Defini¸c˜ao 5.7.4 Diremos que σ ´e um automorfismo da curva X/k se ´e um morfismo de curvas sobre k associado a um automorfismo de k-´algebras σ∗ : k(X)→ k(X).
Denote por Aut(X/k) o grupo dos automorfismos de uma curva completa n˜ao singular. Claramente um automorfismo tem grau 1 e ´e separ´avel.
Seja ϕ : X → Y um morfismo de curvas completas n˜ao singulares sobre k. Uma vez que as curvas completas n˜ao singulares definidas pelos corpos de fun¸c˜oes k(Y )/k e ϕ∗(k(y))
s˜ao isomorfas, ´e geralmente poss´ıvel reduzir o estudo de um morfismo ϕ ao caso em que ϕ ´e uma inclus˜ao e k(Y ) visto como um subcorpo de k(X).
Seja X/k uma curva completa n˜ao singular. Se α ∈ k(X) \ k, ent˜ao α n˜ao ´e alg´ebrico sobre k, portanto o subcorpo k(α) de k(X) ´e isomorfo ao corpo de fun¸c˜oes racionais em uma vari´avel sobre k. Portanto, a inclus˜ao k(α)⊆ k(X) induz um morfismo ϕα : X → P1,
com Oϕα(P ):=OP ∩ k(α).
Lema 5.7.1 Sejam k um corpo e ϕ : X → Y um morfismo n˜ao constante de curvas completas n˜ao singulares sobre k. Suponha que ϕ ´e dada pela inclus˜ao dos corpos de fun¸c˜oes k(Y ) ⊆ k(X). Ent˜ao existe uma cobertura de abertos afins {U1, U2} de Y com as
seguintes propriedades:
1. Seja Vi := ϕ−1(Ui), i = 1, 2. Ent˜ao Vi ´e um aberto afim e a inclus˜ao OY(Ui) ⊆
OX(Vi) transforma OX(Vi) em um OY(Ui)−m´odulo finitamente gerado, para i =
1, 2.
2. A aplica¸c˜ao ϕ|Vi : Vi → Ui pode ser identificada de maneira natural com a aplica¸c˜ao
de curvas afins Max(OX(Vi))→ Max(OY(Ui)) dada pela inclus˜aoOY(Ui)⊆ OX(Vi).
3. Seja Q ∈ Y. Ent˜ao o fecho integral C de OQ em k(X) ´e finitamente gerado como
OQ−m´odulo e um dom´ınio de Dedekind.
Demonstra¸c˜ao: Para 1 e 2, observe que: dado α∈ k(Y )\k, sejam V1, U1 os respectivos
dom´ınios de α em X e Y. Sejam V2 e U2 os respectivos dom´ınios de α1 em X e Y . ´E f´acil
ver que {U1, U2} e {V1, V2} s˜ao coberturas para Y e X respectivamente. Pelo teorema
5.3.1, U1, U2 e V1, V2 s˜ao abertos afins. E segue da defini¸c˜ao que ϕ−1(Ui) = Vi, i = 1, 2.
Agora provemos 3. Sem perda de generalidade, podemos assumir que Q ∈ U1 (i.´e, α ∈
OQ\ k). Por defini¸c˜ao, C ´e integralmente fechado, como a extens˜ao C/OQ ´e integral,
dim C = 1. De α ∈ OQ, conclu´ımos OQ = (OY(U1))MQ. Por constru¸c˜ao, OX(V1) ´e o
fecho integral deOY(U1) em k(X). ComoOY(U1)\MQ´e um subconjunto multiplicativo de
OX(V1), o fecho integral de C deOQ em k(X) ´e a localiza¸c˜ao deOX(V1) num subconjunto
multiplicativo. Uma vez que OX(V1) ´e um OY(U1)−m´odulo finitamente gerado, C ´e um
5.7 Morfismos de Curvas Completas N˜ao-Singulares 126
Sejam k um corpo e ϕ : X → Y um morfismo n˜ao constante de grau n de curvas completas n˜ao singulares sobre k. Vamos assumir que este morfismo ´e dado pela inclus˜ao de corpos de fun¸c˜oes k(Y ) ⊆ k(X). Sejam P ∈ X e C o fecho integral de Oϕ(P ) em k(X). Ent˜ao
OP ´e a localiza¸c˜ao de C num ideal maximal. A aplica¸c˜ao naturalOϕ(P ) → OP induz uma
aplica¸c˜ao entre os corpos residuais:
Oϕ(P )
Mϕ(P ) −→
OP
MP
.
Por C ser finitamente gerado comoOϕ(P )−´algebra, esta extens˜ao ´e finita, denotaremos seu
grau por fP/ϕ(P ) e chamaremos de grau residual de P em ϕ(P ). O ´ındice de ramifica¸c˜ao
de ϕ em P (ou de P sobre ϕ(P )) ´e o inteiro eP (denotado tamb´em por eP/ϕ(P )) tal que
Mϕ(P )OP =MePP.
Defini¸c˜ao 5.7.5 Seja ϕ : X → Y um morfismo entre curvas completas n˜ao singulares. Diremos que o ponto P ∈ X ´e n˜ao ramificado sobre Y se eP = 1 e o corpo residual
OP/MP ´e separ´avel sobre Oϕ(P )/Mϕ(P ). Caso contr´ario, ´e ramificado. A imagem do
conjunto dos pontos de ramifica¸c˜ao ´e chamado de lugar dos ramos de ϕ.
Seja Q∈ Y. A seguir daremos uma descri¸c˜ao para a fibra ϕ−1(Q). Seja C o fecho integral
deOQ em k(X). Como C/OQ´e integral, todo ideal maximal de C cont´em MQ. Visto que
C ´e um dom´ınio de Dedekind, C ´e semi-local. Cada ideal maximal de C corresponde a uma valoriza¸c˜ao vide k(X), i = 1, . . . , s. Sejam P1, . . . , Ps∈ X os pontos correspondentes
e OPi, i = 1, . . . , s os dom´ınios locais principais associados a Pi’s. Ent˜ao
ϕ−1(Q) = {P1, . . . , Ps}.
Como C ´e umaOQ−´algebra finitamente gerada, pelo teorema 2.2.1,P ∈ϕ−1(Q)eP/QfP/Q =
deg(ϕ). Em particular, #ϕ−1(Q)≤ deg(ϕ). De fato acabamos de provar a primeira parte
da seguinte proposi¸c˜ao:
Proposi¸c˜ao 5.7.1 Sejam k um corpo e ϕ : X → Y um morfismo n˜ao constante de curvas completas n˜ao singulares sobre k. Ent˜ao ϕ ´e sobrejetiva com fibras finitas de cardinalidade no m´aximo n.
Se ϕ ´e um morfismo separ´avel, ent˜ao o lugar dos ramos ´e um conjunto finito. Em particular, quando k ´e algebricamente fechado e ϕ ´e separ´avel, ent˜ao existe um aberto denso U ⊆ Y tal que #ϕ−1(P ) = n para todo P ∈ U.
Demonstra¸c˜ao: Mostraremos agora que o lugar dos ramos ´e finito, escolha a cobertura aberta {U1, U2} de Y como no lema 5.7.1. Uma vez que U1 ´e aberto, seu complementar
5.7 Morfismos de Curvas Completas N˜ao-Singulares 127
em Y ´e finito. Assim, para mostrar que o lugar dos ramos de ϕ ´e um conjunto finito, ´e suficiente mostrar que o lugar dos ramos de ϕ restrito a V1 ´e finito. Por constru¸c˜ao, um
ponto Q∈ U1 ´e a imagem de um ponto de ramifica¸c˜ao P ∈ V1 se, e s´o se, o ideal maximal
MQ∩ OY(U1) cont´em o ideal discriminante da extens˜ao da extens˜ao OX(V1)/OY(U1),
veja 3.3.1. Por hip´otese, ϕ ´e separ´avel, logo o ideal discriminante ´e um ideal n˜ao nulo. Portanto, pode haver apenas uma quantidade finita de pontos em U1 que s˜ao imagens dos
pontos de ramifica¸c˜ao.
Para a ´ultima parte, seja U o complemento em Y do lugar dos ramos. Mostramos acima que U ´e sempre um aberto quando ϕ ´e separ´avel. Supondo k ser algebricamente fechado, as fibras de ϕ sobre os pontos de U cont´em exatamente n pontos distintos.
5.8 Corpo de Defini¸c˜ao
Nesta se¸c˜ao, consideraremos sempre k um corpo perfeito.
Defini¸c˜ao 5.8.1 Sejam k ⊆ E corpos e X/E uma curva completa n˜ao singular. Diremos que X/E ´e definida sobre k se o corpo de fun¸c˜oes E(X)|E cont´em um corpo de fun¸c˜oes L|k tal que EL = E(X). Denotaremos o corpo de fun¸c˜oes L por k(X) e X/k a curva completa n˜ao singular associada a k(X)|k.
Sejam f ∈ k[x, y] absolutamente irredut´ıvel, k(Zf)|k o corpo de fun¸c˜oes associado a curva
afim Zf(k) e X/k a curva completa n˜ao singular associada. Ent˜ao X/k ´e definida sobre k
uma vez que k(Zf)|k cont´em o corpo de fun¸c˜oes k(Zf)|k, onde k(Zf) ´e o corpo de fra¸c˜oes
do anel k[x, y]/f.
Observa¸c˜ao 5.8.1 Sejam X/E uma curva completa n˜ao singular e k ⊆ E um subcorpo. ´
E muito dif´ıcil em geral, determinar se X/E pode ser definida sobre k. O teorema de Belyi afirma que a curva completa n˜ao singular X/C pode ser definida sobre Q se, e somente se, existe um morfismo π : X → P1 sobre C cujo lugar dos ramos est´a contida
em {0, 1, ∞}. Uma an´alogo deste resultado foi dado por Sa¨ıdi: Sejam p um primo ´ımpar e E um corpo algebricamente fechado de caracter´ıstica p. Seja Fp ⊆ E o fecho alg´ebrico
de Fp em E. Ent˜ao a curva completa n˜ao singular X/E pode ser definida sobre Fp se, e
somente se, existe um morfismo π : X → P1 sobre E cujo lugar dos ramos est´a contido
em {0, 1, ∞} e o ´ındice de ramifica¸c˜ao de cada ponto de ramifica¸c˜ao de π ´e primo com p. Se X/k pode ser definida sobre k, ent˜ao ela pode ser definida sobre k por v´arios caminhos diferentes, isto ´e, podem existir alguns corpos de fun¸c˜oes n˜ao isomorfos k(Xj)|k inclusos