1. Introduction
1.3. Targeting the DNA damage response in cancer therapy
O método de otimização adotado para a solução dos problemas inversos deste traba- lho (ajuste do modelo do rotor e balanceamento) foi o da Evolução Diferencial. Este método tem a capacidade de trabalhar de forma satisfatória com problemas complexos de otimização devido a sua robustez (habilidade de evitar soluções de mínimo local). Detalhes acerca da Evolução Diferencial podem ser observados em Viana (2006), Lobato (2008), Viana (2008) e Cavalini Jr (2013).
A Evolução Diferencial é um algoritmo evolutivo de otimização proposto por Storn e Price (1995). Este método utiliza procedimentos derivados dos processos biológicos, tais como a herança genética, mutação, seleção natural e cruzamento. No entanto, diferente do que historicamente fundamenta os algoritmos genéticos, a principal ideia por trás do método da Evolução Diferencial não é propriamente simular a teoria de Darwin sobre a sobrevivência e evolução das espécies (VIANA, 2006). Diferentemente, este método apresenta uma con- cepção puramente matemática, baseada em operações vetoriais, sendo por esse motivo con- siderada uma abordagem estrutural (COELHO, 2003).
As etapas que regem o algoritmo do método de otimização da Evolução Diferencial são (LOBATO, 2008):
i. Passo 1: gera-se uma população inicial (aleatoriamente) com soluções factíveis para o problema em questão, garantindo que os valores atribuídos às variáveis estão dentro das fronteiras delimitadas pelo projetista (espaço de projeto);
ii. Passo 2: seleciona-se um indivíduo, de forma aleatória, para ser substituído. Três (ou mais; Tab. 4.1) diferentes indivíduos são selecionados como genitores (pais), sendo que um destes é selecionado como genitor principal;
iii. Passo 3: adiciona-se ao valor atual da variável (genitor principal) a diferença entre duas outras variáveis (ou soma da diferença entre outras variáveis; Tab. 4.1) ponde- rada por uma taxa de perturbação FDE. Este procedimento representa o operador de
mutação na Evolução Diferencial;
iv. Passo 4: aplica-se agora o procedimento que representa o operador de cruzamento na Evolução Diferencial, realizado segundo uma probabilidade de cruzamento CR; v. Passo 5: se o vetor resultante apresentar uma função de adaptação (Fitness) melhor
que a do genitor principal, ele o substitui. Caso contrário, este vetor é mantido na pop- ulação.
Tabela 4.1 – Esquemas de mutação do método da Evolução Diferencial.
Tipo Equação de mutação Alvo Popula-
ção best/1 xtrial xbest+F ( xDE 1x )1 xbest mi>3 rand/1 xtrial xrand+F ( xDE 1x )1 xrand mi>3 rand-to-best/2 xtrial x +F ( xmi DE best xmi x1x )2 xbest mi>5 rand/2 xtrial xrand+F ( xDE 1x2 x3 x )4 xrand mi>5
A Fig. 4.2 apresenta um fluxograma que ilustra de forma simplificada estas etapas (CAVALINI Jr, 2013).
Figura 4.2 – Fluxograma representativo do método de otimização Evolução Diferencial (Fonte: CAVALINI Jr, 2013).
No que se refere à formulação matemática do método, o passo 1 compreende a gera- ção randômica da população inicial PDE com mi indivíduos, conforme mostra a Eq. (4.1)
T
DE mi
P [ x1 x ... x2 ] (4.1)
onde xmi [ x1 x2 ... xn]T é o vetor das n variáveis de projeto do indivíduo mi. Cada indivíduo x da população inicial é determinado da seguinte forma: mi
l u l mi mi noise mi mi x l x( )R [ (l x )- (l x )] (4.2) sendo l mi l x( ) e u mi
l x( ) os limites inferior e superior do espaço de projeto definido, respectiva- mente. Rnoise é um vetor constituído de ruído branco (distribuição normal no intervalo [0, 1]).
A aplicação do operador de mutação (passos 2 e 3) pode ser realizada a partir de diferentes esquemas quanto à escolha do vetor xmi que sofrerá a mutação. Isto pode ser feito
randomicamente (vetor escolhido aleatoriamente entre os membros da população atual; tipo “rand”; xrand) ou com o vetor associado à melhor função de adaptação (Fitness; tipo “best”;
xbest). A Tab. 4.1 mostra os esquemas de mutação que são comumente utilizados, sendo xtrial o vetor resultante do processo de mutação.
É importante ressaltar que nas aplicações desta dissertação foi utilizado o esquema tipo “rand / 1”. Neste esquema, três vetores são escolhidos aleatoriamente (xrand, x1 e x2). A
partir de dois deles (x1 e x2) é realizada uma operação de subtração. O resultado é multiplicado
pela taxa de perturbação FDE, gerando assim um novo vetor com módulo diferente da subtra-
ção original. Esse novo vetor é então somado ao vetor xrand, fornecendo um outro vetor xtrial
que indicará uma nova posição no espaço. Isto, em termos do algoritmo de Evolução Diferen- cial, tem a ver com a geração de um novo indivíduo (LOBATO, 2008). A Fig. 4.3 apresenta de forma gráfica o que foi descrito (problema bidimensional). Neste trabalho, F foi fixado em 0,8. De acordo com Viana et al. (2007), resultados satisfatórios são obtidos em processos de mi- nimização com a taxa de perturbação variando entre 0,5 e 1,0 (quanto maior o tamanho da população inicial menor deve ser o valor de FDE neste intervalo).
A aplicação do operador de cruzamento (passo 4) é realizada como mostra a Eq. 4.3. Algumas das variáveis de projeto do genitor principal (Tab. 4.1) são incorporadas ao vetor xtrial
segundo uma probabilidade de cruzamento determinada CR. Este parâmetro deve ser consi- derado como sendo menor que 1,0 (por exemplo, 0,3).
trialM DE trial trial x , rand[0,1]<CR x x (4.3)
Figura 4.3 – Fundamentação matemática do algoritmo da Evolução Diferencial (Fonte: CAVALINI Jr, 2013).
No entanto, Viana (2006) afirma que, se a convergência não for alcançada, uma pro- babilidade CRDE contida no intervalo de 0,8 até 1,0 pode ser utilizada. Nas aplicações deste
trabalho, CRDE foi fixado em 0,5.
4.3 Balanceamento Determinístico
O método de balanceamento que neste trabalho vêm sendo denominado como deter- minístico foi proposto por Saldarriaga et al. (2010) e estudado por Morais (2010), além de vários outros autores já citados, configura-se como uma técnica baseada no modelo matemá- tico.
Assim, o processo de balanceamento para esta técnica está intimamente ligado ao modelo matemático da máquina rotativa, pois as massas e fases utilizadas no balanceamento são indicadas com base no modelo do sistema. Com isso, a eficiência do método de balance- amento baseado no modelo matemático está associada à representatividade do modelo da máquina rotativa que se deseja balancear. O modelo precisa reproduzir resultados numéricos condizentes com os experimentais, claramente considerando as diferentes condições da má- quina em análise. É importante ressaltar que neste trabalho o método dos elementos finitos é utilizado para representar matematicamente o sistema rotativo.
O ajuste do modelo de elementos finitos construído é comumente realizado para obter a representatividade requerida pelo método de balanceamento. A determinação dos parâme- tros desconhecidos da máquina (por exemplo, os coeficientes de rigidez e amortecimento dos
mancais) é realizada através da solução de um problema inverso de engenharia. Um processo de otimização é formulado com o objetivo de reproduzir numericamente as funções de res- posta em frequência (FRFs) experimentais obtidas para o sistema considerado. Mais detalhes acerca deste procedimento de ajuste de modelos serão apresentados oportunamente.
A Fig. 4.4 apresenta um fluxograma acerca do método de balanceamento determinís- tico baseado no modelo matemático. O procedimento é iniciado com a construção do modelo matemático representativo da máquina rotativa (no fluxograma da Fig. 4.4 esta etapa não é apresentada). É importante ressaltar que o balanceamento é realizado através de um pro- cesso iterativo (otimização). O procedimento mostrado no fluxograma é repetido até que haja a convergência da função objetivo para o seu valor mínimo, ou seja, quando a diferença entre as respostas de vibração (sinais temporais) numéricas e experimentais é minimizada.
Figura 4.4 – Fluxograma do balanceamento determinístico.
A primeira etapa para a realização do balanceamento é a medição das respostas de vibração experimentais do rotor desbalanceado (condição desconhecida). Em seguida é ne- cessário determinar as respostas de vibração a partir do modelo representativo do rotor. Os sinais de vibração da máquina rotativa e do modelo no domínio do tempo são comparados através da função objetivo (veja a Eq. (4.4)).
1 n ref ,i mod,i OF i ref ,i Temp Temp DE Temp
(4.4)onde n é o número de sinais temporais utilizadas (04 neste caso, um para cada grau de liber- dade presente nos discos), Tempref,i são os sinais temporais de referência (com o desbalan-
matemático com os parâmetros determinados pelo otimizador (entradas e saídas nas mesmas posições das experimentais).
O método de otimização é responsável por propor massas de desbalanceamento com diferentes valores e posições angulares, visando minimizar o valor da função objetivo, ou seja, gerar uma resposta do modelo matemático que seja a mais próxima possível da resposta real da máquina, que é o sinal de referência.
Ao final do processo é adicionado 180° em cada uma das posições angulares das massas de correção encontradas com o objetivo de minimizar as respostas de desbalancea- mento do rotor. Isto se justifica ao se considerar que o método de balanceamento baseado no modelo matemático é formulado para determinar a condição de desbalanceamento presente na máquina rotativa. Assim, é preciso adicionar 180º nas posições angulares determinadas para cada plano de balanceamento considerado a fim de minimizar as respostas de vibração do sistema, ou seja, para contrapor o desbalanceamento distribuído ao longo da máquina rotativa.
O que justifica ser necessária a realização do balanceamento frequente em máquinas rotativas são as consequências causadas pelas altas amplitudes de vibração, que em casos mais extremos poderia levar ao comprometimento de vários componentes e até mesmo ao colapso do sistema. Justamente por este fato é importante estudar novas técnicas de balan- ceamento como a proposta neste trabalho (balanceamento robusto). Claramente, quanto mais eficiente for este procedimento, maiores serão os ganhos para as indústrias, além da segu- rança operacional de máquinas e equipamentos.
4.4 Balanceamento Robusto
O método de balanceamento proposto neste trabalho é dito robusto uma vez que são levadas em consideração as incertezas que podem afetar o comportamento dinâmico da má- quina rotativa que será balanceada.
O contexto tecnológico que aponta para a necessidade de propor uma nova aborda- gem para o balanceamento baseado no modelo matemático vem da indústria. Existem várias possibilidades de alteração do funcionamento normal de uma máquina rotativa, tais como o desgaste de componentes, variações na carga de operação, acúmulo de fuligem, perda de pequenas partes devido ao desgaste ou algum outro fenômeno. Estas variações são levadas em consideração na técnica proposta através da análise de incertezas, ou seja, tais variações são consideradas como sendo parâmetros incertos no problema de balanceamento associ- ado. Espera-se que, após a realização do balanceamento robusto, as amplitudes de vibração
permaneçam dentro de um limite aceitável por mais tempo, ou seja, que a máquina necessi- tará ser balanceada menos vezes durante o seu período de utilização, mesmo considerando as várias condições de operação diferentes.
Na Fig. 4.5 é apresentado um fluxograma que auxilia no entendimento do método de balanceamento robusto. Veja que para iniciar o processo de balanceamento robusto é neces- sário um modelo matemático representativo do rotor. O procedimento de balanceamento é iniciado com a medição das respostas de vibração diretamente na máquina rotativa (condição desconhecida). O método de otimização é responsável por propor diferentes amplitudes de desbalanceamento e posições angulares para o modelo matemático do rotor. As respostas de vibração simuladas são obtidas considerando os parâmetros incertos do sistema. Desta forma, um conjunto de respostas de vibração associado ao número de sensores disponíveis no equipamento é determinado para cada amostra gerada pelo MHL. Assim, cada conjunto de respostas de vibração determinado pelo modelo do rotor é comparado com os sinais ex- perimentais através da função objetivo mostrada na Eq. (4.5). A média dos resultados encon- trados é considerada como sendo a função objetivo no processo de otimização.
Figura 4.5 – Fluxograma do método de balanceamento robusto.
1 1 n ref ,i mod,i OF i ref ,i Temp Temp DE m Temp
(4.5)onde n é o número de sinais temporais utilizadas (04 neste caso, um para cada grau de liber- dade presente nos discos), m é o número de amostras utilizadas, Tempref,i são os sinais tem-
temporais determinadas pelo modelo matemático com os parâmetros determinados pelo oti- mizador (entradas e saídas nas mesmas posições das experimentais). E no final deste pro- cesso é feita a média dos resultados ( 1
m ).
O processo de otimização tem como objetivo minimizar a diferença entre as respostas de vibração numéricas e experimentais (domínio do tempo). Este processo é repetido diversas vezes até que o valor da função objetivo (valor médio) convirja para um valor mínimo. Quando isto ocorre, o processo de balanceamento encontra as amplitudes de balanceamento, e suas respectivas posições angulares, capazes de reproduzir as respostas de vibração medidas di- retamente no rotor. Para que o rotor seja balanceado é necessário adicionar 180º nas posi- ções angulares obtidas, conforme apresentado anteriormente no método de balanceamento determinístico.
Este processo possui um custo computacional mais alto, quando comparado com o método determinístico. A cada iteração do processo de otimização, todas as amostras gera- das são analisadas. O número de amostras necessário para a análise de incertezas varia de caso para caso, sendo determinado avaliando a convergência dos limites superior e inferior do conjunto. A análise de convergência adotada neste trabalho será apresentada oportuna- mente.
O ganho da aplicação da análise de incertezas no balanceamento é sua capacidade de reproduzir no modelo matemático condições de operação que podem acontecer com a máquina na indústria. Desta forma, espera-se obter um balanceamento mais efetivo que possa diminuir o número de intervenções no equipamento ao longo do tempo.