Suggestions for future research

3 Method and data

6.2 Suggestions for future research

Esse episódio foi elaborado com o objetivo de mostrar como os alunos trabalham com a derivada de função composta, sendo uma das funções componentes não polinomial. Aqui, também, a comparação dos gráficos das funções,

(

( )

))

' e f'

(

( )

)

, evidencia e desconstrói a idéia de que essas funções poderiam ser iguais. Para a elaboração desse episódio, foram escolhidos alguns diálogos presentes nas discussões das duplas, Victor e Francielle, Lucas e Pedro, por caracterizarem observações acerca da derivada de função composta a partir dos gráficos das funções

(

( )

))

' e f'

(

( )

)

A dupla, formada por Victor e Francielle, ao ser perguntada sobre a expressão algébrica da função composta f

(

( )

)

, dada por seu gráfico, calculou, em uma folha de papel, a sua expressão algébrica, simplificando-a para poder inseri-las no software Winplot.

Apesar dos alunos ainda não saberem como calcular a derivada da função

( )

x sen

( )

g =−3 , ao observarem o gráfico da derivada dessa função, gerado pelo software

Winplot, notaram que poderia ser uma função cosseno, inserindo a função y=−3cos

( )

x e

verificando que gerava o mesmo gráfico.

A dupla fez a combinação f'<−−g, gerando o gráfico da função composta f'

(

( )

)

, conforme Figura 6.21.

Figura 6.21 - Gráfico da função f'

(

( )

)

(laranja).

Victor, depois de observar esse gráfico, inseriu uma expressão algébrica y =2sen

( )

x ,

sem fazer qualquer cálculo escrito, enquanto Francielle fez os cálculos para obter a expressão algébrica, em uma folha de papel, notando que eram as mesmas, conforme Figura 6.22.

Figura 6.22 - Cálculo da função composta f'

(

( )

)

Ao ser pedido para derivar a função composta f

(

( )

)

, pelo comando de derivar do

Figura 6.23 - Gráficos das funções f

(

( )

)

=3cos2

( )

x (verde) e a sua derivada

( )

(

)

[

f g x

]

' =−6cos

( )

x .sen

( )

x (rosa)

Para responderem a pergunta sobre o que eles poderiam observar dos gráficos da função

( )

(

g x

)

f' e

(

( )

))

', deixaram à mostra apenas esses gráficos, conforme Figura 6.24.

Podemos notar que Victor fala da mesma forma f composta com g, para denotar, tanto

( )

(

g x

)

f' quanto

(

( )

))

', somente pelo gráfico é possível observar que ele verifica a diferença.

Francielle tentou, em uma folha de papel, derivar a expressão algébrica da função composta f

(

( )

)

=−3sen2

( )

x +3, escrevendo −3.2cos

( )

x =−6cos

( )

x . Podemos observar que Francielle comete um erro que, segundo a literatura é muito comum, pois ela considerou a regra da potência e a derivada da função seno. Perguntei a Francielle de onde ela tinha tirado aquele 6 e ela respondeu que baixou a potência da função seno.

Francielle comentou algo sobre as derivadas, mas não se lembrava como calcular a derivada da função composta e foi ajudada por Victor.

Francielle: É que eu não estou lembrada mais... se é a derivada de f composta com g...

ou se é essa multiplicada por esta...

Victor: Como era a derivada de f composta com g?

Francielle: Essa daqui [ f'

(

( )

)

=2sen

( )

x ]...

Victor: Seria isso daqui [f'

(

( )

)

=2sen

( )

x ], vezes a g linha [g'

( )

x =−3cos

( )

x ]...

Então seria −6sen

( )

x .cos

( )

x ?

Victor inseriu a função que acabara de falar, constatando que o gráfico obtido era o mesmo, comentando que era o “teorema da prisão”.

Podemos observar que a dupla deslocou-se de uma representação a outra, mesmo não sabendo calcular a derivada de uma função não polinomial. O fato de a dupla ter obtido o gráfico da derivada da função composta, anteriormente aos cálculos algébricos, instigou a busca por uma expressão algébrica, de acordo com o gráfico obtido e a fórmula da regra da cadeia, que eles já haviam tido contato na Atividade 5.

A dupla, formada por Lucas e Pedro, caracterizava-se por achar o computador “impreciso”. Lucas evidenciava não simpatizar com o computador e, na maioria das vezes, iniciava todos os cálculos na folha de papel, mesmo quando a atividade pedia para trabalhar com o software Winplot.

Quando questionados sobre a expressão algébrica da função composta f

(

( )

)

, cujo gráfico foi gerado pelo comando de combinação para composição, Pedro tentou analisa-lo.

Pedro: Uma senóide... Uma cossenóide... Começa no... no... na crista... aqui

[apontou com o mouse o ponto de máximo

( )

0, ] ó... Senóide começaria 3

aqui por baixo [apontando com o mouse o ponto de mínimo, quando a função tocava o eixo x].

Porém, Lucas, sem ao menos observar o gráfico gerado, calculou a expressão algébrica em uma folha de papel, simplificando o resultado.

Lucas: Deu 3cos2

( )

x .

Perguntei se dava isso mesmo, sugerindo que inserissem a expressão obtida.

Lucas: Pelas minhas contas deu isso.

Ao serem perguntados sobre as expressões algébricas das derivadas das funções

( )

3 3 1 2 + − = x x

f e g

( )

x =−3sen

( )

x , Lucas tentou fazer os cálculos em uma folha de papel,

no entanto, ele ainda não havia tido contato com a derivada da função g

( )

x =−3sen

( )

x . Sugeri a eles escreverem o que pensavam ser a função derivada, olhando apenas o gráfico gerado.

Lucas: Eu acho que é -3...

Pedro: Tem a ver com o cosseno, mas...

Lucas escreveu que a derivada da função g era −3cos

( )

x e, ao inserirem essa

expressão, o gráfico se sobrepôs ao gráfico gerado pelo software Winplot.

Observei que Lucas havia tentado calcular a derivada da função seno usando limite, conforme Figura 6.25.

Figura 6.25 - Cálculo de Lucas para calcular a derivada da função seno.

Lucas: Seria legal eu sumir com esse h daqui [referindo-se a variável h no denominador].

Lucas queria demonstrar, por limite, que a derivada da função g

( )

x =3sen

( )

x era

( )

x cos

( )

g' =−3 , porém eles ainda não haviam visto esse limite, pelo que supus.

Ao ser perguntado sobre a expressão algébrica da função composta f'

(

( )

)

, Lucas escreveu a composição em uma folha de papel, obtendo a expressão algébrica

( )

(

g x

)

sen

( )

f' =2 . Ao ser pedido para derivar a combinação de composição, que geraria o gráfico da derivada da função composta

(

( )

))

, Lucas se adiantou e, sem gerar o gráfico pedido, calculou a expressão algébrica, dizendo que havia feito pela regra da cadeia, conforme Figura 6.26.

Figura 6.26 - Cálculo da derivada da função composta f

(

( )

)

=3cos2

( )

x .

Lucas: Aqui... Já achei... Derive a combinação de fog que você obteve no item 1)

Daí eu peguei o item 4) [expressão algébrica da função f'

(

( )

)

=2sen

( )

x ]

e usei a regra da cadeia...

Sandra: Foi direto? Lucas: É.

Pedro derivou a função composta f

(

( )

)

, utilizando o comando do software Winplot para derivar e inseriu a função que Lucas havia obtido, constatando que eram os mesmos gráficos.

Notei que Lucas havia decorado a fórmula da regra da cadeia e, dessa forma, resolvi interferir, reelaborando as perguntas para investigar como ele havia produzido o conhecimento acerca da função composta e regra da cadeia.

Sandra: A sua função composta era 3cos2

( )

x . Como você derivaria essa para chegar aqui? [apontei para a função derivada que ele tinha calculado na folha de papel]. Agora eu só tenho a função composta.

Lucas: Aí eu preciso saber de alguma regrinha.

Sandra: Eu só tenho essa função 3cos2

( )

x , certo? E quero aplicar a regra da cadeia nisso daqui. Como eu faria?

Lucas: Eu não tenho como usar a regra da cadeia.

Sandra: Então como eu derivaria sem usar a regra da cadeia?

Notei que para eles a regra da cadeia apenas poderia ser aplicada se eles tivessem duas funções para serem compostas, ou seja, se as funções a serem compostas fossem dadas a

priori.

Sandra: Dada uma função composta, que é 3cos2

( )

x , como que eu derivo essa função, usando a regra da cadeia?

Lucas: Usando a regra da cadeia? Mas você falou que eu só tenho essa função... eu não tenho como usar a regra da cadeia com essa função.

Sandra: E como eu derivaria então sem usar a regra da cadeia?

Lucas: Não faço a mínima idéia... Se eu derivar o seno dá cosseno. Se eu derivar o cosseno dá seno?

Sandra: Menos seno.

Lucas: Então... aí seria... cairia... Calma aí... Vai ser -seno vezes -seno...

Lucas estava lidando com a função 3cos2

( )

x , e por essa fala, mostrou que derivaria o cosseno duas vezes, aplicando um produto; isto é, para ele, a derivada da função

( )

x cos

( )

x cos

( )

x .cos

( )

x .cos

( )

(

sen

( )

)

(

sen

( )

)

cos = 3− −

3 ] se eu derivar.

Lembrei-lhe que, neste caso, ele estaria derivando cada uma das funções, obtendo um produto.

Lucas: Isso. É um produto. Não posso fazer isso?

Expliquei-lhes que a derivada do produto era calculada de outra forma, acrescentando ainda que a derivada do produto não seria o produto das derivadas.

Sandra: Isso aqui é uma função composta [apontei para a função 3cos2

( )

x ]. Como é

que eu posso decompor essa função em duas funções conhecidas?

Lucas: Humm, verdade!

Lucas fez algumas tentativas de encontrar funções que ele poderia decompor.

Lucas: Uma vai ser... é... x3 e a outra vai ser cos2

( )

x [escrevendo na folha de papel].

Lucas percebeu que, da mesma forma, não seria possível e começou a fazer as substituições de outra maneira. Lucas escreveu f

( ) (

x = 3.cosx

)

.x e g

( )

x =cosx, o que foi contestado por Pedro.

Pedro: Não, pera aí... Não, não.

Lucas: Aí eu faço isso e pronto. Aí eu consigo derivar tudo... fazer ficar tudo bonitinho.

Lucas escreveu novamente a função decompondo-a em f

( )

x =3x2 f'

( )

x =6x e

( )

x cos

( )

g = , e aplicou uma tentativa que ele chamou de regra da cadeia. Apesar de ele ter escrito f

(

( )

)

', ao tentar calcular, escreveu f

(

( )

)

'= f'

(

cosx

)

e como ele havia calculado a derivada da função f, escreveu f

(

( )

)

' =6cos

( )

x , que não era o resultado

Lucas: Que não deu o que está ali.

Perguntei o que estava faltando para ser regra da cadeia.

Lucas: Ah é verdade, nossa! A derivada disso daqui, que é −sen

( )

x . Aí vai ficar

( )

x .cos

( )

x sen

− .

Podemos notar que Lucas e Pedro eram avessos ao uso do computador preferindo utilizar somente uma abordagem algébrica. No entanto, ao se depararem com a decomposição de uma função composta se confundiram nos cálculos sendo necessária a minha intervenção, embora soubessem a fórmula da regra da cadeia.

Podemos notar, nesse episódio que, embora os alunos não soubessem calcular derivada de uma função trigonométrica, não tiveram dificuldade em analisar seu gráfico obtido pelo comando do software Winplot. Os alunos tinham uma noção do formato dos gráficos obtidos e, a partir deles, tentavam obter sua expressão algébrica, confrontando as representações gráficas e algébricas para o desenvolvimento da atividade proposta. O fato de apenas terem visto a fórmula da regra da cadeia, em uma das atividades anteriores, não foi suficiente para se lembrarem dela. Foi necessária a comparação dos gráficos das funções f'

(

( )

)

( )

(

)

(

f g x

)

', gerados pelo comando do software Winplot, para que fosse estabelecida uma relação entre a derivada da função composta com a fórmula da regra da cadeia. Embora a abordagem algébrica ainda tenha sua supremacia, ficou claro que somente seu uso pode evidenciar apenas uma manipulação de símbolos. Foi necessária a confrontação das representações algébricas e gráficas para que houvesse a produção do conhecimento acerca da regra da cadeia.

In document Trust and the future of financial intermediation (sider 72-94)