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2.5 Subsidies to wind power
A abordagem bivariada pode ser levada a efeito no contexto da determinação do risco da receita agrícola pelo uso da distribuição normal bivariada, considerando que as distribuições de preço e produtividade podem ser aproximadas pela normal. Caso necessário, pode-se também proceder transformações nas variáveis para garantir a aproximação da distribuição da receita bruta pela normal.
Outro modo de analisar o risco da receita é considerar que preços e produtividades exibem distribuições marginais distintas, com assimetria, e implantar um
método mais robusto que relacione essas distribuições, permitindo que os desvios sejam não normais.
Entretanto, no presente trabalho, o comportamento das variáveis produtividade e preço permitiu a utilização da primeira abordagem, assumindo-se que essas variáveis têm distribuição normal bivariada, pressuposição igualmente adotada por Coble, Heifner e Zuniga (2000). Essa distribuição é computacionalmente menos intensiva, é matematicamente tratável e sua utilização permite a extração de resultados consistentes, por meio de procedimento parcimonioso.
Segundo Johnson e Wichern (2007), a distribuição normal exerce um papel fundamental na análise multivariada, pois, embora os dados não tenham um comportamento exatamente normal, a densidade normal é usada com frequência na aproximação da distribuição verdadeira da população.
A densidade normal multivariada é uma generalização da densidade normal univariada, com p ≥ 2 dimensões. O expoente da função de densidade normal univariada mede o quadrado da distância de a em unidades de desvio, conforme se apreende da equação seguinte:
(36)
É possível generalizar essa situação, passando-se de um vetor de observações para um problema com inúmeras variáveis, tal como:
(37) O vetor de representa o valor esperado do vetor aleatório , e a matriz Σ de dimensão é a matriz de variância e covariância de , que é simétrica e positiva definida. Assim, pode-se concluir que a expressão (37) é o quadrado generalizado da distância de a .
A função de densidade normal multivariada é obtida pela substituição da distância univariada da eq. (36) pela distância generalizada multivariada da eq. (37) na função de densidade e probabilidade (univariada). Depois da substituição, a constante univariada de normalização deve ser alterada para uma constante mais genérica que determina o volume sob a superfície da função de densidade multivariada para qualquer dimensão .
Isso é necessário porque no caso multivariado as probabilidades são representadas pelos volumes sob a superfície da região definida pelo intervalo dos valores de . Assim, com a constante e um vetor aleatório de [ ] de dimensão , pode-se assumir que a função de densidade normal multivariada tem a forma:
(38)
Considera-se que e . A densidade normal multivariada é denotada por Np (μ,Σ), formulação análoga à da função de densidade normal univariada.
A função de densidade bivariada é o caso mais simples da função multivariada. Considerando o caso = 2, tem-se , , , e √ √ , e a função densidade normal bivariada assume a seguinte forma: √ { [ √ √ √ √ ]} (39)
Para calcular as probabilidades é preciso obter a densidade condicional da distribuição normal bivariada. Assim, a densidade condicional de , dado que , para uma distribuição bivariada é definida por:
(40) Considerando que é a distribuição marginal de , dividindo-se por , com as devidas manipulações algébricas67, obtém-se a densidade condicional por meio da eq. (41):
√ √ ( )
[
] (41)
Portanto, a distribuição condicional de , dado que , é .
Para avaliar a normalidade da distribuição bivariada, Johnson e Wichern (2007) recomendam a análise do quadrado generalizado das distâncias e a avaliação gráfica por meio da plotagem das distâncias versus as probabilidades dos quantis.
A avaliação pelo quadrado generalizado das distâncias é um procedimento que envolve o cálculo das distâncias ( ̅) ̅), para j=1, 2,....n. As distâncias calculadas são comparadas contra os quantis da distribuição qui-quadrado. Se aproximadamente metade das distâncias calculadas ( forem menores ou iguais à estatística dos quantis ( ) com , a normalidade é indicada.
A segunda forma de avaliar a normalidade é por meio gráfico, plotando as distâncias ( ordenadas contra as respectivas probabilidades dos quantis, sendo que, se a linha for aproximadamente reta, com inclinação igual a 1, pode-se concluir pela normalidade bivariada.
Como as avaliações propostas acima exigem séries contemporâneas de mesmo comprimento, as avaliações recomendadas por Johnson e Wichern (2007) não foram utilizadas, pois a produtividade tem periodicidade anual com 32 observações e as séries de preços são bem mais curtas. O indicador de preço de soja ESALQ/BM&FBOVESPA teve início em março de 2006. A transformação da série de preços para periodicidade anual implicaria séries contemporâneas muito curtas, o que não solucionaria o problema.
Dessa maneira, foi realizada a avaliação prévia individualizada das variáveis para verificar a sua adequação à forma funcional da normal bivariada. A normalidade foi avaliada pelo teste de Jarque-Bera e pela análise gráfica, sobrepondo à distribuição de frequência dos dados uma curva de densidade estimada com o Kernel como ponderador e a curva característica da distribuição normal, conforme sugestão de Bueno (2008).
O teste de Jarque-Bera verifica se os momentos da série de dados são iguais ao da distribuição normal, testando em conjunto, por meio da hipótese nula, que a assimetria é igual a zero e a curtose é igual a três. É importante observar que a rejeição da hipótese nula indica não-normalidade, porém a não rejeição não indica a normalidade, mas a indicação de que o terceiro e o quarto momentos da distribuição empírica coincidem com os da distribuição normal. Aplica-se o teste por meio da estatística abaixo:
[ ̂ ]
[ ̂
] → (42)
Outro aspecto a considerar é que, em caso de rejeição da normalidade, transformações nas variáveis para aproximar à normal podem ser realizadas, a fim de viabilizar maior simetria sobre a média e melhorar as propriedades da distribuição. As transformações usuais nesses casos, para transformar a escala, incluem raiz quadrada de , logaritmo de , , dentre outras.
A aplicação da metodologia de simulação pela normal bivariada proposta no estudo foi implementada por um algoritmo de Quasi-Monte-Carlo, descrito detalhadamente em Genz (1992). A simulação de Quasi-Monte-Carlo é a própria simulação de Monte Carlo, mas utilizando uma sequência quase aleatória, também chamada de sequência de baixa discrepância, ao invés de pseudonúmeros aleatórios (abordagem univariada). Na maior parte dos casos, essa sequência de baixa discrepância aprimora o desempenho da simulação de Monte Carlo. A aplicação das principais funções e rotinas utilizadas no estudo são apresentadas em Genz et al. (2012).
Para viabilizar a análise multivariada e contornar o problema da periodicidade e extensão da série de dados, nas simulações pela normal bivariada também foram geradas 20.000 observações de produtividade e preço, mas com a incorporação da estrutura de dependência das variáveis, por meio da matriz de variância e covariância. Para a decomposição das raízes da matriz de variância e covariância, utilizou-se o método de decomposição de Cholesky.
Após a obtenção dos vetores correlacionados de produtividade ( ) e preço ( , para cada município, eles foram multiplicados para calcular a receita bruta ( ). Em seguida, com base nos níveis de cobertura, calculou-se a probabilidade de perda ( e a esperança de perda [ ], para se calcular o prêmio de seguro , lembrando que os subescritos e indicam, respectivamente, seguro de receita e o nível de cobertura do prêmio calculado.
Conforme discutido na revisão de literatura, a probabilidade de perda ( está condicionada pelos respectivos valores de e que definem , considerando que é definido pela multiplicação de e . Como anteriormente destacado, a probabilidade é, desse modo, condicionada: . A equação que expressa a forma de cálculo adotada é a da eq. (29), que com pequenas modificações pode ser reescrita como:
( ) [ ( | )] (43) Assim, a eq. (43) é utilizada para o cálculo da taxa de prêmio de seguro de receita [ ], considerando a distribuição conjunta de probabilidade de preço e produtividade. Os procedimentos estatísticos para calcular essas probabilidades são bastante variados e esse é justamente o ponto crítico para o adequado cálculo do prêmio atuarialmente justo.