Sejam K um corpo e v : K∗ → (Γ, +, ) uma valoriza¸c˜ao no sentindo da observa¸c˜ao 4.2.1.
Considere
Ov :={α ∈ K∗|v(α) 0} ∪ {0} e Mv :={α ∈ K∗|v(α) > 0} ∪ {0}.
Segue das propriedade das valoriza¸c˜oes que Ov ´e um anel local de ideais principais eMv
seu ideal maximal. O corpo kv :=Ov/Mv ´e chamado de corpo residual. Quando Γ =Z,
Ov ´e chamado de anel de valoriza¸c˜ao discreta.
Proposi¸c˜ao 5.3.1 Sejam K um corpo e v : K∗ → Z uma valoriza¸c˜ao n˜ao-trivial. Ent˜ao
Ov ´e um dom´ınio local de ideais principais. Al´em disso, v ´e unicamente determinada pelo
valor v(π), onde π = Mv. Ainda, a aplica¸c˜ao v → Ov do conjunto das valoriza¸c˜oes
sobrejetivas de K no conjunto dos dom´ınio locais de ideais principais contidos em K e com corpo de fra¸c˜oes K ´e uma bije¸c˜ao.
Para a demonstra¸c˜ao, veja [6], p´agina 181.
Sejam B um dom´ınio de Dedekind com corpo de fra¸c˜oes L eV o conjunto das valoriza¸c˜oes sobrejetivas de L. Se U ⊆ V, ent˜ao OV(U) := ∩v∈UOv. Seja UB = {v ∈ V|v(B) 0} a
imagem de Max(B) na aplica¸c˜ao M → vM (veja 4.2.1). A proposi¸c˜ao 5.3.2 seguinte
mostra que UB est´a em bije¸c˜ao com Max(B) e que B = OV(UB). Podemos ent˜ao,
5.3 Curva Completa N˜ao Singular 112
Proposi¸c˜ao 5.3.2 Sejam A um dom´ınio, dimA = 1 e K seu corpo de fra¸c˜oes. Ent˜ao a aplica¸c˜ao v → Mv∩ A est´a bem definida entre o conjunto das valoriza¸c˜oes sobrejetivas de
K tal que v(A) 0 e Max(A).
Al´em disso, se A ´e Dedekind, ent˜ao essa aplica¸c˜ao ´e bijetiva. Mais precisamente, cada ideal maximal de M ⊆ A define a valoriza¸c˜ao sobrejetiva vM de K (a valoriza¸c˜ao M -
´adica, veja 4.2.1) tal que vM(A) 0 e M → vM ´e a aplica¸c˜ao inversa de v → Mv ∩ A.
Ainda, {v|v(A)0}Ov = A e kvM :=OvM/MvM ∼= A/M
Demonstra¸c˜ao: Veja [6], p´agina 182.
Defini¸c˜ao 5.3.1 Seja L|k uma extens˜ao de corpos. Diremos que a valoriza¸c˜ao v : L∗ → Z ´e trivial em k se v(k∗) = {0}. Denote por V(L|k) o conjunto das valoriza¸c˜oes
sobrejetivas de L triviais em k.
Defini¸c˜ao 5.3.2 Seja k um corpo. Diremos que corpo L k possui grau de transcendˆencia n sobre k se existirem x1, . . . , xn ∈ L algebricamente independentes sobre
k tais que L ´e uma extens˜ao finita de k(x1, . . . , xn).
Defini¸c˜ao 5.3.3 Seja k um corpo. Uma curva completa n˜ao singular X/k sobre k ´e um par (X, k(X)|k) consistindo do corpo k(X)|k com grau de transcendˆencia 1 sobre k e X identificado com o conjuntoV(k(X)|k) atrav´es de uma dada bije¸c˜ao entre X e V(k(X)|k). Um elemento P ∈ X ´e chamado um ponto e k(X) ´e chamado do corpo das fun¸c˜oes racionais em X.
Cada ponto P corresponde a uma valoriza¸c˜ao vP ∈ V(k(X)|k) e a um dom´ınio local de
ideais principais OP :=OvP com ideal maximal MvP. O anel OP ´e chamado do anel das
fun¸c˜oes racionais definidas em P e um elemento de OP ´e chamado de uma fun¸c˜ao de K
definida em P .
A fun¸c˜ao α ∈ OP se anula em P ou tem um zero em P se α ∈ MP. O inteiro vP(α) ´e
chamado da ordem de anulamento de α em P . Se α ∈ K(X) \ OP diremos que α tem um
polo em P e o inteiro |vP(α)| ´e chamado de ordem de polo de α em P .
O dom´ınio de α ∈ k(X) ´e o conjunto dos pontos de X onde α est´a definida. Se U ⊆ X, considere OX(U ) :=
P ∈UOP, chamado do anel das fun¸c˜oes de X definidas em U .
Considere X com a topologia de Zariski, onde um conjunto ´e fechado se, e s´o se, ´e o conjunto vazio, ou X ou um conjunto finito de pontos.
Defini¸c˜ao 5.3.4 Um conjunto aberto U ⊆ X ´e chamado afim se OX(U ) ´e um dom´ınio
de Dedekind finitamente gerado como k-´algebra e se a aplica¸c˜ao U → Max(OX(U )), com
5.3 Curva Completa N˜ao Singular 113
Em outras palavras, um conjunto aberto U ´e chamado de conjunto aberto afim se est´a em bije¸c˜ao, como acima, com a curva afim n˜ao singular (Max(OX(U )),OX(U )).
Defini¸c˜ao 5.3.5 Uma reta projetiva sobre k ´e uma curva completa n˜ao singular P1/k
tal que seu corpo de fun¸c˜oes k(P1) ´e isomorfo, como k−´algebra, com o corpo de fun¸c˜oes
racionais em uma vari´avel.
Qualquer L|k de grau de transcendˆencia 1 define uma curva completa n˜ao singular X/k dada por (V(L|k), L|k). Para manter a interpreta¸c˜ao geom´etrica do conjunto X como curva, denotamos um elemento de X = V(L|k) por P (ponto). Vale lembrar que de fato P ´e uma valoriza¸c˜ao e quando quisermos usar propriedades de valoriza¸c˜oes usaremos vP
ao inv´es de P .
Se P1/k ´e a reta projetiva associada ao corpo de fun¸c˜oes k(x)|k. Denotamos usualmente
por ∞ o ponto de P1/k correspondente `a valoriza¸c˜ao v ∞.
Proposi¸c˜ao 5.3.3 Sejam k um corpo e P1/k a reta projetiva associada ao corpo k(x)|k.
Ent˜ao
P1 =
{vg(x) | g ∈ k[x], ´e irredut´ıvel e mˆonico} ∪ {v∞}.
Demonstra¸c˜ao: Veja [6], p´agina 185.
Seja k = k. Ent˜ao os ´unicos polinˆomio irredut´ıveis em k[x] s˜ao os lineares. Neste caso, usualmente denotamos vx−a simplesmente por a. A proposi¸c˜ao 5.3.3 mostra que neste caso P1/k est´a em bije¸c˜ao com k⊔ {∞}.
Teorema 5.3.1 Seja X/k uma curva completa n˜ao singular associada ao corpo k(X)|k. Sejam x∈ k(X), k(X)|k(x) e U o dom´ınio de x em X. Ent˜ao U ´e um subconjunto aberto afim de X e OX(U ) ´e igual ao fecho integral de k[x] em k(X). O complemento de U em
X ´e o conjunto dos pontos P tais que OP ⊇ k[1x]1 x.
Demonstra¸c˜ao: Veja [6], p´agina 185.
Corol´ario 5.3.1 Uma curva completa n˜ao singular X/k ´e a uni˜ao de dois abertos afins. Demonstra¸c˜ao: Seja x como no teorema 5.3.1. Ent˜ao os dom´ınios de x e 1
x s˜ao abertos
afins que cobrem X.
Corol´ario 5.3.2 Sejam k um corpo e L|k(x) uma extens˜ao finita. Sejam B e B′ os
respectivos fechos integrais de k[x] e k[1/x] em L. Se 1 xB′ = s i=1P ei i , ent˜ao V(L|k) = {vP|P ∈ Max(B)} ∪ {vP1, . . . , vPs}.
5.3 Curva Completa N˜ao Singular 114
Corol´ario 5.3.3 Sejam k um corpo, L|k(x) um extens˜ao finita e v ∈ V(L/k). Ent˜ao [kv : k] ´e finito.
Demonstra¸c˜ao: ´E f´acil ver que o resultado ´e v´alido se L = k(x). Sejam B o fecho integral de k[x] em L e v∈ V(L/k). Pelo teorema 5.3.1 ´e suficiente considerar o caso em que v ´e uma valoriza¸c˜ao P−´adica associada a algum P ∈ Max(B). Seja P := P ∩ k[x]. Pela finitude da dimens˜ao de k[x]/P sobre k, precisamos apenas mostrar que fP/P ´e finito,
pois assim
[kv : k] = [B/P : k] = [B/P : k[x]/P ]· [k[x]/P : k] < ∞.
O inteiro fP/P ´e finito quando B ´e um k[x]−modulo finitamente gerado. Quando L|k(x)
´e separ´avel, mostramos em 1.3.1 que B ´e um k[x]−m´odulo finitamente gerado. Que B ´e sempre um k[x]−m´odulo finitamente gerado segue do teorema 8.1.1. Em geral n˜ao ´e poss´ıvel identificar um curva completa n˜ao singular X/k com uma curva projetiva n˜ao singular. Mas na proposi¸c˜ao 5.3.5 veremos que sempre existe um subconjunto denso de X que pode ser identificado com um subconjunto denso de uma curva projetiva plana.
Proposi¸c˜ao 5.3.4 Seja XF(k) uma curva plana projetiva com corpo de fun¸c˜oes k(XF).
(i) Sejam P ∈ XF(k) e C o fecho integral de OP em k(XF). Ent˜ao C ´e um dom´ınio
de Dedekind, Max(C) ´e um conjunto finito e est´a em bije¸c˜ao com o conjunto dos dom´ınios de ideais principais e locais O ⊆ k(XF) tal que OP ⊆ O e seus ideais
maximais M satisfazem MP ⊆ M.
(ii) Seja O ∈ P(k(XF)/k) com ideal maximal M. Ent˜ao existe um ´unico P ∈ XF(k)
tal que O ⊇ OP e M ⊇ MP.
Demonstra¸c˜ao: Veja [6], p´agina 219.
Proposi¸c˜ao 5.3.5 Seja X/k um curva completa n˜ao singular. Ent˜ao existe uma curva projetiva plana XF(k) e uma aplica¸c˜ao sobrejetiva e cont´ınua ϕ : X → XF(k). Al´em
disso, se U ´e o conjunto de pontos n˜ao singulares de XF(k), ent˜ao U ´e aberto e denso
em XF(k) e ϕ induz um homeomorfismo de ϕ−1(U ) em U .
Demonstra¸c˜ao: O corol´ario 8.1.2 mostra que existe x∈ k(X) tal que k(X)|k(x) ´e finito e separ´avel. Sejam α ∈ k(X) tal que k(X) = k(x)(α) e f := mink(x)(α) ∈ k(x)[y]. Multiplicando α se necess´ario pelo m´ınimo m´ultiplo comum dos denominadores dos coeficientes de f , podemos assumir que f ∈ k[x][y]. Seja F (X, Y, Z) := Zdeg(f )f (X
Z, Y Z) a
homogeniza¸c˜ao de f. O corpo de fun¸c˜oes racionais k(XF) de XF(k) ´e igual a k(X).
Defina ϕ : X → XF(k) por ϕ(χ) = P , onde Oχ ⊇ OP e Mχ ⊇ MP. A proposi¸c˜ao
5.3 Curva Completa N˜ao Singular 115
P ∈ XF(k) n˜ao singular. Ent˜ao OP ´e um dom´ınio local principal em k(X) contendo k
e seu corpo de fra¸c˜oes ´e k(XF). Pela defini¸c˜ao de X, existe um ´unico ponto χ ∈ X tal
que Oχ =OP. Se P for singular, seja C o fecho integral de OP em k(XF). A proposi¸c˜ao
5.3.4 item (i) mostra que C ´e um dom´ınio de Dedekind com um n´umero finito de ideais maximais e que ϕ−1(P ) = {χ ∈ X|O
χ ⊇ C}. Ent˜ap ϕ−1(P ) = ∅, finito e ϕ ´e cont´ınua.
Como o conjunto S dos pontos singulares de XF(k) ´e finito, o conjunto U := XF(k)\ S ´e
um aberto denso em XF(k). Logo, ϕ−1(U ) ´e um aberto em X e ϕ ´e um homeomorfismo
de ϕ−1(U ) em U .
Defini¸c˜ao 5.3.6 Sejam XF(k) uma curva projetiva plana e X/k uma curva completa
n˜ao singular associada ao corpo de fun¸c˜oes k(XF)/k. Tome ϕ : X → XF(k) a aplica¸c˜ao
definida na proposi¸c˜ao 5.3.5 dada por χ → P , onde OP ⊆ Oχ e MP ⊆ Mχ. O par (X, ϕ)
´e chamado de dessingulariza¸c˜ao da curva XF(k).