Tomando como base a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, Nunes et al. (2003), apresentam a proposta de uma classificação de situações em que as frações são usadas. A proposta desta classificação equivale a uma teoria sobre quais são os efeitos do raciocínio das crianças sobre frações.
Temos consciência do fato de que existem outras classificações dos tipos de significados de números racionais, em particular, os que se referem à sua representação fracionária (falaremos de algumas delas mais à frente).
Entretanto assumiremos em nosso estudo a classificação apresentada por Nunes et al. (2003) que identificam, pelo menos, cinco significados possíveis que devem ser considerados no ensino-aprendizagem das frações: Número, Parte- todo, Medida (com quantidades intensivas e extensivas), Quociente (uma divisão) e Operador Multiplicativo.
Portanto, passaremos a descrever as idéias básicas de cada um desses significados, bem como procuraremos apresentar exemplos de cada significado, em quantidades contínuas e discretas.
Frações como números
Frações, como números inteiros, são números que não precisam necessariamente referir-se a quantidades específicas. Existem duas formas de representação fracionária: ordinária, ou seja, p/q, e decimal. Ao admitir a fração com o significado de número, não é necessário fazer referência a uma situação ou a um conjunto de situações para nos remeter a essa idéia. Um exemplo clássico de exercício usado no ensino de Matemática em que se trabalha fração sem um referente específico é apresentado nos exemplos, a seguir.
Exemplo 1: Represente o número 2 3
na forma decimal. Exemplo 2: Represente na reta numérica as frações
4 3
e 2 3
O significado de fração como número, dentre os demais, é o mais controvertido. Alguns consideram número como um significado, já outros acham que número não é significado e, sim, um substantivo. Mas, ratificamos que assumiremos em nosso estudo fração como número, em situações, como a exposta acima.
Fração como uma relação parte-todo
A idéia presente nesse significado é a da partição de um todo em partes iguais, em que cada parte pode ser representada como
n
1
. Assim, assumiremos como significado parte-todo, um dado todo dividido em partes iguais em situação estáticas, nas quais a utilização de um procedimento de dupla contagem é suficiente para se chegar a uma representação correta.
Por exemplo, um todo foi dividido em cinco partes iguais e três foram pintadas, os alunos podem aprender a representação com uma dupla contagem: acima do traço escreve-se o número de partes pintadas (numerador), abaixo do traço anota-se o número total de partes (denominador).
Exemplo 1 (Quantidade contínua e icônica): uma barra de chocolate foi dividida em cinco partes iguais. Ana comeu três dessas partes. Que fração representa o que Ana comeu?
Exemplo 2: (quantidade discreta não-icônica): Em uma loja há três bicicletas amarelas e duas bicicletas pretas, todas as bicicletas do mesmo tamanho e modelo. Que fração representa a quantidade de bicicletas amarelas em relação ao total de bicicletas?
A fração como uma medida
Assumiremos a fração com o significado medida em situações de quantidades intensivas e extensivas. Algumas medidas envolvem frações por se
referirem as quantidades, intensivas, nas quais a quantidade é medida pela relação entre duas variáveis. Por exemplo, a probabilidade de um evento é a medida pelo quociente do número de casos favoráveis, dividido pelo número de casos possíveis. Portanto, a probabilidade de um evento varia de zero a um, e a maioria dos valores com os quais trabalhamos é fracionária.
Outras medidas envolvem frações por se referirem às quantidades extensivas. Por exemplo, ao fazermos um suco de maracujá, observamos no rótulo da garrafa de concentrado, que são necessários um copo de concentrado para três de água. A receita será medida pela razão um para três, podendo ser representada por
3 1
(relação parte-parte). Será possível com base nessa receita fazer diversas quantidades de suco de maracujá. A quantidade poderá nos remeter à idéia de fração, se considerarmos que o todo (a mistura) é constituído de quatro partes,
4 1
será a fração que corresponderá à medida de concentrado de maracujá na mistura e,
4 3
será a fração que corresponderá à medida de água na mistura.
Outros exemplos:
Exemplo 1 (quantidade discreta não-icônica): Na firma, onde Marcos trabalha, foi feita uma rifa, sendo impressos 200 bilhetes. Marcos comprou 15 bilhetes dessa rifa. Qual a chance de Marcos ganhar o prêmio? (quantidades discretas).
Exemplo 2 (quantidade continua e não-icônica): Para fazer certa quantidade de suco de uva, são necessários 1 medida do concentrado de uva para 3 de água. Que fração representa a medida de água em relação ao total de suco? (Quantidade contínua).
Fração como operador multiplicativo
Este significado está associado ao papel de transformação, isto é, a representação de uma ação que se deva imprimir sobre um número ou uma
quantidade, transformando seu valor nesse processo. Conceber a fração como operador multiplicativo é admitir que a fração
b a
funciona em quantidades contínuas, como uma máquina que reduz ou amplia essa quantidade no processo. Ao passo que em quantidades discretas, sua aplicação atua como um multiplicador divisor.
Dessa forma, assim como os números inteiros, as frações podem ser vistas como um valor escalar aplicado a uma quantidade que, no caso dos inteiros, podemos, por exemplo, dizer 3 figurinhas, no caso da fração
5 3
de uma coleção (conjunto) de figurinhas. Nos dois exemplos, está presente implicitamente, a idéia de que o número é multiplicador da quantidade indicada.
Exemplo 1 (quantidade discreta não-icônica): George tinha guardado em uma caixa 45 bolinhas de gude. Ele resolveu dá
3 2
para o primo Wallace. Quantas bolinhas de gude George deu ao primo?
Na situação acima, o sujeito deverá perceber que a fração desempenhará o papel de transformação, ou seja, deve-se multiplicar 45 por 2 e dividir por 3 ou dividir 45 por 3 e multiplicar por 2. Ao mesmo tempo que a fração desempenha um papel de transformação, também, conduz à idéia de que os números racionais formam um corpo munido de duas operações: adição e multiplicação.
Exemplo 2 (quantidade contínua não-icônica): Dona Isabel fez um bolo para dividir entre os seus oito netos. Pinte a quantidade de bolo que um dos netos de dona Isabel comeu?
Na situação exposta acima, o sujeito deverá perceber que a fração que cada neto da Dona Isabel comeu refere-se a uma quantidade, ou seja,
8 1
Fração como quociente
Este significado está presente nas situações em que a divisão surge como uma estratégia bem adaptada para resolver um determinado problema. Isso significa que conhecido o número do grupo a ser formado, o quociente representa o tamanho de cada grupo. Pressupõe, ainda, extrapolar as idéias presentes no significado parte-todo, pois nas situações de quociente temos duas variáveis, por exemplo: chocolate e criança. Na situação de quociente, a fração corresponde à divisão (três chocolates para quatro crianças) e, também, o resultado da divisão (cada criança receberá
4 3
).
Exemplo 1 (quantidade continua e não-icônica): Divida, igualmente, 3 barras de chocolates para 5 pessoas. Que fração representa o que cada pessoa recebeu das barras de chocolate? (Quantidade Contínua).
Exemplo 2 (quantidade discreta e não-icônica): Tenho 20 balas de hortelã e vou dividir igualmente para 5 pessoas. Quantas balas cada pessoa ganhará? Que fração representa essa divisão? (Quantidade Discreta).
Apresentada a categoria de classificação concordamos com Nunes e Bryant (1997) que, por trás do ensino-aprendizagem de frações, existe uma diversidade e complexidade de conceitos envolvidos. Diante do quadro classificatório, entendemos que a teoria dos campos conceituais de Vergnaud (1990), contribui significativamente para a Educação Matemática, visto que oferece uma concreta e plausível explicação do surgimento e desenvolvimento do conceito de frações.
Após essa breve discussão sobre a formação do conceito, podemos agora partir para discutir a formação dos professores, tendo em vista o suporte teórico ora apresentado neste capítulo.
CAPÍTULO IV
A FORMAÇÃO DO PROFESSOR E O SABER MATEMÁTICO
O presente capítulo tem por objetivo fazer uma ampla reflexão sobre a formação do professor, que é relevante para nosso estudo, porque entendemos haver uma relação direta entre a prática diária do professor em sala de aula e o aprendizado dos alunos. É relevante, também, porque o foco de nosso estudo é o professor. Para elaboração do capítulo, iniciaremos por fazer uma discussão sobre o que vem a ser formar o professor e, para tanto, utilizaremos como principais referências autores como: Nóvoa (2001), Ponte (1992; 1995), Ponte e Chapman (2006), Shulmam (1986), Moreira e David (2004; 2005) e o próprio Vergnaud (1987).
O capítulo tratará, ainda, da legislação brasileira no que concerne ao sistema educacional, ou seja, a profissão docente e a formação do professor. Por fim, abordaremos questões relacionadas à competência docente e, na seqüência, saber o matemático.