Shale Smear Factor Limit

A partir de agora será mostrada a sequência de passos utilizados para identificação de sistemas. Esses passos envolvem toda a fundamentação teórica apresentada nas subseções anteriores, utilizando os conceitos desde a obtenção do período de amostragem até a validação dos modelos identificados, a partir de novos dados de entrada-saída coletados do sistema. A sequência da metodologia realizada é apresentada no diagrama de blocos da figura 2.7.

Figura 2.7- Representação da metodologia em diagrama de blocos.

Como mostrado na figura 2.7, na sequência foi descrito o processo a ser identificado, e todas as suas variáveis de entrada-saída. Também, foi escolhida a faixa de operação na qual o processo foi identificado, o ponto de operação desejado, e a resposta ao degrau do sistema, resultando na obtenção da constante de tempo e do projeto do sinal de entrada, com objetivo de realizar a identificação do processo.

Após o projeto do sinal de entrada do processo, foi implementado um algoritmo de detecção de estrutura. Este algoritmo tem o como objetivo determinar a quantidade de termos necessários para serem representados nos modelos ARX e NARX.

O algoritmo implementado para detecção de estrutura de modelos, reúne detalhes dos procedimentos explicados nas subseções 2.6 e 2.7, e é baseado no algoritmo de ortogonalização Modificado do Gram-Schmidt (MGS), adaptado dos trabalhos de Billings (1989) e Lara (2005). Este algoritmo de detecção de estrutura pode ser descrito em dois estágios:

1º Estágio: =1.

= Número de Iteração

1. Inicializar 9 2 žT 9 rT.

2. Copiar todas as colunas de P, r„ até r„¤ST X †ƒ 9 @ 7

3. Copiar o vetor observações º até 0 ¤ST_.

4. Calcular _¤„ 9 ¥t»©«^"ª©«^¦

¥t_»©«^"t_»©«^¦ X †ƒ 9 @ 7

5. Calcular f --i_¤„ 9 ¼©» ¥t»©«^"t»©«^¦

º"º X †ƒ 9 @ 7

6. Obter f --i_¤½ 9 qU°: --_¤„ 4 ƒ 4 ?7

7. Permutar a L-ésima coluna de ¾¤ST com a k-ésima coluna de r_¤¤ST. 8. Copiar a k-ésima coluna de ¾ ¤ST ¿r_¤¤ST À sobre ž_¤.

9. Calcular G_¤7„ 9 ¥¨©"t» ©«^_¦ ¥¨©"¨©¦ X †ƒ 9 @ 7 10. Calcular r_„¤ 9 r_„¤ST < ›_{¤ „}ž_¤X †ƒ 9 @ 7 11. Calcular _¤9 ¥¨©"ª©«^¦ ¥¨©" ¨©¦ . 12. Calcular 0 ¤ 9 0 ¤ST < _¤ž_¤. 13. Calcular –+ 9 º < ³¤_{„wT „}ž_„.

14. Calcular _;Á> 9_ÂŒ¥–+ " –+¦7

15. Calcular G‡L_¤ 9 poà _;•+> K D K 2 e I‡L_¤ 9 poà _;•+> K K 2 ˆÄÅ p 7 16. Inicializar para k=2.

2º Estágio:_{†ƒ Æ 6 @ < 27}

1. Repetir os passos 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 do 1º estágio.

2. Permutar os elementos da L-ésima coluna,›e7½, com os elementos da k-ésima

coluna, ›_e7¤, †o 9 2 @ < 6 7

3. Repetir os passos 11, 12, 13, 14 e 15 do 1º estágio.

4. Se ÇÈÉ D ¤ Æ ÇÈÉ D ¤ST ou ÊÈÉ¤Æ ÊÈÉ ¤ST determinado os regressores para

realizar a estimação de parâmetros.

5. Se ÇÈÉ D ¤ l ÇÈÉ D ¤ST ou ÊÈɤ l ÊÈÉ ¤ST então executar o 2º estágio e

iniciar para 9 K 27

Comentários sobre o 1º estágio:

• Os passos 1 e 3 inicializam o procedimento mediante a inicialização do contador 9 2. A matriz de regressores P r_„ é montada de acordo com a quantidade de regressores determinada pela ordem inicial sobreparametrizada, e o vetor ” que possui os dados de saída coletados do processo.

• Nos passos 4 até o 6 é realizada a estimação de parâmetros ortogonal utilizando os dados de saída do processo, e calculada taxa de redução de erro (ERR), onde é avaliado o valor da variação ao ser inserido um novo parâmetro estimado no modelo, em relação à variação total do sinal de saída. Cada regressor possui índice (1, 2, 3,..., ) formado em um vetor L, os índices são organizados de acordo com os valores do maior ERR que estão organizados de forma decrescente.

• Após o contador 9 ƒ K 2Ë é realizado o passo 7, onde as colunas de ¾¤ST _{são permutadas de acordo com a sequência dos índices do vetor}

L. Logo em seguida o passo 8 copia a coluna selecionada de P dentro da matriz 9 mž_T @ ž _“n7

• Nos passos 9 e 10 é realizada a ortogonalização entre a coluna r„¤STde ¾¤ST _{e a coluna ž¤ de W, onde no passo 9 é realizado o calculo dos}

elementos da matriz triangular superior A (projeções).

• Nos passos 11 e 12 é realizada a continuação do procedimento de ortogonalização. Em seguida é elaborada a estimação de parâmetros utilizando a coluna ž_¤ que possui os regressores ortogonalizados. A partir do parâmetro estimado é encontrada a saída estimada, e no passo 13 é calculado o erro de estimação (erro de previsão).

• No passo 14 é calculado o erro médio quadrático, o qual permite no passo 15 calcular as funções de custo de Akaike e Bayes, as quais são divididas em duas parcelas: na primeira parcela é observada a variação do erro médio quadrático ao inserir um novo termo ao modelo, e a segunda parcela indica o custo de inserir este termo ao modelo, obtendo assim o custo-benefício de inserir um novo termo no modelo.

Comentários sobre o 2º estágio:

• O 2º estagio é repetido de acordo com o número de termos determinado pela ordem sobreparametrizada, e novos termos serão selecionados até encontrar o primeiro mínimo que minimize a função de custo de Akaike ou Bayes.

• O passo 2 terá que ser adicionado ao procedimento dado no estágio 1, com a finalidade de permutar as colunas de A.

• Os passos 4 e 5 verificam se o mínimo da função de custo de Akaike e Bayes é atingido para o número particular de termos selecionados.

Para realizar a detecção de estrutura do modelo a partir do algoritmo implementado é necessário realizar a coleta de dados de entrada-saída do processo. Estes dados de entrada-saída são inicialmente normalizados (-1 a 1) para evitar propagação de erros numéricos ao longo da identificação. Através dos dados normalizados são utilizados os métodos do ERR, método Modificado Gram-Schmidt (MGS) e os Critérios de Informação de Akaike (AIC) e Bayes (BIC), citados nas subseções anteriores, para determinar a estrutura dos modelos. Estes métodos permitem a partir de um modelo de ordem sobreparametrizada, indicar os termos que apresentam o melhor custo-benefício.

Os termos são incluídos no modelo representando o sistema, eliminando a dependência linear através de bases ortogonais. A partir da implementação destes métodos é possível evitar: a sobreparametrização, o mau-condicionamento numérico e a propagação de erros devido à grande quantidade de termos.

Os algoritmos foram implementados de maneira que em cada passo um termo representado por um vetor da matriz dos regressores é acrescentado, permitindo observação da taxa de redução do erro de cada termo inserido no modelo. Logo em seguida, é realizada uma ortogonalização na matriz dos regressores, onde o vetor que apresentou o maior ERR é ortogonalizado em relação aos outros vetores da matriz. Este procedimento possibilita a redução da dependência linear entre os vetores da matriz dos regressores, que permite resultados mais concisos, eliminado os problemas numéricos e o mau-condicionamento. Também, a cada passo do algoritmo é possível avaliar o custo- benefício de cada termo e, conforme sua importância pode ser adicionado ao modelo. Após realizar a detecção de estruturas dos modelos, são utilizados algoritmos de estimação de parâmetros baseados nos métodos dos mínimos quadrados convencional (MQ) e o estendido (MQE), que podem ser melhor observados nos Apêndices D e E. Por fim, é realizada a comparação entre a saída real e a saída do modelo a partir de uma nova coleta de dados. Através desta comparação é possível observar o comportamento da saída do modelo em relação à saída real, e, consequentemente a qualidade dos algoritmos implementados.

O método de detecção de estrutura implementado nesta dissertação, ao contrário dos outros métodos, permite inserir uma ordem sobreparametrizada e a partir desta ordem avaliar a pertinência de cada termo ao ser inserido no modelo pela sua taxa de redução de erro, ou seja, é realizada uma avaliação de pertinência de cada termo em relação aos dados coletados do processo. Em seguida é realizada uma ortogonalização na matriz dos regressores que permite eliminar a dependência linear entre os termos escolhidos, e assim evitar o mau-condicionamento numérico ao realizar a estimação de parâmetros pelo método dos mínimos quadrados.