Totale inntekter og utgifter

Analisaremos duas atividades de generalização de padrões que classificamos como diferenciadas. Entendemos como diferenciadas aquelas atividades que recorram à situação-problema incomum - observação de padrões geométricos e padrões algébricos estruturais, por exemplo.

Escolhemos esta atividade no livro didático “MATEMÁTICA – Imenes & Lellis” porque propõem a observação de padrões geométricos relacionados com a ideia de relação entre duas grandezas (faixas e retas paralelas) por meio de uma tabela:

Figura 14 – Atividade 9 (6º ano EF)

Fonte: Imenes & Lellis (2009, p. 244) Resolução

Observando as figuras, percebemos que 2 retas paralelas formam 1 faixa; que 3 retas paralelas formam 2 faixas; que 4 retas paralelas forma 3 faixas e concluímos que o número de faixas é sempre uma unidade a menos que o número de retas.

a) Preenchendo a tabela de acordo com a generalização:

Números de

Retas paralelas 2 3 4 10 110 Número de

faixas 1 2 3 9 109

b) O número de faixas é sempre igual ao número de retas paralelas menos um.

De acordo com nossas análises, a resolução favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores:

1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber uma relação entre o número de retas paralelas e o número de faixas e expressar essa relação em um modelo algébrico ou geométrico;

7. Desenvolva algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá desenvolver um processo de generalização, que relacione o número de retas paralelas com o número de faixas;

8. Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá perceber as regularidades da atividade e expressá-las em uma linguagem simbólica;

9. Perceba a relação de dependência das variáveis. O aluno poderá perceber a relação de dependência entre o número de retas paralelas e o número de faixas;

10. Perceber o uso da variável como incógnita. O aluno poderá perceber que existe um valor desconhecido que se poderá calcular;

11. Perceba o uso da variável como número geral. O aluno pode perceber e representar o número de faixas em relação ao número de retas paralelas (n -1);

12. Perceba o uso da variável como relação funcional. O aluno poderá perceber a relação funcional entre o número de retas paralelas e o número de faixas; e

13. Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. O aluno poderá desenvolver uma linguagem concisa e expressar a regularidade da tabela (“m = n – 1”, em que m é o número de faixas em n é o número de retas paralelas).

De acordo com nossa análise, esta atividade contempla oito indicadores do pensamento algébrico: 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12 e 13.

Para Ursini et al. (2005) este tipo de atividade é denominada “atividade integradora”, pois utiliza os três usos da variáveis – indicadores: 10, 11 e 12.

Escolhemos esta última atividade para análise no livro didático “MATEMÁTICA – Imenes & Lellis” porque propõe a observação de padrões estruturais algébricos que, neste caso, é o quadrado da soma de dois termos, estudado com mais detalhes no 8º ano do EF, este tipo de generalização de padrões é pouco explorada nas séries anteriores:

Figura 15 – Atividade 10 (7º ano EF)

Fonte: Imenes & Lellis (2009, p. 197) Resolução

a) Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, temos:

c) Elevando ao quadrado uma soma de dois termos, vamos obter o quadrado do primeiro termo, somado com duas vezes o primeiro termo multiplicado pelo segundo termo somado com o quadrado do segundo termo.

De acordo com nossas análises, a resolução favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores:

7. Desenvolva algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá desenvolver algum processo de generalização ao desenvolver a potenciação do polinômio;

8. Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá perceber a regularidade e tentar expressar em linguagem simbólica;

11. Perceba o uso da variável como número geral. O aluno poderá perceber, após o desenvolvimento da potenciação, que a expressão algébrica represente um número geral; e

13. Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. O aluno poderá desenvolver uma linguagem concisa (algébrica) para expressar essa regularidade.

De acordo com nossa análise, baseada no modo de resolução, esta atividade contempla quatro indicadores do pensamento algébrico: 7, 8, 11 e 13.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Neste capítulo apresentaremos um resumo de nossa pesquisa e o resultado de nossas análises baseadas nas ideias de Fiorentini; Miorin; Miguel (1993); Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005); Sessa (2005) e Ursini et al. (2005) e de acordo com nossa hipótese.

No início do mestrado, nossa intenção era pesquisar os problemas de aprendizagem em álgebra na escola básica e contribuir para sua melhoria. Pela nossa prática em sala de aula, tínhamos algumas inquietações ao introduzir a linguagem algébrica no 7º ano do EF pelo estudo das equações do 1º grau e percebíamos que essa introdução por meio das manipulações algébricas sem significado poderia estar causando problemas de aprendizagem, pois os alunos não compreendiam essas manipulações algébricas sem significados, e que as atividades de generalização de padrões poderiam ser uma opção interessante para a introdução da linguagem algébrica.

Com base em nossas leituras, encontramos atividades de generalização de padrões como um tema transversal para o ensino de Matemática e com um grande potencial para introduzir a linguagem algébrica com significado (PONTE, 2005). Diversas pesquisas mostram que os alunos da educação básica têm dificuldade em utilizar e expressar suas ideias, utilizando a linguagem algébrica; a atividade de generalização de padrões é um caminho interessante para se iniciar o estudo da álgebra. Apoiados nessas leituras, acreditamos que este tipo de atividade poderá melhorar a aprendizagem em álgebra dos alunos. E que a aprendizagem dos alunos em Matemática dependerá das tarefas propostas pelo professor, e se este desconhecer este tipo de atividade, possivelmente, não a utilizará em suas aulas.

Nosso objetivo de pesquisa foi identificar e analisar se os livros didáticos de Matemática escolhidos no PNLD/2011 utilizam atividades de generalização de padrões para a introdução da linguagem algébrica. E a questão de pesquisa que buscamos responder foi a seguinte:

Os livros didáticos de Matemática dos 6º e 7º anos do Ensino Fundamental escolhidos no PNLD/2011 introduzem a linguagem algébrica por meio de atividades de generalização de padrões? E como isso ocorre?

Para responder à questão de pesquisa, realizamos diversas leituras relacionadas com o assunto generalização de padrões e o ensino da álgebra, com base nessas leituras, acreditamos que as atividades de generalização de padrões têm potencial para desenvolver a linguagem algébrica. Escolhemos analisar livros didáticos, pois, de acordo com nossas leituras não encontramos pesquisas que tivessem analisado esse tipo de material. Como referenciais teóricos, utilizamos as ideias de Fiorentini; Miorin; Miguel (1993); Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005); Sessa (2005) e Ursini et al. (2005) e para auxiliar nossas análises empregamos a metodologia de Análise de Conteúdo desenvolvida por Bardin (2011). Para as análises das atividades selecionadas, usamos as categorias para o desenvolvimento do pensamento algébrico adaptadas por Hamazaki (2010).

Para nossas análises, selecionamos quatro livros aprovados no PNLD/2011: MATEMÁTICA – Imenes & Lellis, tudo é Matemática, Vontade de saber MATEMÁTICA e Matemática e realidade. Para a introdução de tópicos de álgebra, de acordo com o PNLD/2011, em nossa primeira análise das coleções constatamos que dois livros apresentam tópicos de álgebra desde o 6º ano: MATEMÁTICA – Imenes & Lellis e tudo é Matemática; os outros dois a partir do 7º ano: Vontade de saber Matemática e Matemática e realidade. A segunda análise foi de acordo com o sumário de cada coleção para situar os capítulos relacionados com o assunto álgebra, e para observar os tipos de atividades propostas para a aprendizagem do assunto. Em três coleções, foram encontradas atividades de generalização de padrões: MATEMÁTICA – Imenes & Lellis, tudo é Matemática e Vontade de saber MATEMÁTICA, na coleção Matemática e realidade isto não acontece, porque nesta coleção a iniciação do estudo da álgebra é feita tradicionalmente pelo estudo da equação do 1º grau.

Desta segunda análise, percebemos que nem todas as coleções analisadas utilizam atividades de generalização de padrões, para a iniciação do estudo da álgebra, por mais que os documentos oficiais e muitas pesquisas da década de 1990

mostrem que este tipo de atividade tem um grande potencial para a iniciação do estudo da álgebra, já que poderá desenvolver no aluno o pensamento algébrico.

Nos livros didáticos, selecionamos algumas atividades para a análise baseadas nos indicadores do desenvolvimento do pensamento algébrico adaptados por Hamazaki (2010), apoiadas nas ideias de Fiorentini; Miorin; Miguel (1993); Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005) e Ursini et al. (2005). Estas atividades foram selecionadas, de acordo com os critérios:

Critério 1 (C.1): atividades que recorram às figuras em seus enunciados , que classificamos como padrões figurais;

Critério 2 (C.2): atividades que recorram às sequências numéricas, que classificamos como padrões numéricos;

Critério 3 (C.3): atividades que recorram a padrões em operações numéricas, que classificamos como padrões em operações; e

Critério 4 (C.4): atividades que recorram à ideia de relação entre duas grandezas, que classificamos como função.

Desse modo, foram encontradas 85 atividades nas coleções analisadas, que a nosso ver, é muito pouco. Construímos a tabela 1 (p. 70) que mostra a distribuição dessas atividades selecionadas em cada livro.

Com base nos dados da tabela 1 (citada), verificamos que só uma coleção utiliza os quatro tipos de atividades de generalização de padrões, de acordo com o nosso critério de pesquisa: Matemática – Imenes & Lellis; uma três dos quatro critérios: Vontade de saber Matemática; outra, dois dos quatro critérios: Tudo é Matemática e uma nenhum dos critérios: Matemática e Realidade. Apoiados nessa análise, conseguimos responder a primeira parte da nossa questão de pesquisa: Os livros didáticos de Matemática dos 6º e 7º anos do Ensino Fundamental escolhidos no PNLD/2011 introduzem a linguagem algébrica por meio de atividades de generalização de padrões? E como isso ocorre? Nem todos os livros didáticos de Matemática que analisamos, utilizam atividades de generalização de padrões para introduzir a linguagem algébrica; das quatro coleções analisadas, em três foram encontradas atividades de generalização de padrões, mas, nem todas utilizam os

quatro tipos de atividades de acordo com o nosso critério e pela quantidade de atividades selecionadas estas se concentram na coleção Matemática – Imenes & Lellis, 61 das 85 atividades selecionadas. E como isso ocorre? Agora vamos apresentar nossas considerações da segunda questão de pesquisa, com as análises das resoluções das atividades selecionadas e resolvidas por nós, de acordo com os indicadores do pensamento algébrico adaptados por Hamazaki (2010).

Escolhemos duas atividades de cada critério de pesquisa para nossa análise: C.1: padrões figurais; C.2: padrões numéricos; C.3: padrões de operações; C.4: ideia de função e C.5: atividades diferenciadas, totalizando 10 atividades. Construímos uma tabela mostrando os indicadores encontrados nas atividades selecionadas.

Quadro 9 – Indicadores do desenvolvimento do pensamento algébrico nas atividades analisadas Indicadores do desenvolvimento do pensamento algébrico

Atividades de padrões selecionadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total C.1.1 (p. figural) X X X X X X X X 8 C.1.2 (p. figural) X X X X X X X X 8 C.2.1 (p. numérico) X X X X X X X 7 C.2.2 (p. numérico) X X X X X X X X 8 C.3.1 (p. operações) X X X 3 C.3.2 (p. operações) X X X X 4 C.4.1 (ideia de função) X X X X X X X X 8 C.4.2 (ideia de função) X X X X X X X X 8 C.5.1 (a. diferenciada) X X X X X X X X 8 C.5.2 (a. diferenciada) X X X X 4

Fonte: Tabela desenvolvida pelo autor

De acordo com a Quadro 9, o indicador 7 (desenvolva algum tipo de processo de generalização) e o 8 (perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias) foram encontrados em todas atividades analisadas, enquanto os indicadores 3, 4, 5 e 6 não foram verificados nas atividades. A nosso ver, os indicadores 7 e 8 estão relacionados com as atividades de generalização de padrões.

Os indicadores 1 e 13 também foram encontrados em, praticamente, todas as atividades analisadas, pois estão associados a “expressar as relações ou regularidades” nas atividades analisadas. A maioria das atividades analisadas continha 8 dos 13 indicadores do desenvolvimento do pensamento algébrico, o que podemos concluir que estas atividades favorecem o desenvolvimento do pensamento algébrico.

Respondendo a nossa questão de pesquisa: Alguns livros introduzem a linguagem algébrica, utilizando a generalização de padrões de modo sucinto, não usando esse tipo de atividade, de acordo com os documentos oficiais e diversas pesquisas. Em nossa opinião, poderiam atenuar os problemas de aprendizagem de nossos alunos ao iniciar o estudo da álgebra. Atividades de generalização de padrões podem melhorar a aprendizagem da álgebra favorecendo que os alunos entendam o conceito de variável, não limitando o conceito de variável em manipulações sem significados e cálculo de incógnitas. Essas atividades são exploradas de forma estanques, não dando continuidade ao desenvolvimento da linguagem algébrica, nas coleções analisadas. Em nossa opinião, os livros didáticos poderiam explorar mais atividades de generalização de padrões para a introdução da linguagem algébrica.

Em nossas leituras, observamos que os alunos apresentam dificuldades em usar a linguagem algébrica para expressar suas ideias e que muitos professores desconhecem que as atividades de generalização de padrões, embora as pesquisas da década de 1990 mostrem, têm potencial para iniciação do estudo da álgebra e que os livros didáticos sendo as principais fontes de consulta dos professores e alunos poderiam aproveitar esse tipo de atividade para desenvolver a linguagem algébrica em nossos alunos.

Para nós, pesquisadores, esperamos que nossa investigação venha contribuir para a melhoraria do ensino da álgebra na escola básica, que os estudantes da escola básica possam prosseguir nos estudos em nível superior, que as atividades de generalização de padrões sejam conhecidas e utilizadas por professores e que os livros didáticos de Matemática apresentem com maior frequência esse tipo de atividade para iniciar o estudo da álgebra, pois “o estudo de padrões e regularidades é uma das vias privilegiadas para promover o pensamento algébrico” (PONTE, 2005,

p.4). Esperamos também que nossa pesquisa sensibilizem professores em formação inicial, cursos de licenciatura e outros pesquisadores.

Para futuras pesquisas, propomos a seguinte questão: os livros didáticos de Matemática do Ensino Médio utilizam atividades de generalização de padrões para desenvolver o pensamento algébrico de nossos alunos?

Com base em nossa pesquisa, esperamos que as atividades de generalização de padrões sejam mais aproveitadas nos livros didáticos de Matemática para o desenvolvimento do pensamento algébrico e que os professores aproveitem mais este tipo de atividade e valorizem-nas, pois este tipo de atividade tem um grande potencial para este fim

REFERÊNCIAS

ALMEIDA, M. M. M. Estratégias de generalização de padrões de alunos do Ensino

Fundamental do ponto vista de seus professores. 97 f. Dissertação de Mestrado em

Educação Matemática, PUC-SP, 2006.

ALVARENGA, D.; VALE, I. A exploração de problemas de padrão: Um contributo

para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Quadrante, XV, I, pp. 27-55,

Portugal, 2007.

AQUINO, L. O. Os alunos de 5ª série/6º ano frente a atividades sobre observação e

generalização de padrões. Dissertação de Mestrado Profissional em Educação

Matemática, São Paulo- SP, PUC, 2008.

ARCHILIA, S. Construção do termo geral da Progressão Aritmética pela observação

e generalização de padrões. 89 f. Dissertação de Mestrado Profissional em Ensino

de Matemática, PUC-SP, 2008.

BARBOSA, A. C. C. A resolução de problemas que envolvem a generalização de

padrões em contextos visuais: um estudo longitudinal com alunos do 2º ciclo do Ensino Básico. 484 f. Dissertação de Doutoramento em Estudos da Criança área de

conhecimento em Matemática Elementar, Universidade do Minho, 2009.

BARBOSA, E. J. T.; LINS, A. F. Introdução à Álgebra escolar nos livros didáticos de

Matemática do Ensino Fundamental II. SBEMRN, 2009. Disponível em:

www.sbemrn.com.br/site/II%20erem/comunica/doc/comunica7.pdf. Acesso em 13/08/2013.

BARDIN, L. Análise de conteudo. Almedina: Edições 70, 2011.

BECKER, E. L, GROENWALD, C. L. O. Características do pensamento algébrico de

estudantes do 1º ano do Ensino Médio. X encontro Gaúcho de Educação

Matemática, 2009. Disponível em:

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/CC/CC_10.pdf. Acesso em 12/05/2013.

BOGDAN, R. C. e BIKLEN, S. K. Investigações em Educação: uma introdução à

teoria e aos métodos. In: Fundamentos da investigação qualitativa em educação:

uma introdução. São Paulo: Porto Editora. 2006.p. 13-74.

BORRALHO, A.; BARBOSA, E. Exploração de padrões e pensamento algébrico. In: I. Vale & A. Barbosa (Org.) Patterns-Multiple Perspectives and Contexts in

Mathematics Education (pp. 59-68). Viana do Castelo: Escola Superior de Educação

do Instituto Politécnico de Viana do Castelo – Projeto Padrões, 2009.

BRANCO, N. C. V. O estudo de padrões e regularidades no desenvolvimento do

pensamento algébrico. Mestrado em Educação, Area de especialização em

Didáctica da Matemática. Faculdade de Ciências – Departamento de Educação. Universidade de Lisboa, 2008.

BRASIL. Ministério da Educação. Guia dos Livros Didáticos PNLD 2011. Anos finais

do Ensino Fundamental: Matemática. Brasilia: MEC, 2010.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretária de Educação Básica. Parâmetros

Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental: Matemática.

MEC/SEB, 1998.

CARVALHO, C. A. S. O aluno do Ensino Médio e a criação de uma fórmula para o

termo geral da Progressão Aritmética. 254 f. Dissertação de Mestrado em Educação

Matemática, PUC-SP, 2008.

CARVALHO, M. M. “São Paulo Faz Escola”: Muda a abordagem de Progressões na sala de aula? 86 f. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, PUC-SP,

2010.

DA SILVA, C. G. J.; RÉGINIER, J. C. Critérios de adoção e utilização do livro

didático de Matemática no Ensino Fundamental do nordeste brasileiro: Estudo exploratório baseado na análise Estatistica Implicativa. In: IV Encuentro Internacional

de Análisis Estadístico Implicativo. Anais do IV ASI, Espanha, 2007, 17 f.

DANTE, L. R. tudo é Matemática. Livro didático, 6º e 7º ano do Ensino Fundamental, 3 ed. São Paulo: Ática, 2011.

DEVLIN, K. Matemática: A ciência dos padrões. A procura de uma Ordem na Vida,

na Mente e no Universo, Biblioteca Científica. Porto Editora, 2002.

FERREIRA, C. R. M. Os alunos do 1º ano do Ensino Médio e os padrões:

Observação, Realização e Compreensão. 152 f. Dissertação de Mestrado em

Educação Matemática, PUC-SP, 2009.

FIORENTINI, D.; MIORIN, M. A.; MIGUEL, A. Contribuição para um repensar ... a

Educação Algébrica Elementar. Proposições Vol. 4 nº 1[10], março de 1993.

FIORENTINI, D.; FERNANDES, F. L. P.; CRISTÓVÃO, E. M. Um estudo das

potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico. In: Seminário Luso-Brasileiro de investigações matemáticas

no currículo e na formação de professores (2005). Disponível em: http://alb.com.br/arquivomorto/edicoes_anteriores/anais15/Sem04/FernandoLuis.htm . Acesso em 25/03/2013.

FREITAS, N. K.; RODRIGUES, M. H. O livro didático ao longo do tempo: A forma do

conteúdo. Dissertação de Mestrado, Santa Catarina, UDESC, 2008.

HAMAZAKI, A. C. Análise da situação de aprendizagem sobre equações e

inequações logarítmicas apresentada no Caderno do Professor de 2009 do Estado de São Paulo. 132 f. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, PUC-SP,

2010.

IEZZI, G.;DOLCE, O.;MACHADO, A. Matemática e realidade. Livro didático, 7º ano do Ensino Fundamental, 6 ed. São Paulo: Atual, 2009.

IMENES, L. M.; LELLIS, M. MATEMÁTICA – Imenes & Lellis. Livro didático, 6º e 7°

LAJOLO, M. LIVRO DIDÁTICO: um (quase) manual do usuário. Em Aberto, n. 69, p. 2-9, 1996.

MINAYO, M. C. S. (Org.); DESLANDES, S. F.; NETO, O. C.; GOMES, R. Pesquisa Social. Coleção Temas Sociais. Editora Vozes, 23ª Edição. (s/d)

MOYSÉS, L. Aplicações de Vygotsky à Educação Matemática. 11. ed. Campinas: Papirus. 2012.

PEREZ, E. P. Z. Alunos do Ensino Médio e a generalização de padrão. Dissertação de Mestrado Acadêmico em Educação Matemática, São Paulo- SP, PUC, 2006. PONTE, J. P. Álgebra no curriculo escolar. Educação Matemática. In: XIV Encontro de Investigação em Educação Matemática, Caminha, abril de 2005, p. 36-42.

RAVAZI, F. R. B. Análise dos usos da variável presente no caderno do Aluno na

introdução à Álgebra da Proposta Curricular do Estado de São Paulo do Ensino Fundamental II de 2008 a 2009. 165 f. Dissertação de Mestrado Profissional em

Ensino de matemática, PUC/SP, 2011.

SANTOS, L. G. Introdução do pensamento algébrico: Um olhar sobre os professores

e livros didáticos de Matemática. 202 f. Dissertação de Mestrado em Educação, área

de concentração Educação Matemática, UFES, 2007.

SANTOS, J. G. Observação e generalização de padrões: um tema para a

investigação de professores sobre sua própria prática. Dissertação de Mestrado

Acadêmico em Educação Matemática, São Paulo- SP, PUC, 2008.

SESSA, C. Iniciación al estúdio didáctico del Álgebra, Orígenes y perspectivas. Formación docente – Matemática. 1ª edição - 2005. Libros del Zorzal.

SILVA, R. S. Oficina experiências matemáticas: professores e a exploração de

padrões. Dissertação de Mestrado Acadêmico em Educação Matemática, São

Paulo- SP, PUC, 2009.

SOUZA, J.; PATARO, P. M. Vontade de saber Matemática. Livro didático, 7º ano do Ensino Fundamental, 1 ed. São Paulo: FTD, 2009.

URSINI, S.;ESCAREÑO, F.; MONTES, D.;TRIGUEIROS, M. Enseñanza del álgebra

elemental: una propuesta alternativa.México: Trilhas, 2005.

USISKIN, Z. Concepções sobre álgebra da escola média e utilizações de variáveis. In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (Orgs), As ideias da álgebra, São Paulo: Atual, 1995. pp. 9-22. Tradução de Hygino H. Domingues.

VALE, I.; FONSECA, L.;BARBOSA, A.; PIMENTEL, T.; BORRALHO, A.; CABRITA, I.

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