Nesta seção, conceitos mais gerais serão apresentados, a saber, um princípio de invariância uniforme para a classe de sistemas periódicos será desenvolvido (Teorema 3.5). A exten- são do princípio de invariância provada na Seção 3.3 permite que a derivada da função auxiliar seja positiva em certas regiões limitadas. Nesta seção, consideramos incertezas na determinação dos parâmetros do sistema. Tal extensão será chamada de Princípio de Invariância Uniforme e é uma generalização dos resultados apresentados na Seção 3.5. O princípio de invariância uniforme para a classe de sistemas periódicos é útil para obter es- timativas de atratores uniformes com respeito a seus parâmetros. É importante ressaltar que este resultado (Teorema 3.5) é útil para o estudo de sincronização global de sistemas de duffing acoplados (veja Seção 3.8).
Considere o sistema dinâmico não autônomo não linear
˙x = f (t, x, λ) (3.10)
onde x ∈ Rn, t ∈ R e λ ∈ Λ ⊂ Rm é um vetor de parâmetros do sistema. Seja
f : R × Rn× Λ → Rn uma função de classe C1.
Teorema 3.5 (Princípio de Invariância Uniforme para Sistemas Periódicos) Suponha que o sistema (3.10) seja periódico e V : R×Rn
×Λ → R seja uma função de classe C1 periódica com o mesmo período do sistema (3.10). Sejam a, b, c : R × Rn
→ R funções contínuas e periódicas, com o mesmo período do sistema (3.10) e admita que para qualquer (t, x, λ) ∈ R × Rn× Λ, temos a(t, x) ≤ V (t, x, λ) ≤ b(t, x), − ˙V (t, x, λ) ≥ c(t, x).
50 3. Extensão do Princípio de Invariância para Sistemas Periódicos
não-vazio e limitado. Considere os conjuntos A(L) := {x ∈ Rn : b(t, x) < L, ∀t ∈ R} e
C ⊇ {x ∈ S(L) : ∃t tal que c(t, x) < 0}. Suponha que sup(t,x)∈[0,T ]×Cb(t, x) ≤ l < L e
defina os conjuntos S(l) := {x ∈ Rn
: ∃t ∈ R tal que a(t, x) < l} e A(l) := {x ∈ Rn :
b(t, x) < l, ∀t ∈ R}. Defina E := {x ∈ S(L) : ∃t ∈ R tal que c(t, x) = 0} ∪ S(l) e seja B o maior conjunto invariante contido em E. Se λ ∈ Λ é um parâmetro fixo, então as seguintes conclusões são obtidas:
(i) Se x0 ∈ A(l) então ϕ(t, t0, x0, λ) ∈ S(l) para todo t > t0 e ϕ(t, t0, x0, λ) tende para
o maior conjunto invariante contido em S(l) quando t → ∞, para qualquer t0 ∈ R;
(ii) Se x0 ∈ A(L) − A(l), então ϕ(t, t0, x0, λ) não sai de S(L) e ϕ(t, t0, x0, λ) → B
quando t → ∞, para qualquer t0 ∈ R.
Demonstração. Provaremos primeiramente a afirmação (i). Sejam x0 ∈ A(l) e [t0, ω+) o
intervalo maximal de existência da solução ϕ(t, t0, x0, λ) de (3.10). Suponha que existe um
tempo ¯t ∈ [t0, ω+) tal que ϕ(¯t, t0, x0, λ) /∈ S(l). Então, temos que V (t0, ϕ(t0, t0, x0, λ)) ≤
b(t0, ϕ(t0, t0, x0, λ)) < l e V (¯t, ϕ(¯t, t0, x0, λ), λ) ≥ a(¯t, ϕ(¯t, t0, x0, λ)) > l, o que implica que
existe ˜t < ¯t tal que V (˜t, ϕ(˜t, t0, x0, λ), λ) = l e b(t, ϕ(t, t0, x0, λ)) ≥ V (t, ϕ(t, t0, x0, λ), λ) >
l para t ∈ (˜t, ¯t). Logo ϕ(t, t0, x0, λ) /∈ A(l) para t ∈ (˜t, ¯t), o que nos leva a uma contradição,
pois − ˙V (t, ϕ(t, t0, x0, λ), λ) ≥ c(t, ϕ(t, t0, x0, λ)) ≥ 0 para t ∈ (˜t, ¯t), o que significa que
V (t, ϕ(t, t0, x0, λ), λ) é uma função decrescente de t neste intervalo. Consequentemente,
a afirmação que ϕ(¯t, t0, x0, λ) /∈ S(l) é falsa e portanto ϕ(t, t0, x0, λ) ∈ S(l) ⊂ S(L), ∀t ∈
[t0, ω+). O conjunto S(L) é limitado, implicando em ω+ = ∞ e portanto ϕ(t, t0, x0, λ) ∈
S(l), ∀t ∈ [t0, ∞).
Pelo Lema 3.2, temos que Ω-limite, Ω(t0, x0, λ) = Ωλ, é não-vazio e a solução ϕ(t, t0, x0,
λ) → Ωλ quando t → ∞. Como Ωλé um conjunto invariante (veja Lema 3.3) e Ωλ ⊂ S(l),
então a solução ϕ(t, t0, x0, λ) tende para o maior conjunto invariante de (3.10) contido em
S(l), quando t → ∞, provando assim a afirmação (i).
Agora provaremos a afirmação (ii). Considere x0 ∈ A(L) − A(l) e seja [t0, ω+) o
intervalo maximal de existência da solução ϕ(t, t0, x0, λ) de (3.10). Se existir t∗ tal que
ϕ(t∗, t
0, x0, λ) ∈ A(l), então o problema se reduz ao item anterior.
Suponha agora que ϕ(t, t0, x0, λ) /∈ A(l) para t ∈ [t0, ω+) e portanto ϕ(t, t0, x0, λ) /∈
C para t ∈ [t0, ω+). Se existe ¯t ∈ [t0, ω+) tal que ϕ(¯t, t0, x0, λ) /∈ S(L) então L <
a(¯t, ϕ(¯t, t0, x0, λ)) ≤ V (¯t, ϕ(¯t, t0, x0, λ), λ) e V (t0, ϕ(t0, t0, x0, λ), λ) ≤ b(t0, ϕ(t0, t0, x0, λ)) <
L, o que é uma contradição, uma vez que fora de A(l) temos que ˙V (t, ϕ(t, t0, x0, λ), λ) ≤ 0.
Para todo tempo t ∈ [t0, ω+), temos que a(t, ϕ(t, t0, x0, λ)) ≤ V (t, ϕ(t, t0, x0, λ), λ) ≤
V (t0, ϕ(t0, t0, x0, λ), λ) ≤ b(t0, ϕ(t0, t0, x0, λ)) = b(t0, x0) ≤ L e portanto, ϕ(t, t0, x0, λ) ∈
S(L), ∀t ∈ [t0, ω+), ∀λ. Como S(L) é limitado então ω+= ∞.
Como ϕ(t, t0, x0, λ) /∈ C, ∀t ≥ t0, então − ˙V (t, x, λ) ≥ c(t, x) ≥ 0, ∀t ≥ t0, implicando
3.7. Princípio de Invariância Uniforme para Sistemas Periódicos 51 em t e então V (t, ϕ(t, t0, x0, λ), λ) ≤ V (t0, ϕ(t0, t0, x0, λ), λ) ≤ b(t0, ϕ(t0, t0, x0, λ)) =
b(t0, x0) < L.
Por hipótese V é contínua e periódica em t e, por S(L) ser limitado, então V é limitada. Em particular, inferiormente limitada para t ≥ t0 e então lim
i→∞V (t, ϕ(t, t0, x0, λ), λ) = α ∈
R.
Seja p ∈ Ωλ. Então existe uma sequência {ti} com ti → ∞ quando i → ∞, tal que
ϕ(ti, t0, x0, λ) → p quando i → ∞. Para cada i, encontra-se ki ∈ Z tal que ti−kiT ∈ [0, T ).
Então a sequência {τi} = {ti − kiT } é limitada, e portanto admite uma subsequência
convergente. Escolha tal subsequência {τ′
i} = {t ′ i − k
′
iT } e enumere mais uma vez como
{τi}. Seja τ ∈ [0, T ) o limite desta subsequência.
V (ti, ϕ(ti, t0, x0, λ), λ) = V (τi+kiT, ϕ(ti, t0, x0, λ), λ)
period. da V
= V (τi, ϕ(ti, t0, x0, λ), λ),
quando ti = τi+ kiT . Podemos concluir que α = lim
i→∞V (ti, ϕ(ti, t0, x0, λ), λ) = limi→∞V (τi,
ϕ(ti, t0, x0, λ), λ)
cont. da V
= V (τ, p, λ), implicando em V (τ, p, λ) = α.
Mostraremos que V (u, ϕ(u, τ, p, λ), λ) = α, ∀u ∈ R. A partir da prova do Lema 3.3, temos que ϕ(u + kiT, t0, x0, λ) → ϕ(u, τ, p, λ) quando i → ∞. Assim, α = lim
i→∞V (u +
kiT, ϕ(u + kiT, t0, x0, λ), λ)
period. da V
= lim
i→∞V (u, ϕ(u + kiT, t0, x0, λ), λ) = V (u, ϕ(u, τ, p, λ),
λ). Como Ωλ é um conjunto invariante, então existe τ∗ = τ tal que ϕ(u, τ, p, λ) ∈ Ωλ, ∀u.
Portanto V (u, ϕ(u, τ, p, λ), λ) = α, ∀u ⇒ ˙V (τ, p, λ) = 0.
Como p /∈ C, então 0 = − ˙V (τ, p, λ) ≥ c(τ, p) ≥ 0 para p ∈ Ωλ e t ≥ t0. Então Ωλ ⊂ E
e portanto d(ϕ(t, t0, x0, λ), B) → 0 quando t → ∞. Portanto, a segunda afirmação do
teorema está provada.
A Figura 3.8 ilustra o Teorema 3.5.
S(L) S(l) A(L) A(l) x1 x2 x3 c(t, x) < 0 c(t, x) = 0 ϕ(t, t1, x1, λ) ϕ(t, t2, x2, λ) ϕ(t, t3, x3, λ)
Figura 3.8: Interpretação geométrica do Teorema 3.5. Para a condição inicial x1 ∈ A(L), a solução não sai de S(L) e tende para o maior conjunto invariante B em E. Para as soluções iniciando em S(L) − A(L), nada se pode concluir, por exemplo, a solução iniciando em x2 deixa o conjunto S(L) e não retorna. Para a condição inicial x3 em A(L), a solução está entrando no conjunto A(l), não sai do conjunto S(l) e tende para o maior conjunto invariante em S(l).
52 3. Extensão do Princípio de Invariância para Sistemas Periódicos
Observação 3.1 Com a existência das funções a, b e c, as quais não dependem dos parâ- metros do sistema, a uniformidade com respeito aos parâmetros é garantida. Nas Figuras 3.9 e 3.10, pode-se analisar geometricamente este resultado, em que as relações entre estas funções e as estimativas obtidas com o teorema são ilustradas.
− ˙V(t, x, λ)
c(t, x)
C
Figura 3.9: Derivada da Função Lyapunov. V(t, x, λ) a(t, x) b(t, x) C S(1) 1 A(1)
Figura 3.10: Função de Lyapunov.
A seguir apresentaremos um exemplo que ilustra o Teorema 3.5.
Exemplo 3.6 Considere o sistema dinâmico não linear e periódico descrito pela equação diferencial:
(
˙x = −x(x2+ y2− 1) + y(α + sen(t))
˙y = −x(α + sen(t)) − y(x2+ y2− 1), (3.11)
onde α é o parâmetro do sistema. O valor nominal do parâmetro é α = 2 e existe uma incerteza de ±5% na determinação deste parâmetro. Então, o parâmetro α pertence ao seguinte subconjunto de R : Λ := {λ := α ∈ R : αm ≤ α ≤ αM}, onde αm = 1, 9 e
αM = 2, 1.
Vamos empregar o princípio de invariância uniforme (Teorema 3.5) para obter uma estimativa do atrator, uniforme com respeito ao parâmetro α do sistema.
Considere a função V (t, x, y, α) = x2+ y2
α + sen(t) que é uma função periódica com o mesmo período do sistema (3.10). Neste caso, podemos escolher as funções a e b como sendo: a(t, x, y) = x
2+ y2
αM + sen(t)
e b(t, x, y) = x2+ y2 αm+ sen(t)
. A função a é radialmente ilimitada, consequentemente, S(L) é limitado para qualquer escolha de L. É importante ressaltar que que as funções a e b são contínuas e periódicas, com o mesmo período do sistema (3.10).
A escolha da função c não é tão simples. Calculando a derivada de V ao longo das soluções de (3.10), obtemos:
3.7. Princípio de Invariância Uniforme para Sistemas Periódicos 53 ˙ V (t, x, y, α) = 2x α + sen(t) · ˙x + 2y α + sen(t) · ˙y − (x 2+ y2 ) · (α + sen(t))cos(t) 2 = −2(x 2+ y2)(x2+ y2− 1) α + sen(t) − (x 2+ y2) cos(t) (α + sen(t))2 = − (x 2+ y2) (α + sen(t))2[2(x 2+ y2 − 1)(α + sen(t)) + cos(t)] Assim, temos que:
− ˙V = (x 2+ y2) (α + sen(t))2[2(x 2+ y2 − 1)(α + sen(t)) + cos(t)] ≥ − (x 2 + y2) (α + sen(t))2 + 2(x2+ y2)(x2+ y2 − 1)(α + sen(t)) (α + sen(t))2 ≥ −(x 2+ y2) (αm− 1)2 + 2(x 2+ y2)(x2+ y2− 1) α + sen(t) ≥ −(x 2+ y2) (αm− 1)2 + 2(x 2+ y2)2 αM + 1 − 2(x2+ y2) αm− 1 = 2(x 2+ y2)2 αM + 1 − (x2+ y2) (αm− 1)2 [1 + 2(αm− 1)] = (x2+ y2) 2 αM + 1 (x2 + y2) − 1 + 2(αm− 1) (αm− 1)2 = c(t, x, y) := (x2+ y2) [γ(x2+ y2) − β] , onde γ = 2 αM + 1 e β = 1 + 2(αm− 1) (αm− 1)2 .
Para que c(t, x, y) < 0, é necessário que γ(x2+ y2) − β < 0 ⇔ x2+ y2 < β
γ. Desta forma, definimos o conjunto C da seguinte maneira:
C =
x ∈ S(L) : x2+ y2 < β γ
Assim, temos que sup (t,x)∈[0,T ]×C b(t, x) = sup (t,x)∈[0,T ]×C x2+ y2 αm+ sen(t) = sup x∈C x2+ y2 αm− 1 = 1 αm− 1 sup x∈C (x2+ y2) = 1 αm− 1· β γ ⇒ sup (t,x)∈[0,T ]×C b(t, x) = β γ(αm− 1) = 5, 9534 < l := 5, 96 e sabemos que x2+ y2 αM + 1 ≤ x2+ y2 αM + sen(t) < l ⇒ x2+ y2 αM + 1 < l ⇒ x 2+ y2 < (α M + 1)l.
Logo, podemos definir os conjuntos de nível S(l) e A(l) da seguinte maneira: S(l) := {(x, y) ∈ R2; x2+ y2 < 18, 476} e A(l) := {(x, y) ∈ R2; x2+ y2 < 5, 96}.
Definimos também o conjunto E := {(x, y) ∈ S(L) : (x, y) = (0, 0)} ∪ S(l) = S(l). Portanto, as hipóteses do Teorema 3.5 são satisfeitas e então temos que as soluções tendem para o maior conjunto invariante contido em S(l).
A estimativa anterior do atrator é ilustrada na Figura 3.11. A circunferência externa é o conjunto S(l) e a circunferência interna é o conjunto A(l).
54 3. Extensão do Princípio de Invariância para Sistemas Periódicos
A(l)
S(l) x0
x1
Figura 3.11: Estimativa do atrator global do sistema (3.11) para αm = 1.9 e αM = 2.1. O atrator está contido no conjunto S(l) para qualquer α ∈ [αm, αM]. As trajetórias que iniciam nos pontos x0 = (−2, 1, 5) e x1 = (1, −1, 5), tendem para um atrator periódico em S(l) para α= 2 e α = 1, 95, respectivamente.
3.8
Aplicação de Sincronização
Uma técnica poderosa para provar a sincronização foi introduzido em Rodrigues (2000). Esta técnica divide o problema de provar sincronização global em duas partes. Em pri- meiro lugar, prova-se que as soluções do sistema acoplado são limitadas para todos os valores do parâmetro de acoplamento e estimativas limitadas para o atrator são forneci- das. Explorando esses limites, a sincronização local é provada. O princípio de invariância uniforme provado na Seção 3.7 é uma poderosa ferramenta para oferecer estimativas li- mitadas para soluções que são uniformes com respeito aos parâmetros de acoplamento. Nesta seção, iremos explorar o princípio de invariância uniforme para sistemas periódi- cos e os resultados de sincronização demonstrados em Mijolaro (2010) para estudar a sincronização global de duas equações de duffing acopladas.
Exemplo 3.7 (Sistemas bidimensionais acoplados) Considere o seguinte sistema di- nâmico periódico não linear composto por duas equações de Duffing forçadas e linearmente acopladas:
( ˙x = y
˙y = −3y − 3x − 0, 1x3 + 2 cos(t) − k
1(x − θ) − k2(y − ω), (3.12) ( ˙θ = ω ˙ω = −3ω − 3θ − 0, 1θ3 + 2 cos(t) − k 1(θ − x) − k2(ω − y), (3.13) onde t ∈ R.
Nosso objetivo é estudar o sincronismo entre os sistemas acoplados (3.12) e (3.13). Para esta finalidade, usaremos o Teorema 3.5.
3.8. Aplicação de Sincronização 55 Escolhemos a função V (x, y, θ, ω) = 9(x2+ θ2) + 2(xy + θω) + (y2+ ω2) para estimar
o atrator e para garantir que as soluções do sistema (3.12)-(3.13) sejam limitadas. A derivada da função V é dada por:
˙
V = 6(xy + θω) + [4(x + θ) + 4(y + ω)] cos(t) − [6(x2+ θ2)+ +4(y2+ ω2) + 0, 2(x3y + θ3ω) + 0, 2(x4+ θ4)]
e então:
− ˙V ≥ −{6(xy + θω) + 4(|x| + |θ|) + 4(|y| + |ω|) − [6(x2+ θ2) + 4(y2+ ω2)+ +0, 2(x3y + θ3ω) + 0, 2(x4+ θ4)]} := c(x, y, θ, ω).
Note que as funções V e c não dependem dos parâmetros de acoplamento k1 e k2.
Escolhemos a(t, x, y, θ, ω) = V (t, x, y, θ, ω) = b(t, x, y, θ, ω) e então, pelo Teorema 3.5, po- demos obter uma estimativa do atrator que não dependa dos parâmetros de acoplamento k1 e k2.
O valor máximo da função V (t, x, y, θ, ω) em C := {(x, y, θ, ω) ∈ S(L) : −{6(xy+θω)+ 4(|x| + |θ|) + 4(|y| + |ω|) − [6(x2+ θ2) + 4(y2+ ω2) + 0, 2(x3y + θ3ω) + 0, 2(x4+ θ4)]} < 0}
é 62, 7062. Então, A(l) = S(l) := {x, y, θ, ω ∈ Rn: 9(x2+ θ2) + 2(xy + θω) + (y2+ ω2) <
62, 7062} e E := {(x, y) ∈ S(L) : ∃t ∈ R; ˙V = 0} ∪ S(l) = S(l).
O Teorema 3.5 garante que todas as soluções de (3.12)-(3.13) tendem para o maior conjunto invariante contido em S(l) e S(l) é uma estimativa do atrator global, a qual é uniforme com respeito aos parâmetros de acoplamento k1 e k2. Em outras palavras, as
soluções de (3.12)-(3.13) são limitadas para todo k1, k2 > 0 e eventualmente entram em
S(l).
Em S(l), as soluções tornam-se limitadas e o Teorema 1 (MIJOLARO; ALBERTO; BRETAS, 2010) garante que os sistemas acoplados (3.12) e (3.13) sincronizam se k1 > 1
e k2 > −32 + 3, 3691√k1.
A Figura 3.12 ilustra as trajetórias com condição inicial (x, y, θ, ω) = (2, 10, −3, 5) sincronizando e a Figura 3.13 mostra essas trajetórias se aproximando de um atrator periódico para k1 = 2 e k2 = 3, 2646.
56 3. Extensão do Princípio de Invariância para Sistemas Periódicos 0 5 10 15 20 25 30 −2 0 2 4 6 x− θ t 0 5 10 15 20 25 30 −5 0 5 y− ω t
Figura 3.12: Diferença entre as soluções dos subsistemas (3.12) e (3.13).
(−3, 5) (−3, 5)
(2, 10)
C
Figura 3.13: As trajetórias dos subsistemas (3.12) (iniciando em (−3, 5)) e (3.13) (ini- ciando em (2, 10)) sincronizam e aproximam do atrator periódico. Condição inicial (x, y, θ, ω) = (2, 10, −3, 5).