2 Foretaksstraff
2.2 Tre objektive grunnvilkår for foretaksstraff
Vamos lembrar que a condi¸c˜ao inicial, em temperatura finita, ´e para a regi˜ao onde predomina o comportamento ferromagn´etico portanto significa
iKi ≥ 0. Olhando para
o quadro das energias das configura¸c˜oes (5.1) ´e f´acil ver que os dom´ınios ferromagn´eticos se ocorrer˜ao para, K2 ≥ −K4 a K2+ K4 ≥ 0, (4.44) K2 ≥ −K6 3 a 3K2+ K6 ≥ 0 (4.45) e K2 ≥ −2K4− K6 a K2+ 2K4+ K6 ≥ 0. (4.46)
Neste contexto tomamos as RR’s j´a definidas no hamiltoniano 4.29 e fazemos a invers˜ao em 4.28 para o espa¸co dual onde os resultados positivos j´a imp˜oe a condi¸c˜ao para os dom´ınios ferromagn´eticos definidas em 4.44 a 4.46 j´a que os parˆametros duais assumem valores entre zero e um. As transmissividades duais definimos em 4.5 tomam a forma das equa¸c˜oes, t′2D = 4 tD 2 + 2tD2 tD4 + tD4tD6 1 + 3(tD 2 )2+ 3(tD4 )2+ (tD6 )2 2 , (4.47) ′D (tD 2)2+ tD2 t6D+ tD4 + (tD4)2 2
Tabela 4.2: Energias Degeneradas das Configura¸c˜oes na Equa¸c˜ao 4.24
Item Configura¸c˜oes −εij/κBT Deg.
a σi = σj; θi = θj; τi = τj 3K2+ 3K4+ K6 8
b σi = σj; θi = θj; τi = −τj K2− K4− K6 24
c σi = −σj; θi = −θj; τi = τj −K2 − K4+ K6 24
d σi = −σj; θi = −θj; τi = −τj −3K2+ 3K4− K6 8
Tabela 4.3: Localiza¸c˜ao, no diagrama de fases, dos pontos fixos triviais e suas respectivas fases para o modelo IAT-3.
Trivial Fixed Point (tD
2 , tD4 , tD6) Magnetic phase F (0, 0, 0) Ferromagnetic F 1 (0, 1, 0) Intermediate one F 2 (0, 0, 1) Intermediate two P (1, 1, 1) Paramagnetic e t′6D = 4 tD 6 + 3tD2tD4 1 + 3(tD 2 )2+ 3(tD4 )2+ (tD6 )2 2 . (4.49)
cujos pontos fixos cr´ıticos triviais e n˜ao triviais s˜ao facilmente obtidos com o aux´ılio do Maple (5.2 e 4.4). Repetindo a trajet´oria dos cap´ıtulos anteriores construimos a matriz hessiana a partir de 4.47, 4.48 e 4.49, e calculamos seus autovalores para, em seguida, obter os expoentes cr´ıticos de correla¸c˜ao e crossover dos pontos cr´ıticos n˜ao triviais mostrados na tabela 4.4.
O diagrama de fases em trˆes dimens˜oes pode ser obtido por m´etodos computa- cionais e nasce de um conjunto de diagramas bidimensionais, come¸cando pelas fases e fazendo-se uma varredura sobre todo volume do espa¸co dual. Dois desses diagramas bidi- mensionais, para tD
Tabela 4.4: Pontos fixos n˜ao triviais e sua localiza¸c˜ao no diagrama de fases, seus respec- tivos autovalores, os expoentes cr´ıticos de correla¸c˜ao e crossover para o modelo IAT-3.
Fixed point (tD 2 , tD4 , tD6) (λ1, λ2, λ3) νT φ P8 (0.15876, 0.15876, 0.15876) (2.04536, 1.13968, 1.13968) 0.96866 5.47291 I1 (0, 0, 0.29560) (1.67857, 0, 0) 1.33827 I2 (0.29560, 1, 0.29560) (1.67857, 0, 0) 1.33827 I3 (0.22033, 0.22033, 1) (1.85260, 0, 0) 1.12416 I4 = P4(1) (0, 0.22033, 0) (1.85260, 0, 0) 1.12416 I5 = P4(2) (0.06513, 0.22033, 0.29560) (1.85260, 1.67857, 0.77743) 1.12416 1.19046 I6 = P4(3) (0.29560, 0.08738, 0.02583) (1.67857, 0.70440, 0.29560) 1.33827 U1 (0.17073, 0.17073, 0.09005) (2.01743, 1.27130, 0.85550) 0.98764 2.92379 U2 (0.18520, 0.12534, 0.18520) (2.01743, 1.27130, 0.85550) 0.98764 2.92379
respectivamente, a modelos que incorporam resultados j´a estudados na literatura o que torna consistente nossos resultados. Na apresentamos o diagrama de fases para a vers˜ao IAT-3 e na pr´osima se¸c˜ao faremos uma an´alise mais detalhada a t´ıtulo de conclus˜ao.
4.5
Conclus˜ao
O diagrama, no espa¸co dual, definido pelas vari´aveis tD
2 , tD4 e tD6 , ´e mostrado na
figura (4.5). Podemos ver que h´a nove pontos fixos n˜ao-triviais, que s˜ao enumeradas na tabela 4.4, juntamente com seus respectivos expoentes cr´ıticos de correla¸c˜ao (νT =
ln(b)/ ln(λ1)) e ”crossover” (φ = ln(λ1)/ ln(λ2). Os pontos cr´ıticos n˜ao-triviais est˜ao
localizados sobre hipersuperf´ıcies (h(tD
2, tD4, tD6 )) cr´ıticas, cujos zeros definem hiperplanos
S (como definimos em IAT-2) cortados por fronteiras cr´ıticas que divide os dom´ınios de atra¸c˜ao correspondentes aos quatro pontos fixos triviais que caracterizam as fases magn´eticas. Os pontos fixos triviais e as fases magn´eticas associadas a eles s˜ao listados na tabela 5.2.
Os pontos fixos I1, I2 e I3 apresentam apenas um autovalor relevante e pertencem `a
classe de universalidade do modelo de Potts de dois estados (q = 2), presente no modelo de Ising. O ponto I1 est´a situado na fronteira entre os atratores das fases ferromagn´etica
(F ) e da fase intermedi´aria dois (F2); I2 est´a situado na fronteira entre os atratores das
fases paramagn´etica (P ) e intermedi´aria um (F1); Finalmente I3 est´a situado na fronteira
entre os atratores das fases ferromagn´etica (F ) e paramagn´etica (P ).
N´os tamb´em podemos encontrar na tabela 4.4 os pontos fixos rotulados de P4(1), P4(2) e P4(3), que correspondem ao modelo de Potts quatro estados (q = 4). O ponto P
(1) 4 est´a
localizado na fronteira cr´ıtica entre os atratores das fases ferromagn´eticas (F ) e F1); P4(2)
est´a situado na fronteira cr´ıtica entre os atratores das fases P e F2 e, finalmente, P4(3) est´a
situado na fronteira cr´ıtica entre os atratores das fases ferromagn´eticas F e P . Podemos ver na tabela 4.4 que P4(1)e P
(2)
4 apresentam um autovalor relevante, enquanto
P4(3)apresenta dois autovalores relevantes. O ponto fixo P8corresponde ao modelo Potts de
oito estados (q=8) e est´a localizado sobre um hipersuperplano isomorfo na fronteira cr´ıtica que separa a fase ferro da fase paramagn´etica. ´E totalmente inst´avel com trˆes autovalores relevantes bem destacados no ponto de m´aximo da hipersuperf´ıcie mostrada na figura (4.3). ´E interessante notar que P8 est´a na intersec¸c˜ao entre dois hiperplanos S1(tD2 = tD4)
grupo de renormaliza¸c˜ao. Ou seja, um determinado ponto no espa¸co dual que pertence ao hiperplano S1 (ou S2), ap´os iterar no processo de renormaliza¸c˜ao, apresenta um novo
ponto, que tamb´em pertence ao mesmo hiperplano S1(ou S2). Os hiperplanos S1e S2est˜ao
melhor ilustrado nas figuras 4.5 e 4.5, respectivamente, e s˜ao os zeros das hipersuperf´ıcies mostradas nas figuras 4.5 e 4.5. Por um lado, a figura 4.5 mostra o hiperplano S1, a partir
do qual se pode verificar a presen¸ca de trˆes fases magn´eticas: (i) uma fase ferromagn´etica (F ); (ii) uma fase ferromagn´etica ntermedi´aria (F2) e (iii) uma fase paramagn´etico (P ).
N´os tamb´em podemos ver trˆes pontos fixos est´aveis, caracterizando cada fase, e quatro pontos fixos inst´avel (P4(2), I1, P8e U1) sobre a linha de transi¸c˜ao entre elas. Por outro lado,
o hiperplano S2 mostrado na figura 4.5, exibe, tamb´em, trˆes fases magn´eticas: (i) uma
fase ferromagn´etica (F ); (ii) uma fase ferromagn´etica intermedi´aria (F1) e (iii) uma fase
paramagn´etic (P ). Na figura 4.5, podemos ver trˆes pontos fixos est´aveis, caracterizando cada fase magn´etica, e quatro pontos fixos inst´avel (P4(1), I2, P8 e U2) sobre a linha de
transi¸c˜ao entre elas.
Se compararmos os hiperplanos S1 e S2, ´e muito f´acil perceber a presen¸ca de uma
forte simetria entre eles. H´a, portanto, uma impressionante semelhan¸ca entre eles e o diagrama do modelo Z(4) ou Ashkin-Teller Isotr´opico (IAT − 2)65,64 estudado por de Souza48. A partir da semelhan¸ca podemos discutir os pontos fixos inst´aveis rotulados de
U1 e U2, que est˜ao localizados na fronteira entre as linhas de transi¸c˜ao que separa as fases F e P sobre os hiperplanos S1 e S2. Sabemos da literatura que, em duas dimens˜oes, o modelo Z(4) ou IAT-2 apresenta uma linha de pontos fixos cuja expoentes cr´ıticos variam continuamente. Esta linha, chamada linha Baxter, ´e a fronteira entre os fases F e P. Normalmente a abordagem via grupo de renormaliza¸c˜ao falha na reprodu¸c˜ao da linha Baxter. Por exemplo, podemos ver65,64 apenas um ponto fixo, entre os infinitos pontos
que reproduz a linha Baxter.
Na tabela 4.4 podemos ver que U1 e U2 n˜ao pertencem a nenhuma classe de univer-
salidade identificada no modelo de Potts q estados, pelo menos, at´e o presente trabalho. Nossa conjectura ´e que as fronteiras entre as fases ferromagn´etica (F ) e paramagn´etica
em que os expoentes cr´ıticos variam continuamente, portanto candidatas a linhas Baxter. Logo, U1 e U2 pertencem a uma classe de universalidade, entre infinitas possibilidades,
que comp˜oem a solu¸c˜ao exata de uma linha Baxter.
Figura 4.9: Diagrama de fase do modelo IAT − 3 para todos os dom´ınios do espa¸co dual onde predomina o comportamento ferromagn´etico.
Figura 4.10: Hipersuperf´ıcie IAT-3 para tD 2 = tD4.
Figura 4.11: Hipersuperf´ıcie IAT-3 para tD 2 = tD4.
Cap´ıtulo 5
Conclus˜oes Finais
Uma teoria ´e importante seja para explicar fenˆomenos que inquietam o nosso senso comum, seja para amalgamar66 v´arias outras teorias ou at´e para ficar na prateleira a espera de
quem a adote para reinventar e/ou recriar novos fenˆomenos ou sistemas que, as vezes, nem existem na natureza, mas que podem ser ´uteis para a ciˆencia e/ou para a tecnologia. Um exemplo disso s˜ao os vidros de spins67- que tamb´em estudamos na nossa tese de mestrado
- cujos modelos desenvolvidos para representar sistemas amorfos se mostrou ineficaz, mas logo em seguida se encontrou um vasto campo de aplica¸c˜oes em redes neurais68 e com isso
seu lugar no p´odio da ciˆencia.
Para os f´ısicos te´oricos em geral o problema do reducionismo69 sist´emico se tansforma
numa ferramente de uso indispens´avel para unificar a ciˆencia e fazˆe-la avan¸car na dire¸c˜ao de novos paradigmas. At´e mesmo quando as coisas d˜ao errado se abre caminhos para o novo. ´E isso que se tem feito. Aprende-se as id´eias e modelos velhos como exerc´ıcio e, para avan¸car, sofisticamos os modelos mais simples atrav´es da inclus˜ao de termos novos nas express˜oes funcionais, que representam, por exemplo, a energia total daqule sistema simples. Nas palavras de Feynman66aprendemos para desaprender. Essa receita tem dado
certo para produzir trabalhos fustigantes e interessantes, pelo menos pra quem persegue a id´eia de produzir uma tese original. Foi isso que fizemos passo a passo utilizando por um lado um modelo cl´assico da literatura e por outro a t´ecnica do grupo de renormaliza¸c˜ao, neste caso, por ser de maior interesse olhar a ”face” do diagrama de fases para um sistema t˜ao complexo quanto o Askhin-Teller de N cores. E, com um olhar na criticalidade,
observarmos se as fases presentes nos modelos mais simples se reproduzem no sistema novo. Isso ´e feito identificando-se essas fases atrav´es dos seus respectivos expoentes cr´ıticos que geram classes de universalidade e indica as fases a quem pertence e a quem representa, se a velha ou a uma nova. Assim, legitimado pelas velhas teorias, podemos construir teorias novas e mundos novos.
Neste sentido temos novidas quando revisitamos o modelo IAT-2 no tocante as hiper- superf´ıcies e hiperplanos isomorfos caracterizados por Bezerra mas ainda sem uma imagem pr´opria. E no modelo AT-3 com regra de substitui¸c˜ao aperi´odica fica uma janela para fu- turos trabalhos sobre a linha Baxter l´a encontrada e que n˜ao pretendemos explorar agora embora seja de grande ingteresse por se tratar de dom´ınios de multicriticalidade. Nosso interesse ficou restrito a rede quadrada e a caracteriza¸c˜ao de novas fases que revelasse processos novos, al´em de identificar velhas fases que legetimasse o modelo em estudo.
Neste aspecto as solu¸c˜oes triviais est˜ao contempladas 5.2 e caracterizadas atrav´es das fases F (0, 0, 0) - Ferromagn´etica, F 1(0, 1, 0) - Intermedi´aria Um, F 2(0, 0, 1) - Inter- medi´aria Dois e P (1, 1, 1) - Paramagn´etica. Aliado a estes os pontos fixos cr´ıticos 4.4, como atratores, definem um conjunto de hipersuperf´ıcies (4.30), cujos diagramas podem ser mapeados no espa¸co dual ou no espa¸co das energias de acoplamento associadas 5.1.
K2 = 1 8ln( t2D t4Dt6D ), (5.1) K4 = 1 8ln( t6D t4Dt2D ), (5.2) K6 = 1 8ln( (t4D)3 t6D(t2D)3 ). (5.3)
No espa¸co dos tDs o mapeamento converge para nove atratores (4.4), que se limitam
por uma regi˜ao de interesse onde as fases coexistem sobre fronteiras obtidas a partir do tratamento de dados num´ericos de varredura sobre o volume do espa¸co de fase (EF). Esses pontos podem ser identificados a partir das energias de acoplamento como, por exemplo, o caso trivial do Potts de oito estados (q = 8) com K2 = K4 = K6.
5.1
Perspectivas Futuras
Neste trabalho reestudamos alguns aspectos de criticalidade no modelo de Ashkin-Teller de N-cores. Na sua vers˜ao original observamos alguns aspectos novos na rede hier´arquica a partir de dois ”cluster b´asicos”: a ponte de Wheatstone e um diamante simples aperi´odico. No caso do modelo de duas cores exploramos as propriedades geom´etricas a partir de recursos novos (maple) que n˜ao estavam dispon´ıveis na ´epoca, ou ainda era incipiente,para dar uma nova vis˜ao ao diagrama de fases j´a estudado por Bezerra e ver aspectos novos de universalidade atrav´es das hipersuperf´ıcies de transi¸c˜ao. Al´em disso, calculamos as rela¸c˜oes de recorrˆencia para este mesmo modelo na rede diamangte com aperiodicidade e o modelo de 3 cores em rede hier´arquica diamante simples, na vers˜ao mais geral, e com intera¸c˜oes aperi´odicas, como mostramos no cap´ıtulo anterior.
Na aperiodicidade encontramos um vasto campo de especula¸c˜oes que n˜ao tratamos com maiores detalhes, mas fica para futuras incurs˜oes. Paulo de Tarso, nas considera¸c˜oes finais de sua tese de Doutorado, afirma: O interesse por sistemas aperi´odicos em mecˆanica estat´ıstica ainda ´e relativamente recente, havendo uma s´erie de linhas de pesquisa a explo- rar: por exemplo, a influˆencia da aperiodicidade sobre sistemas que apresentam comporta- mento tricr´ıtico no caso uniforme ´e inteiramente desconhecida; modelos estat´ısticos mais gerais (v´ertices, d´ımeros) com aperiodicidade tamb´em n˜ao foram considerados at´e o pre- sente. O estudo das propriedades anal´ıticas da fun¸c˜ao de parti¸c˜ao de modelos aperi´odicos, que j´a tem sido realizado, ainda pode proporcionar resultados inesperados. O pr´oprio Luck [1993b] sugeriu que se estudasse a existˆencia de singularidades n˜ao cr´ıticas, do tipo das singularidades de Griffiths (presentes em sistemas dilu´ıdos), em cadeias quˆanticas aperi´odicas. As propriedades de superf´ıcie dessas cadeias, ou de modelos bidimensionais em camadas, tamb´em tˆem recebido muita aten¸c˜ao. Outra linha que merece considera¸c˜ao ´e a an´alise de processos de difus˜ao em meios aperi´odicos, que podem apresentar comporta- mentos anˆomalos; de modo geral, o estudo da influˆencia da aperiodicidade em problemas dinˆamicos deve ser bastante frut´ıfero.
de um diagrama de fase no espa¸co dual onde pod´essemos identificar as fronteiras cr´ıticas inst´aveis e sobre elas observar o comportamento de pontos fixos cr´ıticos n˜ao trivias, como tab´em, ver que hipersuperf´ıcies pouco vis´ıveis (limitadas `a vis˜ao tridimensional) con- stroem classes de universalidades e caracterizam modelos distintos embora muitas vezes sejam de dif´ıcil visualiza¸c˜ao, e os aspectos de multicriticalidade na solu¸c˜ao Baxter.
Para o futuro pretendemos revisitar AAT-2 na rede hier´arquica com intera¸c˜oes de troca aperi´odica; retomar em IAT-3 a solu¸c˜ao linear obtida no cap´ıtulo 4 para an´alise cr´ıtica e retornar a essa vers˜ao na ponte de Wheatstone (2.2) para explorar melhor as propriedades multicriticas da fase Baxter pois este cluster estimula a presen¸ca das flu- tua¸c˜oes importantes na regi˜ao cr´ıtica.
Apˆendice A
Modelo de Pots q-estados em rede
hier´arquica
5.2
O Hamiltoniano de Potts
Esse apˆendice ´e praticamente um translado do artigo de Pinho/Addad e Salinas so- bre comportamento cr´ıtico de modelos de spins ferromagn´eticos como iteira¸c˜oes de troca aperi´odicas. O estudo desse modelo em rede hier´arquica de Migdal-Kadanoff tem ger- ado muitos artigos?,23,60,59 que investigam desde diagramas de fases a comportamentos
cr´ıiticos e tricr´ıiticos. A isotropia ou anisotropia das liga¸c˜oes se d´a sobre grafos em forma de diamante, que s˜ao renormalizados para grafos com liga¸c˜oes terminais soltas, conforme mostra a figura 5.2. O hamiltoniano tem a forma:
H = −q
i,j
onde Jij 0 se refere a intera¸c˜oes ferromagn´eticas e i, j representa a soma sobre os
primeiros vizinhos com q estados. O caso q = 2 reproduz o modelo de Ising estudado por Pinho, Haddad e Salinas.