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2.1 Digital Twin
Neste capítulo vamos expor alguns resultados obtidos na década de 90 apresentados em [6], como condições necessárias e suficientes para otimalidade de problemas sem restriçõ- es, uma definição de derivada direcional generalizada de segunda ordem, uma definição de Hessiana generalizada, assim como, uma versão para a expansão de Taylor envolvendo análise não suave. Além disso, vamos expor um resultado que está em [7], o qual é con- siderado uma generalização da expansão de Taylor citada em [6] e uma representação para a derivada direcional generalizada de segunda ordem dada em [6]. Finalizaremos este capítulo com uma discussão geral sobre o trabalho [9] .
Primeiramente, exibiremos os conceitos de função C1,1 e de derivada no sentido de
Gâteaux e Fréchet, para funções definidas em espaços vetoriais normados denotados por X, os quais serão constantemente utilizados.
Definição 5.1.1. Dado um espaço normado X, dizemos que uma função f : X → R é diferenciável no sentido de Gâteaux (ou Gâteaux diferenciável) em x ∈ X se o limite
lim
t↓0
f (x + tv)− f(x)
t , (a)
5.1 Discussões preliminares. 150
Gâteaux) tal que
f′(x, v) =∇f(x), v , para todo v ∈ X. (b)
Se (b) ocorre para todo x ∈ X e a convergência em (a) é uniforme com respeito a v em um subconjunto limitado de X, dizemos que f é diferenciável no sentido de Fréchet (ou Fréchet diferenciável) em x.
No caso em que X = Rn podemos tomar a derivada ∇f(x) em ambos os casos acima,
como o gradiente no sentido clássico.
Definição 5.1.2. Dizemos que uma função f : X → R é C1,1 se ela é Gâteaux diferen-
ciável tal que a sua derivada seja localmente Lipschitz, ou seja, para cada x ∈ X existe uma vizinhança V de x, uma vizinhança U de 0 e uma constante k > 0 tal que
∇f(y) − ∇f(z), v ≤ k|y − z|, ∀v ∈ U e ∀y, z ∈ V.
R. Cominetti e R. Correa definiram em [6] a derivada direcional de segunda ordem generalizada da função f : X → R , sendo X um espaço vetorial normado, em x na direção (u, v) ∈ X × X dada por
f∞(x, u, v) = lim sup
y→x s,t↓0
[f (y + tu + sv)− f(y + tu) − f(y + sv) + f(y)]
st .
Através das derivadas direcionais, é possível representar f∞(x, u, v), como mostra o
seguinte resultado
Proposição 5.1.1. (Proposição 1.3 em [6]) Seja f : X → R uma função contínua que admite derivada direcional f′(y; w) = lim
t↓0 f (y+tw)−f (y) t em todo y = x. Então, f∞(x, u, v) = lim sup y→x, t↓0 f′(y + tu; v)− f′(y; v) t ,
sendo que, y e t são tomados de modo que f′(·; v) exista em y e em y + tu.
Com essa definição de derivada direcional de segunda ordem generalizada, eles intro- duziram um conceito de Hessiana generalizada utilizando a multifunção
5.1 Discussões preliminares. 151
∂2f (x) : X ⇒ X∗, dada por
∂2f (x)(u) = {x∗ ∈ X∗ :x∗, v ≤ f∞(x, u, v), ∀v ∈ X} . sendo ∂2f (x) : X ⇒ X∗, a Hessiana generalizada de f em x.
O conjunto ∂2f (x)(u) é um conjunto convexo e fechado na topologia fraca w∗.
As duas próximas definições, são necessárias para entender as condições de otimalidade e uma versão da expansão de Taylor citados pelos autores.
Definição 5.1.3. Uma função f : X → R é dita ser duas vezes C-diferenciável se f∞(x, u, v) = S∂2f (x)(u), v= supx∗, v : x∗ ∈ ∂2f (x)(u).
Definição 5.1.4. A multifunção ∂2f (x) : X ⇒ X∗ é dita ser definida positiva(p.d)
[respectivamente, fracamente definida positiva (w.p.d)] se sua função suporte satisfaz −S (∂2f (x)(u),−u) ≥ 0 [respectivamente, S (∂2f (x)(u), u) ≥ 0], ∀u ∈ X.
Se a desigualdade acima é estrita então, dizemos que é estritamente (p.d) [respectiva- mente, estritamente (w.p.d)].
Proposição 5.1.2. (Proposição 4.1 em [6]) Seja f : X → R uma função continuamente Gâteaux diferenciável e duas vezes C- diferenciável sobre o segmento [x, y] ⊂ X. Então, existe ξ ∈]x, y[ tal que
f (y)∈ f(x) + ∇f(x), y − x + 1 2∂
2f (ξ)(y− x), (y − x),
sendo o fecho acima supérfluo caso a função seja C1,1 sobre [x, y].
A seguinte questão foi deixada pelos autores em [6]
" Considerando f uma função não-suave, em que situação podemos substituir ∇f(x) pelo gradiente generalizado de Clarke?” que foi respondida em [7] .
Além de fornecer uma versão para a expansão de Taylor, Cominetti e Correia fornece- ram significativas contribuições para a área da otimização, pois considerando f : X → R e o problema de otimização sem restrição
(P ) Minimize{f(x) : x ∈ X},
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Proposição 5.1.3. (Proposição 5.1 em [6]) Uma condição necessária para que x∈ X seja uma solução de (P) é que f∞(x, u, v)≥ 0. Se f é uma função duas vezes C-diferenciável
em x, essa condição corresponde a ∂2f (x) ser (w.p.d).
Além disso, forneceram também uma condição suficiente de segunda ordem para o caso em que X = Rn dada pela seguinte proposição
Proposição 5.1.4. (Proposição 5.2 em [6]) Suponha que f : X→ R é C1,1 e que x ∈ X
satisfaz a condição de primeira ordem ∇f(x) = 0. Então, uma condição suficiente para que seja um minimizador local estrito de f e que ∂2f (x) seja estritamente (p.d).
Em 1994 foi publicado [7]. Esse trabalho é considerado uma extensão de [6], pois além de ter, como já antecipamos, respondido a questão deixada por Cominetti e Correia em relação a expansão de Taylor, também forneceu uma representação para a derivada direcional de segunda ordem generalizada f∞(x, u, v), por meio de hipótese mais simples.
Para compreendermos como foram obtidos esses resultados se faz necessário a seguinte definição.
Definição 5.1.5. Sejam X um espaço vetorial e f : X → R uma função. Denotamos as derivadas direcionais superior e inferior de primeira ordem de Dini na direção v ∈ X, respectivamente, por D+f (x; v) = lim sup t↓0 f (x + tv)− f(x) t , D+f (x; v) = lim inf t↓0 f (x + tv)− f(x) t .
Se X = R e v = 1 nós escrevemos D+f (x) para D+f (x; v) e similarmente, D
+f (x) para
D+f (x; v).
Proposição 5.1.5. (Proposição 1.4 em [7]) Dada uma função f : X → R contínua, sejam x, u, v ∈ X e suponha que D+f (·, u) e D
+f (·, u) são finitas próximas de x. Então
f∞(x, u, v) = lim sup y→x, t↓0 D+f (y + tv, u)− D+f (y, u) t = = lim sup y→x, t↓0 D+f (y + tv, u)− D+f (y, u) t .
5.1 Discussões preliminares. 153
exigidas por Cominetti e Correia pois, eles exigiram que f admitisse derivadas direcionais em todo y = x. Porém nem todas as funções que são contínuas admitem derivadas em todos os pontos y = x. Por exemplo, se considerarmos o conjunto ]0, 1
2π], tomando xk= 1 2kπ então, ]0, 1 2δ] = ∞ 6 k=1 [xk+1, xk].
Defina f [0,2π1 ]→ R da seguinte maneira,
f (0) = 0 = f (xk) e f (x) = (x− xk+1)(xk− x)sen 1 (x− xk+1) se x ∈]xk+1, xk[. Note que lim t↓0 f (xk+1+ t)− f(xk+1) t = limt↓0 (xk+1+ t− xk+1)(xk− xk+1− t)sen 1 (xk+1+t−xk+1) t = = lim t↓0 t(xk− xk+1− t)sen 1 t t = limt↓0(xk− xk+1− t)sen 1 t = (xk− xk+1) lim t↓0 sen 1 t , porém, não existe lim
t↓0 sen
1
t
. Assim, tomando w = 1, fica provado que mesmo f sendo contínua, não existe lim
t↓0
f (x+tw)−f (x)
t , para todo x = xk.
Como na Proposição 5.1.5 é exigido apenas que D+f (·; u) e D
+f (·; u) sejam finitas
próximas de x, dizemos que a Proposição 5.1.5 é uma generalização da Proposição 5.1.1.
Para responder a pergunta deixada em [6] relacionada a expansão de Taylor generaliza- da, foram introduzidas em [7] novos conceitos de derivadas direcionais de primeira ordem generalizadas, isto é, dados a, x, u, v ∈ X e f : X → R temos as seguintes definições de derivadas direcionais de primeira ordem generalizadas
f◦+a(x; u) = lim sup λ,s↓0
f (x + λa + su)− f(x + λa)
s ,
f◦−a(x; u) = lim sup λ↑0, s↓0, λ+s≤0
f (x + λa + su)− f(x + λa)
s .
Além dessas definições foram introduzidas mais algumas novas definições de derivadas direcionais de primeira ordem generalizadas assim como, novas definições de derivadas direcionais de segunda ordem generalizadas em [7]. Utilizando as definições acima, a resposta que Cominetti e Correia procuravam foi dada através da seguinte proposição. Proposição 5.1.6. (Teorema 3.3 em [7]) Seja f : [x, y] → R uma função contínua,