Structural Analysis by the Finite Element Method

Para implementação do critério de ruptura de Mohr-Coulomb para o concreto, abordado neste trabalho, apresenta-se, na seqüência, a documentação básica relativa ao código computacional para análise estática linear e não-linear física de vigas de concreto armado. Merece destaque o código relativo ao cálculo propriamente dito, visto que os códigos relativos à leitura e saída de dados, sub-rotinas auxiliares e gerenciador principal, que fazem parte do programa computacional FEISdec, não têm papel relevante no contexto deste trabalho.

5.1 – Esquema geral de cálculo

O fluxograma referente ao esquema geral de cálculo é ilustrado na figura 5.1, sendo que cada bloco contém o nome de uma sub-rotina específica, cuja função é descrita no item 5.2 deste trabalho.

O procedimento principal consiste na subdivisão do carregamento em um número conhecido de incrementos, sendo que à medida que a força vai sendo incrementada, efetua-se o cálculo dos deslocamentos, com conseqüente cálculo das deformações e das tensões em cada elemento, para posterior aplicação do critério. Caso seja verificada a ruptura do elemento é feita uma mudança do módulo de elasticidade de forma individual para posterior armazenamento dos deslocamentos nodais.

I

Figura 5.1 – Fluxograma do esquema geral de cálculo

INICIA VARIÁVEIS CÁLCULO

MONTAGEM DO VETOR IPOS

1 ATÉ Nº DE PASSOS DE CARREGAMENTO

INCREMENTAR FORÇA

FORÇAS RESTAURADORAS

CÁLCULO RESÍDUO MATRIZ GLOBAL ESTRUTURA

ETAPA DE TRIANGULARIZAÇÃO ETAPA DE SUBSTITUIÇÃO

ETAPA DE RETRO-SUBSTITUIÇÃO

CORRETOR DESLOCAMENTOS

STRAIN-STRESS ELEMENTO

ARMAZENA RESULTADOS FINAIS

F

5.2 – Descrição das sub-rotinas

As descrições das sub-rotinas referentes ao fluxograma da figura 5.1 são apresentadas a seguir.

¾ Sub-rotina INICIA VARIÁVEIS CÁLCULO

Essa sub-rotina tem a função de atribuir valores iniciais às variáveis utilizadas no cálculo.

¾ Sub-rotina MONTAGEM DO VETOR IPOS

A técnica de armazenamento da matriz de rigidez utilizada no programa FEISdec é denominada de altura efetiva de coluna ou skyline. Essa técnica corresponde a armazenar dentro de um vetor de trabalho principal as colunas da parte triangular superior da matriz e os elementos da diagonal principal, a partir do primeiro elemento não nulo de cada coluna. Esse armazenamento é feito em forma seqüencial por coluna, de cima para baixo.

Para esse tipo de armazenamento é necessária ainda a construção de um vetor auxiliar que indique, dentro do vetor de trabalho principal, as posições dos elementos da diagonal principal da matriz de rigidez, sendo tal vetor auxiliar denominado de vetor “IPOS”.

¾ Sub-rotina INCREMENTAR FORÇA

Essa sub-rotina tem a função de atualizar o valor das forças externas

~ E

¾ Sub-rotina FORÇAS RESTAURADORAS

Calcula o valor das forças restauradoras por meio do produto matricial

~ ~ k

D

K , após montagem da matriz de rigidez

secante da estrutura. Cabe ressaltar que por se tratar de análise linear geométrica, a matriz secante é igual à matriz de rigidez tangente.

¾ Sub-rotina CÁLCULO RESÍDUO

Calcula o valor do resíduo das forças estáticas não equilibradas. Caso o resíduo seja maior que a tolerância imposta pelo usuário dá-se continuidade ao processo de cálculo, caso contrário incrementa-se novamente a força aplicada.

¾ Sub-rotina MATRIZ GLOBAL ESTRUTURA

Monta a matriz global da estrutura a partir da matriz tangente de cada elemento, conforme visto no capítulo 3, utilizando-se a técnica de expansão e acumulação.

¾ RESOLUÇÃO SISTEMA

A resolução do sistema é feita utilizando-se o método de Cholesky, que decompõe o sistema em duas matrizes triangulares, uma superior e outra inferior, possibilitando a substituição e retro-substituição do sistema para obtenção dos acréscimos dos deslocamentos requeridos para cada incremento de carregamento.

¾ Sub-rotina CORRETOR DESLOCAMENTOS

Realiza a correção dos deslocamentos

~ k

D por meio da soma

acumulativa de todos os deslocamentos obtidos para cada incremento de carregamento.

¾ Sub-rotina STRAIN-STRESS ELEMENTO

Calcula os valores das deformações e das tensões de cada elemento.

¾ Sub-rotina CRITÉRIO DE MOHR-COULOMB

Depois de calculadas as tensões de cada elemento de concreto, são calculadas as tensões principais, para aplicação do critério de ruptura de Mohr-Coulomb, como descrito no item 4.2.2 deste trabalho. Caso seja verificada a ruptura do elemento é feita uma mudança do módulo de elasticidade de forma individual para posterior armazenamento dos deslocamentos nodais.

¾ Sub-rotina ARMAZENA RESULTADOS FINAIS

Essa sub-rotina tem a função de armazenar os resultados obtidos ao final da aplicação de cada incremento de carregamento.

Neste capítulo são elaborados exemplos contemplando o estudo do comportamento estático linear e não-linear de vigas de concreto armado, utilizando o elemento finito prismático regular linear. No primeiro exemplo é testada a eficiência do elemento, submetendo uma estrutura a dois tipos diferentes de carregamentos, efetuando o refinamento da malha quando necessário. No segundo exemplo é considerada a não-linearidade física do concreto, utilizando o critério de ruptura de Mohr- Coulomb, sendo que para o aço é admitida uma relação constitutiva elástica linear. Os resultados obtidos por meio desse exemplo são comparados com os resultados numéricos e experimentais obtidos por outros pesquisadores.

Para a resolução dos exemplos foi utilizado o programa computacional FEISdec.

6.1 – Exemplo 1

6.1.1 – Primeiro caso

Para testar a eficácia do elemento finito prismático regular linear, quando submetido a esforço normal, foi feita a simulação de uma viga engastada em uma das extremidades com forças aplicadas em cada um dos nós da extremidade livre. Para tanto, considerou-se inicialmente a viga composta por apenas um elemento, com um esforço normal total aplicado de 20,0 kN, ou seja, 5 kN por nó, conforme mostrado na figura 6.1.