Tax rates and GDP losses when stabilizing the CO 2

O livro Teoria Ingênua dos Conjuntos de Paul R. Halmos, que tem como nome original Naive Set Theory, foi traduzido pelo professor Irineu Bicudo, um dos integrantes do G.E.E.M. e participante do Movimento da Matemática Moderna no Brasil. Na nota do tradutor, Irineu Bicudo relata que em 1963, ao cursar a cadeira de Análise Superior, ministrada pelo professor Dr. Edison Farah, na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da USP, veio a conhecer livros que tratavam sobre Teoria dos Conjuntos, tema que, acompanhado de Topologia Geral, era ministrado por Farah.

Dessa maneira, o professor Bicudo tomou conhecimento do livro Naive Set Theory de Halmos, e iniciou sua tradução em 1964, sendo essa sua primeira experiência como tradutor. (HALMOS, 1970, Nota do Tradutor).

A denominação “ingênua” para essa obra não se remete ao sentido de simples ou banal, pois o próprio autor, no Prefácio, deixa claro que se trata de uma “teoria axiomática dos conjuntos do ponto de vista ingênuo”, ou seja, é axiomática, pois alguns axiomas são enunciados e usados como base, e é ingênua na linguagem e notação, que Halmos descreve como uma linguagem da “Matemática Ordinária Informal”, mas ele mesmo admite, entre parênteses, que seria formalizável.

No Prefácio do livro fica muito clara a preocupação do autor em prevenir o leitor de que o livro foi escrito de maneira informal e chegando até o ponto de ser coloquial. Porém, ele admite que ainda assim os leitores podem ter uma dificuldade na leitura em função da complexidade do assunto.

No primeiro capítulo do livro, Halmos mostra o quão axiomática é sua obra, enunciando o Axioma da Extensão. Para chegar ao enunciado do axioma, Halmos descreve, de maneira pragmática, os conjuntos, como conceito primitivo e comparando-o com coleções de frutas/animais:

Uma matilha de lôbos, um cacho de uvas ou um bando de pombos são todos exemplos de conjuntos de coisas. O conceito matemático de conjunto pode ser usado como fundamento para toda a matemática conhecida. (HALMOS, 1970, p.1)

Nessa frase de Halmos, percebemos a essência do uso da Teoria dos Conjuntos no MMM, que é admiti-la como base ou “fundamento” para toda a Matemática, ou seja, Halmos afirma que a Matemática pode ser estruturada pela

Teoria dos Conjuntos e no MMM os protagonistas se apropriam dessa idéia.

Ainda precedendo o enunciado do Axioma da Extensão, o conceito de pertinência é citado como o principal conceito da Teoria dos Conjuntos. Relativo a esse conceito, Halmos apresenta o símbolo “” e afirma que “essa versão da letra grega épsilon é tão freqüentemente usada para denotar pertinência que seu uso para denotar tudo o mais é quase proibido.” (HALMOS, 1970, p. 2). Essa frase de Halmos salienta rigor na linguagem, característico da Teoria dos Conjuntos e, que parece ter sido absorvido pelo MMM.

Outra relação citada é a igualdade entre conjuntos. Essa relação é dada pelo Axioma da Extensão que diz que dois conjuntos são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos e, por fim, a relação de inclusão e seu símbolo “” são apresentados ainda no primeiro capítulo do livro.

No capítulo 2, Halmos enuncia o Axioma da Especificação que diz que toda afirmação feita sobre os elementos de um conjunto especifica um subconjunto. Também apresenta uma pequena lista com sete operadores lógicos:

e,

ou (no sentido de “_ ou _ ou ambos”), não,

se _ então _ (ou implica), se e somente se,

para alguns (ou existe),

para todo. (HALMOS, 1970, p. 6)

No desenvolvimento do Axioma da Especificação, o autor apresenta uma prova12 mostrando que não há um conjunto universo ou, em outras palavras, que nada contém tudo.

Segue que, qualquer que o conjunto A possa ser, se B = {x  A: x  x}, então, para todo y,

(*) y  B se e somente se (y A e y  y).

Pode acontecer B  A? Vamos proceder à prova de que a resposta é não. De fato, se B  A, então ou B  B também (improvável, mas não obviamente impossível), ou B  B. Se B  B, então, por (*), a hipótese B  A dá B  B – uma contradição. Se B  B então, por (*) outra vez a hipótese B  A dá B  B – uma contradição de novo. Isto completa a prova de que B  A é impossível e então devemos ter B  A. A parte mais interessante desta conclusão é que existe algo (a saber, B) que não pertence a A. O conjunto A neste argumento era inteiramente

12

O conceito de prova no âmbito do ensino e aprendizagem tem uma amplitude maior, levando-se em consideração provas que vão do mais pragmático ao mais formal, até que se atinja o nível formal de uma demonstração. Nesse contexto, o conceito de prova utilizado pelo autor deve ser compreendido como demonstração formal.

arbitrário. Nós provamos, em outras palavras, que nada contém tudo, ou, mais espetacularmente, não há universo. (HALMOS, 1970, p.7 – 8)

O quarto capítulo trata das reuniões e intersecções de conjuntos. Halmos apresenta uma analogia entre estas operações e os operadores lógicos ou e e respectivamente:

i. A  B = { x ; x  A ou x  B } ii. A  B = { x ; x  A e x  B }

Também são apresentadas nesse capítulo algumas operações de reunião e intersecção de pares de conjuntos, onde se observa muita proximidade com as propriedades da Álgebra Booleana apresentadas no 3º Capítulo:

i. A   = A ii. A  B = B  A (comutatividade) iii. A  (B  C) = (A  B)  C (associatividade) iv. A  A = A (idempotência) v. A  B se e somente se A  B = B vi. A   =  vii. A  B = B  A (comutatividade) viii. A  (B  C) = (A  B)  C (associatividade) ix. A  A = A (idempotência) x. A  B se e somente se A  B = A

No quinto capítulo são apresentados o complemento e a potência de conjuntos. Complemento, também chamado de diferença, é uma operação que, assim como reunião e intersecção, foi utilizada no ensino de Matemática no Ensino Secundário da época do MMM. O Complemento é definido por A – B = { x  A ; x  B }.

O Axioma das Potências é enunciado no 5º capítulo e diz: “para cada conjunto existe uma coleção de conjuntos que contém entre seus elementos todos os subconjuntos do conjunto dado.” (HALMOS, 1970, p.20). Nesse axioma, o autor utiliza o termo coleção em substituição à palavra conjunto, pois já havia mencionado no primeiro capítulo que em determinados momentos ele utilizaria coleção ou classe

para evitar uma “monotonia terminológica”. Essa terminologia também se observa nos livros didáticos do MMM de autoria de Sangiorgi.

Na definição do conjunto potência, Halmos utiliza uma letra maiúscula P em um estilo diferente de fonte: , certamente para diferenciar um “conjunto comum” de um conjunto de conjuntos. Ele apresenta a notação:  = {X : X  E} e afirma que se E é um conjunto, então existe um conjunto  tal que se X  E, então X   . Como exemplo, temos o conjunto E = {a, b} e  (E) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Esse conjunto é também conhecido por outros autores como “conjunto das partes”.

O sexto capítulo, que trata dos pares ordenados, inicia com uma noção básica sobre arranjo dos elementos de um conjunto em uma determinada ordem. O autor considera o conceito de ordem como ainda indefinido. Em seguida é dado um exemplo utilizando um conjunto A = {a, b, c, d} e é considerado um conjunto C = {{a, b, c, d}, {b, c}, {b, c, d}, {c}} e então Halmos define ordem como um novo arranjo dos subconjuntos que são elementos de C. Esse novo arranjo é feito do menor para o maior, ou seja, o subconjunto que está contido em todos os outros é o {c}, portanto será o primeiro, e assim por diante, formando: C = {{c}, {b, c}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}. O autor define como “menor” o conjunto que está contido em todos os outros, no caso {c}.

Halmos prossegue com as definições de par ordenado e, em seguida, a definição de produto cartesiano:

O produto cartesiano de dois conjuntos é um conjunto de pares ordenados (isto é, um conjunto cujos elementos são, cada um, um par ordenado), e o mesmo é verdade para todo subconjunto de um produto cartesiano. É de importância técnica saber que podemos caminhar também na direção oposta: todo conjunto de pares ordenados é um subconjunto do produto cartesiano de dois conjuntos. Em outras palavras: se R é um conjunto tal que todo elemento de R é um par ordenado, então existem dois conjuntos A e B tais que R  A X B. (HALMOS, 1970, p. 25).

O sétimo capítulo, que trata das relações, tem em seu início uma noção geral de relação, trazendo exemplos cotidianos como casamento entre homens e mulheres e exemplos na Teoria dos Conjuntos como a pertinência entre elementos e conjuntos. Em seguida, Halmos define relação como um conjunto de pares ordenados e, por meio de exemplos, mostra que relação é um subconjunto do produto cartesiano entre dois conjuntos.

Ainda neste capítulo são apresentadas as definições de domínio e contradomínio de uma relação, fazendo um preparo para o capítulo seguinte que trata das funções.

No início do oitavo capítulo, que apresenta o conceito de função, aparece a definição: “Se X e Y são conjuntos, uma função de X em Y é uma relação  tal que dom  = X e para cada x  X há um único elemento y em Y com (x, y)   .” (HALMOS, 1970, p. 32). Nessa definição está clara a necessidade das definições anteriores sobre pertinência, pares ordenados, relação e domínio, conceitos necessários para que se estruturasse o conceito de função.

A simbologia também é apresentada:  : X  Y e Halmos cita um exemplo de função como um catálogo telefônico de uma cidade onde o que ele chama de “argumentos” da função são os habitantes da cidade e seus “valores” são seus endereços. (HALMOS, 1970, p. 33). Os argumentos citados são os elementos do conjunto domínio da função e os valores são os elementos do conjunto imagem, que ainda não havia sido definido, mas em seguida Halmos dá sua definição como um subconjunto do contradomínio.

Esses foram os capítulos que tratam dos conteúdos relativos à Teoria dos Conjuntos que objetivamos analisar. Não tivemos a pretensão de uma análise total da obra de Halmos, uma vez que só nos serão necessários os conteúdos compatíveis com os conteúdos que eram pretendidos no Ensino Secundário da época do MMM.