3. Basic ANN computations in Analog CMOS
3.4 Summary
Seja F ⊂ I finito tal que F ⊃ F′. Ent˜ao α − ε < X i∈F′ xi ≤ X i∈F xi≤ sup F⊂I F finito X i∈F xi= α ≤ α + ε, ou seja, α − Pi∈Fxi
< ε. Logo (xi)i∈I ´e som´avel e α =Pi∈Ixi. Recipro-
camente, suponhamos que (xi)i∈I seja uma fam´ılia som´avel. Ent˜ao existe
s ∈ R tal que, dado ε > 0, existe Fε⊂ I finito tal que s−ε <Pi∈Fxi< s+ε,
para todo F ⊂ I finito com F ⊃ Fε. Seja F′ ⊂ I finito arbitr´ario. Ent˜ao
X i∈F′ xi ≤ X i∈F′∪Fε xi < s + ε, e portanto supn X i∈F xi : F ⊂ I, F finito o ≤ s + ε.
Por outro lado, s − ε <Pi∈Fxi, para todo F ⊂ I finito com F ⊃ Fε; logo
s − ε ≤ supn X i∈F xi: F ⊂ I, F finito, F ⊃ Fε o ≤ supn X i∈F xi: F ⊂ I, F finito o . Assim, para todo ε > 0 temos
s − ε ≤ supn X i∈F xi: F ⊂ I, F finito o ≤ s + ε, ou seja, s − supn X i∈F xi: F ⊂ I, F finitoo ≤ ε,
para todo ε > 0; portanto supnX
i∈F
xi : F ⊂ I, F finito
o
= s < +∞
1.4. T´opicos de Teoria da Medida
Esta ´e naturalmente a se¸c˜ao mais extensa desse cap´ıtulo. Apresentamos aqui o Teorema de Representa¸c˜ao de Riesz para espa¸cos de medida, objeto de estudo desta disserta¸c˜ao, e abordamos todos os t´opicos de teoria da medida importantes para uma melhor compreens˜ao das defini¸c˜oes e provas dadas a partir do cap´ıtulo 2. Muitos resultados aqui colocados foram deslocados dos outros cap´ıtulos com a finalidade de tornar as provas apresentadas nesses cap´ıtulos mais “limpas”, facilitando sua leitura e entendimento.
Observac¸˜ao1.4.1. Sejam I um intervalo da reta e a, b ∈ R, com a ≤ b . O comprimento l(I) do intervalo I ´e igual a b − a se I for do tipo [a, b], [a, b[, ]a, b] ou ]a, b[, e ´e igual a +∞ se I for do tipo ]−∞, a], ]−∞, a[, ]a, +∞[, [a, +∞[ ou ]−∞, +∞[.
Definic¸˜ao 1.4.2. A medida exterior de Lebesgue em R, denotada por m∗, ´e definida como a aplica¸c˜ao:
m∗ : P(R) −→ [0, +∞]
A 7−→ m∗(A) = inf IA,
IA=n P n≥1
l(In) : (In)n≥1 seq¨uˆencia de intervalos abertos com A ⊂ S n≥1
In
o Definic¸˜ao 1.4.3. Um conjunto E ⊂ R ´e chamado Lebesgue mensur´avel (ou m∗-mensur´avel ) se para todo A ⊂ R temos
m∗(A) = m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ Ec).
Denotamos por L a cole¸c˜ao dos conjuntos Lebesgue mensur´aveis de R. Definic¸˜ao 1.4.4. A aplica¸c˜ao m = m∗|L : L → [0, +∞], restri¸c˜ao da
medida exterior de Lebesgue aos conjuntos Lebesgue mensur´aveis de R, ´e chamada medida de Lebesgue na reta.
Definic¸˜ao 1.4.5. Seja X um conjunto. Uma σ-´algebra de partes de X ´e um subconjunto n˜ao vazio A ⊂ P(X) satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes:
(a) se A ∈ A ent˜ao Ac ∈ A;
(b) se (An)n≥1´e uma seq¨uˆencia de elementos de A ent˜aoSn≥1An∈ A.
Em outras palavras, uma σ-´algebra de partes de X ´e uma cole¸c˜ao n˜ao vazia de subconjuntos de X fechada para complementa¸c˜ao e uni˜ao enu- mer´avel (infinita). Observamos que para toda σ-´algebra A de partes de X, se A, B ∈ A, ent˜ao A ∪ B ∈ A basta tomar a seq¨uˆencia (An)n≥1 na qual
A1 = A e An = B para todo n ≥ 2
, e portanto uma σ-´algebra tamb´em ´e fechada para uni˜ao finita. Como A 6= ∅, existe um elemento A ∈ A, e portanto X = A ∪ Ac ∈ A e ∅ = Xc ∈ A. Observamos por fim que uma
σ-´algebra tamb´em ´e fechada para diferen¸ca e intersec¸c˜ao enumer´avel. Exemplo 1.4.6. A cole¸c˜ao L dos conjuntos Lebesgue mensur´aveis de R ´e uma σ-´algebra de partes de R.
1.4. T ´OPICOS DE TEORIA DA MEDIDA 21
Observac¸˜ao 1.4.7. Se (Ai)∈I ´e uma fam´ılia n˜ao vazia de σ-´algebras
de partes de um conjunto X ent˜ao Ti∈IAi tamb´em ´e uma σ-´algebra de
subconjuntos de X. Com efeito, Ti∈IAi 6= ∅, pois ∅ ∈ Ai para todo i ∈ I.
Se A ∈ Ti∈IAi ent˜ao A ∈ Ai (e portanto Ac ∈ Ai) para cada i ∈ I,
logo Ac ∈ T
i∈IAi. Por fim, se (An)n≥1 ´e uma seq¨uˆencia de elementos de
T
i∈IAi ent˜ao (An)n≥1 ´e uma seq¨uˆencia em Ai, para cada i ∈ I; portanto
S
n≥1An∈ Ai para todo i ∈ I, ou seja,Sn≥1An∈Ti∈IAi.
Exemplo 1.4.8. Se X ´e um conjunto n˜ao enumer´avel, ent˜ao a cole¸c˜ao A =A ⊂ X : A ´e enumer´avel ou Ac ´e enumer´avel
´e uma σ-´algebra de partes de X. Com efeito, temos que A 6= ∅, pois o conjunto vazio ∅ ´e enumer´avel; se A ∈ A ent˜ao A ´e enumer´avel ou Ac ´e
enumer´avel, ou seja, (Ac)c ´e enumer´avel ou Ac ´e enumer´avel, o que implica
que Ac ∈ A. Al´em disso, se (A
n)n≥1 ´e uma seq¨uˆencia de elementos de A,
ent˜aoSn≥1An ´e enumer´avel se An ´e enumer´avel para todo n ≥ 1. Se, por
outro lado, existir k ≥ 1 tal que (Ak)c seja enumer´avel, ent˜ao Sn≥1Anc
´e enumer´avel, uma vez que Sn≥1An
c
⊂ (Ak)c. Portanto Sn≥1An∈ A, o
que finaliza a justificativa de que A ´e uma σ-´algebra de subconjuntos de X. Proposic¸˜ao1.4.9. Seja f : X → Y uma fun¸c˜ao. Se A ´e uma σ-´algebra em Y ent˜ao a cole¸c˜ao f∗A = {f−1(A) : A ∈ A} ´e uma σ-´algebra em X (chamada de σ-´algebra induzida por f (e A) em X).
Demonstrac¸˜ao. Como X = f−1(Y ) e Y ∈ A temos X ∈ f∗A, e
portanto f∗A 6= ∅. Se A ∈ f∗A ent˜ao existe B ∈ A tal que A = f−1(B);
logo Ac= f−1(B)c = f−1(Bc) e Bc ∈ A, ou seja, Ac∈ f∗A. Se (A
n)n≥1´e
uma seq¨uˆencia de elementos de f∗A ent˜ao, para cada n ≥ 1, existe Bn∈ A
tal que An= f−1(Bn). Assim,
[ n≥1 An= [ n≥1 f−1(Bn) = f−1 [ n≥1 Bn e [ n≥1 Bn∈ A,
isto ´e,Sn≥1An∈ f∗A. Portanto f∗A ´e uma σ-´algebra de partes de X.
Proposic¸˜ao1.4.10. Seja f : X → Y uma fun¸c˜ao. Se A ´e uma σ-´algebra em X ent˜ao a cole¸c˜ao f∗A = {A ⊂ Y : f−1(A) ∈ A} ´e uma σ-´algebra em Y (chamada de σ-´algebra co-induzida por f (e A) em Y ).
Demonstrac¸˜ao. Uma vez que f−1(Y ) = X ∈ A, temos Y ∈ f∗A, e
portanto f∗A 6= ∅. Se A ∈ f∗A ent˜ao f−1(A) ∈ A, o que implica
f−1(Ac) = f−1(A)c ∈ A, i.e., Ac ∈ f
∗A. Se (An)n≥1 ´e uma seq¨uˆencia de elementos de f∗A temos
f−1 [ n≥1 An = [ n≥1 f−1(An) ∈ A,
pois f−1(An) ∈ A para cada n ≥ 1, e assim Sn≥1An∈ f∗A. Portanto f∗A
´e uma σ-´algebra de partes de Y .
Proposic¸˜ao 1.4.11. Seja (fi : Xi → Y )i∈I uma fam´ılia de fun¸c˜oes. Se
Ai ´e uma σ-´algebra em Xi, para cada i ∈ I, ent˜ao a cole¸c˜ao
A =A ⊂ Y : fi−1(A) ∈ Ai, para todo i ∈ I
´e uma σ-´algebra de partes de Y (chamada de σ-´algebra co-induzida em Y pela fam´ılia de fun¸c˜oes (fi)i∈I (e pela fam´ılia de σ-´algebras (Ai)i∈I).
Demonstrac¸˜ao. Decorre imediatamente da Observa¸c˜ao 1.4.7 e da Pro- posi¸c˜ao 1.4.10, uma vez que A =Ti∈Ifi∗Ai.
Proposic¸˜ao 1.4.12. Sejam X um conjunto, A uma σ-´algebra de partes de X e (An)n≥1uma seq¨uˆencia de elementos de A. Seja (Bn)n≥1a seq¨uˆencia dada por B1 = A1 e, para todo n ≥ 2,
Bn= An\
n−1[
k=1
Ak.
Ent˜ao Bn∈ A para todo n ≥ 1, os conjuntos Bn s˜ao dois a dois disjuntos e
[ n≥1 Bn= [ n≥1 An.
Demonstrac¸˜ao. B1 obviamente est´a em A, e para n ≥ 2 tamb´em
temos Bn ∈ A, j´a que A ´e fechada para uni˜ao finita e diferen¸ca. Sejam
i, j ≥ 1 com i 6= j, digamos i < j. Ent˜ao Bi∩ Bj = Ai\ i−1[ k=1 Ak ∩Aj \ j−1[ k=1 Ak ⊂ Ai∩ (Aj\ Ai) = ∅.
1.4. T ´OPICOS DE TEORIA DA MEDIDA 23
Resta mostrar que Sn≥1Bn=Sn≥1An. Para isso, mostraremos antes, por
indu¸c˜ao sobre n, que Snk=1Bk = Snk=1Ak para todo n ≥ 1. Com efeito,
B1 = A1 e admitindo a igualdade v´alida para todo p < n, temos: n [ k=1 Bk= n−1[ k=1 Bk ∪ Bn = n−1[ k=1 Ak ∪An\ n−1[ k=1 Ak = n−1[ k=1 Ak ∪ An= n [ k=1 Ak.
Portanto Snk=1Bk =Snk=1Ak, para todo n ≥ 1. Como Bn⊂ An para todo
n ≥ 1, segue que [ n≥1 Bn⊂ [ n≥1 An.
Por outro lado, se x ∈Sn≥1An ent˜ao x ∈ Ano para algum no ≥ 1; logo
x ∈ no [ k=1 Ak= no [ k=1 Bk ⊂ [ n≥1 Bn, ou seja, [ n≥1 An⊂ [ n≥1 Bn. Dado um subconjunto C ⊂ P(X), a σ-´algebra obtida pela intersec¸c˜ao de todas as σ-´algebras que contˆem C ´e chamada de σ-´algebra gerada por C, e ´e denotada por [C] ou σ[C]; dizemos tamb´em que C ´e um conjunto de geradores para [C] . Observe que [C] ´e a menor σ-´algebra de partes de X contendo C, ou seja, se A ´e uma σ-´algebra de subconjuntos de X e C ⊂ A ent˜ao [C] ⊂ A.
A σ-´algebra de partes de R gerada pela cole¸c˜ao de todos os subconjuntos abertos de R ´e chamada de σ-´algebra de Borel de R. Denotamos por B(R) a σ-´algebra de Borel, e seus elementos s˜ao chamados de conjuntos boreleanos de R. Como todo subconjunto aberto de R ´e Lebesgue mensur´avel temos B(R) ⊂ L. ´E poss´ıvel mostrar que [a, +∞[: a ∈ R , ]a, +∞[: a ∈ R ,
]−∞, a] : a ∈ R e]−∞, a[: a ∈ R s˜ao conjuntos de geradores para B(R). Lembramos ainda, que a cole¸c˜ao B(R) dos boreleanos da reta estendida ´e a σ-´algebra gerada pelo conjunto [a, +∞] : a ∈ R , ou equivalentemente, os boreleanos de R s˜ao os subconjuntos A ⊂ R tais que A ∩ R ∈ B(R).
Definic¸˜ao 1.4.13. Um espa¸co mensur´avel ´e um par (X, A), no qual X ´e um conjunto e A ´e uma σ-´algebra de partes de X. Os elementos de
A s˜ao chamados de conjuntos mensur´aveis (ou A-mensur´aveis, ou ainda, mensur´aveis com respeito a A) de X.
Definic¸˜ao 1.4.14. Seja (X, A) um espa¸co mensur´avel. Uma medida em (X, A) (ou em A, ou em X) ´e uma fun¸c˜ao µ : A → [0, +∞], tal que as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas:
(i) µ(∅) = 0;
(ii) (σ-aditividade) se (An)n≥1´e uma seq¨uˆencia de elementos de A, dois
a dois disjuntos, ent˜ao µ [ n≥1 An =X n≥1 µ(An).
Proposic¸˜ao 1.4.15. Seja µ : A → [0, +∞] uma medida em um espa¸co mensur´avel (X, A). Ent˜ao:
(a) Se A, B ∈ A e A ∩ B = ∅ ent˜ao µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).
(b) Se A e B s˜ao elementos de A com A ⊂ B ent˜ao µ(A) ≤ µ(B); al´em disso, se µ(A) < +∞ ent˜ao µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).
(c) Se (An)n≥1 ´e uma seq¨uˆencia de conjuntos A-mensur´aveis ent˜ao
µ [ n≥1 An ≤X n≥1 µ(An). Demonstrac¸˜ao. • Prova de (a).
Decorre imediatamente da Defini¸c˜ao 1.4.14 ; basta tomar a seq¨uˆencia (An)n≥1 na qual A1 = A, A2 = B e An= ∅ para todo n > 2.
• Prova de (b).
Se A ⊂ B ent˜ao B = A ∪ (B \ A) e A ∩ (B \ A) = ∅, e portanto
(∗) µ(B) = µ(A) + µ(B \ A).
Como µ(B \ A) ≥ 0, temos µ(A) ≤ µ(B); al´em disso, se µ(A) < +∞ ent˜ao podemos subtrair µ(A) de ambos os lados da igualdade (∗), e assim obtemos µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).
1.4. T ´OPICOS DE TEORIA DA MEDIDA 25
Se (An)n≥1´e uma seq¨uˆencia de conjuntos A-mensur´aveis ent˜ao, pela
Proposi¸c˜ao 1.4.12, existe uma seq¨uˆencia (Bn)n≥1 de conjuntos men-
sur´aveis, dois a dois disjuntos, tais que An ⊂ Bn para todo n ≥ 1 e
S n≥1Bn=Sn≥1An. Assim, µ [ n≥1 An = µ [ n≥1 Bn =X n≥1 µ(Bn) ≤ X n≥1 µ(An),
uma vez que µ(An) ≤ µ(Bn) para cada n ≥ 1.
Observac¸˜ao 1.4.16. Se µ(X) < +∞, dizemos que µ ´e uma medida finita, e µ ´e chamada de σ-finita se existe uma seq¨uˆencia de conjuntos men- sur´aveis (En)n≥1 com µ(En) < +∞ para todo n ≥ 1 e X =Sn≥1En.
Definic¸˜ao1.4.17. Um espa¸co de medida ´e uma terna (X, A, µ), na qual (X, A) ´e um espa¸co mensur´avel e µ ´e uma medida em A.
Observac¸˜ao 1.4.18. Um espa¸co de medida (X, A, µ) ´e chamado de σ-finito se µ ´e uma medida σ-finita. Um subconjunto A ⊂ X ´e σ-finito para µ (ou apenas σ-finito) se existe uma seq¨uˆencia de elementos de A de medida µ finita, tal que A =Sn≥1An.
Exemplo 1.4.19. O par (R, L) ´e um espa¸co mensur´avel e a medida de Lebesgue m ´e uma medida em L. Assim, (R, L, m) ´e um espa¸co de medida; na verdade (R, L, m) ´e um espa¸co de medida σ-finito, pois R =Sn≥1[−n, +n] e m [−n, +n]= 2n, para todo n ≥ 1.
Proposic¸˜ao1.4.20. Sejam X um conjunto e A uma σ-´algebra de partes de X. Se µi : A → [0, +∞]i∈I ´e uma fam´ılia de medidas em A ent˜ao
µ =Pi∈Iµi ´e uma medida em A.
Demonstrac¸˜ao. Para cada A ∈ A, µi(A) ≥ 0 para todo i ∈ I. Logo
µ(A) = Pi∈Iµi(A) ∈ [0, +∞] para todo A ∈ A, o que mostra que µ est´a
bem definida. Claramente temos µ(∅) = 0. Seja (An)n≥1 uma seq¨uˆencia de
elementos de A, dois a dois disjuntos. Ent˜ao, pelo Corol´ario 1.3.14, µ [ n≥1 An =X i∈I µi Sn≥1An =X i∈I X n≥1 µi(An) = X n≥1 X i∈I µi(An) = X n≥1 µ(An),
Corol´ario 1.4.21. Seja (X, A) ´e um espa¸co mensur´avel. Se µ1 e µ2 s˜ao duas medidas em A ent˜ao µ1+ µ2 ´e uma medida em A.
Demonstrac¸˜ao. Segue imediatamente da Proposi¸c˜ao1.4.20; basta con- siderar a fam´ılia de medidas µi : A → [0, +∞]
i∈I, em que I = {1, 2}.
Exemplo 1.4.22 (medida de Dirac). Sejam X um conjunto e x ∈ X fixado. A aplica¸c˜ao δx: P(X) → [0, +∞], definida por
δx(E) = 1 se x ∈ E 0 se x /∈ E ,
´e uma medida em X, P(X). Com efeito, δx(∅) = 0, pois x /∈ ∅. Seja
(An)n≥1 uma seq¨uˆencia de subconjuntos de X, dois a dois disjuntos. Se
x ∈Sn≥1An ent˜ao δx Sn≥1An= 1 e x ∈ Ak para algum k ≥ 1. Como os
conjuntos An s˜ao dois a dois disjuntos temos que x /∈ An para todo n 6= k,
e assim X n≥1 δx(An) = δx(Ak) + X n≥1 n6=k δx(An) = 1 + 0 = 1. Se x /∈ Sn≥1An ent˜ao δx Sn≥1An
= 0 e x /∈ An para todo n ≥ 1, o que
implicaPn≥1δx(An) = 0. Em qualquer caso temos
δx [ n≥1 An =X n≥1 δx(An).
Exemplo 1.4.23 (medida de contagem). Sejam X um conjunto. A aplica¸c˜ao µ : P(X) → [0, +∞], dada por
µ(E) =
|E| se E ´e finito +∞ se E ´e infinito ,
´e uma medida no espa¸co mensur´avel X, P(X). De fato, para cada sub- conjunto E ⊂ X temos µ(E) =X x∈E δx(E) = X x∈X δx(E), ou seja, µ = X x∈X δx.
1.4. T ´OPICOS DE TEORIA DA MEDIDA 27
Proposic¸˜ao 1.4.24. Sejam X um conjunto n˜ao enumer´avel e A a σ-´algebra consistindo dos subconjuntos de X que s˜ao enumer´aveis ou tˆem complementar enumer´avel3. Ent˜ao a aplica¸c˜ao µ : A → [0, +∞], dada por
µ(A) =
0 se A ´e enumer´avel 1 se Ac ´e enumer´avel , para todo A ∈ A, ´e uma medida em A.
Demonstrac¸˜ao. Como o conjunto vazio ´e enumer´avel temos µ(∅) = 0. Seja (An)n≥1 uma seq¨uˆencia de elementos de A, dois a dois disjuntos. Se An
´e enumer´avel para todo n ≥ 1 ent˜aoSn≥1An´e enumer´avel e µ(An) = 0 para
todo n ≥ 1; logo µ Sn≥1An) = 0 = Pn≥1µ(An). Suponhamos agora que
exista no≥ 1 tal que Acno seja enumer´avel. Ent˜ao
S
n≥1Anc´e enumer´avel,
pois Sn≥1An c ⊂ Ac no, e portanto µ S n≥1An
= 1. Por outro lado, visto que os conjuntos Ans˜ao dois a dois disjuntos, temos Sn≥1An
\Ano ⊂ A
c no;
logo, para todo k ≥ 1, k 6= no, temos que
µ(Ak) ≤ µ Sn≥1An\ Ano
≤ µ(Acno) = 0, ou seja, µ(Ak) = 0.
Assim, X n≥1 µ(An) = µ(Ano) + X n≥1 n6=no µ(An) = 1 + 0 = 1,
e conseq¨uentemente µ Sn≥1An=Pn≥1µ(An). Em qualquer caso a apli-
ca¸c˜ao µ ´e σ-aditiva, e isso mostra que µ ´e uma medida em A. Proposic¸˜ao 1.4.25. Seja (X, A, µ) um espa¸co de medida.
(a) Se (En)n≥1 ´e uma seq¨uˆencia crescente de elementos de A, i.e.,
E1⊂ E2⊂ · · · ⊂ En⊂ · · · , ent˜ao
µ Sn≥1En
= lim
n→+∞µ(En).
(b) Se (Fn)n≥1 ´e uma seq¨uˆencia decrescente de elementos de A, i.e.,
F1 ⊃ F2 ⊃ · · · ⊃ Fn⊃ · · · , e µ(F1) < +∞, ent˜ao
µ Tn≥1Fn
= lim
n→+∞µ(Fn).
Demonstrac¸˜ao. Vide [3].
Se (X, A) ´e um espa¸co mensur´avel e Y ´e um subconjunto de X ent˜ao a cole¸c˜ao A|Y = {E ∩ Y : E ∈ A} ´e uma σ-´algebra de partes de Y . De
fato, pela Proposi¸c˜ao 1.4.9, A|Y ´e a σ-´algebra induzida em Y por A e pela
aplica¸c˜ao inclus˜ao i : Y → X:
A|Y = {E ∩ Y : E ∈ A} = {i−1(E) : E ∈ A} = i∗A.
Diremos (apenas) que A|Y ´e a σ-´algebra induzida em Y por A. Dizemos
tamb´em que Y, A|Y´e subespa¸co mensur´avel do espa¸co mensur´avel (X, A).
Se Y ∈ A ent˜ao os elementos da σ-´algebra A|Y s˜ao exatamente os elementos
de A que est˜ao contidos em Y . Em outras palavras, se Y ´e A-mensur´avel ent˜ao os subconjuntos A|Y-mensur´aveis do subespa¸co Y s˜ao os subconjun-
tos mensur´aveis de X que est˜ao contidos em Y , isto ´e, A|Y = A ∩ P(Y ).
Logo, se µ : A → [0, +∞] ´e uma medida em (X, A) ent˜ao a restri¸c˜ao µ|A|Y : A|Y → [0, +∞] ´e uma medida em Y, A|Y
. Assim, podemos con- cluir que se (X, A, µ) ´e um espa¸co de medida arbitr´ario e Y um subconjunto A-mensur´avel de X ent˜ao (Y, A|Y, µ|A|Y) ´e tamb´em um espa¸co de medida,
chamado de um subespa¸co de medida de (X, A, µ). Dados um espa¸co de me- dida (X, A, µ) e um subconjunto A-mensur´avel Y , quando Y for encarado como subespa¸co de medida, admitiremos Y munido com a σ-´algebra A|Y e
a medida µ|A|Y.
Definic¸˜ao 1.4.26. Seja (X, A) um espa¸co mensur´avel. Uma medida µ : A → [0, +∞] ´e chamada de completa se para todo conjunto mensur´avel B ∈ A com µ(B) = 0, cada subconjunto A ⊂ B ´e mensur´avel.
Em outras palavras, µ ´e completa se cada subconjunto de conjunto men- sur´avel de medida nula tamb´em ´e mensur´avel. Nesse caso, o espa¸co de me- dida ´e dito completo. ´E poss´ıvel mostrar que se (X, A, µ) ´e um espa¸co de medida arbitr´ario e N = {N ∈ A : µ(N ) = 0} ent˜ao a cole¸c˜ao
A =A ∪ F : A ∈ A e F ⊂ N ∈ N
´e uma σ-´algebra de partes de X que cont´em A. Al´em disso, existe uma ´
unica medida µ : A → [0, +∞] que estende µ e ´e completa: µ(A ∪ F ) = µ(A), A ∈ A e F ⊂ N para algum N ∈ N .
1.4. T ´OPICOS DE TEORIA DA MEDIDA 29
Portanto o espa¸co de medida (X, A, µ) ´e completo e ´e chamado de o com- pletamento do espa¸co (X, A, µ). Por exemplo, o completamento do espa¸co de medida R, B(R), m|B(R) ´e o espa¸co (R, L, m).
Observac¸˜ao 1.4.27. Sejam (X, A, µ) um espa¸co de medida e p(x) uma propriedade relativa aos elementos do conjunto X. Dizemos que a pro- priedade p(x) vale µ-quase sempre (ou abreviadamente, µ-qs) se existe um conjunto mensur´avel E ∈ A com µ(E) = 0, tal que p(x) ´e v´alida para todo x ∈ Ec.
Definic¸˜ao 1.4.28. Sejam (X, A) e (X′, A′) espa¸cos mensur´aveis. Uma fun¸c˜ao mensur´avel f : (X, A) → (X′, A′) ´e uma fun¸c˜ao f : X → X′ tal que f−1(E) ∈ A para todo E ∈ A′.
Ou seja, uma fun¸c˜ao entre espa¸cos mensur´aveis ´e dita mensur´avel se a imagem inversa de conjunto mensur´avel ´e um conjunto mensur´avel. Uma fun¸c˜ao mensur´avel f : (X, A) → (X′, A′) tamb´em ´e chamada de mensur´avel em rela¸c˜ao a A e A′, ou (A, A′)-mensur´avel.
Observac¸˜ao1.4.29. N˜ao havendo confus˜ao quanto `as σ-´algebras A e A′ definidas nos conjuntos X e X′ respectivamente, falaremos economicamente que f : X → X′´e mensur´avel para expressar que f : (X, A) → (X′, A′) ´e men-
sur´avel. Sempre que R (resp., R) aparecer no contradom´ınio de uma fun¸c˜ao, consideraremos R (resp., R) munido com a σ-´algebra B(R) (resp., B(R)); se R aparecer no dom´ınio de uma fun¸c˜ao, admitiremos que R est´a munido com a σ-´algebra L dos conjuntos Lebesgue mensur´aveis de R. Ou seja, dado um espa¸co mensur´avel (X, A), uma fun¸c˜ao f : X → R ´e mensur´avel se f ´e mensur´avel em rela¸c˜ao a A e B(R), e uma fun¸c˜ao f : R → X ´e mensur´avel se f ´e mensur´avel em rela¸c˜ao a L e A. No caso de uma fun¸c˜ao f : X → R ser A, B(R)-mensur´avel , diremos apenas que f ´e A-mensur´avel ou mensur´avel relativamente a A. Do mesmo modo, f : X → R ´e dita A-mensur´avel se ´e
A, B(R)-mensur´avel.
Proposic¸˜ao 1.4.30. Sejam (X, A) e (X′, A′) espa¸cos mensur´aveis, e seja C ⊂ P(X′) um conjunto de geradores de A′, i.e., A′= [C]. Uma fun¸c˜ao
f : X → X′ ´e mensur´avel se e somente se f−1(E) ∈ A para todo E ∈ C. Demonstrac¸˜ao. Se f ´e mensur´avel ent˜ao f−1(E) ∈ A qualquer que
que f−1(E) ∈ A para todo E ∈ C. A cole¸c˜ao {E ⊂ X′ : f−1(E) ∈ A} ´e a σ-´algebra co-induzida por f e cont´em C, logo cont´em [C] = A′; portanto f−1(E) ∈ A para todo E ∈ A′, o que implica f mensur´avel.
Corol´ario 1.4.31. Sejam (X, A) um espa¸co mensur´avel e f : X → R uma fun¸c˜ao. Ent˜ao s˜ao equivalentes as seguintes afirma¸c˜oes:
(a) f ´e mensur´avel;
(b) f−1(U ) ∈ A para todo aberto U ⊂ R; (c) f−1 ]−∞, c ]∈ A para todo c ∈ R.
Demonstrac¸˜ao. Decorre imediatamente da Observa¸c˜ao 1.4.29 e da Proposi¸c˜ao 1.4.30, lembrando que B(R) ´e a σ-´algebra gerada pelos abertos de R, e que]−∞, c ] : c ∈ R ´e um conjunto de geradores de B(R). Observamos que o Corol´ario 1.4.31 continua v´alido se trocarmos o inter- valo ]−∞, c ] por ]−∞, c [, [c, +∞[ ou ]c, +∞[.
Observac¸˜ao1.4.32. Sejam X um conjunto arbitr´ario e g : X → R uma fun¸c˜ao. A fun¸c˜ao sinal de g ´e definida por:
sgn(g) = χg−1( ]0,+∞[ )− χg−1( ]−∞,0[ ).
Ou seja, sgn(g)(x) ´e igual a 1 se g(x) > 0, 0 se g(x) = 0, e −1 se g(x) < 0. Se A ´e uma σ-´algebra de partes de X e se g ´e A-mensur´avel ent˜ao, clara- mente, sgn(g) tamb´em ´e A-mensur´avel.
Observac¸˜ao 1.4.33. Se (X, A), (X′, A′) e (X′′, A′′) s˜ao espa¸cos men- sur´aveis e f : (X, A) → (X′, A′), g : (X′, A′) → (X′′, A′′) s˜ao fun¸c˜oes men- sur´aveis, ent˜ao a composta g ◦ f : (X, A) → (X′′, A′′) tamb´em ´e mensur´avel.
De fato, para cada E ∈ A′′, g−1(E) ∈ A′, pois g ´e mensur´avel, e portanto
(g ◦ f )−1(E) = f−1 g−1(E)∈ A, uma vez que f ´e mensur´avel.
Observac¸˜ao 1.4.34. Sejam (X, A) e (X′, A′) espa¸cos mensur´aveis e Y
um subconjunto de X. Se f : (X, A) → (X′, A′) ´e uma fun¸c˜ao mensur´avel
ent˜ao a fun¸c˜ao f |Y : (Y, A|Y) → (X′, A′) tamb´em ´e mensur´avel. Com efeito,
a aplica¸c˜ao inclus˜ao i : Y → X ´e mensur´avel, pois i−1(E) = E ∩ Y ∈ A|Y
para todo E ∈ A e f |Y = f ◦i. Portanto, pela Observa¸c˜ao 1.4.33, a aplica¸c˜ao
1.4. T ´OPICOS DE TEORIA DA MEDIDA 31
Proposic¸˜ao 1.4.35. Sejam (X, A) e (X′, A′) espa¸cos mensur´aveis, e (Xn)n≥1 uma seq¨uˆencia de elementos de A com X =Sn≥1Xn. Ent˜ao uma aplica¸c˜ao f : X → X′ ´e mensur´avel se somente se f |
Xn : Xn → X′ ´e
mensur´avel para todo n ≥ 1.
Demonstrac¸˜ao. Se f ´e uma fun¸c˜ao mensur´avel ent˜ao f |Xn ´e men-
sur´avel para todo n ≥ 1, pela Observa¸c˜ao 1.4.34. Reciprocamente, supo- nhamos que f |Xn seja mensur´avel para todo n ≥ 1. Como Xn ∈ A temos
que A|Xn = A ∩ P(Xn), e portanto f−1(E) ∩ Xn= (f |Xn)−1(E) ∈ A para
todo n ≥ 1 e todo E ∈ A′. Assim, f−1(E) = f−1(E) ∩ [ n≥1 Xn = [ n≥1 f−1(E) ∩ Xn ∈ A,
para cada E ∈ A′, o que implica f mensur´avel.
Proposic¸˜ao 1.4.36. Seja Y um subconjunto arbitr´ario de R. Se uma fun¸c˜ao f : Y → R ´e cont´ınua ent˜ao f ´e mensur´avel.
Demonstrac¸˜ao. Para todo aberto U ⊂ R temos que f−1(U ) ´e aberto relativamente a Y , pois f ´e cont´ınua. Logo existe um aberto V ⊂ R tal que f−1(U ) = Y ∩ V . Como V ∈ B(R) ⊂ L, segue que f−1(U ) ∈ L|
Y, e
portanto f ´e mensur´avel.
Definic¸˜ao 1.4.37. Dado x ∈ R, as partes positiva e negativa de x, denotadas respectivamente por x+ e x−, s˜ao definidas por
x+= x se x ≥ 0 0 se x < 0 e x−= 0 se x > 0 −x se x ≤ 0 .
Se f : X → R ´e uma fun¸c˜ao ent˜ao as partes positiva e negativa de f , denotadas respectivamente por f+ e f−, s˜ao as aplica¸c˜oes f+, f− : X → R dadas por f+(x) = f (x)+ e f−(x) = f (x)−, para todo x ∈ X.
Observe que para cada x ∈ R temos x = x+− x− e |x| = x++ x−, e
portanto f = f+− f− e |f | = f++ f− para toda fun¸c˜ao f : X → R.
Proposic¸˜ao1.4.38. Sejam (X, A) um espa¸co mensur´avel, f, g : X → R duas aplica¸c˜oes e c um n´umero real. Se f e g s˜ao mensur´aveis ent˜ao tamb´em s˜ao mensur´aveis as aplica¸c˜oes cf , f2, f + g, f g, |f |, f+ e f−.
Demonstrac¸˜ao. Vide [3]. Proposic¸˜ao 1.4.39. Sejam (X, A) um espa¸co mensur´avel e (fn)n≥1 uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes mensur´aveis, fn : X → R para todo n ≥ 1. Ent˜ao as aplica¸c˜oes infn≥1fn, supn≥1fn, lim inf fn e lim sup fn tamb´em s˜ao mensur´aveis.
Demonstrac¸˜ao. Vide [22].
Observac¸˜ao 1.4.40. Seja (X, A) um espa¸co mensur´avel. Se (fn)n≥1 ´e
uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes mensur´aveis, fn : X → R para todo n ≥ 1, cujo
limite ´e uma fun¸c˜ao f : X → R, ent˜ao f ´e mensur´avel. Com efeito, f = lim
n→+∞fn= lim sup fn,
o que implica na mensurabilidade de f .
Para duas fun¸c˜oes fun¸c˜oes f, g : X → R, o produto f g : X → R pode ser sempre definido, e a soma f + g : X → R pode ser definida caso ela esteja bem definida, ou seja, se para todo x ∈ X n˜ao ocorrem as situa¸c˜oes (−∞) + (+∞) e (+∞) + (−∞). A Proposi¸c˜ao 1.4.38 continua verdadeira se substituirmos os contradom´ınios de f e g por R, e f +g estiver bem definida. Da mesma forma, se trocarmos por R os contradom´ınios das aplica¸c˜oes da Proposi¸c˜ao 1.4.39 e da Observa¸c˜ao 1.4.40, elas continuam v´alidas.
Proposic¸˜ao 1.4.41. Sejam (X, A, µ) um espa¸co de medida completa e (X′, A′) um espa¸co mensur´avel. Se f : X → X′ ´e uma fun¸c˜ao mensur´avel, e g : X → X′ uma fun¸c˜ao tal que g = f µ-qs, ent˜ao g tamb´em ´e mensur´avel. Demonstrac¸˜ao. Se g = f µ-qs ent˜ao existe A ∈ A com µ(A) = 0 tal que g(x) = f (x) para todo x ∈ Ac. Seja E ∈ A′ arbitr´ario. Ent˜ao
g−1(E) = g−1(E) ∩ Ac∪ g−1(E) ∩ A= f−1(E) ∩ Ac∪ g−1(E) ∩ A. Como f ´e mensur´avel temos que f−1(E) ∈ A, e uma vez que µ ´e completa segue que g−1(E) ∩ A ∈ A. Portanto g−1(E) est´a em A, o que mostra que
g ´e uma aplica¸c˜ao mensur´avel.
Lema1.4.42. Se (X, A, µ) ´e um espa¸co de medida e f1, f2, g1, g2 : X → R s˜ao fun¸c˜oes mensur´aveis tais que f1 = g1 µ-qs e f2 = g2 µ-qs, ent˜ao f1+ f2 e g1+ g2 s˜ao mensur´aveis e f1+ f2 = g1+ g2 µ-qs.
1.4. T ´OPICOS DE TEORIA DA MEDIDA 33
Demonstrac¸˜ao. A mensurabilidade de f1+f2e g1+g2decorre imedia-
tamente da Proposi¸c˜ao 1.4.38. Se f1 = g1 µ-qs e f2 = g2 µ-qs ent˜ao existem
A1, A2 ∈ A, com µ(A1) = 0 e µ(A2) = 0, tais que f1(x) = f2(x) para todo
x ∈ Ac1 e g1(x) = g2(x) para todo x ∈ Ac2. Como (A1∪ A2)c = Ac1∩ Ac2, para
cada x ∈ (A1∪ A2)c, temos
(f1+ f2)(x) = f1(x) + f2(x) = g1(x) + g2(x) = (g1+ g2)(x).
Por outro lado, µ(A1 ∪ A2) ≤ µ(A1) + µ(A2) = 0, i.e., µ(A1∪ A2) = 0.
Portanto f1+ f2= g1+ g2 µ-qs.
Corol´ario 1.4.43. Se f1, . . . , fn, g1, . . . , gn: X → R s˜ao fun¸c˜oes men- sur´aveis tais que fi = gi µ-qs para cada i ∈ {1, . . . , n}, ent˜ao as fun¸c˜oes
f1+ · · · + fn e g1+ · · · + gn s˜ao mensur´aveis e iguais µ-qs.
Demonstrac¸˜ao. Imediata, por indu¸c˜ao sobre n. Lema 1.4.44. Seja (X, A, µ) um espa¸co de medida. Sejam (fn)n≥1 e
(gn)n≥1 duas seq¨uˆencias de fun¸c˜oes mensur´aveis fn, gn : X → R, tais que
fn = gn µ-qs para todo n ≥ 1. Se f = lim sup fn e g = lim sup gn ent˜ao f e
g s˜ao mensur´aveis e f = g µ-qs.
Demonstrac¸˜ao. A mensurabilidade de f e g decorre imediatamente da Proposi¸c˜ao 1.4.39. Se fn= gn µ-qs para cada n ≥ 1 ent˜ao, para cada
n ≥ 1, existe An ∈ A com µ(An) = 0 tal que fn(x) = gn(x) para todo
x ∈ Ac
n. O conjunto A =
S
n≥1An´e mensur´avel e
µ(A) = µ [ n≥1 An ≤X n≥1
µ(An) = 0, i.e., µ(A) = 0.
Por outro lado, para cada x ∈ Ac = T
n≥1Acn, temos fn(x) = gn(x) para
todo n ≥ 1. Assim, para todo x ∈ Ac,
f (x) = lim sup fn(x) = lim sup gn(x) = g(x),
e portanto f e g s˜ao iguais µ-qs.
Definic¸˜ao 1.4.45. Sejam (X, A, µ) e (X′, A′, µ′) espa¸cos de medida.
Dizemos que uma fun¸c˜ao φ : X → X′ preserva medida se φ ´e mensur´avel e se µ′(A) = µ φ−1(A) para todo A ∈ A′.
Proposic¸˜ao1.4.46. Sejam (X, A, µ) um espa¸co de medida, (X′, A′) um espa¸co mensur´avel e φ : X → X′ uma aplica¸c˜ao mensur´avel. Ent˜ao:
(a) a aplica¸c˜ao φ∗µ : A′ → [0, +∞], definida por
(φ∗µ)(A) = µ φ−1(A), para todo A ∈ A′, ´e uma medida em A′;
(b) se µ′ ´e uma medida em A′ ent˜ao φ : (X, A, µ) → (X′, A′, µ′) pre- serva medida se e somente se φ∗µ = µ′.
φ∗µ ´e chamada de medida co-induzida por φ e µ em A′.
Demonstrac¸˜ao.
• Prova de (a).
φ∗µ est´a bem definida: como φ ´e uma aplica¸c˜ao mensur´avel, temos
que φ−1(A) ∈ A para todo A ∈ A′, e portanto (φ∗µ)(A) = µ φ−1(A)∈ [0, +∞].
´
E f´acil ver que (φ∗µ)(∅) = 0. Se (An)n≥1 ´e uma seq¨uˆencia de elementos
de A′, dois a dois disjuntos, ent˜ao φ−1(An)n≥1 ´e uma seq¨uˆencia de
elementos de A, dois a dois disjuntos. Assim, (φ∗µ) [ n≥1 An = µφ−1 Sn≥1An = µ [ n≥1 φ−1(An) =X n≥1 µ φ−1(An) =X n≥1 (φ∗µ)(An).
Portanto φ∗µ ´e uma medida em A′.
• Prova de (b).
φ preserva medida se e somente se µ′(A) = µ φ−1(A) = (φ∗µ)(A)
para todo A ∈ A′, ou seja, se e somente se µ′ = φ
∗µ.
Dados um espa¸co de medida (X, A, µ), um conjunto X′ e uma aplica¸c˜ao
φ : X → X′, pela Proposi¸c˜ao 1.4.10, o conjunto φ∗A =A ⊂ X′ : φ−1(A) ∈ A
´e uma σ-´algebra de partes de X′ chamada de σ-´algebra co-induzida por
1.4. T ´OPICOS DE TEORIA DA MEDIDA 35
de X′ que torna φ mensur´avel; em particular, se A′ ´e uma σ-´algebra de subconjuntos de X′ contida em φ∗A ent˜ao a aplica¸c˜ao φ : (X, A) → (X′, A′)
´e mensur´avel. Ainda, se µ′ ´e uma medida em (X′, A′) tal que A′ ⊂ φ
∗A
e µ′ = φ∗µ ent˜ao, pelo item (b) da Proposi¸c˜ao 1.4.46, φ : X → X′ ´e uma
aplica¸c˜ao que preserva medida.
Definic¸˜ao 1.4.47. Sejam (X, A, µ) e (X′, A′, µ′) espa¸cos de medida. Uma aplica¸c˜ao φ : X → X′ que preserva medida ´e chamada de aplica¸c˜ao quociente se A′ = φ∗A. Uma fun¸c˜ao φ : X → X′ ´e um isomorfismo se ´e
uma aplica¸c˜ao quociente bijetora.
Proposic¸˜ao 1.4.48. Sejam (X, A, µ) e (X′, A′, µ′) espa¸cos de medida. Uma aplica¸c˜ao φ : X → X′ ´e um isomorfismo se e somente se ´e uma bije¸c˜ao tal que, para todo A ⊂ X, φ(A) ∈ A′ se e somente se A ∈ A, e nesse caso, µ′ φ(A)= µ(A)
Demonstrac¸˜ao. Se φ ´e um isomorfismo ent˜ao ´e uma bije¸c˜ao tal que A′ = φ
∗A e µ′(A) = µ φ−1(A) para cada A ∈ A′. Assim, se φ(A) ∈ A′
ent˜ao φ−1 φ(A) = A ∈ A, e reciprocamente, se A ∈ A ent˜ao φ(A) ⊂ X′ e φ−1 φ(A)∈ A, logo φ(A) ∈ A′. Nesse caso,
µ′ φ(A)= µφ−1 φ(A)= µ(A).
Por outro lado, seja φ : X → X′ uma bije¸c˜ao tal que, para todo A ⊂ X,