3. Materials i mètodes
3.7. Anàlisi estadística
Neste parágrafo vamos desenvolver exemplos de sistemas dinâmicos baseados em relacionamento e controle de regras cujo objetivo principal é considerar a incerteza nas próprias variáveis de estado, o que caracteriza a fuzziness demográfica.
As “soluções” obtidas dos sistemas p-fuzzy são aparentemente mais grosseiras e menos exatas que as determinísticas mas muito mais realísticas pois englobam toda a subjetividade descrita por um especialista do fenômeno estudado. Evidentemente, quanto mais informações se tem, mais próximas da realidade serão as soluções.
Os exemplos estudados aqui são específicos de dinâmica de populações. Claro que as técnicas da lógica fuzzy que são utilizadas aqui podem ser aplicadas a outras situações, como por exemplo, em epidemiologia ou mesmo em sistemas dinâmicos mais gerais.
Controlador fuzzy e os sistemas dinâmicos
Os controladores fuzzy são baseados em regras e por causa disto têm muitas van- tagens sobre os modelos determinísticos. Vamos citar algumas:-O usuário com- preende mais facilmente o significado de uma regra de inferência; Todas as infor-
mações contidas em uma regra foi testada ou pode ser induzida sem muitas difi- culdades; O controlador agrega as informações contidas no conjunto de regras e fornece uma saída “média” usando expressões simples; O processamento das in- formações (cada regra é processada individualmente) é computacionalmente muito rápido, com resultados que podem ser testados manualmente e, se uma informação não for muito correta isto não influi substancialmente no resultado devido à ro- bustez destes controladores ([[?]]).
Para nossas aplicações vamos usar o controlador de Mamdani que consiste basica- mente de três estágios: Uma entrada (fuzzificador), um processador (composto de uma base de regras e um método de inferência) e uma saída (defuzzificador). Como defuzzificador usamos o centro de massa embora qualquer outro não cause grandes alterações.
itbpF 3.442in2.6143in0inmini11.jpg F ig8 −Controlador de Mamdani Sistemas p-fuzzy
Um controlador fuzzy proporciona ao usuário uma tomada de decisão cada vez que é acionado. Se realimentarmos o controlador, compondo cada saída com a próxima entrada obtemos um sistema iterativo equivalente a um sistema dinâmico discreto tradicional.
Um sistema p-fuzzy em Rné um sistema dinâmico discreto,
(
xk+1 = xk+ △xk
x0 ∈ Rn
(0.4.5) onde, a variação △xk é obtida por meio de um controlador fuzzy. Dependendo da
situação estudada as variações podem depender também do tempo ou da posição de interação k.
A arquitetura de um sistema p-fuzzy pode ser visualizada na Figura 9:
itbpF 4.7617in2.1949in0inmini12.jpg
Fig 9 -Arquitetura de um sistema p-fuzzy
A seguir daremos um exemplo de aplicação desta técnica de modelagem com um modelo simples do tipo malthusiano.
Exemplo:Modelo p-fuzzy de Malthus O modelo p-fuzzy é construído a partir de
um sistema baseado em regras fuzzy, onde a entrada é a população (P) e a saída a variação da população ∆P ou dP
dt.
. A base de regras fuzzy utilizada é:
2Se população é muito baixa então dP
dt é muito baixa. 2Se população é baixa então dP
dt é baixa. 2Se população é média então dP
dt é média. 2Se população é alta então dP
dt é alta.
itbpF 5.2658in1.5022in0inmini1.bmp
F ig10.(a)Funções de pertinência da população (b) Funções de pertinência variação
E utilizando o sistema baseado em regras fuzzy determinamos o valor de dP
dt no es-
tágio seguinte. Assim, calculamos o próximo valor de P , com integração numérica, especicamente o método é o da regra do trapézio. Repetimos o mesmo raciocínio
em 100 iterações obtendo a trajetória da população no tempo como mostra a Figura 11,
itbpF 2.6351in2.1223in0inmini2.jpg F ig11 −Solução (população) via Mamdani
. O método de inferência utilizado é o Método de Mamdani e o de defuzzicação é o Centro de Gravidade.
Aplicação: Espalhamento da Podridão da Maçã
itbpF 3.8761in3.0727in0inma??1.jpg
A cultura da macieira (Malus domestica) é uma atividade econômica muito impor- tantes em alguns estados do Brasil, sobretudo em Santa Catarina e Paraná. Perdas substanciais da produção de maçãs resultam de doenças que afetam os frutos após a colheita. As principais doenças são do tipo podridão, causadas pelos patógenos Botryosphaeria dothidea (podridão branca), Glomerella cingulata (podridão amarga), Penicillium expansum(mofo azul) e Pezicula malicorticis (olho-de-boi) .Tais patógenos podem causar perdas muito expressivas, podendo chegar à totalidade dos frutos
armazenados [[26]].
A armazenagem das maçãs é feita em câmaras frigoríficas onde são depositadas em caixas de madeira (bins) sobrepostas que comportam, aproximadamente 3000 frutas. Quando alguma maçã está contaminada com podridão, a doença se propaga rapidamente contaminando as outras frutas ao seu redor - estima-se que em 12 dias, 80% das maçãs da caixa são contaminadas, comprometendo posteriormente todo o estoque.
Nosso objetivo é analisar a dinâmica da doença utilizando modelagem matemática. Neste caso específico em que a dinâmica é essencialmente discreta e a contaminação de maçãs depende de uma geometria, relativamente complexa, de contato entre as frutas (veja [[27]]), vamos usar um modelo p-fuzzy.
A escolha do modelo matemático é determinante para se ter uma previsão de al- gum fato. Modelos determinísticos de um mesmo fenômeno podem prever resulta- dos diferentes. Isto acontece invariavelmente porque nem sempre é possível dispor de todas as variáveis que atuam no fenômeno. Neste sentido, por mais exata que seja a matemática, por mais determinísticos que sejam os modelos, sempre tere- mos soluções aproximadas de alguma realidade. Assim, o uso de uma matemática menos determinística e mais grosseira pode ser muitas vezes tão eficaz para pre- visões quanto às obtidas pelos processos clássicos. De qualquer modo, o modelo fuzzy dá uma idéia da dinâmica da doença, podendo ser útil para a formulação de modelos determinísticos e estimação de seus parâmetros.
Definição das variáveis lingüísticas Definir funções de pertinência na forma tri-
angular é muito comum nas aplicações da teoria fuzzy. Entretanto, uma outra es- colha coerente não acarreta grandes modificações num resultado final
Conjuntos fuzzy para níveis de maçãs contaminadas ◦ População de Contam-
inadas, muito baixa : Pbi, com ϕPbi =
600−x
600 se 0 ≤ x < 600 e ϕPbi = 0caso contrário;
◦ População de Contaminadas, baixa: Pb, com ϕPb =
x−300
450 se 300 ≤ x < 750 ;
ϕPb =
1200−x
450 se 750 ≤ x < 1200 e ϕPb = 0caso contrário;
◦ População de Contaminadas, média: Pm, com ϕPm =
x−900
450 se 900 ≤ x < 1350; ϕPm =
1800−x
450 se 1350 ≤ x < 1800 e ϕPm = 0caso contrário;
◦ População de Contaminadas, média alta: Pma,com ϕPma =
x−1500
500 se 1500 ≤ x <
2000; ϕPma =
2400−x
400 se 2000 ≤ x < 2400 e ϕPma = 0caso contrário;
◦ População de Contaminadas, alta: Pa, com ϕPa =
x−2200
300 se 2200 ≤ x < 2500;
ϕPa =
2800−x
◦ População de Contaminadas, muito alta: Pat,com ϕPat =
x−2600
200 se 2600 ≤ x <
3000; Pat = 1se x ≥ 3000 e Pat = 0se x < 2600.
As funções de pertinência dos subconjuntos fuzzy, usadas para modelar a popu- lação contaminada e aqui estabelecidas como funções triangulares, podem ser visu- alizadas na Figura 12:
itbpF 6.263in1.8827in0inmini18.jpg
Fig.12 - Funções de pertinência de populações de frutas contaminadas
Observamos que para cada valor de x , a função de pertinência da densidade de infestação ϕP(x) pode pode ser dada por até dois valores. Senão vejamos, seja x
um valor dado no intervalo [900, 1200) por exemplo, se x = 1000, então ϕPb(1000) =
200
450 = 0, 444,isto é, 1000 maçãs podres tem grau de pertinência 0, 444 no subconjunto
fuzzy contaminação baixa Pb. Também, ϕP m(1000) = 100450 = 0, 222é o grau de pert-
inência de 1000 ao subconjunto fuzzy contaminação média Pm. De maneira análoga
obtemos ϕP(x)para outros valores de x.
Variação da população contaminada ou incidência da doença Para o cresci-
mento da população de contaminadas definimos as variáveis lingüísticas Incidência da Doença:
V0 :incidência baixíssima;
Vbi:incidência muito baixa;
Vb :incidência baixa;
Vm :incidência média;
Va:incidência alta;
Vat :incidência muito alta.
As funções graus de pertinência das incidências de doenças ∆P são dadas por (veja Figura 10.3): Se 0 ≤ ∆p < 100 então ϕ∆P(∆p) = 100−∆p 100 /V0 + ∆p 100/Vbi; Se 100 ≤ ∆p < 200 então ϕ∆P(∆p) = 200−∆p 100 /Vbi+ ∆p−100 100 /Vb; Se 200 ≤ ∆p < 300 então ϕ∆P(∆p) = 300−∆p 100 /Vb+ ∆p−200 100 /Vm; Se 300 ≤ ∆p < 400 então ϕ∆P(∆p) = 400−∆p 100 /Vm+ ∆p−300 100 /Va; Se 400 ≤ ∆p < 500 então ϕ∆P(∆p) = 500−∆p 100 /Va+ ∆p−400 100 /Vat; Se 500 ≤ ∆p então ϕ∆P(∆p) = 1/Vat.
podem ser visualizados na Figura 13:
itbpF 3.0441in1.5567in0inmini19.jpg
Fig.13-Funções grau de pertinência da variação de P
Base de regras A base de regras fornece o entendimento do fenômeno e é da
forma "SE....ENTÃO... "
Para o fenômeno analisado parece coerente a seguinte base de regras
1. 2. 3. 4. 5. 6.
SE população contaminada ENTÃO incidência
Pbi Vbi Pb Vm Pm Va Pma Vat Pa Va Pat Vbi
Tabela 4- Base de regras para a contaminação de maçã
Controlador Fuzzy O método de inferência que vamos adotar aqui é o de Man-
dani que, como já vimos, dá como saída um conjunto fuzzy da forma M (x, u) = _
1≤j≤n
{Aj(x) ∧ Bj(u)}
No nosso caso específico este conjunto é bem simples de ser obtido.
No exemplo anterior tomamos x = 1000 maçãs podres que corresponde ao con- junto fuzzy ϕP(1000) = 0, 444/Pb⊕ 0, 222/Pm. Pela inferência da Tabela 4, teremos
como saída o conjunto fuzzy ∆P cuja função de pertinência é ϕ∆P(u) = 0, 444/Vm⊕
0, 222/Va. O que devemos fazer agora é defuzzificar este conjunto de incidência de
doença, isto é, tomar alguma medida deste conjunto. Isto pode ser feito, por exem- plo, considerando como defuzzificador o centro de máximo:
∆P(u) =
[ϕPb(x) × max ϕVm] + [ϕP m(x) × max ϕV a]
ϕPb(x) + ϕP m(x)
= 0, 444 × 300 + 0, 222 × 400
0, 444 + 0, 222 = 222 Então, quando tivermos 1000 frutas podres, teremos no próximo estágio 1222 frutas
podres. O modelo dinâmico proposto para previsão da doença é dado por: (
Pn+1= Pn+ ∆Pn
P0 = 1
(0.4.6) O processo iterativo pode ser feito à mão, como mostramos, ou usando o Toolbox do Matlab e o resultado final de previsão ou solução pode ser visualizado na Figura 14.
itbpF 4.4157in2.3739in0inf ig12.jpg
Fig.14-Solução do modelo p-fuzzy
Muitas vezes, principalmente em fenômenos biológicos, as equações são parcial- mente conhecidas, isto é, o campo de direções é conhecido apenas qualitativamente. Nesse caso, uma ferramenta que temos utilizados é a teoria dos conjuntos fuzzy, mais especicamente os controladores fuzzy que, com o auxílio da lógica fuzzy e de um especialista, são capazes de captar informações fundamentais de um determi- nado fenômeno. O leitor interessado nesse assunto pode consultar [[25], [29, ?][30], [28]] .