Transconductance amplifier (transamp)

que µp= (µ)c

lbe Ap= A

c, obtemos o diagrama a seguir, no qual vemos

que, de fato, o diagrama (2.3.2) comuta: Lp(X, A, µ)∗ _oo Lp(X,A, µ)∗ _Lp_{(X, (A)} c, (µ)c)∗ oo Lp_{(X, A} p, µp)∗ oo Lq(X, A, µ) OO // _Lq_{(X, A, µ)} OO // _Lq_{(X, (A)} c, (µ)c) OO // Lq_{(X, A} p, µp) . OO

Para medidas perfeitas a aplica¸c˜ao de Riesz 1.4.4 ´e sempre uma imers˜ao isom´etrica (Proposi¸c˜ao 2.1.5), o que lhe d´a “melhores chances” de ser uma isometria linear. Quando passamos de uma medida µ para a sua vers˜ao per- feita µp, n´os n˜ao modificamos (a menos de identifica¸c˜ao isom´etrica natural)

os espa¸cos Lp _{para p < +∞, e tornamos o espa¸co L}∞_{mais conveniente para}

a bijetividade da aplica¸c˜ao de Riesz; livramos-nos do n´ucleo da aplica¸c˜ao de Riesz tomando um quociente de L∞ (Proposi¸c˜ao 2.1.10) e estendemos L∞ para o mais amplo espa¸co poss´ıvel de aplica¸c˜oes g que correspondem a funcionais αg em L1 (Proposi¸c˜ao 2.2.9). Apesar disso, eliminamos apenas

os obst´aculos “ingˆenuos” para a bijetividade da aplica¸c˜ao de Riesz 1.4.4, ou seja, embora espa¸cos de medida perfeita favore¸cam tal bijetividade, n˜ao ´e ne- cessariamente isso o que ocorre. Na pr´oxima se¸c˜ao apresentamos um espa¸co de medida perfeita para o qual a aplica¸c˜ao de Riesz n˜ao ´e sobrejetora.

2.4. Um contra-exemplo n˜ao trivial para a bijetividade da Aplica¸c˜ao de Riesz

Exemplo 2.4.1. Dados dois conjuntos C1, C2 e A ⊂ X = C1× C2, para

cada y ∈ C2 denotamos por Ay a linha x ∈ C1 : (x, y) ∈ A e para cada

x ∈ C1 denotamos por Ax a coluna y ∈ C2 : (x, y) ∈ A . Suponhamos que

C1 e C2 sejam n˜ao enumer´aveis. Seja A a cole¸c˜ao consistindo dos subcon-

juntos A de X tais que:

• ou Ay _{ou C}

1\ Ay ´e enumer´avel, para todo y ∈ C2;

• ou Ax ou C2\ Ax ´e enumer´avel, para todo x ∈ C1.

Afirmamos que A ´e uma σ-´algebra de partes de X. De fato, sejam A1 =A ⊂ C1: A ´e enumer´avel ou C1\ A ´e enumer´avel ,

σ-´algebras de partes de C1e C2 respectivamente (Exemplo 1.4.8). Para cada

y ∈ C2 e para cada x ∈ C1 sejam iy : C1 → X e ix : C2 → X aplica¸c˜oes

dadas por iy_{(x) = (x, y) para todo x ∈ C}

1, e ix(y) = (x, y) para todo y ∈ C2.

Uma vez que

A =A ⊂ X : Ay ∈ A1 para todo y ∈ C2 e Ax ∈ A2 para todo x ∈ C1

=A ⊂ X : (iy)−1(A) ∈ A1 para todo y ∈ C2 e (ix)−1(A) ∈ A2

para todo x ∈ C1 ,

segue, pela Proposi¸c˜ao 1.4.11, que A ´e a σ-´algebra co-induzida em X pelas fam´ılias de fun¸c˜oes (iy₎

y∈C2 e (ix)x∈C1.

Dados x ∈ C1 e y ∈ C2, sejam µx : A → [0, +∞] e µy : A → [0, +∞]

aplica¸c˜oes definidas por: µx(A) =

  

0 se Ax ´e enumer´avel

1 se C2\ Ax ´e enumer´avel,

µy(A) =   

0 se Ay ´e enumer´avel 1 se C1\ Ay ´e enumer´avel,

para todo A ∈ A. Para i = 1, 2 seja µi : Ai → [0, +∞] a aplica¸c˜ao dada por:

µi(B) =

  

0 se B ´e enumer´avel 1 se Ci\ B ´e enumer´avel ,

para todo B ∈ Ai. Pela Proposi¸c˜ao 1.4.24, µi´e uma medida em Ai, i = 1, 2.

Assim, fixados x ∈ C1 e y ∈ C2, para todo A ∈ A temos

µx(A) = µ2(Ax) = µ2 (ix)−1(A)

e µy(A) = µ1(Ay) = µ1 (iy)−1(A)
.

Logo, pelo item (a) da Proposi¸c˜ao 1.4.46, as aplica¸c˜oes µx e µy s˜ao medidas

em A para todo x ∈ C1 e para todo y ∈ C2.

Seja, por fim, µ : A → [0, +∞] a aplica¸c˜ao definida por: µ(A) = X x∈C1 µx(A) + X y∈C2 µy(A),

para todo A ∈ A. Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 1.4.20 (e Corol´ario 1.4.21), a aplica¸c˜ao µ ´e uma medida em A.

2.4. UM CONTRA-EXEMPLO N ˜AO TRIVIAL 83

Demonstrac¸˜ao.

• µ ´e completa.

Seja A ∈ A com µ(A) = 0. Ent˜ao Ax e Ay s˜ao enumer´aveis para

todo x ∈ C1 e para todo y ∈ C2. Portanto, se B ´e um subconjunto de

A, ent˜ao Bx e By s˜ao tamb´em enumer´aveis para todo x ∈ C1 e para

todo y ∈ C2. Segue que B est´a em A.

• µ ´e cheia.

Seja A ⊂ X tal que A ∩ B ∈ A para todo B ∈ A com µ(B) < +∞. Seja yo∈ C2 fixado. Afirmamos que o conjunto E = C1× {yo} est´a em

A e µ(E) = 1. Com efeito, Ex = {yo} para todo x ∈ C1, Ey = C1 se

y = yo e Ey = ∅ se y 6= yo. Portanto Ex ´e enumer´avel para todo x ∈ C1

e, ou Ey _{ou C}

1\ Ey ´e enumer´avel para todo y ∈ C2; logo E ∈ A. Al´em

disso, µx(E) = 0 para todo x ∈ C1, µy(E) = 0 para todo y ∈ C2\ {yo}

e µyo_{(E) = 1. Assim,} µ(E) = X x∈C1 µx(E) + X y∈C2\{yo} µy(E) + µyo_{(E) = 1.}

Portanto A ∩ E ∈ A, o que implica que (A ∩ E)yo _{´e enumer´avel ou tem}

complementar em C1 enumer´avel. Mas

(A ∩ E)yo_{= {x ∈ C}

1 : (x, yo) ∈ A ∩ E}

= {x ∈ C1 : (x, yo) ∈ A} ∩ {x ∈ C1 : (x, yo) ∈ E} = Ayo ∩ C1= Ayo.

Logo, ou Ay _{´e enumer´avel ou C}

1\ Ay ´e enumer´avel, para todo y ∈ C2.

Analogamente, fazendo E = {x} × C2 para cada x ∈ C1, mostra-se que

Ax ´e enumer´avel ou C2\ Ax ´e enumer´avel, para todo x ∈ C1. Portanto

A ∈ A, o que mostra que µ ´e uma medida cheia. • µ ´e livre de blocos.

Se A ∈ A ´e tal que µ(A) = +∞ ent˜ao ou existe xo ∈ C1 com

µxo(A) = 1 ou existe yo ∈ C2 com µ

yo_{(A) = 1. Suponhamos que exista}

xo ∈ C1 com µxo(A) = 1. Se E

def

= {xo} × Axo ⊂ A ent˜ao E ∈ A, uma

vez que Ey _{= {x}

o} para todo y ∈ C2, e para todo x ∈ C1 temos Ex = ∅

se x 6= xo e Exo = Axo. Assim, µ

y_{(E) = 0 para todo y ∈ C}

2, µx(E) = 0

que C2\ Exo = C2\ Axo ´e enumer´avel. Portanto µ(E) = µxo(E) + X x∈C1\{xo} µx(E) + X y∈C2 µy(E) = 1.

De modo an´alogo, se existir yo∈ C2com µyo(A) = 1 ent˜ao E = Ayo×{yo}

est´a em A e µ(E) = 1. Portanto A n˜ao ´e um bloco infinito para µ.  Lema2.4.3. Seja (X, A, µ) o espa¸co de medida definido como no Exem- plo 2.4.1. Se a aplica¸c˜ao de Riesz (1.4.4) desse espa¸co ´e um isomorfismo ent˜ao existe um subconjunto R de X = C1× C2 tal que Ry ´e enumer´avel para todo y ∈ C2 e C2\ Rx ´e enumer´avel para todo x ∈ C1.

Demonstrac¸˜ao. Considere a medida ν : A → [0, +∞] definida por: ν(A) = X

x∈C1

µx(A),

para todo A ∈ A. Uma vez que ν(A) ≤ µ(A) para todo A ∈ A, a integra¸c˜ao com respeito a ν define um funcional linear limitado sobre L1(X, A, µ); mais explicitamente, a aplica¸c˜ao α(f ) = R_Xf dν ´e um funcional linear sobre L1(X, A, µ) com kαk ≤ 1. De fato, α ´e claramente linear e para cada f ∈ L1(X, A, µ), como ν ≤ µ, pela Proposi¸c˜ao 1.4.58, temos

α(f ) = Z X f dν ≤ Z X |f | dν ≤ Z X |f | dµ = kf k₁ < +∞. Isso mostra que α est´a bem definida e que kf k₁ ≤ 1, pois

kαk = infc ≥ 0 : |α(f )| ≤ c kf k₁ para toda f ∈ L1(X, A, µ) . Se a aplica¸c˜ao de Riesz (1.4.4) do espa¸co (X, A, µ) ´e um isomorfismo ent˜ao existe g ∈ L∞(X, A, µ) com αg = α. Seja y ∈ C2 fixado e consideremos o

conjunto E = C1× {y}. Sejam ainda A′ = A|E a σ-´algebra induzida por A

em E e µ′ = µ|A′. Ent˜ao a aplica¸c˜ao de Riesz

L∞(E, A′, µ′) −→ L1(E, A′, µ′)∗

´e injetora e leva g|E na restri¸c˜ao de α ao espa¸co L1(E, A′, µ′). Com efeito,

a aplica¸c˜ao de Riesz do espa¸co (E, A′_{, µ}′_{) ´e injetora porque µ ´e uma medida}

livre de blocos (Proposi¸c˜ao 2.1.5) e, pela Observa¸c˜ao 1.4.85, leva g|E em

αg|L1_{(E, A}′_{, µ}′₎ = α|_L1_{(E, A}′_{, µ}′₎. Note que para todo x ∈ C₁ temos E_x = {y},

2.4. UM CONTRA-EXEMPLO N ˜AO TRIVIAL 85

segue que α(f ) = R_Xf dν = 0, ou seja, α se anula em L1(E, A′, µ′). Por- tanto, a injetividade da aplica¸c˜ao de Riesz do espa¸co (E, A′, µ′) implica que g|E = 0 µ-qs. Seja R = g−1(1). Uma vez que g ´e A-mensur´avel e {1} ∈ B(R)

temos R ∈ A. Se S ´e o conjunto Ry× {y} ent˜ao

µ(S) ≤ µ {x ∈ E : g(x) 6= 0}
= 0, i.e., µ(S) = 0.

Logo µy(S) = 0, e portanto Ry ´e enumer´avel. Seja agora x ∈ C1 fixado

e consideremos o conjunto F = {x} × C2. Uma vez que Fy = {x} para

cada y ∈ C2, temos Py∈C2µ

y_{(F ) = 0, o que implica que µ e ν coincidem}

em todos os subconjuntos mensur´aveis de F . Portanto, se A′′ _{= A|}

F e

µ′′= µ|A′′ ent˜ao α(f ) =R

Xf dµ para cada f ∈ L1(F, A′′, µ′′). Novamente a

aplica¸c˜ao de Riesz

L∞(F, A′′, µ′′)−→ Lβ 1(F, A′′, µ′′)∗

´e injetora e g|F ´e levado na restri¸c˜ao de α a L1(F, A′′, µ′′). Assim, para cada

f ∈ L1_{(F, A}′′_{, µ}′′_{), temos} β_g|F(f ) = α(f ) = Z X f dµ = Z F f ·1 dµ′′= β1(f ),

i.e., β_g|F(f ) = β1(f ). Como β ´e injetora segue que g|F = 1 µ′′-qs, que ´e o

mesmo que g|F = 1 µ-qs. Seja K = {x} × Rx ⊂ F . Ent˜ao

µ(F \ K) ≤ µ {x ∈ E : g(x) 6= 1}
= 0,

ou seja, (F \ K)x ´e enumer´avel. Mas (F \ K)x= C2\ Kx= C2\ Rx. Assim,

R ´e um conjunto mensur´avel de X tal que Ry _{e C}

2\ Rx s˜ao enumer´aveis

para todo x ∈ C1 e y ∈ C2. 

Proposic¸˜ao 2.4.4. Se C1 e C2 s˜ao conjuntos n˜ao enumer´aveis ent˜ao as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:

• |C1| = |C2| = ℵ1;

• existe um subconjunto R de C1 × C2 tal que Ry e C2 \ Rx s˜ao enumer´aveis para todo x ∈ C1 e y ∈ C2.

Demonstrac¸˜ao. Se |C1| = |C2| = ℵ1 ent˜ao n´os podemos assumir que

C1= C2= ℵ1. Seja R =(x, y) ∈ ℵ1× ℵ1 : x ∈ y . Para cada y ∈ C2 temos

e para cada x ∈ C1 temos

C2\ Rx=y ∈ ℵ1 : (x, y) /∈ R =y ∈ ℵ1 : y ≤ x

=y ∈ ℵ1 : y < x ∪ {x} = x ∪ {x} = x + 1 ∈ ℵ1.

Como todo elemento de ℵ1 ´e um n´umero ordinal enumer´avel, segue que Ry

e C2\ Rx s˜ao enumer´aveis para todo x ∈ C1 e y ∈ C2. Reciprocamente,

suponhamos que exista R ⊂ C1× C2 tal que Ry e C2\ Rx sejam enumer´aveis

para todo x ∈ C1 e y ∈ C2. Uma vez que C1 ´e n˜ao enumer´avel, existe um

subconjunto A ⊂ C1 tal que |A| = ℵ1. Afirmamos que Tx∈ARx = ∅. De

fato, se existisse y ∈T_x∈ARx, ter´ıamos y ∈ Rx para todo x ∈ A, e portanto

A ⊂ Ry_{, o que contradiz a hip´otese de enumerabilidade de R}y_{. Ent˜ao}

C2= C2\ \ x∈A Rx = C2∩  \ x∈A Rx c = C2∩  [ x∈A Rc_x = [ x∈A (C2∩ Rcx) = [ x∈A (C2\ Rx).

Mas C2\ Rx ´e enumer´avel para todo x ∈ C1 e A tem cardinalidade igual a

ℵ1, logo |C2| ≤ ℵ1 · ℵ0 = ℵ1, provando que |C2| = ℵ1. Observe agora que

C1 =S_y∈C2Ry; com efeito, para x ∈ C1 o conjunto C2\ Rx ´e enumer´avel,

logo existe y ∈ Rx, e conseq¨uentemente x ∈ Ry. Assim, C1⊂S_y∈C2Ry, e ´e

claro que S_y∈C2Ry _{⊂ C}

1. Como Ry ´e enumer´avel para todo y ∈ C2, temos

|C1| ≤ ℵ1· ℵ0= ℵ1 e portanto |C1| = ℵ1. 

Corol´ario 2.4.5. Se C1 e C2 s˜ao n˜ao enumer´aveis e C1 ou C2 tem cardinalidade maior do que ℵ1 ent˜ao a aplica¸c˜ao de Riesz (1.4.4) do espa¸co

(X, A, µ) do Exemplo 2.4.1 n˜ao ´e um isomorfismo.

Demonstrac¸˜ao. Segue diretamente do Lema 2.4.3 e da Proposi¸c˜ao

2.4.4. 

O Lema 2.4.3 e a Proposi¸c˜ao 2.4.4 nos dizem que para o espa¸co de medida constru´ıdo no Exemplo 2.4.1 se a aplica¸c˜ao de Riesz (1.4.4) desse espa¸co ´e um isomorfismo ent˜ao os conjuntos C1e C2tˆem ambos cardinalidade igual a

ℵ1. Veremos no cap´ıtulo 4 (Exemplo 4.1.17 e Corol´ario 4.2.9) que a rec´ıproca

tamb´em ´e verdadeira, i.e., se |C1| = |C2| = ℵ1 ent˜ao a aplica¸c˜ao de Riesz

CAP´ıTULO 3

Somas

3.1. Soma externa

Dada uma fam´ılia de conjuntos (Xi)i∈I, a sua uni˜ao disjunta, denotada

por P_i∈IXi, ´e definida por

X i∈I Xi = [ i∈I {i} × Xi
.

Para simplificar a nota¸c˜ao, exceto em situa¸c˜oes em que se possa causar confus˜ao, n´os identificamos cada x ∈ Xi com (i, x), e portanto Xi pode ser

visto (a menos de identifica¸c˜ao) como um subconjunto deP_i∈IXi.

Definic¸˜ao 3.1.1. A soma externa de uma fam´ılia de espa¸cos de me- dida (Xi, Ai, µi)i∈I, denotada por P_i∈I(Xi, Ai, µi), ´e um espa¸co de medida

(X, A, µ) assim definido: • X = P i∈IXi; • A =  A ⊂ X : A ∩ Xi ∈ Ai, para todo i ∈ I ; • µ(A) = P i∈I µi(A ∩ Xi), para todo A ∈ A.

Observamos que a soma externa (X, A, µ) =P_i∈I(Xi, Ai, µi) est´a bem

definida: se para cada i ∈ I, fi : Xi → X ´e a aplica¸c˜ao inclus˜ao, ent˜ao A ´e

a σ-´algebra co-induzida em X pela fam´ılia de fun¸c˜oes (fi)i∈I. Al´em disso,

µ(∅) = P_i∈Iµi(∅ ∩ Xi) = 0 e se (Aj)j≥1 ´e uma seq¨uˆencia de elementos de

A, dois a dois disjuntos, ent˜ao: µ [ j≥1 Aj  =X i∈I µi S_j≥1Aj
∩ Xi  =X i∈I µiS_j≥1(Aj∩ Xi)  =X i∈I X j≥1 µi(Aj∩ Xi) = X j≥1 X i∈I µi(Aj∩ Xi) = X j≥1 µ(Aj).

Portanto a aplica¸c˜ao µ ´e uma medida em X. Observamos ainda que, fixado i ∈ I, se A ⊂ Xi ent˜ao A ∈ A se e somente se A ∈ Ai. Com efeito, se A ∈ A

ent˜ao A = A ∩ Xi ∈ Ai; reciprocamente, se A ∈ Ai ent˜ao A ∩ Xi = A e 87

A ∩ Xj = ∅ para j 6= i, e portanto A ∈ A. Decorre da´ı que µ(A) = µi(A) e

que Ai⊂ A (portanto Xi ∈ A).

Observac¸˜ao 3.1.2. Se (Xi, Ai, µi)i∈I ´e uma fam´ılia de espa¸cos de me-

dida e (X, A, µ) = P_i∈I(Xi, Ai, µi) ´e a sua soma externa ent˜ao, pela Pro-

posi¸c˜ao 1.4.35, uma aplica¸c˜ao f definida em X ´e mensur´avel se e somente se f |Xi ´e mensur´avel para todo i ∈ I.

Proposic¸˜ao 3.1.3. Se (Xi, Ai, µi)i∈I ´e uma fam´ılia de espa¸cos de me- dida e (X, A, µ) =P_i∈I(Xi, Ai, µi) ´e a sua soma externa, ent˜ao:

(a) se cada µi ´e completa ent˜ao µ ´e completa;

(b) se cada µi ´e cheia ent˜ao µ ´e cheia;

(c) se cada µi ´e livre de blocos ent˜ao µ ´e livre de blocos;

(d) se cada µi ´e perfeita ent˜ao µ ´e perfeita.

Demonstrac¸˜ao.

• Prova de (a).

Sejam A ∈ A com µ(A) = 0 e B um subconjunto de A. Se A ∈ A ent˜ao A ∩ Xi ∈ Ai para todo i ∈ I. Portanto, para cada i ∈ I, temos

A ∩ Xi∈ A e µi(A ∩ Xi) = µ(A ∩ Xi) ≤ µ(A) = 0, i.e., µi(A ∩ Xi) = 0.

Como B ∩Xi⊂ A∩Xi e µi´e completa, segue que B ∩Xi ∈ Ai para todo

i ∈ I; portanto B ∈ A, e isso mostra que µ ´e uma medida completa. • Prova de (b).

Seja A ⊂ X e suponhamos que para todo B ∈ A com µ(B) < +∞ o conjunto A ∩ B est´a em A. Fixemos i ∈ I. Se E ∈ Ai e µi(E) < +∞

ent˜ao E ∈ A e µ(E) = µi(E) < +∞; logo A ∩ E ∈ A, e portanto

(A∩Xi)∩E = (A∩E)∩Xi∈ Ai. Como µi´e cheia temos que A∩Xi∈ Ai

para todo i ∈ I, e assim A ∈ A. Portanto µ ´e uma medida cheia. • Prova de (c).

Seja A ∈ A com µ(A) = +∞. Como µ(A) =P_i∈Iµi(A ∩ Xi) temos

que µi(A ∩ Xi) > 0 para algum i ∈ I. Se µi(A ∩ Xi) < +∞ ent˜ao

0 < µ(A ∩ Xi) < +∞, e portanto A n˜ao ´e um bloco infinito para µ. Se

µi(A ∩ Xi) = +∞ ent˜ao, uma vez que µi ´e livre de blocos, existe E ∈ Ai

contido em A ∩ Xi com 0 < µi(E) = µ(E) < +∞, provando novamente

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