Estrutura da ´Algebra 30 2. Φ ´e injetora.
Seja σk ∈ ker(Φ). Ent˜ao f
qk = f1. Isto implica que a = aq k
, logo qk = 1 + βn,
donde σk(ξ) = ξqk
= ξξβn.
Se n ´e par ent˜ao n = exp(G), donde σk(ξ) = ξ. Se n ´e ´ımpar, ent˜ao exp(G) = 2n.
Como mdc(q, 2n) = 1, temos que q tamb´em ´e ´ımpar. Na equa¸c˜ao qk = 1 + βn,
estes fatos implicam que β ´e par, isto ´e, β = 2β′. Ent˜ao
σk(ξ) = ξξ2β′n
= ξ. Em qualquer caso, σ = Id.
Claramente, Φ ´e sobrejetora, o que prova a Proposi¸c˜ao.
3.2
A Estrutura da ´Algebra
Vamos come¸car apresentando um Lema t´ecnico.
Lema 3.2.1. Sejam G um grupo metac´ıclico n˜ao abeliano com a seguinte apresenta¸c˜ao
G = ha, b | an= 1 = b2, bab = aii.
e d = mdc(n, i − 1). As classes de conjuga¸c˜ao dos elementos n˜ao centrais de G s˜ao da forma C(am) = {am, ami} e C(ajb) = ajbG′ = ajb hai−1i , 0 ≤ j ≤ d − 1.
Demonstra¸c˜ao.
A inclus˜ao C(x) ⊂ xG′ vale para grupos em geral. S´o temos que provar que, no
nosso caso, vale a inclus˜ao contr´aria. De fato, dado y ∈ ajbG′, temos que
y = ajb(ai−1)k= ajbaika−k = ajakba−k = ak(ajb)a−k.
Logo ajbG′ ⊂ C(ajb).
Queremos estender o Teorema 3.1.1 e isso significa determinar para quais valores de n a ´algebra FqG tem n´umero m´ınimo de componentes simples.
3.2 A Estrutura da ´Algebra 31 Lema 3.2.2. Sejam m1 e m2 divisores positivos de n. Se os elementos de G, am1 e
am2, s˜ao F
q-conjugados em G, ent˜ao m1 = m2.
Demonstra¸c˜ao. Sejam am1 e am2 elementos de G F
q-conjugados. Existem h ∈ G
e t0 ∈ Z, tais que am1 = h(am2)qt0h−1, ou seja, am1 = am2qt0 ou am1 = am2iqt0. Isso
implica que m1 = m2qt0+ kn ou m1 = m2qt0i + kn. Entretanto, m2 divide n, ent˜ao m2
divide m1. Analogamente, mostramos que m1 divide m2 e, como m1e m2 s˜ao positivos,
tem-se que m1 = m2.
Proposi¸c˜ao 3.2.3. Seja G um grupo metac´ıclico n˜ao abeliano com a seguinte apre- senta¸c˜ao:
G = ha, b | an= 1 = b2, bab = aii.
Os elementos a e am, para todo m, tal que m ∈ U(Z
n), s˜ao Fq-conjugados se e somente
se q gera o grupo U (Zn), ou U (Zn) = hqi ×
i .
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que a e am s˜ao F
q-conjugados. Ent˜ao, am = aq
t
ou am = aiqt
, para algum t ∈ Z. Isto nos mostra que U (Zn) =
i hqi. Se i ∈ hqi, ent˜ao U(Zn) = hqi, caso contr´ario, U (Zn) =
i × hqi. Reciprocamente, se U (Zn) = hqi, ent˜ao am = aq
t
e estes elementos s˜ao Fq-conjugados
em G. Se q gera um subgrupo de ´ındice 2 em U (Zn) e i /∈ hqi, ent˜ao m hqi = hqi ou
m hqi = i hqi. No primeiro caso, m = qk para algum k, donde am = aqk
e a e am s˜ao
Fq-conjugados. Se m hqi = i hqi, ent˜ao m = iqt, para algum t donde am = aiq
t
e, como ai ´e conjugado a a, temos que a e am s˜ao F
q-conjugados.
Sabemos, pelo Corol´ario 2.1.13, que, para cada ak ∈ G, existe um ´unico divisor v
de n, tal que ak e av s˜ao Q-conjugados em G. Al´em disso, como mdc(q, |G|) = 1 se am1
e am2 s˜ao F
q-conjugados em G, ent˜ao am1 e am2 s˜ao Q-conjugados em G. Esse fato nos
3.2 A Estrutura da ´Algebra 32 Teorema 3.2.4. Sejam G um grupo metac´ıclico n˜ao abeliano com a seguinte apre- senta¸c˜ao:
G = ha, b | an= 1 = b2, bab = aii
Fq um corpo finito com q elementos, tal que mdc(q, 2n)=1. Se o n´umero de componen-
tes simples da ´algebra FqG ´e minimal, ent˜ao q gera o grupo U (Zn) ou U (Zn) = hqi×
i .
Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao ´e an´aloga `a do Teorema 2.1.16.
Lema 3.2.5. Sejam G um grupo metac´ıclico n˜ao abeliano com a seguinte apresenta¸c˜ao:
G = ha, b | an= 1 = b2, bab = aii
Fq um corpo finito com q elementos tal que mdc(q, 2n)=1. Suponhamos que q gera o
grupo U (Zn) ou U (Zn) = hqi ×
i . As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes.
1. am1 e am2 s˜ao F
q-conjugados em G
2. am1 e am2 s˜ao Q-conjugados em G
Demonstra¸c˜ao. Notemos que, por hip´otese, mdc(q, n) = 1, logo se am1 e am2 s˜ao
Fq-conjugados em G, pelo Lema 2.1.3, am1 e am2 s˜ao Q-conjugados em G.
Suponhamos que am1 e am2 s˜ao Q-conjugados. Se U (Z
n) = hqi, ent˜ao am1 = am2q
t
, e se U (Zn) =
i × hqi, ent˜ao am1 = am2qti. Em ambos os casos, am1 e am2 s˜ao
Fq-conjugados.
Vamos provar um Lema t´ecnico que nos ser´a muito ´util.
Lema 3.2.6. Sejam G um grupo metac´ıclico n˜ao abeliano com a seguinte apresenta¸c˜ao:
G = ha, b | an= 1 = b2, bab = aii
Fq um corpo finito com q elementos, tal que mdc(q, 2n)=1. Se n = pm1 1pm2 2, com p1 e
p2 primos ´ımpares e i 6= 1 em U (Zpmj
j ) para cada j, ent˜ao mdc(n,i-1)=1. Consequen-
3.2 A Estrutura da ´Algebra 33 Demonstra¸c˜ao. Seja d = mdc(n, i − 1). Por hip´otese, i 6≡ 1 (mod pmj
j ), j = 1, 2, logo
d = pt1
1pt22 com t1 6= m1 e t2 6= m2.
Como d | (i − 1), existe α ∈ Z, tal que (i − 1) = pt1
1 p t2 2α, isto ´e, i = p t1 1 p t2 2α + 1. Assim, i2 = p2t1 1 p2t22α2+ 2p1t1pt22α + 1, donde i2− 1 = p12t1p2t22α2+ 2pt11pt22α.
Como, da hip´otese sobre G, i2 ≡ 1 (mod n) podemos escrever i2− 1 = pm1
1 p m2
2 β e,
substituindo, temos que pm1
1 pm22β −p2t11p2t22α2−2pt11pt22α = 0. Se t1 > 0, podemos dividir
esta igualdade por pt1
1p t2 2, donde p m1−t1 1 p m2−t2 2 β − p t1 1 p t2 2 α2 − 2α = 0, logo p1 divide α, consequentemente, o elemento pt1+1
1 pt22 divide (i − 1) uma contradi¸c˜ao mostrando que
t1 = 0. De modo an´alogo, motra-se que t2 = 0.
Teorema 3.2.7. Sejam G um grupo metac´ıclico n˜ao abeliano com a seguinte apre- senta¸c˜ao
G = ha, b | an= 1 = b2, bab = aii
Fq um corpo finito com q elementos tal que mdc(q, 2n)=1. O n´umero de componentes
simples da ´algebra FqG ´e minimal se e somente se vale uma das seguintes condi¸c˜oes:
i) n = 4 e q ´ımpar; ii) n = 2m com m ≥ 3 e q ≡ 3 (mod 8) e i = 2m−1+ 1 ou i = −1 q ≡ 5 (mod 8) e i = 2m−1 − 1 ou i = −1
iii) n = pm com p primo ´ımpar e a classe q ´e um gerador de U (Z pm);
iv) n = pm com p primo ´ımpar e a classe q ´e um gerador do subgrupo
U2(Z
pm) = {x2 | x ∈ U(Zpm)} e i n˜ao ´e um quadrado em U (Zpm) ;
v) n = 2pm e com p primo ´ımpar e a classe q ´e um gerador de U (Z 2pm);
vi) n = 2pm com p primo ´ımpar e a classe q ´e um gerador do subgrupo
U2(Z
2pm) = {x2 | x ∈ U(Z2pm)} e i n˜ao ´e um quadrado em U (Z2pm);
vii) n = 4pm com p primo ´ımpar, q e (iq) tˆem ordem ϕ(pm) m´odulo 4pm com
3.2 A Estrutura da ´Algebra 34
viii) n = pm1
1 p m2
2 com p1 e p2 primos ´ımpares, mdc(ϕ(pm11), ϕ(p m2
2 )) = 2, q e (iq) tˆem
ordem ϕ(pm1
1 )ϕ(pm2 2)/2 em U (Zp1m1pm22 ) com i 6= 1 em U (Zpmjj ), j = 1, 2;
ix) n = 2pm1
1 pm22 com p1 e p2 primos ´ımpares, mdc(ϕ(pm11), ϕ(pm22)) = 2, q e (iq) tˆem
ordem ϕ(pm1
1 )ϕ(pm2 2)/2 em U (Z2p1m1pm22 ) com i 6= 1 em U (Zpmjj ), j = 1, 2.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que o n´umero de componentes simples da ´algebra FqG
´e minimal. Pelo Teorema 3.2.4, a ordem de q em U (Zn) deve ser ϕ(n) ou ϕ(n)/2, onde
ϕ denota a fun¸c˜ao de Euler. Seja n = 2mpm1
1 pm22· · · pmt t, a decomposi¸c˜ao de n como produto de potˆencias de
primos. Ent˜ao
Zn= Z2m⊕ Z
pm11 · · · ⊕ Zpmtt e
U(Zn) = U (Z2m) × U (Z
pm11 ) · · · × U(Zpmtt ).
Vamos analisar em casos separados.
(a) A ordem de q em U (Zn) ´e ϕ(n).
Neste caso, temos que U (Zn) = hqi, portanto, pelo Teorema 3.1.6, devemos ter
n = 2, 4, pm ou 2pm. Se n = 2, ent˜ao G = C
2× C2 o que n˜ao pode ocorrer pois
G n˜ao ´e abeliano. Deste modo, ou (i) ou (iii) ou (v) ocorre. Al´em disso, no caso em que n = 4, deve-se ter que q ≡ 3 (mod 4) para que q seja gerador.
(b) A ordem de q em U (Zn) ´e ϕ(n)/2 com U (Zn) c´ıclico.
Sendo assim, pelo Lema 3.1.11, o grupo Qn dos res´ıduos quadr´aticos m´odulo n ´e
c´ıclico de ordem ϕ(n)/2, portanto Qn = hqi, mostrando que ocorre, ou (iv), ou
(vi) e ainda, (i) no caso em que n = 4 e q ≡ 1 (mod 4). (c) A ordem de q em U (Zn) ´e ϕ(n)/2 com U (Zn) n˜ao c´ıclico.
Neste caso, temos que U (Zn) = hqi ×
i ∼= Cϕ(n)/2× C2. Assim, ϕ(n)/2 ´e um
3.2 A Estrutura da ´Algebra 35 Como Cϕ(n)/2 ´e um grupo c´ıclico de ordem par, ent˜ao existe um ´unico subgrupo
de Cϕ(n)/2de ordem 2. Logo, o 2-subgrupo abeliano elementar maximal de U (Zn)
´e C2× C2. Se n = pm1 1 p m2 2 p m3 3 , ent˜ao U (Zn) ∼= U (Zpm11 ) × U (Zpm22 ) × U (Zpm33 ), donde C2 ×
C2 × C2 seria um 2-subgrupo abeliano elementar de U (Zn), o que n˜ao pode
ocorrer. Logo, devemos ter n = 2m com m ≥ 3 ou n = 4pm ou n = pm1
1 p m2
2 ou
n = 2pm1
1 pm22.
Analisaremos cada um destes casos separadamente.
(c-(i)) n = 2m, m ≥ 3.
Sabemos que i /∈ hqi, pelo Teorema 3.2.4 e que i = −1, 2m−1− 1 ou 2m−1 + 1
pelo Teorema 3.1.8. Al´em disso, pelo Lema 3.1.7, temos 2m−1+ 1 ∈ 5 ,
2m−1− 1 ∈−5 .
Como q ∈ U (Z2m), ent˜ao devemos ter q = 5j ou q = −5j. Por outro lado,
o(5) = o(−5) = 2m−2 = ϕ(n)/2 = o(q), consequentemente, temos hqi = 5 ou
hqi =−5 . Observemos que, em ambos os casos, j deve ser um n´umero ´ımpar. No caso em que hqi = 5 , ent˜ao ent˜ao q ≡ 52k+1 (mod 2m) para algum inteiro k. Ent˜ao q ≡ 25k· 5 (mod 2m) donde q ≡ 25k· 5 ≡ 5 (mod 8). Ainda, deve se
ter que i = −1 ou i = 2m−1− 1.
Da mesma forma, se hqi =−5 , ent˜ao q ≡ 3 (mod 8) e i = −1 ou i = 2m−1+ 1.
(c-(ii)) n = 4pm.
Como |U(Z4pm)| = ϕ(4pm) = 2ϕ(pm), tem-se que o(q) = ϕ(pm). Queremos mos-
trar ainda que o(iq) = ϕ(pm). Para tanto, seja k = o(iq). Se k fosse ´ımpar,
ter´ıamos iqk = iqk = 1, implicando que i ∈ hqi, uma contradi¸c˜ao. Conse-
quentemente, k ´e par. Assim iqk = qk = 1, donde k | ϕ(pm). Finalmente,
iϕ(pm)qϕ(pm)
3.2 A Estrutura da ´Algebra 36
(c-(iii)) n = pm1
1 p m2
2 .
Inicialmente, notemos que U (Zpm1
1 pm22 ) ∼= U (Zpm11 ) × U (Zpm22 ).
Como | U(Zpm1
1 pm22 ) |= ϕ(p
m1
1 )ϕ(pm22), temos que o(q) =
ϕ(pm11 )ϕ(pm22 )
2 e um argu-
mento an´alogo ao do caso anterior, prova que o(iq) = ϕ(pm11 )ϕ(pm22 )
2 . Podemos escrever ϕ(pm1 1 ) = 2 · k1 e ϕ(pm22) = 2 · k2, donde U(Zpm1 1 pm22 ) ∼= Cϕ(pm11 )× Cϕ(pm22 ) = C2k1 × C2k2 Como, U (Zpm1
1 pm22 ) ∼= C2×Cϕ(pm11 pm22 )/2, esta ´e a decomposi¸c˜ao do grupo U (Zpm11 pm22 )
como produto direto de grupos c´ıclicos. Em outras palavras, os grupos C2 e
Cϕ(pm1
1 pm22 )/2 s˜ao os faotres invariantes de U (Zpm11 pm22 ). Consequentemente, deve-
mos ter mmc(2k1, 2k2) = ϕ(pm11pm22)/2 = 2k1k2, donde
mdc(ϕ(pm1
1 ), ϕ(pm22)) = mdc(2k1, 2k2) = mmc(2k2k12k1,2k2 2) = 2.
(c-(iv)) n = 2pm1
1 pm22.
An´alogo ao caso anterior, uma vez que ϕ(2pm1
1 pm22) = ϕ(pm11pm22).
Reciprocamente, se n=4, ent˜ao G ´e o grupo diedral de ordem 8 e o resultado segue do Teorema 3.1.1.
Se vale (ii), n = 2m e q ≡ 3 (mod 8) ou q ≡ 5 (mod 8), pelo Teorema 3.1.16
U(Z2m) = {±5
j
| 0 ≤ j ≤ 2m−2};
logo q = 5j ou q = −5j.
Se j ´e par, como 52 ≡ 1 (mod 8) e −52 ≡ 7 (mod 8), tem-se que q ≡ 1 (mod 8)
ou q ≡ 7 (mod 8), uma contradi¸c˜ao. Logo j deve ser ´ımpar, donde hqi = 5 ou hqi =−5 . Vamos considerar separadamente os casos poss´ıveis.
3.2 A Estrutura da ´Algebra 37
(a) Se q ≡ 3 mod 8 e i = 2m−1+1, ent˜ao hqi =−5 , o que nos mostra que U (Z 2m) =
hqi ×i . Assim, pelo Lema 3.2.5, os elementos am1 e am2 s˜ao Q-conjugados em
G se e somente se am1 e am2 s˜ao F
q-conjugados em G. Precisamos provar que se
ajb e akb s˜ao Q-conjugados, ent˜ao ajb e akb tamb´em s˜ao F
q-conjugados.
Se ajb e akb s˜ao Q-conjugados, pelo Lema 3.1.2, existem r ∈ U(Z
2m) e h ∈ G,
tais que (ajb)r = h(akb)h−1.
Como U (Z2m) = hqi ×i , devemos ter r = iqt, para algum inteiro t e (ajb)iq t
= h(akb)h−1.
Agora, mdc(i − 1, 2m) = mdc(2m−1, 2m) = 2m−1, logo, pelo Lema 3.2.1, existem
2m−1 classes de conjuga¸c˜ao de elementos da forma ajb.
Afirma¸c˜ao 1: (ajb)2k
= a2k−1(j+ji)
, para todo k ≥ 1. Notemos que (ajb)2 = ajaji = aj+ji, ent˜ao (ajb)2k
= (ajb)2·2k−1
= (a(j+ji))2k−1
= (aj)2k−1(j+ji)
o que prova a Afirma¸c˜ao 1.
Afirma¸c˜ao 2: Para cada j positivo, tem-se que a2m−2(j+ji)
∈ G′.
Se j = 2s, ent˜ao 2m−2(2s + 2si) = 2m−1(s + si) = (i − 1)(s + si). Portanto, pelo
Teorema 1.1.2, a2m−2(j+ji)
= (a(i−1))(s+si)∈ G′ = hai−1i.
Se j = 2s + 1, ent˜ao
2m−2(j + ji) = 2m−2(2s + 1 + 2si + i) = 2m−1(s + si) + 2m−2(1 + i).
Como, i + 1 = 2m−1+ 2, logo 2m−2(i + 1) = 2m−22m−1+ 2m−1 = (i − 1)(2m−2+ 1),
consequentemente, a2m−2(j+ji)
= a(i−1)(s+si+2m−2+1)
∈ G′ = hai−1i provando a
Afirma¸c˜ao 2.
Finalmente notemos que (ajb)i = (ajb)2m−1
(ajb) = a2m−2(j+ji)
ajb = a(i−1)sajb = ajba(i−1)si ∈ ajbG′ =
C(ajb). Isto nos mostra que (ajb)iqt
= g(ajb)qt
g−1 = h(akb)h−1. Deste modo,
akb = h−1[(ajb)i]qt
h, mas (ajb)i = g(ajb)g−1, consequentemente, ajb e akb s˜ao
Fq-conjugados em G. Assim, quando q ≡ 3 mod 8 e i = 2m−1 + 1, o n´umero de
3.2 A Estrutura da ´Algebra 38
(b) Se q ≡ 5 mod 8 e i = 2m−1− 1, ent˜ao hqi =5 e novamente U (Z
2m) = hqi ×i
e os elementos am1 e am2 s˜ao Q-conjugados em G se e somente se am1 e am2 s˜ao
Fq-conjugados em G.
Por outro lado, mdc(i − 1, 2m) = mdc(2m−1− 2, 2m) = 2 mdc(2m−2− 1, 2m−1) = 2
uma vez 2m−2− 1 ´e um n´umero ´ımpar. Isto nos mostra que existem duas classes
de conjuga¸c˜ao de elementos da forma ajb a saber C(b) e C(ab). No entanto, os
elementos b e ab n˜ao s˜ao Q-conjugados nem Fq-conjugados em G, portanto no
caso q ≡ 5 mod 8 e i = 2m−1− 1, o n´umero de componentes simples da ´algebra
FqG ´e minimal.
(c) Se i = −1, o grupo G ´e diedral e o resultado segue do Teorema 3.1.1.
Se n = pm com p primo ´ımpar, ent˜ao, pelo Lema 3.1.6, o grupo U (Z
pm) ´e c´ıclico,
donde existe um ´unico elemento de ordem 2 em U (Zpm), a saber, −1. Da nossa hip´otese
sobre G, temos i2 = 1 em U (Zpm), logo devemos ter i = −1, o que nos mostra que G
´e o grupo diedral Dpm e resultado segue do Teorema 3.1.1. O mesmo acontece quando
n= 2pm com p primo ´ımpar.
Se vale (vii), ent˜ao n = 4pm, com p primo ´ımpar e as unidades de ordem 2 em Z 4pm
s˜ao −1, 2pm− 1 e 2pm+ 1.
Z4pm ∼= Z4× Zpm
portanto,
U(Z4pm) ∼= U (Z4) × U (Zpm).
Por hip´otese, o(q) = ϕ(pm). Vamos mostrar que i /∈ hqi. Suponhamos, por absurdo,
que i ∈ hqi, ent˜ao i = qϕ(pm)2 , pois o(i) = 2 e existe um ´unico elemento de ordem 2 em
hqi. Al´em disso, ϕ(p2m) deve ser par sen˜ao ter´ıamos (iq)ϕ(pm)2 = iq ϕ(pm)
2 = i2 = 1, o que
n˜ao pode ocorrer, pois o(iq) = ϕ(pm). Assim, existe um inteiro s tal que ϕ(pm)/2 = 2s,
3.2 A Estrutura da ´Algebra 39 Podemos, ent˜ao, escrever i = (qϕ(pm)4 )2. No entanto, isso nos diz que i ´e um res´ıduo
quadr´atico m´odulo 4pm e, pelo Teorema 3.1.12, i ´e um res´ıduo quadr´atico m´odulo 4,
portanto i ≡ 1 mod 4.
Se i = −1, ent˜ao G ´e o grupo diedral e o resultado segue do Teorema 3.1.1.
Se i = 2pm+ 1, ent˜ao 2pm+1 = 4k+1, o que implicaria que 2 | pmuma contradi¸c˜ao.
Portanto, em ambos os casos, U (Z4pm) = hqi ×i , logo, pelo Lema 3.2.5, os ele-
mentos am1 e am2 s˜ao Q-conjugados em G se e somente se am1 e am2 s˜ao F
q-conjugados
em G. Vamos provar que, se ajb e akb s˜ao Q-conjugados, ent˜ao ajb e akb tamb´em s˜ao Fq-conjugados.
Se ajb e akb s˜ao Q-conjugados, pelo Lema 3.1.2, existem r ∈ U(Z4pm) e h ∈ G, tais
que (ajb)r = h(akb)h−1. Como U (Z
4pm) = hqi ×i , devemos ter r = iqt, para algum
inteiro t e (ajb)iqt
= h(akb)h−1.
Por fim, se i = 2pm+ 1, ent˜ao mdc(i − 1, 4pm) = 2pm e
(ajb)2pm+1 = (ajb)(ajb)2pm = (ajb)(aj+ji)pm = (ajb)(aj(i+1)pm ), mas (i + 1)pm = (2pm+ 2)pm = 2pmpm+ 2pm = 2pm(pm+ 1) = (i − 1)(pm+ 1), o que
nos mostra que (ajb)i ∈ ajbG′ = C(ajb). Portanto, (ajb)iqt
= g(ajb)qt
g−1 = h(akb)h−1,
consequentemente, ajb e akb s˜ao F
q-conjugados em G, logo o n´umero de componentes
simples da ´algebra FqG ´e minimal.
Se vale (viii), ent˜ao n = pm1
1 pm22 com p1e p2primos ´ımpares, mdc(ϕ(p m1
1 ), ϕ(pm22)) =
2, q e (iq) tˆem ordem ϕ(pm1
1 )ϕ(p m2 2 )/2 m´odulo p m1 1 p m2 2 com i 6= 1 em U (Zpmjj ), j = 1, 2,
donde todas as classes de conjuga¸c˜ao dos elementos da forma ajb s˜ao iguais a C(b),
uma vez que o Lema 3.2.6 nos diz que mdc(i − 1, pm1
1 p m2
2 ) = 1.
Por hip´otese, o(q) = ϕ(pm11 )ϕ(pm22 )
2 , o que nos mostra que q gera um subgrupo de
´ındice 2 em U (Zn). Al´em disso, sabemos que mdc(ϕ(pm1 1), ϕ(p m2
2 )) = 2, logo existem
inteiros t1, t2 ∈ Z, satisfazendo ϕ(pm11) = 2t1, ϕ(pm22) = 2t2, mdc(t1, t2) = 1. Conse-
3.2 A Estrutura da ´Algebra 40 U(Zn) ∼= Cϕ(pm11 )× Cϕ(pm22 ) = C2t1 × C2t2 ∼ = C2× Ct1 × C2t2 ∼ = C2× C2t1t2 = C2× Cϕ(pm11 )ϕ(pm22 ) 2 .
Suponhamos, por absurdo, que i ∈ hqi, ent˜ao devemos ter i = qϕ(p
m1 1 )ϕ(pm22 )
4 , pois
o(i) = 2. Agora, como o(iq) = ϕ(pm11 )ϕ(pm22 )
2 , ent˜ao
ϕ(pm11 )ϕ(pm22 )
4 ´e par, e assim, podemos
escrever i = (qϕ(p
m1 1 )ϕ(pm22 )
8 )2 e conclu´ımos que i ´e um res´ıduo quadr´atico m´odulo pm1
1 pm22.
Pelo Teorema 3.1.12, i ´e res´ıduo quadr´atico m´odulo pmj
j para j = 1, 2.
Sejam gj geradores dos grupos U (Zpmj
j ), respectivamente. Pelo Lema 3.1.11, os
subgrupos Qpmj
j s˜ao c´ıclicos de ordem ϕ(p
mj
j )/2 e gerados pelos elementos g2j.
Como, por hip´otese, i 6≡ 1 mod pmj
j ent˜ao o(i) = 2 m´odulo p mj
j . Isso implica que
o(i) = 2 em Qpmj
j , donde ϕ(p
mj
j )/2 ´e par. Com isso, existem inteiros s1 e s2, tais que
ϕ(pm1
1 )/2 = 2s1 e ϕ(pm22)/2 = 2s2, o que nos mostra que ϕ(p1m1) = 4s1 e ϕ(pm2 2) = 4s2,
uma contradi¸c˜ao, pois mdc(ϕ(pm1
1 ), ϕ(pm22)) = 2. Portanto i /∈ hqi.
Novamente, U (Zpm1
1 pm22 ) = hqi ×
i , portanto, pelo Lema 3.2.5, os elementos am1
e am2 s˜ao Q-conjugados em G se e somente se am1 e am2 s˜ao F
q-conjugados em G e,
portanto, o n´umero de componentes simples da ´algebra FqG ´e minimal.
Se vale (ix), ent˜ao n = 2pm1
1 pm22 com p1e p2primos ´ımpares, mdc(ϕ(p m1
1 ), ϕ(p m2
2 )) =
2, q e (iq) tˆem ordem ϕ(pm1
1 )ϕ(pm22)/2 m´odulo pm11pm22 com i 6= 1 em U (Zpmjj ), j = 1, 2,
ent˜ao existem duas classes de conjuga¸c˜ao distintas de elementos da forma ajb, a saber,
C(ab) e C(b), pois mdc(i − 1, n) = 2. Tais classes de conjuga¸c˜ao n˜ao s˜ao Q-conjugadas nem Fq-conjugadas. Prova-se o resultado de maneira an´aloga ao caso anterior.
Finalizaremos este cap´ıtulo, exibindo dois exemplos que justificam as hip´oteses assumidas sobre i nos itens (vii), (viii) e (ix) do Teorema 3.2.7.
3.2 A Estrutura da ´Algebra 41 Exemplo 3.2.8. Quando n = 4pm, as unidades de ordem 2 em Z
4pm s˜ao −1, 2pm− 1
e 2pm+ 1. Vimos, no Teorema 3.2.7 (vii), que se i = −1 ou i = 2pm+ 1, ent˜ao
U(Z4pm) = hqi×i . Vamos exibir um exemplo mostrando que, para o caso i = 2pm− 1,
esse resultado n˜ao vale em geral. Considere n = 20 = 4.5. Assim:
U(Z20) = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}.
As unidades de ordem 4 em Z20 s˜ao 3, 7, 13, 17. Tomando i = 2pm− 1 = 9, tem-se
que 9 = 32 = 72 = 132 = 172, ou seja, em nenhum dos casos podemos ter U (Z20) =
hqi ×i .
Exemplo 3.2.9. No item (viii), do Teorema 3.2.7, estamos supondo que i 6= 1 em U(Zpmj
j ), para j = 1, 2.
Seja n = 15 = 3 · 5, ent˜ao as unidades em Z15 s˜ao
U(Z15) = {1, 2, 4, 7, 18, 11, 13, 14}.
Devemos ter i2 = 1 e o(q) = o(iq) = 4 = (ϕ(3)ϕ(5))/2. As unidades de ordem 2 em U(Z15) s˜ao 4, 11, 14 e as unidades de ordem 4 em U (Z15) s˜ao 2, 7, 8, 13.
Tomando i = 4, ent˜ao tem-se que 4 = 22 = 72 = 82 = 132. Note ainda que i = 4 = 1 em U (Z3). Portanto, em nenhum dos casos podemos ter U (Z15) = hqi ×
i
Com esses dois exemplos, mostramos que, no caso em que n = 20 e i = 2pm− 1 = 9
e, no caso em que n = 15 com i = 4, n˜ao podemos ter U (Zn) = hqi×
i e, pelo Teorema 3.2.4, o n´umero de componentes simples da ´algebra FqG n˜ao ´e minimal.