4.1
Caso particular
Inicialmente faremos um caso particular no conjunto das sequˆencias, ou seja, para esse caso, definimos ˜T : Σ+N → Σ+N pr´oxima de T com todas suas ´orbitas finalmente
peri´odicas. Com isso, considerando um conjunto de Cantor, conseguimos generalizar o resultado para endomorfismos.
Considere Σ+N. Definimos:
W1 = {x : x = (1, x2, x3, ...) ∈ Σ+N}
W2 = {x : x = (2, x2, x3, ...) ∈ Σ+N}
...
Wi = {x : x = (i, x2, x3, ...) ∈ Σ+N}
Lema 4.1.1. Seja T : Σ+N → Σ+N um endomorfismo tal que para todo 1 ≤ i ≤ N , existe
x ∈ Wi com T (x) ∈ Wi.
Ent˜ao, existe um endomorfismo ˜T : Σ+N → Σ+N tal que:
˜
T (x) ∈ Wi ⇐⇒ T (x) ∈ Wi,
e toda ´orbita de ˜T ´e finalmente peri´odica. 38
4.1 Caso particular 39 Demonstra¸c˜ao. Pela continuidade de T , para todo i = 1, ..., N , existe Ri = x2, x3, ..., xli
com
T (i, Ri, xli+1, xli+2, ...) ∈ Wi.
Observe que li ´e tal que, se (x)k = (y)k para 1 ≤ k ≤ li ent˜ao (T (x))1 = (T (y))1.
Consideremos para cada i = 1, ..., N ,
Wi,i = {x : x = (i, Ri, xli+1, xli+2, ...) ∈ Σ + N}. Definimos: ˜ T (x) =
(i, Ri, Ri, Ri, ...) se T (x) ∈ Wi mas x /∈ Wi,i
(i, xli+2, ...) se x ∈ Wi,i
Pela pr´opria defini¸c˜ao de ˜T , temos que: ˜
T (x) ∈ Ki ⇐⇒ T (x) ∈ Ki.
Temos tamb´em que ˜T ´e endomorfismo pois, para todo y = (i, y2, y3, ...), existe
x = (i, Ri, y2, y3, ...) tal que ˜T (x) = y.
Mostremos que ˜T ´e finalmente peri´odica: • Se x /∈ Wi,i e T (x) ∈ Wi: ˜ T (x) = (i, Ri, Ri, ...) ∈ Wi,i ˜ T2(x) = (i, R i, Ri, ...) = ˜T (x)
• Se x ∈ Wi,i e ˜Tk(x) ∈ Wi,i, ∀k ∈ N, ent˜ao x = (i, Ri, Ri, ...) ⇒ ˜T (x) = x.
• Se x ∈ Wi,i e ˜Tk(x) /∈ Wi,i para algum k ∈ N, ent˜ao, pelos casos anteriores,
˜
Tk+2(x) = ˜Tk+1(x).
Afim de utilizar esse resultado na resolu¸c˜ao do nosso primeiro teorema, considera- mos o seguinte lema:
4.2 Resultados auxiliares 40 Lema 4.1.2. Wi ´e um conjunto de Cantor para todo i = 1, 2, ..., N .
Demonstra¸c˜ao.
i) Wi ´e perfeito pois, tome x = (i, x2, x3, x4, ...) ∈ Wi qualquer. Basta considerar a
sequˆencia dada por:
x1 = (i, i, i, i, ...)
x2 = (i, x2, x2, x2, ...)
x3 = (i, x2, x3, x3, x3, ...)
...
xn= (i, x2, x3, x4, ..., xn, xn, xn, ...)
Assim, (xn) ´e uma sequˆencia em Wi que converge para x, ou seja, x ´e um ponto de
acumula¸c˜ao.
ii) Wi ´e fechado pois, tome x = (x1, x2, x3, ...) um ponto de acumula¸c˜ao de Wi
qualquer. Sabemos que existe uma sequˆencia (xn) em Wi convergindo para x. Segue
que, x1 = i, ou seja, x ∈ Wi.
iii) Wi ´e totalmente desconexo, pela defini¸c˜ao.
4.2
Resultados auxiliares
Para auxiliar na demonstra¸c˜ao dos teoremas principais, destacamos as seguintes pro- posi¸c˜oes sobre a divis˜ao de um conjunto de Cantor:
Proposi¸c˜ao 4.2.1. Dados ε > 0 e K um conjunto de Cantor, existe M > 0 e
subconjuntos Kj ⊂ K tais que:
i) Kj ´e um conjunto de Cantor, com 0 ≤ j ≤ 2M;
ii) K =
2M
[
j=1
Kj;
iii) Para cada j = 1, 2, 3, ..., 2M, diam(K
4.2 Resultados auxiliares 41 Demonstra¸c˜ao.
Por 2.1.5, sabemos que existe um homeomorfismo h : K → ˜K entre quaisquer dois conjuntos de Cantor K e ˜K. Assim, para ε > 0, existe δ > 0 tal que:
d (x, y) < δ ⇒ d h−1(x), h−1(y) < ε para quaisquer x, y ∈ ˜K.
Sejam ˜K o conjunto tern´ario de Cantor e M > 0 um inteiro tal que 1 3M < δ.
Considere os intervalos I(M, j) da constru¸c˜ao do conjunto tern´ario de Cantor, com 1 ≤ j ≤ 2M, e tome: ˜ Kj = ∞ \ n=M In \ I(M, j) ⊂ ˜K Definimos Kj = h−1( ˜Kj).
i) Para cada j, ˜Kj ´e um conjunto de Cantor pois, esse subconjunto de ˜K continua
n˜ao contendo intervalos, todos seus pontos ainda s˜ao de acumula¸c˜ao e ´e uma interse¸c˜ao de fechados limitados na reta.
Segue do homeomorfismo h que, Kj ´e um conjunto de Cantor.
ii) Se x ∈ ˜K ent˜ao x ∈ In para n ≥ 1, ou seja, x ∈ I(M, j) para algum j ∈
{1, 2, 3, ..., 2M}.
Logo, x ∈ ˜Kj para algum j ∈ {1, 2, 3, ..., 2M}, e portanto ˜K = 2M
[
j=1
˜ Kj.
Segue do homeomorfismo h que, K =
2M
[
j=1
Kj.
iii) Para cada j = 1, 2, 3, ..., 2M, diam( ˜K j) =
1
3M < δ pela pr´opria constru¸c˜ao do
conjunto tern´ario de Cantor, e portanto, diam(Kj) < ε.
Proposi¸c˜ao 4.2.2. Dado K um conjunto de Cantor, existem uma sequˆencia de sub-
conjuntos Km ⊂ K e um ponto p ∈ K tais que:
4.2 Resultados auxiliares 42 ii) K = ∞ [ m=1 Km [ {p};
iii) Dado ε > 0, existe m0 ∈ N tal que, para m > m0, diam(Km) < ε.
Demonstra¸c˜ao.
Por 2.1.5, sabemos que existe um homeomorfismo h : K → ˜K entre dois conjuntos de Cantor K e ˜K. Assim, para ε > 0, existe δ > 0 tal que:
d (x, y) < δ ⇒ d h−1(x), h−1(y) < ε para quaisquer x, y ∈ ˜K.
Considere ˜K o conjunto tern´ario de Cantor e, para cada m ∈ N, defina: ˜ Km = ∞ \ n=m In \ I(m, 2m− 1) ⊂ ˜K
onde In e I(n, j) s˜ao da constru¸c˜ao do conjunto tern´ario de Cantor, com 1 ≤ j ≤ 2m e
n ≥ 1.
Tome Km = h−1( ˜Km).
i) Para cada m, ˜Km ´e um conjunto de Cantor pois, esse subconjunto de ˜K continua
n˜ao contendo intervalos, todos seus pontos ainda s˜ao de acumula¸c˜ao e ´e uma interse¸c˜ao de fechados limitados na reta.
Segue do homeomorfismo h que, Km ´e um conjunto de Cantor.
ii) Seja x ∈ ˜K qualquer. Mostremos que x ∈
∞ [ m=1 ˜ Km [ {1}. Temos que x ∈ In para todo n ≥ 1. Observe que:
Se x /∈ I(1, 1) ent˜ao x /∈ I(2, 1) e x /∈ I(2, 2). Segue que x ∈ I(2, 3) ou x ∈ I(2, 4). Se al´em disso, x /∈ I(2, 3) ent˜ao x /∈ I(3, 5) e x /∈ I(3, 6). Segue que x ∈ I(3, 7) ou x ∈ I(3, 8).
De maneira geral, se x /∈ I(n, 2n − 1) para n = 1, 2, ...m − 1 com m ∈ N, ent˜ao
x /∈ I(m, 2m− 3) e x /∈ I(m, 2m− 2). Segue que x ∈ I(m, 2m− 1) ou x ∈ I(2, 2m).
Assim, x ∈ I(m, 2m− 1) para algum m ∈ N, ou x ∈ I(m, 2m) para todo m ∈ N.
4.2 Resultados auxiliares 43 Portanto, ˜K = ∞ [ m=1 ˜ Km [ {1}.
Segue do homeomorfismo h que, K =
∞ [ m=1 Km [ {p}. iii) Dado ε > 0, considere m0 ∈ N tal que
1
3m0 < δ. Pela constru¸c˜ao do conjunto
tern´ario de Cantor, diam( ˜Km0) =
1
3m0 < δ, e portanto, para m > m0, diam(Km) < ε
Proposi¸c˜ao 4.2.3. Um conjunto de Cantor pode ser dividido em N conjuntos de
Cantor.
Demonstra¸c˜ao.
Como dois conjuntos de Cantor s˜ao homeomorfos (2.1.5), podemos considerar o conjunto tern´ario de Cantor ˜K. Assim,
i) Se N = 2M para algum inteiro M > 0, para cada 1 ≤ j ≤ N , considere o conjunto
de Cantor: ˜ Kj = ∞ \ n=M In \ I(M, j) ⊂ ˜K,
onde os intervalos I(M, j) s˜ao da constru¸c˜ao do conjunto tern´ario de Cantor. Analogamente as proposi¸c˜oes anteriores, observamos que ˜K =
N
[
j=1
˜ Kj.
ii) Caso contr´ario, seja M > 0 o menor inteiro tal que N < 2M. Para cada
1 ≤ j ≤ N , considere o conjunto de Cantor: ˜ Kj = ∞ \ n=M In \ I(M, j) ⊂ ˜K,
onde os intervalos I(M, j) s˜ao da constru¸c˜ao do conjunto tern´ario de Cantor. Tome: Kj = ˜Kj, para j = 1, 2, ..., N − 1; KN = 2M [ j=N ˜ Kj.
4.3 Endomorfismos 44
Assim, ˜K =
N
[
j=1
Kj. Observe que KN tamb´em ´e um conjunto de Cantor pois ´e um
subconjunto de ˜K que n˜ao cont´em intervalos, todos seus pontos s˜ao de acumula¸c˜ao e ´e uma uni˜ao (disjunta) finita de fechados limitados na reta.
4.3
Endomorfismos
Teorema 4.3.1. Dados T : K → K um endomorfismo e K1, ..., KN conjuntos de
Cantor disjuntos com K =
N
[
i=1
Ki, existe um endomorfismo ˜T : K → K tal que:
˜
T (x) ∈ Ki ⇐⇒ T (x) ∈ Ki,
e toda ´orbita de ˜T ´e finalmente peri´odica. Demonstra¸c˜ao.
A demonstra¸c˜ao ser´a feita por indu¸c˜ao sobre N .
Para N=1, defina o endomorfismo ˜T (x) = x para x ∈ K1 = K. Assim,
˜
T (x) ∈ Ki ⇐⇒ T (x) ∈ Ki,
e mais do que ˜T ser finalmente peri´odica, todos os seus pontos s˜ao fixos.
Suponha que que o teorema seja v´alido para N − 1, e provemos que vale para N qualquer.
1o Caso) Para todo i = 1, ..., N , existe x ∈ K
i tal que T (x) ∈ Ki
Por 4.1.2, cada Ki ´e homeomeorfo a Wi = {(i, x2, x3, ...) ∈ Σ+N}. Assim, para N
qualquer, por 4.1.1, existe um endomorfismo ˜T : K → K tal que, ˜
4.3 Endomorfismos 45 e toda ´orbita de ˜T ´e finalmente peri´odica.
2o Caso) Existe algum j, com 1 ≤ j ≤ N tal que, para todo x ∈ K
j temos que
T (x) /∈ Kj.
Denotamos:
WSl = {x ∈ Kj : T (x) ∈ KSl} 6= ∅,
com Sl 6= j e l = 1, ..., m, para algum 1 ≤ m ≤ N .
UPq =
x ∈ KPq : T (x) ∈ Kj
6= ∅, com Pq 6= j e q = 1, ..., n, para algum 1 ≤ n ≤ N .
Kj KP1 KSl KS1 KPq UP1 UPq WS1 WSl ... ... .. .
Mostremos que os conjuntos WSl e UPq s˜ao conjuntos de Cantor.
i) WSl = T
−1(K
Sl) ∩ Kj ´e fechado pois, T ´e cont´ınua e KSl, Kj s˜ao fechados.
ii) Seja x ∈ WSl ⊂ Kj. Como Kj ´e perfeito, existe uma sequˆencia xn ∈ Kj com
xn→ x. Verificaremos que existe n0 tal que, para n > no, xn∈ WSl.
Observe que KSl ´e aberto, pois (KSl)
c = K
1∪ K2∪ ... ∪ KSl−1∪ KSl+1 ∪ ... ∪ KN ´e
uma uni˜ao finita de fechados. Pela continuidade de T , T−1(K
Sl) ´e aberto. Segue que
x ∈ T−1(K
Sl) admite uma vizinhan¸ca V (x) ⊂ Kj totalmente contida em T
−1(K Sl), ou
seja, V (x) ⊂ WSl. Assim, para algum n0, se n > n0, V (x) cont´em xn.
Logo, WSl ´e perfeito.
iii) Temos que Kj ´e totalmente desconexo, ou seja, cada uma de suas componentes
conexas ´e um ponto. Como WSl ´e subconjunto de Kj, tamb´em tem essa propriedade.
4.3 Endomorfismos 46 Por i), ii) e iii), WSl ´e um conjunto de Cantor. Analogamente, UPq tamb´em ´e.
Pela proposi¸c˜ao 4.2.3, segue que os conjuntos UPq e WSl podem ser subdivididos em
conjuntos de Cantor. Sem perda de generalidade, suponha m < n. Divida WSm em
n − m + 1 conjuntos de Cantor n˜ao vazios WSl com m ≤ l ≤ n. Por abuso de nota¸c˜ao,
denotaremos por WSl, com 1 ≤ l ≤ n.
Por 2.1.5, temos que para cada l = 1, ..., n existe um homeomorfismo hl : UPl → WSl. Definimos ˆT : K → K por: ˆ T (x) = hl(x) se x ∈ UPl, l = 1, ..., n T (x) se x /∈ UPl, l = 1, ..., n
Observe que ˆT ´e um endomorfismo que satisfaz: ˆ
T (x) ∈ Ki ⇐⇒ T (x) ∈ Ki.
Al´em disso, ˆT |Sn
l=1UPl ´e um homeomorfismo sobre sua imagem Kj.
Definimos tamb´em o endomorfismo g : K \ Kj → K \ Kj por:
g(x) = T (x) se x /∈ UPl, l = 1, ..., n ˆ T2(x) se x ∈ U Pl, l = 1, ..., n
Pela hip´otese de indu¸c˜ao, existe um endomorfismo ˜g : K \ Kj → K \ Kj tal que
para i = 1, ..., j − 1, j + 1, ..., N : ˜
g(x) ∈ Ki ⇐⇒ g(x) ∈ Ki,
e toda ´orbita ´e finalmente peri´odica.
Finalmente, tome ˜T : K → K definida por:
˜ T (x) = ˜ g(x) se x /∈ UPl e se x /∈ Kj, l = 1, ..., n ˆ T (x) se x ∈ UPl, l = 1, ..., n ˜ g h−1l (x) se x ∈ Kj ˜
T ´e um endomorfismo tal que: ˜
4.4 Homeomorfismos 47 e toda ´orbita ´e finalmente peri´odica, como quer´ıamos.
Teorema (Endomorfismos). Seja K um conjunto de Cantor. Dados um endomor-
fismo T : K → K e ε > 0, existe um endomorfismo ˜T : K → K tal que: DT, ˜T= max
x∈K d
T (x), ˜T (x)< ε
e toda ´orbita de ˜T ´e finalmente peri´odica.
Demonstra¸c˜ao. Por 4.2.1, existem K1, K2, . . . , K2M conjuntos de Cantor lineraes
disjuntos, com K =
2M
[
j=1
, e diam(Kj) < ε para j = 1, 2, . . . , 2M.
Pelo teorema anterior 4.3.1, existe um endomorfismo ˜T : K → K tal que: ˜
T (x) ∈ Ki ⇐⇒ T (x) ∈ Ki,
e toda ´orbita ´e finalmente peri´odica.
Ou seja, existe um endomorfismo ˜T : K → K tal que: DT, ˜T= max
x∈K d
T (x), ˜T (x)< ε e toda ´orbita de ˜T ´e finalmente peri´odica.
4.4
Homeomorfismos
Lema 4.4.1. Sejam T : K → K um homeomorfismo e K1, K2, . . . , KN conjuntos de
Cantor disjuntos com K =
N
[
i=1
Ki. Considere que para cada 1 ≤ i ≤ N , uma das
seguintes propriedades ´e satisfeita:
4.4 Homeomorfismos 48
Ki
ii) Para qualquer x ∈ Ki temos que T (x) ∈ Ki
Ki
Ent˜ao, existe um homeomorfismo ˜T : K → K tal que: ˜
T (x) ∈ Ki ⇐⇒ T (x) ∈ Ki,
e toda ´orbita de ˜T converge para um ponto fixo. Demonstra¸c˜ao.
Fixemos a nota¸c˜ao KRlpara os conjuntos de Cantor que satisfazem a propriedade i),
com l = 1, ..., r para algum 1 ≤ r ≤ N . E, para os conjuntos de Cantor que satisfazem a propriedade ii), fixemos a nota¸c˜ao KAq, com q = 1, ..., n para algum 1 ≤ n ≤ N .
Note que, N = q + r.
i) Para cada KRl, com l = 1, ..., r para algum 1 ≤ r ≤ N , denotamos:
WRl Aq = x ∈ KRl : T (x) ∈ KAq 6= ∅, com q = 1, ..., n, para algum 1 ≤ n ≤ N . E
VRl = {x ∈ KRl : T (x) ∈ KRl} .
Como j´a visto em 4.3.1, os conjuntos WRl
Aq s˜ao conjuntos de Cantor. Analogamente,
VRl tamb´em ´e um conjunto de Cantor.
Pela proposi¸c˜ao 4.2.2, para cada l = 1, ..., r com 1 ≤ r ≤ N , existe uma sequˆencia de conjuntos de Cantor ˜Km ⊂ VRl e um ponto p ∈ VRl tais que, VRl =
∞ [ m=1 ˜ Km [ {p} com diam( ˜Km) → 0.
4.4 Homeomorfismos 49 WRl A1 WRl A2 . . . WRl Aq ˜ K1 ˜ K3 ˜ K2 ˜ K4 KRl KAq KA2 KA1 . . .
Por 2.1.5, temos que para cada m ≥ 2, existe um homeomorfismo hm : ˜Km → ˜Km−1. Temos tamb´em que, como WAR1l∪ W A2
Rl∪ ... ∪ WRl
Aq ´e um conjunto
de Cantor, existe um homeomorfismo h : ˜K1 → WAR1l∪ W
Rl A2 ∪ ... ∪ W Rl Aq, com l = 1, ..., r e 1 ≤ r ≤ N . Definimos ˆTRl : KRl → KRl por: ˆ TRl(x) = hm(x) se x ∈ ˜Km, m ≥ 2 h(x) se x ∈ ˜K1 p se x = p Temos que, ˆTRl m+1 (x) /∈ VRl, para x ∈ ˜Km com x 6= p.
Observe que para cada KRl, a sequˆencia ˜Km, o ponto p e os homeomorfismos hm
tamb´em deveriam ser indexados por Rl, mas n˜ao faremos isso para n˜ao carregar a
nota¸c˜ao. Assim, quando esses forem citados, indicaremos qual o conjunto de Cantor referente.
ii) Para cada KAq, com q = 1, ..., n para algum 1 ≤ n ≤ N , sabemos da proposi¸c˜ao
4.2.2 que, existe uma sequˆencia de conjuntos de Cantor ˜Km ⊂ ˜KAq e um ponto p ∈ KAq
tais que, KAq = ∞ [ m=1 ˜ Km [ {p} com diam( ˜Km) → 0.
Por 2.1.5, temos que para cada m ≥ 2, existe um homeomorfismo hm : ˜Km−1 → ˜Km.
4.4 Homeomorfismos 50 Definimos ˆTAq : KAq → KAq por: ˆ TAq(x) = hm(x) se x ∈ ˜Km−1, m ≥ 2 p se x = p
Temos que, ˆTAq(x) converge para o ponto fixo p ∈ KAq, para qualquer x ∈ KAq.
Observe que aqui tamb´em, para cada KAq, a sequˆencia ˜Km, o ponto p e os homeo-
morfismos hm deveriam ser indexados por Aq.
Afim de definir o homeomorfismo em K, por 2.1.5, usamos que, para cada Aq com
q = 1, . . . , n e 1 ≤ n ≤ N , existe um homeomorfismo hAq : W R1 Aq ∪ W R2 Aq ∪ ... ∪ W Rl Aq → ˜K1 ⊂ KAq.
Logo, considerando i) e ii), podemos definir ˜T : K → K por:
˜ T (x) = ˆ TRl(x) se x ∈ VRl, l = 1, ..., r ˆ TAq(x) se x ∈ KAq, q = 1, ..., n hAq(x) se x ∈ KRl\ VRl, l = 1, ..., r
Assim, ˜T ´e um homeomorfismo que satisfaz: ˜
T (x) ∈ Ki ⇐⇒ T (x) ∈ Ki,
para todo i = 1, ..., N . Al´em disso, toda ´orbita de ˜T converge para o ponto fixo de algum KAq, com q = 1, ..., n e 1 ≤ n ≤ N .
Particularmente, podemos ter as propriedades i) e ii) sendo satisfeitas para algum Ki com 1 ≤ i ≤ N :
Ki
Neste caso, podemos definir ˜T (x) = x para qualquer x ∈ Ki. Teremos que, mais do
que toda ´orbita de ˜T convergir para um ponto fixo, todos os pontos de Ki s˜ao fixos.
4.4 Homeomorfismos 51
Cantor disjuntos com K =
N
[
i=1
Ki, existe um homeomorfismo ˜T : K → K tal que:
˜
T (x) ∈ Ki ⇐⇒ T (x) ∈ Ki,
e o w-limite de toda ´orbita de ˜T ´e uma ´orbita peri´odica. Demonstra¸c˜ao.
A demonstra¸c˜ao ser´a feita por indu¸c˜ao sobre N .
Para N=1, defina o homeomorfismo ˜T (x) = x para x ∈ K1 = K. Assim,
˜
T (x) ∈ Ki ⇐⇒ T (x) ∈ Ki,
e mais do que o w-limite de toda ´orbita de ˜T ser uma ´orbita peri´odica., ˜T tem todos os seus pontos fixos.
Suponha que que o teorema seja v´alido para N − 1, e provemos que vale para N qualquer.
1o Caso) Para todo i = 1, ..., N temos que K
i satisfaz uma das seguintes proprie-
dades:
i) Para qualquer y ∈ Ki temos que T−1(y) ∈ Ki
ii) Para qualquer x ∈ Ki temos que T (x) ∈ Ki
Por 4.4.1, sabemos que para qualquer N , existe um homeomorfismo ˜T : K → K tal que:
˜
T (x) ∈ Ki ⇐⇒ T (x) ∈ Ki,
4.4 Homeomorfismos 52 2o Caso) Para algum j ∈ {1, 2, ..., N }, existe x ∈ K
j tal que T (x) /∈ Kj e existe
y ∈ Kj tal que T−1(y) /∈ Kj
Denotamos:
WSl = {x ∈ Kj : T (x) ∈ KSl} 6= ∅,
com Sl 6= j e l = 1, ..., m, para algum 1 ≤ m ≤ N .
UPq =
x ∈ KPq : T (x) ∈ Kj
6= ∅, com Pq 6= j e q = 1, ..., n, para algum 1 ≤ n ≤ N . E
Vj = {x ∈ Kj : T (x) ∈ Kj} . Kj KP1 KSl KS1 KPq UP1 UPq WS1 WSl ... ... .. . Vj
Como j´a visto em 4.3.1, os conjuntos WSl e UPq s˜ao conjuntos de Cantor.
Pela proposi¸c˜ao 4.2.3, segue que os conjuntos UPq e WSl podem ser subdivididos em
conjuntos de Cantor. Sem perda de generalidade, suponha m < n. Divida WSm em
n − m + 1 conjuntos de Cantor n˜ao vazios WSl com m ≤ l ≤ n. Por abuso de nota¸c˜ao,
denotaremos por WSl, com 1 ≤ l ≤ n.
Por 2.1.5, temos que para cada l = 1, ..., n existe um homeomorfismo hl : UPl → WSl. Definimos ˆT : K → K por: ˆ T (x) = hl(x) se x ∈ UPl, l = 1, ..., n T (x) se x /∈ UPl, l = 1, ..., n
Observe que ˆT ´e um homeomorfismo que satisfaz: ˆ
4.4 Homeomorfismos 53 Al´em disso, ˆT |Sn
l=1UPl ´e um homeomorfismo sobre sua imagem Kj.
Definimos tamb´em o homeomorfismo g : K \ Kj → K \ Kj por:
g(x) = T (x) se x /∈ UPl, l = 1, ..., n ˆ T2(x) se x ∈ U Pl, l = 1, ..., n
Pela hip´otese de indu¸c˜ao, existe um homeomorfismo ˜g : K \ Kj → K \ Kj tal que
para i = 1, ..., j − 1, j + 1, ..., N : ˜
T (x) ∈ Ki ⇐⇒ T (x) ∈ Ki,
e toda ´orbita converge para um ponto fixo. Finalmente, tome ˜T : K → K definida por:
˜ T (x) = ˜ g(x) se x /∈ UPl e se x /∈ Kj, l = 1, ..., n ˆ T (x) se x ∈ UPl, l = 1, ..., n ˜ gTˆ−1(x) se x ∈ K j \ Vj x se x ∈ Vj ˜
T ´e um homeomorfismo tal que: ˜
T (x) ∈ Ki ⇐⇒ T (x) ∈ Ki,
e o w-limite de toda ´orbita de ˜T ´e uma ´orbita peri´odica., como quer´ıamos.
Teorema (Homeomorfismos). Seja K um conjunto de Cantor. Dados um homeo-
morfismo T : K → K e ε > 0, existe um homeomorfismo ˜T : K → K tal que: DT, ˜T= max
x∈K d
T (x), ˜T (x)< ε
e o w-limite de toda ´orbita de ˜T ´e uma ´orbita peri´odica.
Demonstra¸c˜ao. Por 4.2.1, existem K1, K2, . . . , K2M conjuntos de Cantor lineraes
disjuntos, com K =
2M
[
j=1
4.4 Homeomorfismos 54 Pelo teorema anterior 4.4.2, existe um homeomorfismo ˜T : K → K tal que:
˜
T (x) ∈ Ki ⇐⇒ T (x) ∈ Ki,
e o w-limite de toda ´orbita de ˜T ´e uma ´orbita peri´odica. Ou seja, existe um homeomorfismo ˜T : K → K tal que:
DT, ˜T= max
x∈K d
T (x), ˜T (x)< ε e o w-limite de toda ´orbita de ˜T ´e uma ´orbita peri´odica.