The unity of language (and meta-language)

4.2 Não linearidade Material

4.2.1 Comportamento não linear do material

Para proceder a uma análise, considerando a não linearidade dos materiais, é importante compreender que o verdadeiro comportamento é extremamente difícil de modelar e mesmo com o intuito de considerar o comportamento não linear é necessário proceder a simplificações [10].

O material pode apresentar quatro tipos diferentes de comportamento quando sujeito a uma carga. O material pode ter as seguintes respostas [10]:

• Elástico - linear; • Plástico - linear; • Elástico - não linear; • Plástico - não linear.

O comportamento elástico-linear é representado com uma recta no diagrama tensão-deformação em que o traçado definido para a situação de carga é idêntico ao troço referente ao processo de descarga. Não ocorrem deformações residuais. Como ilustra a Figura4.1(a) no caminho de carga/descarga 1.

O comportamento plástico-linear é também definido através de um troço recto no diagrama tensão-deformação do material, embora neste caso o troço de carga e descarga não coincidem, sendo que este ultimo respeita o regime existente na fase linear da resposta. Existem deformações residuais no final do processo de descarga. Como ilustra a Figura4.1(a) no caminho de carga/descarga 2.

Um material com comportamento elástico-não linear é definido através de um gráfico tensão-deformação curvo, uma vez que o comportamento do material não é linear, neste caso não é possível aplicar a lei de Hooke. Embora o caminho de carga não seja linear este é coincidente com o caminho de descarga, não havendo assim deformações residuais. Como ilustra a Figura4.1(b) no caminho de carga/descarga 1. Uma resposta plástica-não linear é representada através de um diagrama tensão-deformação curvo em que o percurso de carga não coincide com o caminho da descarga, este ultimo mais uma vez respeita o andamento na resposta elástica do material, sendo que no final da descarga existem deformações residuais. Como ilustra a Figura4.1(b) no caminho de carga/descarga 2.

(a) Material linear (b) Material não linear

Figura 4.1: Gráfico Tensão-deformação para diferentes tipos de resposta[13].

No software SAP2000 é possível atribuir comportamento não linear ao material em certos elementos utilizando um modelo direccional, em que são modelados separadamente várias respostas tensão-deformação para um ou mais componentes. Este modelo é simples de aplicar e prático para problemas de engenharia, utilizado em vigas e pilares, paredes estruturais, túneis, muros de contenção e outros. É necessário ter cuidado na utilização deste tipo de modelos no estudo de exemplos onde as tensões governativas do problema mudam de direcção [27].

Tracção e Compressão

Para cada material é possível especificar uma curva tensão-deformação que é utilizada para definir o comportamento do material em todas as direcções do mesmo. Para materiais uniaxiais, esta representa a relação entre σ11 e ε11. Para materiais isotrópicos, ortotrópicos e anisotrópicos esta curva representa o

comportamento ao longo dos três eixos do material, σ11-ε11, σ22-ε22e σ33-ε33[27].

O SAP2000 considera que a relação tensão-deformação não linear é idêntica em todas as direcções, definindo-se apenas uma única curva. Esta metodologia apesar de demasiado simplificativa, é conveniente em termos computacionais, visto facilitar a convergência da solução. Esta metodologia também é recomendável, visto diminuir o numero de inputs no programa, algo que se tornaria muito desfavorável para o projectista usual de estruturas

A curva deve ser definida da seguinte forma [27]:

σii(εii) =

σT(εii) εii≥0

σC(εii) εii≤0

4.2. NÃO LINEARIDADE MATERIAL

Corte

A curva tensão-deformação de corte é calculada directamente da curva de tensão-deformação normal. Para efectuar o calculo é considerado que o comportamento ao corte pode ser obtido através da rotação, usando o circulo de Mohr no plano, de 45o_{do plano de tracção ou compressão. Para materiais isotrópicos,}

ortotrópicos ou anisotrópicos, isto resulta nas seguintes relações para o corte [27]:

σij(εij) =  σS(εij) εij ≥0 −σS(εij) εij ≤0 (4.2) Em que: σS(εij) = 1 4(σT(εij) − σC(−εij), εij = 1 2γij ≥0, i 6= j (4.3)

No caso em que a curva de tensão-deformação normal é simétrica, como por exemplo no aço, tem-se que σT(ε) = σC(ε), sendo desta forma possível definir a tensão de corte da seguinte forma [27]:

σij(εij) = 1 2 σT(εij) εij ≥0 σC(εij) εij ≤0 (4.4)

É importante referir que este comportamento ao corte é directamente aplicado aos elementos Shell, mas no caso dos elementos Frame apenas se considera não linearidade ao longo das tensões normais. Não existe qualquer não linearidade no elemento Frame para esforço de corte.

4.2.2 Relações histeréticas

Para efectuar uma análise não linear é pretendido ter em consideração a verdadeira resposta do material quando solicitado a uma acção. A simplificação de considerar que todos os materiais têm um comportamento elástico-linear deixa de ser válida, pretende-se sim considerar o verdadeiro comportamento dos materiais.

Para este efeito existem várias simplificações que podem ser utilizadas de modo a considerar a resposta do material e que com facilidade este seja modelado para serem efectuadas análises não lineares à estrutura.

As simplificações consideradas são apresentadas de seguida e ilustradas na Figura4.2 [10]:

• Rígido-perfeitamente plástico; • Rígido-plástico com endurecimento; • Elástico linear-perfeitamente plástico;

• Elástico linear -plástico com endurecimento; • Elástico não linear (Figura4.1(b)) .

(a) Rigido-perfeitamente plástico (b) rigido-plástico com endurecimento

(c) Elástico linear-plástico linear (d) Elástico linear-plástico com endurecimento

Figura 4.2: Relações histeréticas[13].

No que se refere ao betão é utilizada uma simplificação elástica não linear-perfeitamente plástica, ou seja, em regime elástico o material responde com uma relação tensão-deformação não linear e em regime plástico a relação é representada com um valor de tensão constante e igual à tensão de cedência.

Para o aço é considerado que este tem um comportamento elástico linear-perfeitamente plástico. Optou-se por não utilizar uma relação com endurecimento na fase plástica de modo a simplificar o modelo.

Existem alguns modelos histeréticos pré-definidos disponíveis no programa. Os 3 modelos existentes são enumerados de seguida [27]: