Substance use disorders and treatment

Nesta seção, serão descritos a metodologia de estimação bayesiana e os dados utilizados para fins de análise empírica.

Os métodos bayesianos têm sido muito utilizados ultimamente para estimação de parâmetros estruturais de modelos dinâmicos de equilíbrio geral estocástico (DSGE). Exemplos de aplicação recentes dessa abordagem a modelos DSGE são encontrados em Schofheide (2000), Smets e Wouters (2003), Lubik e Schorfheide (2004) e Khan e Tsoukalas (2009). Recentes trabalhos didáticos sobre o uso de estimação bayesiana em modelo DSGE foram publicados por An e Schorfheide (2007), Fujiwara, Hirose e Shintani (2008), Fernández-Villaverde (2009). Para referências mais avançadas sobre o assunto, recomenda-se consultar Paulino, Turkman e Murteira (2003), Bolstad (2007) e Rachev et al (2008).

De acordo com An e Schorfheide (2007), o uso da econometria bayesiana apresenta a vantagem de permitir a estimação completa do sistema DSGE, contrariamente ao Método dos Momentos Generalizados (GMM), que é baseado numa particular relação de equilíbrio do modelo. A estimação bayesiana incorpora à análise informações a priori, que são usadas como ponderadores no processo de estimação das distribuições posteriores. Segundo Paulino, Turkman e Murteira (2003), o conjunto de informações a priori é baseado em crenças que não se esgotam nos limites da modelagem considerada no problema, o que constitui um avanço em relação à inferência clássica. O uso de priors facilita o processo de identificação dos parâmetros, evitando casos de parâmetros com valores implausíveis. Finalmente, a estimação bayesiana atribui os erros de especificação aos choques exógenos nas equações estruturais, os quais podem ser interpretados como erros de observação.

Griffoli (2007) considera que a estimação bayesiana constitui uma ligação entre a calibragem e a estimação dos parâmetros estruturais do modelo por máxima verossimilhança. De fato, calibragem é uma maneira de especificar priors sem levar em consideração

informação amostral contida em dados, enquanto a estimação por máxima verossimilhança está baseada na confrontação do modelo com os dados, não considerando informações não amostrais (priors).

De acordo com Fernández-Villaverde (2009), o modelo apresentado na seção (2.2) pode ser resolvido por meio do uso de técnicas de solução numérica. Desse modo, a solução do modelo pode ser representada na forma de espaço de estado:

(39) (40) em que , e representam matrizes de coeficientes, em forma reduzida, que são função não linear dos parâmetros estruturais do modelo; denota um vetor de variáveis endógenas do modelo; é um vetor de variáveis exógenas, que originam as perturbações do modelo; é o vetor de variáveis observáveis no período , usado para estimação dos parâmetros do modelo. Efetivamente, a Equação (39) representa uma função que governa o processo de transição de estados, ou seja:

(41) em que é o estado, são perturbações do modelo e Θ é um vetor de parâmetros.

O método de estimação bayesiana adiante descrito é baseado em An e Schorfheide (2007). Inicialmente, assume-se que as distribuições a priori são descritas por uma função de densidade da forma:

(42) em que é um vetor que contém os parâmetros estruturais, os quais serão estimados a partir de uma base de dados para o modelo apresentado na seção (2.2). Desse modo, é uma função de densidade de probabilidade que representa a crença dos analistas sobre a distribuição de probabilidade em torno do ponto em que se acredita estar localizado cada parâmetro. As distribuições normal, beta, gama, gama inversa e uniforme são mais frequentemente utilizadas na estimação de modelos DSGE.

A função de máxima verossimilhança, que estima a densidade dos dados observados, conhecido o modelo e seus parâmetros estruturais, é definida por:

(43) em que o vetor , ... , contém os dados usados na estimação do modelo.

Usando o teorema de Bayes, pode-se combinar a densidade a priori e a função de verossimilhança para obtenção da densidade a posteriori, que é dada por:

em que o denominador, , é a função de densidade marginal dos dados condicional ao modelo. Conforme salienta Bolstad (2007), em análise bayesiana, essa função constitui uma medida de ajustamento do modelo aos dados. A Equação (44) permite que sejam estimados todos os momentos de interesse da distribuição a posteriori dos parâmetros.

O processo de estimação bayesiana do modelo envolveu observações trimestrais do produto interno bruto, formação bruta de capital fixo e operações de crédito aos setores público e privado com recursos livres. A amostra compreende o período de setembro de 1995 a setembro de 2009. Nesse período, a economia brasileira apresentou satisfatória estabilidade macroeconômica e os efeitos de ajustamentos decorrentes do Plano Real já tinham sido dissipados. Os dados foram filtrados pela aplicação do filtro estocástico de Hodrick-Prescot (HP), com parâmetro de suavização em 1.600, conforme recomendado por Hodrick-Prescott (1980) para frequência trimestral nas observações. As estimações foram implementadas no Dynare para Matlab.

A distribuição a priori dos parâmetros do modelo foi definida para dados trimestrais, levando em consideração o histórico recente da economia brasileira. Em caráter suplementar, utilizou-se a parametrização utilizada em outros trabalhos acadêmicos.

O fator de desconto intertemporal foi definido de modo a gerar uma taxa de juros livre de risco de 6,23% ao ano, que corresponde ao rendimento real das aplicações financeiras em caderneta de poupança e fundos de renda fixa. Assim sendo, o parâmetro β terá média 0,985 e variância 0,004. Para que a estimativa de se situe entre zero e um, Karagedikli et al (2007) recomendam a adoção de uma distribuição beta.

Os parâmetros da função utilidade das unidades familiares foram definidos como

; ; e , respectivamente, que são valores médios comumente

utilizados na literatura de RBC, conforme registrado em Canova (2007), McCandless (2008) e Lim e McNelis (2008).

O prior da taxa de depreciação do capital foi definido por uma distribuição beta com média 0,02 e desvio-padrão de 0,005. Esses parâmetros são próximos dos utilizados por Karagedikli et al (2007) e Fernández-Villaverde (2009).

Seguindo Teles e Andrade (2006), adotou-se uma distribuição beta com média de 0,36 e desvio-padrão de 0,005 para a participação do capital na renda. Para o parâmetro de participação dos depósitos na produção de operações de crédito, foi considerada uma distribuição beta com média 0,9 e desvio-padrão de 0,02. Isso corresponderia a uma exigência

de capital próprio dos bancos em torno de 11%, conforme prevê a regulação prudencial brasileira. Os demais são parâmetros de escala e seguem a literatura padrão de RBC.

A distribuição a posteriori dos parâmetros foi obtida por avaliação numérica, usando o algoritmo de Metropolis-Hastings4. Foram realizadas cinco mil replicações com descarte das 20% iniciais com vistas a melhorar a convergência das estimativas. Os resultados são apresentados na Tabela 3.

Tabela 3 – Distribuição a priori e distribuição a posteriori dos parâmetros do modelo.

Parâmetro _{Distribuição a priori Distribuição a posteriori}

Distribuição Média DP Média DP Intervalo de confiança Fator de desconto

intertemporal Beta 0,985 0,004 0,972 0,005 0,965 0,980

Inverso da elasticidade de Frich

Gama 0,110 0,020 0,103 0,003 0,067 0,128 Aversão ao risco Gama 0,800 0,020 0,652 0,017 0,521 0,792 Fator de preferência pelo

lazer Gama 3,500 0,040 3,514 3,430 3,578 0,046

Participação do capital no

produto Beta 0,360 0,005 0,324 0,004 0,299 0,354

Depreciação de capital Beta 0,020 0,005 0,024 0,006 0,014 0,032 Participação do depósito no

crédito Beta 0,900 0,020 0,881 0,018 0,850 0,909

Custo de default Gama 2,500 0,050 2,496 0,054 2,409 2,587 Custo de ajustamento de

capital

Gama 20,000 0,400 19,81 0,433 19,30 20,63

A média do fator de desconto estimado ficou em 0,972, que corresponde a uma taxa de juros real de 12% ao ano. O intervalo de confiança obtido permite que se trabalhe com juros reais entre 8,4% a.a. e 15,3% a.a., o que se ajusta bem às condições da economia brasileira no período analisado. Esse resultado é bastante próximo do encontrado por Silveira (2008), que estimou o parâmetro para a economia brasileira, usando técnicas bayesianas e dados do período de 1999-2005. Em base anual, o referido autor obteve uma distribuição a posteriori caracterizada pela média 0,92 com intervalo de confiança situado entre 0,87 e 0,95, o que corresponde a taxas de juros anuais entre 5,3% e 14,9%. Para dados de consumo de frequência trimestral (período de 1975-1994) e usando uma função utilidade CRRA, Issler e Piqueira (2000), estimaram, pelo Método dos Momentos Generalizados (GMM),

para a economia brasileira. Esses resultados sugerem que o consumidor brasileiro é impaciente e somente aceita transferir consumo para o futuro caso a taxa de juros real seja superior a 12% ao ano.

No gráfico 3, coteja-se a distribuição a priori dos parâmetros relativamente à distribuição a posteriori estimada. Nota-se, pois, que os dados contribuem no fornecimento de informações relativamente aos parâmetros: participação do capital no produto cujo prior foi definido em 0,36 e a média estimada da distribuição a posteriori alcançou 0,324; o coeficiente de aversão ao risco foi estimado em 0,652. Esse último resultado é próximo do valor de 0,62 encontrado por Issler e Piqueira (2000) para a economia brasileira, usando estimação GMM.

Gráfico 3. Distribuição a priori e distribuição a posteriori dos parâmetros do modelo.

A taxa de depreciação do capital foi estimada como 2,4% ao trimestre, ou seja, 20% acima do valor do prior fornecido. Esse resultado não se afasta dos valores usualmente encontrados na literatura internacional. Empregando métodos bayesianos, Almeida (2009) estimou em 2,5% a taxa de depreciação de capital da economia portuguesa. Para dados da União Européia, Gerali et al (2010) obtiveram uma estimativa de 2%. Totzek (2008) calibrou em 2% a depreciação de capital no modelo novo keynesiano que desenvolveu para estudar corrida bancária.

O parâmetro de participação do depósito na produção de crédito, estimado em 0,881, é indicativo que o índice de Basiléia da indústria bancária brasileira de equilíbrio de longo prazo é de 13,5%. Esse resultado sugere que o capital excedente dos bancos situa-se 22,7% acima do capital regulamentar mínimo determinado pela supervisão bancária.