The Derivation of Directional and Metaphorical VPrt Constructions

Considere um modelo em que um agente pode exercer um esforço custoso . Este esforço pode assumir dois possíveis valores que podem ser normalizados a , se o nível de esforço é zero e a , se o nível de esforço é positivo. Realizar o esforço provoca uma desutilidade para o agente igual a , em que e .

O agente recebe uma transferência do Principal, e assume-se que a sua função utilidade seja separável em ganho e esforço:

(48) Com crescente e côncava, tal que e _.

A produção é estocástica e o esforço altera o nível de produção, ̃, da seguinte forma: ̃ pode assumir apenas dois valores , com , e a influência estocática do esforço na produção é caracterizado pelas probabilidades

( ̃ | ) (49) ̃ | (50)

Com . Seja , em é a diferença entre estas duas probabilidades. Perceba que o esforço melhora a produção no sentido de dominância estocástica de primeira ordem, isto é, ( ̃ | ) é decrescente em e para qualquer nível de produção .

4.2.1 Contratos com incentivos factíveis

Em um ambiente com perigo moral, as ações dos agentes não são diretamente observáveis pelo Principal. O Principal pode apenas oferecer contratos baseados no nível de produção observável e verificável ̃. Assim, a compensação do agente é ligado ao nível de produção observado ̃. Como existem apenas dois níveis de produção possíveis, e , um contrato pode ser definido equivalentemente por dois tipos de transferências: e , respectivamente. Assim, quando um nível de produção for observado, o agente receberá uma transferência , e vice-versa. A utilidade esperada de um Principal neutro ao risco é dada por:

( ) ( ) (51) Se o agente realizar um esforço positivo , e

Se o agente não realizar esforço, ou seja, . Por simplicidade, o benefício do principal será dado por e ( ).

O problema do principal agora é definir se deve induzir o agente a exercer ou não o esforço, e caso decida induzir o esforço, qual contrato de incentivo deve ser usado. Para cada nível de esforço que o principal deseja induzir, deve corresponder a um conjunto de contratos que garanta a participação e a compatibilidade de incentivos. A restrição de incentivo a perigo moral é dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) (53)

Que impõe que o agente prefira exercer um esforço positivo. Se o agente exercer o esforço, ele enfrentará a loteria que distribui com probabilidade e com probabilidade e não a loteria que distribui as transfarências com probabilidade e . No entanto, quando o agente não realiza esforço, o agente não incorre na desutilidade do esforço e poupa um montante .

Dada a utilidade de reserva do agente, a restrição de participação requer que exercer o esforço garanta ao menos o seu custo de oportunidade:

( ) ( ) (53)

Por fim, o tempo do jogo de contratação é definido da seguinte forma: t=0: O Principal oferece um contrato ;

t=1: O Agente aceita ou recusa o contrato; t=2: O Agente realiza ou não o esforço;

t=3: O contrato é executado e são distribuídos os pay-offs do Agente e do Principal.

4.2.2 O contrato ótimo em informação completa

Suponha que o principal ou uma Corte de Justiça consigam observar o esforço e que a variável é observável e verificável e, portanto, pode ser inclusa no contrato a ser monitorado pela Corte de Justiça. Assim, o problema do principal é dado pela equação abaixo, considerando que ele deseja induzir o esforço:

( ) ( ) (54) ( ) ( ) (55)

De fato, apenas a restrição de participação importa para o principal já que o agente pode ser forçado a exercer um nível positivo de esforço. Se o agente escolhesse não realizar o

esforço, então o desvio do agente poderia ser perfeitamente detectado pelo Principal e pela Justiça, que poderiam aplicar-lhe uma penalidade.

Seja o multiplicador desta restrição de participação e otimizando o problema do Principal com respeito a e , resulta nas seguintes condições de primeira ordem:

( ) (56)

(57)

Onde e são as transferências ótimas de first-best. Destas equações de primeira ordem tem-se que

( ) ( ) (58)

E que .

Desta forma, com esforço verificável, o agente obtém um seguro total do principal em que a transferência é obtida independentemente do estado da natureza. Como a restrição de participação tem de ser satisfeita com igualdade, também consegue-se obter o valor desta transferência que é o suficiente para cobrir os custos da desutilidade do esforço, em que _{. Este também é o melhor custo para o principal ao implementar um nível} de esforço positivo. O pay-off esperado do principal é dado por

(59)

Se o principal tivesse decidido que o agente não deveria exercer esforço, ele não faria transferência alguma ao agente, independentemente da natureza, e seu pay-off teria sido:

(60)

Desta forma, induzir o esforço é a melhor resposta para o principal quando , ou seja quando .

4.2.3 Trade-off entre seguro e eficiência

Seja e e equivalentemente e , no contexto de perigo moral, em que o esforço do agente é não observável e o agente é avesso ao risco, o problema do principal torna-se

( ) ( ) (61)

(63)

A função objetivo do principal é estritamente côncava em dado que é estritamente convexa. Como as restrições são lineares, tem-se um problema de padrão em que as condições de Kuhn-Tucker são necessárias e suficientes para caracterizar a otimização da solução.

4.2.4 Transferências ótimas

Sejam e multiplicadores não-negativos associados às restrições do problema de maximização do principal, as condições de primeira ordem podem ser expressas da seguinte forma:

( )

( ) (64) ( ₎

( ₎ (65) Em que e são as transferências ótimas de segunda melhor resposta (second-best). Rearranjando os termos tem-se que

( ) (66) ( ₎ (67)

As quatro variáveis podem ser obtidas simultaneamente como solução do sistema de equações formado pelas equações de restrição de participação e de compatibilidade de incentivos e as duas equações acima, tem-se que:

( ) ( ₎ (68) e 4 ( ) ( )5 (69)

Logo, a restrição de participação deve ser satisfeita com igualdade e deve ser estritamente positivo. De fato, da restrição de participação tem-se que

(70)

Logo _{, o que implica que seja estritamente positivo, já que .}

Portanto, quando o agente é estritamente avesso ao risco, o contrato ótimo com que se induz esforço não provê seguro total contra o risco da natureza para o agente. As transferências de segunda melhor resposta (second-best) são:

( ₎ (71)

₍

) (72)

Vale frisar que o agente neste cenário recebe uma transferência maior do que quando há informação completa quando o maior produto é realizado, .Isso ocorre pois um prêmio de risco deve ser pago ao agente avesso ao risco para induzir a sua participação, já que ele se depara com um risco vindo do fato de _.

4.2.5 Esforço ótimo de segunda melhor resposta

O custo de segunda melhor resposta para induzir esforço no cenário de perigo moral é dado por

₍₇₃₎

O benefício de se induzir o esforço permanece sendo e a escolha de um esforço positivo é ótimo para o principal sempre que

₍

) ( ) (74)

Como é estritamente convexo, o lado direito desta equação tem de ser estritamente maior do que o custo de implementar esforço dentro da primeira melhor resposta em que _{. Portanto, induzir esforço positivo ocorre como menos frequência na presença de} perigo moral do que quando o esforço é observável.

Desta forma, na presença de perigo moral e aversão ao risco do agente existe um trade- off entre induzir esforço e prover segurança para o agente. Por conseguinte, o principal induz esforço positivo com menor frequência dentro deste cenário do que quando o esforço é observável ou o agente é neutro ao risco.