A teoria de sistemas dinâmicos fuzzy aparece em diversas aplicações em engenharia (BAR- ROS, 1997; MIZUKOSHI, 2004; BARROS L.C.; BASSANEZI, 2006; LEITE, 2011; CEC- CONELLO, 2010; CECCONELLO et al., 2015), incentivando-nos a investigar novos re- sultados sobre o princípio de invariância para uma classe de sistemas dinâmicos fuzzy. Dentro da teoria de estabilidade, Mizukoshi (2004) define o fluxo fuzzy e pontos de equi- librio fuzzy, apresentando suas propriedades. Cecconello (2010) define os conceitos de órbitas periódicas fuzzy, conjuntos invariantes e atratores no espaço E(U) e suas pro- priedades (Seção 4.1.4), que serão fundamentais para as principais contribuições deste capítulo: o princípio de invariância fuzzy e sua versão global para a classe de sistemas autônomos (Seção 4.2).
Na Seção 4.1, apresentamos conceitos preliminares sobre a teoria fuzzy e sistemas di- nâmicos fuzzy, em que consideramos, para a classe de sistemas autônomos, o problema de valor inicial com incertezas apenas na condição inicial, via princípio da extensão de Zadeh, como definido em Mizukoshi (2004). Os resultados da Seção 4.1 são adaptações dos textos apresentados em Cecconello (2010, 2015) e Mizukoshi (2004). Além disso, alguns resul- tados nesta seção são inéditos na literatura, sendo fundamentais para o desenvolvimento da Seção 4.2.
Os principais resultados deste trabalho, referentes à teoria de sistemas dinâmicos fuzzy, encontram-se na Seção 4.2, em que desenvolvemos o princípio de invariância para uma classe de sistemas dinâmicos fuzzy (Teorema 4.3) e sua versão global (Teorema 4.4). Estes resultados estudam o comportamento assintótico das soluções de equações diferenciais autônomas com condições iniciais fuzzy.
É importante ressaltar que, para o desenvolvimento da Seção 4.2, consideramos incerte- zas apenas na condição inicial do Problema de Valor Inicial (PVI), denominado Problema de Valor Inicial Fuzzy (PVIF), via Princípio de Extensão de Zadeh. Alguns exemplos serão ilustrados, tais como o do efeito Allee demográfico.
58 4. Sistemas Dinâmicos Fuzzy
4.1
Conceitos Preliminares
Apresentaremos nesta seção conceitos fundamentais sobre a teoria fuzzy e sistemas dinâ- micos fuzzy as quais serão fundamentais para melhor compreensão dos resultados inéditos obtidos na Seção 4.2.
Definição 4.1 Seja P(X) o conjunto formado pelos subconjuntos de um conjunto X. Para cada A ∈ P(X) definimos a função característica χA: X → {0, 1} de A por
χA(x) =
(
1 se x ∈ A, 0 se x /∈ A.
O conjunto C(X) de todas as funções características com domínio em X é isomorfo ao conjunto P(X) (NEGOITA; RALESCU, 1975), e portanto as funções características representam o próprio conjunto.
Cada subconjunto fuzzy F de X é caracterizado por uma função de pertinência µF :
X → [0, 1], denominada função de pertinência, que associa para cada x ∈ X o grau de pertinência µF(x) de x em F . A função de pertinência é uma generalização da função
característica.
Definição 4.2 Seja X um conjunto não vazio. Um subconjunto fuzzy F de X é um subconjunto {(x, µF(x)) : x ∈ X} de X × [0, 1] para alguma função µF : X → [0, 1].
O conjunto formado por todos os subconjuntos fuzzy de X será denotado por F(X). A forma mais correta seria dizer que F é um subconjunto fuzzy de X, mas em muitas casos, dizemos que F é conjunto fuzzy, ficando implícita a existência de um conjunto X onde está definida a função de pertinência de F .
Se A ∈ P(X), isto é, A ⊂ X, então {(x, χA(x)) : x ∈ X} é um subconjunto não vazio
de X × [0, 1]. Pela Definição 4.2, o subconjunto A determina um subconjunto fuzzy de X que será identificado aqui, com abuso de notação, por χA. Para uma melhor distinção,
o subconjunto fuzzy χA será denominado aqui, como na língua inglesa, um subconjunto
crisp de X (conjunto usual, no sentido clássico).
Definição 4.3 Dado um subconjunto fuzzy A em F (X) definimos, para cada α ∈ (0, 1], o conjunto [A]α
⊂ X como sendo o conjunto dos elementos de X tal que o grau de pertinência em A é maior ou igual a α. O conjunto [A]α
⊂ X é denominado α-nível de A e é definido por
[A]α
= {x ∈ X : µA(x) ≥ α} para α ∈ (0, 1].
Definição 4.4 O 0-nível de um subconjunto fuzzy A é definido por [A]0 = [
α∈(0,1]
[A]α = supp(A)
4.1. Conceitos Preliminares 59 Portanto, dois subconjuntos fuzzy de um conjunto X são iguais se, e somente se, as funções de pertinência são iguais, isto é,
A = B ⇐⇒ µA(x) = µB(x), ∀x ∈ X.
Dois conjuntos fuzzy são iguais quando os α-níveis coincidem para todo α ∈ (0, 1] (BAR- ROS L.C.; BASSANEZI, 2006).
O princípio da extensão de Zadeh se baseia em estender o domínio de uma aplicação f : X → Y para os subconjuntos fuzzy em F(X). Observe que para cada A ⊂ X, temos que f(A) ⊂ Y . Agora, sendo A ∈ F(X), ou seja, A é um subconjunto fuzzy X, então a maneira como a imagem se caracteriza é feita através do Princípio da Extensão de Zadeh, proposta em 1965, conforme a seguinte definição:
Definição 4.5 (Princípio da Extensão de Zadeh) Sejam f : X → Y uma aplicação e A um subconjunto fuzzy de X. A extensão de Zadeh ˆf : F(X) → F(Y ) é a aplicação cuja imagem ˆf (A) tem a função de pertinência
µfˆ(A)(z) = sup x∈f−1(z) µA(x) se f−1(z) 6= ∅, 0 se f−1(z) = ∅.
Observação 4.1 Dizemos que f−1(z) é a pré-imagem de z (não necessariamente a in-
versa).
A Figura 4.1 representa o Princípio da Extensão de Zadeh.
µfˆ(A)
µA
Figura 4.1: (BARROS L.C.; BASSANEZI, 2006) Interpretação geométrica do princípio da extensão de Zadeh. O gráfico representa a imagem de um subconjunto fuzzy a partir do princípio de extensão de Zadeh.
60 4. Sistemas Dinâmicos Fuzzy
Exemplo 4.1 Para ilustrar o conceito da extensão de Zadeh, vamos utilizar este exemplo extraído de BARROS L.C.; BASSANEZI (2006). Considere o subconjunto fuzzy A de números reais cuja função de pertinência é dada por
ϕA(x) =
(
4(x − x2) se x ∈ [0, 1]
0 se x /∈ [0, 1].
Os α-níveis de A são os intervalos [A]α = 1 2(1 − √ 1 − α),12(1 +√1 − α) .
Consideremos a função real f(x) = x2 para x ≥ 0. Como f é crescente, temos
f ([A]α) = f 1 2(1 − √ 1 − α) , f 1 2(1 + √ 1 − α) = 1 4(1 − √ 1 − α)2,1 4(1 + √ 1 − α)2 = [ ˆf (A)]α.
A Figura 4.2 ilustra o subconjunto ˆf (A).
µf(A)ˆ
µA
Figura 4.2: (BARROS L.C.; BASSANEZI, 2006) O gráfico ilustra um subconjunto fuzzy ˆf(A) do Exemplo 4.1.
Um subconjunto A ⊂ X determina o conjunto fuzzy χA de X cuja função de perti-
nência é a função característica de A. A imagem de χA através da extensão ˆf de uma
função f coincide com o conjunto fuzzy χf(A) definido por f(A), isto é, ˆf (χA) = χf(A).
4.1. Conceitos Preliminares 61
4.1.1
O Subespaço E(X)
Adiante, iremos restringir a análise aos subconjuntos fuzzy de um conjunto X cujos α- níveis são subconjuntos compactos e não vazios em X, isto é,
E(X) := {A ∈ F(X) : [A]α é compacto e não vazio, ∀α ∈ [0, 1]}. Notação:
1. Os subconjuntos fuzzy que estão em E(X) serão denotados por letras minúsculas em negrito para diferenciar dos elementos de X.
2. Os subconjuntos, no sentido clássico, do conjunto E(X) serão representados aqui por letras maiúsculas em negrito.
Definição 4.6 Dado u ∈ E(Y ), Y ⊂ X, definimos u ∈ E(X) através da função de pertinência
µu(x) = (
µu(x) se x ∈ Y,
0 se x /∈ Y. (4.1)
Seguindo da Definição 4.6, temos que [u]α = [u]α
, ∀α ∈ [0, 1], de tal forma que iden- tificamos E(Y ) como um subconjunto de E(X). Com abuso de notação, dizemos que u = u.
Por outro lado, dado u ∈ E(X) com [u]α ⊂ Y ⊂ X, definimos u ∈ E(Y ) como função
de pertinência µu(x) = µu(x), ∀x ∈ Y . Como antes, temos que [u]α = [u]α, ∀α ∈ [0, 1] e
novamente dizemos que u = u.
Como exemplo, dado Y ⊂ X, representaremos por Y ⊂ E(X) o subconjunto formado pelos elementos de E(X) cujos α-níveis são subconjuntos de Y . Isto é,
Y = {u ∈ E(X) : [u]α ⊂ Y ⊂ X para todo α ∈ [0, 1]}.
Algumas propriedades sobre o conjunto E(X) podem ser encontradas em Cecconello (2010).
A seguir, iremos definir uma métrica sobre E(X), que será por meio da métrica de Hausdorff para subconjuntos compactos de X.
Definição 4.7 (KREYSZIG, 1978) Seja K(X) o conjunto formado pelos subconjuntos compactos não vazios do espaço métrico (X, d). Dados os conjuntos A e B em K(X), a distância entre os conjuntos é dada por:
dist(A, B) = sup
a∈A
inf
62 4. Sistemas Dinâmicos Fuzzy
A Definição 4.7 é chamada de pseudométrica para K(X), pois dist(A, B) = 0 ⇐⇒ A ⊆ B. Sendo assim, definimos a distância de Hausdorff entre os conjuntos A e B em K(X) a seguir.
Definição 4.8 Sejam os conjuntos A, B ∈ K(X). A distância de Hausdorff entre A e B é definida por
dH(A, B) = max{sup a∈A
inf
b∈Bd(a, b), supb∈Ba∈Ainf d(a, b)} = max{dist(A, B), dist(B, A)}.
Observe que (K(X), dH) é um espaço métrico. Se (X, d) é um espaço métrico completo
então (K(X), dH) também é um espaço métrico completo (ALIPRANTIS C.D.; BORDER,
2005).
A seguir, definiremos a métrica para o conjunto E(X) a partir da Definição 4.8.
Definição 4.9 Dados u, v ∈ E(X), dizemos que a distância, definida por d∞, entre u e
v, é dada por
d∞(u, v) = sup α∈[0,1]
dH([u]α, [v]α).
Observação 4.2 É de simples verificação que (E(X), d∞) é um espaço métrico.
Definição 4.10 Sejam os conjuntos A, B ⊂ E(U). A distância entre A e B é definida por dist(A, B) = sup x∈A inf y∈B d∞(x, y).
Lema 4.1 (CECCONELLO, 2010) Dado A ⊂ U, seja A = {x ∈ E(U) : [x]0 ⊂ A ⊂ U}.
Se y ∈ E(U) então vale a desigualdade
dist(y, A) ≤ dist(y, A) para todo y ∈ [y]0.
Definição 4.11 Dizemos que o conjunto ω é limitado se, para quaisquer x, y ∈ ω, existe r > 0 tal que a distância d∞(x, y) ≤ r.
Em Cecconello (2010) podemos encontrar mais propriedades de espaços métricos para o conjunto E(X) as quais omitiremos aqui. Além disso, omitiremos também as demons- trações dos resultados a seguir, que serão fundamentais para o desenvolvimento da Seção 4.2.
4.1. Conceitos Preliminares 63
Teorema 4.1 (CECCONELLO, 2010) Sejam X e Y espaços de Hausdorff. Se f : X → Y é contínua, então a extensão de Zadeh ˆf : E(X) → E(Y ) está bem definida e vale
[ ˆf (u)]α = f ([u]α)
para todo α ∈ [0, 1] e u ∈ E(X).
Muitas vezes não conseguimos garantir a continuidade da aplicação f : X → Y em todo o domínio X, mas apenas em um subconjunto A ⊂ X. Sendo assim, apresentamos a seguinte proposição.
Proposição 4.1 (CECCONELLO, 2010) Suponha que f : A ⊂ X → Y seja contínua. Se u ∈ E(X) é tal que [u]α
⊂ A, ∀α ∈ [0, 1], então [ ˆf (u)]α = f ([u]α
) para todo α ∈ [0, 1].
O princípio da extensão de Zadeh preserva algumas propriedades importantes sobre uma aplicação f : Rn
→ Rn (BARROS, 1997) e a principal delas é a continuidade, ou
seja, se f é uma função contínua então a aplicação ˆf é contínua. O próximo resultado mostra que se X for um espaço métrico localmente compacto e a aplicação f : X → Y for contínua, então a extensão de Zadeh ˆf é contínua.
Proposição 4.2 (CECCONELLO, 2010) Sejam (X, d) e (Y, ˜d) espaços métricos e X localmente compacto. Se f : X → Y é uma aplicação contínua, então a extensão de Zadeh ˆf : E(X) → E(Y ) é contínua.
A recíproca também é verdadeira, conforme a proposição a seguir.
Proposição 4.3 (CECCONELLO, 2010) Suponha que (X, d) e (Y, ˜d) sejam espaços mé- tricos e seja ˆf : E(X) → E(Y ) a extensão de Zadeh de uma aplicação f : X → Y . Se ˆf é contínua então f é contínua.
4.1.2
Problema de Valor Inicial Fuzzy via Extensão de Zadeh
O conjunto E(X) é formado pelos subconjuntos fuzzy de X cujos α-níveis são subconjuntos com suporte compacto e define um espaço métrico com a métrica d∞induzida através da
métrica de Hausdorff sobre os conjuntos compactos de X. Neste trabalho, denominaremos por sistema dinâmico fuzzy, ou fluxo fuzzy, os sistemas dinâmicos definidos sobre o espaço E(X), obtidos pelo princípio da extensão de Zadeh de soluções determinísticas de equações diferenciais autônomas. Mizukoshi (2004) apresenta diversas interpretações do problema de valor inicial e uma delas é via princípio de extensão de Zadeh, a qual iremos tratar aqui.
64 4. Sistemas Dinâmicos Fuzzy
a) ˆϕ0 = I;
b) ˆϕt◦ ˆϕs= ˆϕt+s, ∀t, s ∈ R,
então dizemos que a família de aplicações ˆϕté um sistema dinâmico fuzzy (ou fluxo fuzzy).
Considere o problema de valor inicial determinístico autônomo (
˙x = f (x(t)) x(0) = x0
(4.2)
onde f : U ⊂ Rn
→ Rn é uma função contínua e x
0 ∈ Rn.
Iremos admitir neste trabalho que as soluções do sistema (4.2) existem para todo t ∈ R.
Agora, considerando incerteza na condição inicial do sistema (4.2), temos o Problema de Valor Inicial Fuzzy (PVIF) dado por:
(
˙x = f (x(t)) x(0) = x0
(4.3)
onde x0 ∈ E(Rn).
Definição 4.13 Sejam U ⊂ Rn aberto e x
0 ∈ U. Dizemos que ˆϕt : E(U) → E(U), t ∈ R
é uma solução fuzzy para a Equação (4.3) quando ˆϕt(χ{x0}) = χ{ϕt(x0)}, ∀x0, onde ϕt :
U → U é a solução da equação (4.2).
Observa-se que, a partir da Definição 4.13, a solução fuzzy coincide com a solução do sistema (4.2) quando o conjunto x0 é um conjunto “crisp”.
Partindo da condição em que o PVI possua soluções e que possa ser estendido, então para obter a solução do PVIF com condição inicial fuzzy, o princípio de extensão de Zadeh aplicado nessas soluções de problema determinístico mantém os resultados de existência e unicidade das soluções do problema de valor inicial original.
Mizukoshi (2004) prova o seguinte resultado:
Proposição 4.4 Seja ϕt : U → U o fluxo determinístico do problema (4.2). Então a
extensão de Zadeh de ϕt, ˆϕt: E(U) → E(U), t ∈ R satisfaz as seguintes condições:
(a) ˆϕ0(x0) = x0
(b) ˆϕt+s(x0) = ˆϕt◦ ˆϕs(x0)
para todo x0 ∈ E(U) e t, s ∈ R.
Pela Proposição 4.4, temos que a extensão de Zadeh ˆϕt : E(U) → E(U), t ∈ R de um
4.1. Conceitos Preliminares 65
4.1.3
Pontos de Equilíbrio Fuzzy
A seguir, apresentaremos alguns resultados sobre pontos de equilíbrio fuzzy para o fluxo fuzzy ˆϕt.
Definição 4.14 Dizemos que xe∈ E(U) é um ponto de equilíbrio fuzzy ˆϕt quando
ˆ
ϕt(xe) = xe
para todo t ≥ 0.
Cecconello (2010) afirma que se pode caracterizar um ponto de equilíbrio fuzzy por meio dos α-níveis. Se xe é um ponto de equilíbrio fuzzy então vale a igualdade
[ ˆϕt(xe)]α = ϕt([xe]α) = [xe]α
para todo α ∈ [0, 1] e t ∈ R+.
A Proposição 4.5 revela uma equivalência sobre os pontos de equilíbrio para as soluções determinísticas e fuzzy, ou seja:
Proposição 4.5 (MIZUKOSHI, 2004) Seja xe ∈ U. Então xe é um ponto de equilíbrio
do sistema (4.2) se, e somente se, χxe é um ponto de equilíbrio do sistema (4.3).
Podemos assim definir estabilidade para pontos de equilíbrio no conjunto E(U). Definição 4.15 Um ponto de equilíbrio xe ∈ E(U) é estável se dado ε > 0, existe δ >
0 tal que se d∞(x0,xe) < δ então d∞( ˆϕt(x0), xe) < ε, para todo t ≥ 0. Além disso,
se existe r > 0 tal que para todo x0 ∈ E(U) satisfazendo d∞(x0, xe) < r temos que
d∞( ˆϕt(x0), xe) → 0 quando t → +∞, então xe é assintoticamente estável.
Definição 4.16 O ponto de equilíbrio é instável quando não for estável.
A Proposição 4.6 mostra uma equivalência entre as propriedades de estabilidade dos pontos de equilíbrio para o fluxo determinístico e do fluxo fuzzy.
Proposição 4.6 (MIZUKOSHI, 2004) Sejam xe ∈ U um ponto de equilíbrio para o sis-
tema determinístico (4.2) e ˆϕt o fluxo fuzzy associado ao fluxo determinístico ϕt. Então
valem as seguintes afirmações:
a) xe é estável para ϕt se, e somente se, χ{xe} é estável para ˆϕt;
b) xe é assintoticamente estável para ϕt se, e somente se, χ{xe} é assintoticamente
66 4. Sistemas Dinâmicos Fuzzy
4.1.4
Órbitas, Conjuntos Limites e Conjuntos Invariantes
Os conceitos de órbita e conjunto limite definidos para fluxos fuzzy ˆϕt são análogos aos
conceitos definidos para fluxos em espaços métricos.
Para facilitar ao leitor, alguns resultados sobre conjuntos invariantes e conjuntos atra- tores, conforme citados neste trabalho, são encontrados em Cecconello (2010, 2015). Definição 4.17 (CECCONELLO, 2010) Definimos uma órbita fuzzy γ(x0) ⊂ E(U) de
um estado inicial x0 ∈ E(U) como sendo o subconjunto no espaço de fase E(U) definido
por γ(x0) = [ t∈R ˆ ϕt(x0) = { ˆϕt(x0) ∈ E(U) : t ∈ R}.
Definição 4.18 (CECCONELLO, 2010) Seja B ⊂ E(U). O conjunto ω-limite fuzzy de B é definido por ω(B) =\ s≥0 [ t≥s ˆ ϕt(B).
A notação de união deve ser entendida no sentido de obter uma coleção de subconjuntos fuzzy e não interpretada pela definição usual dada por µA∪B(x) := max{µA(x), µB(x)}.
Agora, quando B é um conjunto unitário, podemos definir o conjunto ω-limite fuzzy de x0 ∈ E(U) como sendo o conjunto
ω(x0) = \ s≥0 [ t≥s ˆ ϕt(x0).
Usamos aqui o adjetivo fuzzy devido ao fato de que os conjuntos γ(x0) e ω(B) estão
contidos em E(U).
Definição 4.19 (CECCONELLO, 2010) Seja ω(B), B ⊂ U, o ω-limite determinado pelo fluxo determinístico e consideremos o conjunto ω(B) ⊂ E(U) definido por
ω(B) = {x ∈ E(U) : [x]0 ⊂ ω(B)}.
Na Definição 4.19, o conjunto fuzzy ω(B) é constituído pelos elementos fuzzy x ∈ E(U) que possuem 0-nível contido em ω(B), ou seja, ω(B) é definido a partir do conjunto ω- limite do conjunto determinístico B. A seguir, estudaremos propriedades de ω(B) e ω(B) e suas relações.
Proposição 4.7 (CECCONELLO, 2010) Sejam ω(A) e A subconjuntos de U . O con- junto ω(A) atrai A pelo fluxo determinístico ϕt se, e somente se, ω(A) atrai A = {x ∈
E(U) : [x]0 ⊂ A ⊂ U} pelo fluxo ˆϕ t.
4.1. Conceitos Preliminares 67 Omitiremos esta prova, podendo ser encontrada em Cecconello (2010).
Como consequência deste resultado, o Corolário 4.1 apresentado a seguir é de nossa autoria.
Corolário 4.1 Se [ ˆϕt(x0)]α, ∀α ∈ [0, 1] é limitada para t ≥ 0 pelo fluxo fuzzy então
ω([x0]0) atrai x0 = {x ∈ E(U) : [x]0 ⊂ [x0]0}.
Demonstração. Pelo Teorema 4.1 temos que para todo α ∈ [0, 1], [ ˆϕt(x0)]α = ϕt([x0]α)
e então ϕt([x0]α) é limitado para t ≥ 0 e para todo α ∈ [0, 1].
Como ϕt([x0]α), ∀α ∈ [0, 1] é limitada pelo fluxo determinístico então sabemos que o
conjunto ω([x0]α) é não vazio e atrai [x0]α, e assim, pela Proposição 4.7 podemos concluir
que ω([x0]0) atrai x0 pelo fluxo ˆϕt e portanto o resultado está provado.
É importante destacar que o Lema 4.2 apresentado a seguir é inédito na literatura. Lema 4.2 Se ω(B) é limitado então ω(B) é limitado.
Demonstração. Do fato de ω(B) ser limitado, temos que d∞(u, v) < ∞, ∀u, v ∈ ω(B).
Em particular, d∞(χ{u}, χ{v}) < ∞, ∀u, v ∈ ω(B). Mas d(u, v) = d∞(χ{u}, χ{v}) <
∞, ∀u, v ∈ ω(B). De fato, d∞(χ{u}, χ{v}) = sup α∈[0,1]
dH([u]α, [v]α) = dH({u}, {v}) = d(u, v).
Portanto ω é limitado.
Não se pode garantir que o conjunto ω(B) seja um conjunto compacto (ROMÁN- FLORES, 1998). Sendo assim, temos o seguinte resultado:
Proposição 4.8 (CECCONELLO, 2010) Seja ω(B) um conjunto compacto. Então, o conjunto ω(B) é fechado e limitado.
Demonstração. De fato, ω(B) é um conjunto compacto em Rn e, portanto, ω(B) é
subespaço completo de Rn. A proposição 2.6 em Cecconello (2010) mostra que ω(B) é
um subconjunto fechado de E(U).
Se ω(B) é limitado, então existe r > 0 tal que ||x − y|| < r, para todo x, y ∈ ω(B). Segue diretamente da definição de d∞ que d∞(x, y) ≤ r, para todo x, y ∈ ω(B).
Portanto, ω(B) é limitado.
A partir do conjunto B ⊂ U, podemos definir o conjunto B ⊂ E(U) da seguinte maneira:
B:= {x ∈ E(U) : [x]0 ⊂ B ⊂ U}.
Com esta relação entre os conjuntos B e B, é interessante observar também a relação entre os conjuntos ω(B) e ω(B), conforme a Proposição 4.9, inédita na literatura.
68 4. Sistemas Dinâmicos Fuzzy
Proposição 4.9 Seja B ⊂ U e defina B = {x ∈ E(U) : [x]0 ⊂ B ⊂ U}. Então o
conjunto ω(B) está contido em ω(B), ou seja, ω(B) ⊂ ω(B).
Demonstração. Suponha por absurdo que ω(B) 6⊂ ω(B). Como ω(B) é fechado (Pro- posição 4.8) então existe a ∈ ω(B) − ω(B) e ε > 0, tal que Bε(a) ∩ ω(B) = ∅.
Como ω(B) atrai B ⊂ U pelo fluxo determinístico ϕt, então pela Proposição 4.7 temos
que ω(B) atrai B pelo fluxo fuzzy ˆϕt, e então
∃T > 0 tal que d∞(a, ˆϕt(B)) >
ε
2, ∀t > T.
Por outro lado, sabemos que, pela Definição 4.18, o conjunto ω-limite fuzzy é dado por ω(B) = \ s≥0 [ t≥s ˆ ϕt(B). Então, a /∈ [ t>T ˆ
ϕt(B), ∀T . Logo, a /∈ ω(B), o que nos leva a
um absurdo.
Portanto, segue-se a tese.
Observação 4.3 Não podemos afirmar nada a respeito da inclusão ω(B) ⊂ ω(B). Os Lemas 4.3 e 4.4 apresentados a seguir serão fundamentais para o desenvolvimento do princípio de invariância para a classe de sistemas dinâmicos fuzzy (Seção 4.2). Estes resultados são inéditos na literatura.
Lema 4.3 Sejam os conjuntos S = {x ∈ E(U) : [x]0 ⊂ S} e S′ = {x ∈ [x]0 ⊂ U : x ∈
S}. Então S′ = S.
Demonstração. Primeiramente provaremos que S′ ⊂ S.
Seja x ∈ S′. Então existe x ∈ S tal que [x]0 ∋ x por definição do conjunto S′. Se
x∈ S, então [x]0 ⊂ S, o que implica em x ∈ S, ou seja, S′ ⊂ S. Mostraremos agora que S ⊂ S′.
Seja y ∈ S. Temos que o crisp (x, χy(x)) ∈ S e como {y} = [(x, χy(x))]0 ⊂ S′, então
y ∈ S′. Logo S ⊂ S′.
Portanto, S′ = S.
A importância do resultado a seguir é saber que vale a igualdade em certos conjuntos fuzzy definidos em seus α-cortes. Esses conjuntos são extensões dos conjuntos de nível definidos em sistemas autônomos para o fluxo determinístico.
4.1. Conceitos Preliminares 69
Lema 4.4 Sejam os conjuntos ΛL = {x : V (x) < L}, ΛL = {x ∈ E(Rn) : [x]α ⊂
ΛL, ∀α ∈ [0, 1]}, ΩL = {x ∈ E(Rn) : [ ˆV (x)]α ⊂ (−∞, L), ∀α ∈ [0, 1])} e ΩL = {x ∈
[x]α
⊂ Rn
, ∀α ∈ [0, 1] : x ∈ ΩL}. Então ΛL = ΩL.
Demonstração. Mostraremos que ΛL ⊂ ΩL.
Seja x ∈ ΛL. Então [x]α ⊂ ΛL, ∀α ∈ [0, 1], o que implica em V ([x]α) ⊂ (−∞, L), ∀α ∈
[0, 1], mas pela Proposição 4.1 temos que V ([x]α) = [ ˆV (x)]α
, ∀α ∈ [0, 1], e então [ ˆV (x)]α
⊂ (−∞, L), ∀α ∈ [0, 1], então x ∈ ΩL, ou seja, ΛL⊂ ΩL.
Mostraremos agora que ΩL⊂ ΛL.
Seja x ∈ ΩL. Então [ ˆV (x)]α ⊂ (−∞, L), ∀α ∈ [0, 1], mas pela Proposição 4.1, temos
que [ ˆV (x)]α = V ([x]α), ∀α ∈ [0, 1], e então V ([x]α) ⊂ (−∞, L), ∀α ∈ [0, 1], implicando
em [x]α ⊂ Λ
L, ∀α ∈ [0, 1], então x ∈ ΛL, ou seja, ΩL ⊂ ΛL.
Portanto, segue-se a tese.
Apresentamos a seguir o conceito de conjuntos invariantes para o fluxo fuzzy, que é importante para o estudo do comportamento assintótico dos sistemas dinâmicos (MILANI; KOKSCH, 2005).
Definição 4.20 Um conjunto S ⊂ E(U) é dito ser invariante (positivamente invariante) pelo fluxo ˆϕt se
ˆ
ϕt(S) = S
para todo t ∈ R (t ≥ 0).
Como resultado inédito nesta teoria de sistemas dinâmicos fuzzy, apresentamos os Lemas 4.5 e 4.6.
Lema 4.5 Se B ⊂ Rn é um conjunto positivamente invariante pelo fluxo determinístico,
então o conjunto B := {x ∈ E(Rn) : [x]α
⊂ B, ∀α ∈ [0, 1]} é positivamente invariante pelo fluxo fuzzy.
Demonstração. Seja p ∈ B. Então [p]α
⊂ B, ∀α ∈ [0, 1], mas B é positivamente invariante, então ϕt([p]α) ⊂ B, ∀α ∈ [0, 1], ∀t ≥ 0.
Pela Proposição 4.1, sabemos que ϕt([p]α) = [ ˆϕt(p)]α, ∀α ∈ [0, 1], ∀t ≥ 0 e então
[ ˆϕt(p)]α ⊂ B, ∀α ∈ [0, 1], ∀t ≥ 0, o que implica em ˆϕt(p) ∈ B, ∀t ≥ 0.
Portanto segue-se a tese.
Observação 4.4 1. Seja B ⊂ U = Rn e ω(B) := {x ∈ E(Rn) : [x]0 ⊂ ω(B)}. Então
podemos definir o α-corte da seguinte maneira: ω([x0]α) := {p ∈ E(Rn) : [p]0 ⊂
ω([x0]α), ∀α ∈ [0, 1]}. Como ω(B) é invariante pelo fluxo determinístico então, pelo
mesmo argumento do Lema 4.5 temos que ω(B) é invariante pelo fluxo fuzzy, em particular vale que ω([x0]α) é invariante pelo fluxo fuzzy.
70 4. Sistemas Dinâmicos Fuzzy
O Lema 4.6 (inédito na literatura) será útil na demonstração do Teorema 4.3 (Princípio de Invariância Fuzzy). Ele explora a relação de invariância com os conjuntos de nível de uma função ˆV .
Lema 4.6 Seja o conjunto ΩL := {x ∈ E(Rn) : [ ˆV (x)]α ⊂ (−∞, L), ∀α ∈ [0, 1]} com
L ∈ R e admita que [V (x)]ˆ˙ α ⊂ (−∞, 0], ∀x ∈ Ω
L, ∀α ∈ [0, 1]. Então ΩL é positivamente
invariante.
Demonstração. Primeramente precisamos provar que ˙V (y) ≤ 0, ∀y ∈ ΛL.
Seja y ∈ ΛL. Então V (y) < L, ∀y.
Considere então y = (x, χy(x)). Pela Extensão de Zadeh, temos que ˆV (y) = (x,
χV(y)(x)), e como consequência temos que {V (y)} = [ ˆV (y)]α ⊂ (−∞, L), ∀α ∈ [0, 1],
implicando em y ∈ ΩL.
Sabemos que [ ˆ˙V (y)]α ⊂ (−∞, 0], ∀α ∈ [0, 1], mas pela Proposição 4.1, temos que
[ ˆ˙V (y)]α = ˙V ([y]α), ∀α ∈ [0, 1] e então ˙V ([y]α) ⊂ (−∞, 0], ∀y ∈ Ω
L, ∀α ∈ [0, 1]. Em
particular, ˙V ([y]α) ⊂ (−∞, 0], ∀α ∈ [0, 1], implicando em ˙V (y) ≤ 0, ∀y ∈ Λ L.
ΩL é positivamente invariante (Lema 2.1), mas pelo Lema 4.3, temos que ΛL = ΩL,
então ΛL é positivamente invariante.
Pelo fato que ΛLé um conjunto positivamente invariante, então pelo Lema 4.5 podemos
concluir que ΛL é um conjunto positivamente invariante, mas pelo Lema 4.4, temos que
ΛL= ΩL e então ΩL é um conjunto positivamente invariante.
O teorema a seguir estabelece equivalências entre os conjuntos S e S . As demons- trações do Lema 4.7, Teorema 4.2 e Corolário 4.2 podem ser encontradas em Cecconello (2010) e portanto omitiremos aqui.
Lema 4.7 (CECCONELLO, 2010) Se S ⊂ U é um conjunto assintoticamente estável então existe uma vizinhança W com S ⊂ W ⊂ U tal que S atrai conjuntos compactos contidos em W .
Teorema 4.2 (CECCONELLO, 2010) Seja S ⊂ U um conjunto invariante pelo fluxo determinístico e consideremos o conjunto S ⊂ E(U) definido por
S = {x ∈ E(U) : [x]0 ⊂ S}. Sob essa condições temos:
(a) S é invariante para ϕt se, e somente se, S é invariante para o fluxo ˆϕt;
(b) S é estável para ϕt se, e somente se, S é estável para o fluxo ˆϕt;
(c) S é assintoticamente estável para ϕt se, e somente se, S é assintoticamente estável
4.2. Princípio de Invariância Fuzzy 71 O Teorema 4.2(a) é fundamental, pois pela extensão de Zadeh de um fluxo determi- nístico, conseguimos obter conjuntos invariantes para o fluxo fuzzy.
Como caso particular da Definição 4.19, temos a seguinte relação entre o ω-limite ω(B) e ω(B).
Corolário 4.2 (CECCONELLO, 2010) O conjunto ω(B), B ⊂ U, é invariante por ϕt
se, e somente se, o conjunto ω(B) é invariante pelo fluxo fuzzy ˆϕt.
4.2
Princípio de Invariância Fuzzy
Nesta seção, apresentamos os principais resultados deste capítulo: o princípio de inva- riância para a classe de sistemas dinâmicos fuzzy e sua versão global, baseando-se na teoria apresentada em Mizukoshi (2004) e por Cecconello (CECCONELLO, 2010; CEC- CONELLO et al., 2015).
Antes de apresentarmos o princípio de invariância fuzzy (Teorema 4.3) e sua versão global (Teorema 4.4), é importante ressaltar que estamos trabalhando com equações dife- rencais autônomas, considerando apenas incertezas na condição inicial (PVIF via extensão de Zadeh).
Conforme a Seção 4.1, as propriedades de invariância e comportamento assintótico (conjuntos limites e suas propriedades) de sistemas dinâmicos fuzzy são fundamentais para o desenvolvimento destes resultados.
Sendo assim, apresentamos o princípio de invariância fuzzy, resultado este que requer incertezas na condição inicial de um PVI, tornando-se um PVIF via extensão de Zadeh. Teorema 4.3 (Princípio de Invariância Fuzzy) Considere o sistema (4.3) e sejam V : Rn
→ R e f : Rn
→ Rn funções de classe C1. Sejam ˆV : E(Rn
) → E(R) e ˆ˙
V : E(Rn
) → E(R) as extensões de Zadeh de V e ˙V , respectivamente. Seja L ∈ R uma constante real tal que ΩL := {x ∈ E(Rn) : [ ˆV (x)]α ⊂ (−∞, L), ∀α ∈ [0, 1]} seja limitado.
Admita que [ ˆ˙V (x)]α
⊂ (−∞, 0], ∀x ∈ ΩL, ∀α ∈ [0, 1]. Defina E := {x ∈ ΩL : ˆ˙V (x) =
{0}}. Seja B o maior conjunto fuzzy invariante contido em E, então toda solução fuzzy de ˙x = f(x) iniciando em ΩL converge para B quando t → ∞.
Demonstração. Sejam x0 ∈ ΩL e ˆϕt(x0) o fluxo fuzzy com condição inicial x0 ∈ E(Rn)
em t = 0.
Defina os conjuntos ΛL= {x : V (x) < L}, ΛL = {x ∈ E(Rn) : [x]α ⊂ ΛL, ∀α ∈ [0, 1]}
e ΩL = {x ∈ [x]α ⊂ Rn, ∀α ∈ [0, 1] : x ∈ ΩL}. Pelo Lema 4.4 temos que ΛL = ΩL e
então pelo Lema 4.3 podemos afirmar que ΛL = ΩL. Pelo Lema 4.6, ΩL é positivamente
invariante e então o fluxo fuzzy ˆϕt(·) permanece em ΩL para t ≥ 0.
Pela extensão de Zadeh podemos afirmar que a solução do fluxo fuzzy possui o intervalo maximal t+ = +∞. Assim, o conjunto ω-limite ω([x0]α) de ˆϕt(x0) está contido no
72 4. Sistemas Dinâmicos Fuzzy
Seja y ∈ [x0]α. Então ϕt(y) ∈ ΩL, ∀t e sabemos que ω(y) ⊂ ω([x0]α) é não vazio.
Como V é decrescente e V (ϕt(y)) é limitada inferiormente, então V (ϕt(y)) → v(y) ∈ R
quando t → ∞.
Como V (ϕt(y)) tende para ω(y) então da continuidade da V temos que V (x) =
V (y), ∀x ∈ ω(y). Da invariância de ω(y), ˙V (x) = 0, ∀x ∈ ω(y) e por y ser arbitrário, então ˙V (x) = 0, ∀x ∈ ω([x0]α).
Tome x ∈ ω([x0]α). Pela Definição 4.19 temos que [x]α ⊂ ω([x0]α), ∀α ∈ [0, 1]
e pela Proposição 4.1 temos que [ ˆ˙V (x)]α = ˙V ([x]α
), ∀x ∈ ω([x0]α), ∀α ∈ [0, 1], então
˙ V ([x]α
) = {0}, pois [x]α
⊂ ω([x0]α). Logo x ∈ E e ω([x0]α) ⊂ E.
Portanto, pelo Corolário 4.1 podemos afirmar que ω([x0]α) atrai ˆϕt(x0), isto é, ˆϕt(x0) →
ω([x0]α) ⊂ B quando t → ∞.
O exemplo a seguir é útil para para apresentar, de forma didática, o Teorema 4.3. Exemplo 4.2 Considere o sistema linear unidimensional descrito pela seguinte equação diferencial:
(
˙x = −x
x(0) = x0 ∈ E(R)
(4.4)
Note que a origem é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável para ϕt e então
pela Proposição 4.6 temos que a origem, xe = χ{0}, é um ponto de equilíbrio assintoti-
camente estável para ˆϕt. Sendo V (x) =
x2
2 a função de Lyapunov associada ao sistema (4.4), então a derivada da função V é dada por ˙V (x) = −x2 ≤ 0, ∀x ∈ R.
Como V é positiva e radialmente ilimitada e ˙V ≤ 0, então pela Extensão de Zadeh po- demos afirmar que ˆV é radialmente ilimitada e ˆ˙V ([x]α) ⊂ (−∞, 0], ∀α ∈ (0, 1] e portanto
o conjunto ΩL é limitado para qualquer L > 0.
Logo, as hipóteses do Teorema 4.3 estão safisfeitas para qualquer L > 0 e portanto todas as soluções tendem para o maior conjunto invariante B contido em E := {x ∈ ΩL : ˆ˙V (x) = {0}} = {x ∈ ΩL: x = {0}}. Como a origem é o único conjunto invariante
contido em E, então podemos concluir que todas as soluções tendem para a origem quando t → ∞.
O exemplo a seguir (pode ser encontrado em Cecconello (2010)) origina-se de um modelo logístico para estudos de dinâmica populacional de uma espécie onde a taxa de reprodução per capita é inversamente proporcional à quantidade de indivíduos para baixas densidades populacionais. A quantidade de um número mínimo de indivíduos, abaixo do qual a população vai à extinção, é denominado efeito Allee demográfico (CECCONELLO, 2010).
4.2. Princípio de Invariância Fuzzy 73
Exemplo 4.3 (Efeito Allee) Considere o sistema descrito pela seguinte equação dife- rencial: ˙x = rx1 −x k x a − 1 x(0) = x0 > 0, (4.5)
onde denota-se a taxa de reprodução intríseca por r > 0, capacidade suporte por k > 0 e