Compreendemos muitas coisas hoje por meio de fórmulas, que se desenvolveram devido o aspecto lógico percebido na matemática, e apresentado pelas expressões algébricas. A álgebra representa o mundo falado a partir de outros símbolos. Muitos compreendem a álgebra como uma metamatemática. A álgebra se desenvolveu como uma particularidade na matemática, mas que ao mesmo tempo possibilitou um desenvolvimento de todo o restante desta, por se tratar de uma linguagem que permite uma abstração maior ainda, onde símbolos tratam de referentes matemáticos como os números e certos conceitos, como incógnita e variável, e apresentando uma sintaxe própria, isto é, uma forma de manipular os símbolos que deve seguir determinadas regras, o que leva seu usuário a ter que dominar certas técnicas de uma nova linguagem.
Os conteúdos de álgebra são geralmente considerados obstáculos na educação, dada essa especificidade, por envolver outras maneiras de ver e operar as relações e os objetos matemáticos, pois diferentemente da aritmética, a álgebra não é estática, nem atemporal, já que possui um caráter dinâmico, ao serem introduzidos conceitos que variam no espaço e no tempo, como os conceitos de variável e incógnita. Como trabalhar com conceitos que em si são variáveis e/ou desconhecidos, a princípio? É bastante complicado relacionar diretamente a álgebra com questões empíricas ou até mesmo com outras áreas da matemática, como aritmética e geometria. É um conteúdo que geralmente causa estranheza no primeiro contato, devido ao aluno estar acostumado com uma matemática que só tem números. As dificuldades específicas e intrínsecas à álgebra se mostram quando os PCN nos resultados do SAEB, mostram que “os itens referentes à álgebra raramente atingem o índice de 40% de acerto em muitas regiões do país” (BRASL, 1998).
A álgebra pode ser vista como uma generalização da aritmética, como uma manipulação de símbolos (cálculo literal), como um estudo sobre a manipulação formal etc., mas o que de
fato ela é? Será que a reduzir a uma generalização da aritmética não causa problemas para a aprendizagem? Será a aritmética tão necessária à álgebra, ou esta pode “andar com suas próprias pernas”? Ou: seria possível aprender álgebra sem fazer referência à aritmética ou à geometria ou a outra área da matemática ou até a algo externo a ela, como na empiria? A álgebra não seria apenas uma linguagem formal a ser transmitida? Até que ponto é problemático ensiná-la como uma manipulação de símbolos? Mas não seria toda a matemática assim? Ou o melhor seria ensinar os significados por trás dos símbolos e processos sintáticos, isto é, os conceitos de variável, incógnita etc.? A álgebra não seria a representação de significados? Ou seria apenas um outro tipo de linguagem formal? Será que um aluno pode compreender, sem ter estudado álgebra, que x + x = 2x é uma generalização de qualquer cálculo entre dois números iguais somados, como 3 + 3 = 2.3 ou ele apenas cria uma nova forma para resolver isto, ou seja, o uso o faz compreender como se deve resolver com letras? A álgebra seria a generalização da aritmética pelo fato daquela aparecer depois desta no ensino básico, além da aritmética ser vista como essencial para a compreensão da álgebra. Mas, será que de fato existe esta necessidade? Ou isto é apenas uma cultura curricular herdada de uma prática social?
Como vimos no tópico anterior, a álgebra deve algo de seu desenvolvimento, tanto às necessidades empíricas, quanto sua relação com a aritmética, mas seu progresso se deve a estudos que eram completamente internos à matemática, numa espécie de estudo de uma linguagem, na intenção de buscar melhorá-la (como vimos na evolução da linguagem retórica, para a sincopada e enfim para a simbólica), e que dá, em um automovimento. Os matemáticos criaram regras que, mesmo quando originadas no empírico, em um dado momento não dependiam mais dele, o que nos permite entender a álgebra como uma gramática, possuindo as características de arbitrariedade e autonomia.
A álgebra não é apenas uma generalização da aritmética? Seria possível antecipar este processo, no ensino básico, por exemplo? Ou: a álgebra é uma forma de uso com um simbolismo intrínseco e que pode ser trabalhado em qualquer momento? Haveria possibilidade antecipar o ensino de álgebra? São sobre tais indagações que as pesquisas sobre o ensino e aprendizagem da álgebra em particular têm se colocado, assim como a presente pesquisa. O grande diferencial da álgebra é sua linguagem, pois diferentemente da aritmética e da geometria, ela parece mais distante da realidade, tanto que a aritmética e geometria são muitas vezes usadas para dar algum sentido para a álgebra. Se o simbolismo algébrico demorou a ser sistematizado, não podemos considerar que o mesmo seja algo próximo ao ser humano. Desse modo, podemos dizer que se o simbolismo algébrico alavancou a matemática a patamares nunca vistos antes, ele também potencializou dificuldades que já estavam presentes na matemática
dos números e das formas, mas que parecem ter evoluído com a matemática das equações, por isso, é tão evidente a dificuldade que os alunos têm quando se chega nesta parte da matemática. Assim, muitos educadores tentaram e tentam formas de possibilitar este ensino, alguns pensando que a álgebra é uma forma de calcular com letras, outros buscando significados externos a essa linguagem.
Com o advento da álgebra simbólica no século XVII, tal perspectiva, com o passar do tempo e sua inserção na matemática como um todo, passou a ser pensada também como disciplina de ensino, principalmente a partir do fim do século XIX. Em 1897, foi realizado o 1º Congresso Internacional de Matemática em Zurique e depois, em 1899, foi criada a revista “L’Enseignement Mathématique”, pelos matemáticos Henri Fehr e Charles-Ange Laisant, já atentando para a questão educacional da matemática. Em 1908 foi criado o Comitê Internacional de Matemática (IMUK/CIEM) em Roma que objetivava acompanhar as reformas curriculares que ocorriam principalmente na Europa.
Felix Klein formou um movimento de professores a fim de modernizar os programas e os métodos de ensino de matemática. O trabalho de Klein surtiu efeito e em 10 anos mudou-se a prática e as concepções do ensino escolar na Alemanha. Uma reforma educacional iniciou na França em 1900, e em outros países, como Inglaterra e Itália, mesmo que lentamente, mas as mudanças aconteciam. Enquanto isso nos Estados Unidos, os educadores, influenciados pelas mudanças na Europa, iniciavam reflexões sobre mudanças necessárias na educação matemática, e alguns chegaram a participar de eventos na Europa, como o quarto IMUK de 1908. Miranda (2003, p. 28-29) informa que nos Estados Unidos:
A Matemática estava presente no currículo das primeiras universidades do País (1636) e, por volta de 1890, os cursos de Álgebra e Geometria tinham seu lugar garantido no ensino secundário. Embora o objetivo do ensino de Matemática fosse preencher as exigências para admissão ao ensino superior, havia outro propósito. A idéia era que a Matemática beneficiasse os estudantes pela disciplina mental que fornecia, ou seja, os princípios da Álgebra e os teoremas da Geometria podiam disciplinar a mente, capacitando dessa forma o desenvolvimento de sua função de raciocínio, com rapidez e precisão. Sendo assim, os vários ramos da Matemática eram considerados “puros” e qualquer assunto externo com o estudo associado à Física, por exemplo, perturbaria a unidade lógica da matéria e diminuiria seu valor disciplinar.
A autora esclarece que os EUA resolveram organizar o currículo da escola secundária com a intenção de torná-la mais utilitária, pois compreendiam que isto era uma necessidade econômica para o país, e assim após a segunda fase da revolução industrial do final do século XIX, a instrução pública foi estimulada a desenvolver o ensino das Ciências. Nesse contexto de
reformulação curricular a álgebra se expandiu de 1865 a 1900, de um curso de um ano, passou para um ano e meio. Aritmética avançada, álgebra e geometria eram requeridas para entrada nas instituições secundárias. Essa reforma curricular se deu no sentido de se unificar aritmética, álgebra e geometria, que até este momento eram vistas como disciplinas separadas. Depois de muitas tentativas e debates, com educadores como Eliakim Moore, George Myers e Ernst Breslich, na década de 1920, a matemática passou a ser uma disciplina que unifica aritmética, álgebra e geometria.
Conforme Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) a álgebra passou a fazer parte do currículo brasileiro a partir de 1799. A partir desse período o Brasil sofreu grande influência do positivismo, que se institucionalizou na reforma do ensino de 1890. O positivismo compreendia que o sujeito repete a história na sua história individual em busca do conhecimento, o chamado “princípio recapitulacionista” de Haeckel ou “princípio genético”33. Os autores em que nos detemos para compreender a relação entre positivismo e a educação brasileira, apontados no capítulo 1, apresentam vários textos, documentos e principalmente livros didáticos que mostram o uso da história da matemática, e a álgebra estava nesse contexto, ensinada como instrumento. Entendemos, então, que a álgebra era apresentada baseada em uma percepção histórica, ou seja, baseada na forma como foi construída historicamente, inicialmente escrita e apenas depois de forma simbólica, inicialmente para resolver equações específicas e depois generalizada, como se vê no “curso elementar de matemática: álgebra” de 1902 escrita por Aarão Reis. Mas talvez o grande legado desta noção tenha sido o posicionamento da álgebra no currículo escolar, sendo tomada como uma compreensão obtida apenas a partir da aritmética, e assim, esta ficou para o 6º ano após a entrada do aluno na educação básica, como se vê até hoje, pois se historicamente a álgebra apareceu muito depois da aritmética, o positivismo compreendeu que da mesma forma seria no ensino, seguindo assim o “princípio genético”.
Miguel e Miorim (2004) destacam que vários matemáticos se tornaram partidários da noção do “princípio genético”, como Poincaré e Klein, que entendiam que a escola deveria recapitular a história, tendo este último influenciado as reformas do ensino de matemática na Europa e nos EUA, que influenciaram o Brasil. Portanto, a educação matemática brasileira se fundamenta no período destacado aqui (século XIX a meados do século XX) por um lado no
33 Estes princípios também chamados de paralelismo onto-filogenético. Segundo Miguel e Miorim (2004) o paralelismo onto-filogenético é o termo usado para sintetizar o “estabelecimento de vínculos entre a filogênese e a psicogênese do conhecimento matemático” (p. 73). A filogênese trata da produção sócio-histórica do conhecimento no passado e a psicogênese é a produção ou apropriação pessoal desse conhecimento no presente e estas formas de análise da produção do conhecimento são vistas como semelhantes, ou seja, “a filogênese recapitula a ontogênese”.
positivismo e por outro, mesmo que indiretamente, nas ideias de Klein, e ambos se relacionam com a noção de “princípio genético”.
A matemática até início do século XX era apresentada dividida em disciplinas separadas - aritmética, álgebra, geometria e trigonometria -, sem relação entre elas, até que em 1929, no Colégio Pedro II, no Rio de janeiro, resolveu-se unir essas disciplinas em uma só disciplina denominada matemática. Essa mudança foi realizada pelo Professor Euclides Roxo, que se baseou nas mudanças que já vinham ocorrendo na Europa e principalmente nos EUA. Esta medida foi ampliada para todo país em 1931, no governo Vargas, na chamada reforma Francisco Campos (nome do Ministro da educação na época) também liderada por Euclides Roxo, que se baseou principalmente no texto da reforma americana de Ernst Breslich, que havia sido publicado em 1928. A ideia de unificação completa da aritmética, álgebra e geometria na matemática tentou ser revista pela reforma Capanema de 1942, promovida pelo ministro da educação Gustavo Capanema, mas a ideia da disciplina como uma única disciplina se manteve. O ensino de álgebra, como toda a educação brasileira também sofreu influência, a partir de 1920, do movimento da Escola Nova, que tinha relação com o positivismo. O Brasil ainda passa por influências do ensino tecnicista do período da ditadura, e do construtivismo piagetiano, por volta da década de 1930 e mais fortemente depois da ditadura. Por volta de 1960 chegam ao Brasil os ideais do movimento da matemática moderna, que consiste basicamente em se levar ao ensino os últimos avanços da matemática na modernidade, com destaque para a teoria dos conjuntos e os avanços da álgebra. As reflexões sobre a matemática moderna iniciaram na década de 1950 na Europa, e as bases desse movimento foram estabelecidas em duas conferências em 1959, em Royaumont, na França, e em 1960, em Dobrovnik, na Eslovênia (na época Iugoslávia), realizadas pela OECE (organização europeia de cooperação econômica). Antes, em 1958, já havia sido fundado nos EUA o SMSG (School Mathematics Study Group), que tinha influência do grupo Bourbaki, e enfatizava também a teoria dos conjuntos e o estudo de estruturas algébricas, e teve seus livros traduzidos e publicados no Brasil a partir de 1964. No Brasil tais ideais se manifestaram primeiramente em 1959, no 3º congresso de ensino de matemática, realizado no Rio de Janeiro.
O Brasil sofreu influências do movimento da matemática moderna, por meio do professor Osvaldo Sangiorgi, professor da Universidade Mackenzie de São Paulo, que escreveu vários livros didáticos de matemática em que preconizava o ensino da álgebra nos moldes da matemática moderna, com destaque para o estudo de monômios e polinômios, representação algébrica, expressão algébrica, valor numérico, coeficiente e parte literal. Tais conteúdos estão presentes até hoje nos currículos de matemática do ensino fundamental, que vemos a partir do
7º ano. Foi Sangiorgi também o primeiro a usar “quadradinhos” para representar incógnitas em equações para classes do ensino fundamental I. Este movimento se fortaleceu no Brasil com a fundação do GEEM (Grupo de Estudos do Ensino da Matemática) em São Paulo em 1961, coordenado por Sangiorgi. Também destacamos o GEPEM (Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática), no Rio de Janeiro e o GEEMPA (Grupo de Estudos sobre o Ensino da Matemática de Porto Alegre), no Rio Grande do Sul.
Esse movimento como já dissemos teve relação com o grupo Bourbaki, principalmente no matemático Jean Dieudonné, que tinha profundas preocupações com as questões educacionais, tendo dedicado sua obra “Algébre linéaire et geométrie élementaire” aos
professores secundários, que desejam mudanças nos métodos de ensino e estavam indecisos sobre como fazer tais mudanças. O movimento da matemática moderna foi uma época em que se tornou hegemônico um modo de pensar, que sustentava que a matemática tem como ponto de partida, conceitos precisos e delimitados, plena e claramente definidos, além de proposições e teoremas explícitos, demonstrados em sua totalidade de forma rigorosa, apresentados em linguagem única (DUARTE, 2007).
Baseados no grupo Bourbaki a matemática moderna introduziu a teoria dos conjuntos e as estruturas algébricas na educação básica. A álgebra passou a ter destaque, mas a geometria foi diminuída. Para além da questão dos pontos positivos e negativos da matemática moderna, fato é, que se desenvolveram os estudos em educação matemática, na busca de outras alternativas, devido aos problemas que a matemática moderna trouxe ou que ela revelou. Desse modo, nas décadas de 1980 e 1990 buscou-se resgatar a geometria nas pesquisas acadêmicas e propostas curriculares, como a do Estado de São Paulo em 1992, o que nos faz ver novamente um abandono da álgebra pela educação matemática.
De acordo com Ponte, Branco e Matos (2009), referindo-se ao âmbito mundial, a partir da década de 1980 desenvolveu-se um novo modo de pensar a álgebra na educação, quando passou a se refletir sobre o que deve ser incluído na álgebra e o que deve ser considerado algébrico, desse modo, buscou-se caracterizar o pensamento algébrico. Um dos incentivadores desta forma de caracterização foi o educador americano James Kaput, que compreende de forma semelhante ao NCTM (Nacional Council of Teachers of Mathematics), que pode ser considerada a maior organização de educação matemática do mundo.
No Brasil, observamos a produção de três documentos oficiais que nortearam e norteiam o ensino da álgebra no Brasil, que claro não são exclusivamente sobre álgebra, nem sobre matemática, mas que tem estas incluídas, que são “os Guias Curriculares” da década de 1970, a “proposta Curricular para o Ensino de 1º Grau” da década de 1980, os PCN (Parâmetros
Curriculares Nacionais), da década de 1990, além de outros mais recentes. Em tais, a álgebra, aritmética e geometria são tomadas como partes da matemática, e em alguns desses documentos a álgebra aparece como parte dos estudos com números ou ligada a outros conteúdos da matemática. Isso se deve à concepção essencialista que busca ver um pano de fundo comum em toda a matemática. Não somos defensores da divisão em disciplinas, mas compreendemos que as especificidades devem ser entendidas, pois a concepção essencialista leva a problemas, por se esperar uma percepção holística dos alunos mediante um apanhado de conteúdos que são diferentes.
Acredita-se que a divisão em disciplinas se deve ao pensamento baconiano e cartesiano de se pensar a ciência e que antes o conhecimento não era fragmentado. Não julgamos tal questão, pois isso se deve às formas de vida. O ser humano teve necessidade de formular epistemologias particulares e que isto sempre existiu, mas sem sistematização, intercâmbio entre culturas, imprensa e a quantidade crescente de conteúdos e estudos que a partir da idade moderna começaram a surgir. A necessidade de sistematização tornou-se um consenso, um hábito, uma forma de vida. Hoje alguns estudiosos desejam ressuscitar um espírito holístico perdido em algum momento antes de Descartes.
De acordo com Glock (1998, p. 174) “uma forma de vida é uma formação cultural ou social, a totalidade das atividades comunitárias em que estão imersos os nossos ‘jogos de linguagem’”. As formas de vida constroem instituições, e entre estas a educação formal é uma, e esta tem o papel de transmitir o conhecimento construído pela humanidade, as pessoas adultas assim como as instituições e práticas institucionais são modelos para as crianças, pois, “o consenso gramatical é intersubjetivo, por tratar-se de acordos sobre formas de vida” (MORENO, 2001, p. 256), ou seja, o consenso sobre as regras a serem seguidas são definidas na comunidade de usuários por acordos, não de opiniões, mas de formas de vida, isto é, de uma forma de viver que foi construída do modo que foi. Nesse sentido, acordamos que a álgebra faz parte da matemática, que deve se ensinar determinados conteúdos, em determinadas séries, etc. Houve para isso consensos, influenciados por forças tanto sociais, mas mesmo geopolíticas, bem como teóricas... seguimos então teorias muitas vezes sem reflexão. Wittgenstein sugere uma terapia de posições dogmáticas, não para propor algo em troca, mas para apresentar determinados limites e confusões destas. Em nossa história aceitamos o positivismo, a escola nova, o tecnicismo, o construtivismo – sempre criticando o passado, o tradicional, e assim construímos uma forma de compreender a educação. Nesse sentido se propõem teorias pedagógicas que dominam períodos, mas que depois são criticadas. Abandonou-se a álgebra na escola nova por se considerar que se deveria trabalhar com conteúdos mais concretos,
abandonou-se a geometria no movimento da matemática moderna, por se considerar que deveria enfatizar estruturas algébricas, e hoje temos uma ênfase em competências e habilidades, diminuindo a importância dos conteúdos, compreendendo que estes devem aparecer nas atividades. Ao defender o sentido formativo da matemática, Gottschalk (2009a, p. 19) compreende que
O sentido formativo da matemática, a exemplo do sentido formativo das humanidades, também contribui significativamente para a formação de um homem autônomo, que convive com paradoxos e contradições (fonte de criação) e que é capaz de imaginar outras realidades possíveis, ampliando, assim, o leque de perspectivas que atribuem sentido ao mundo em que vive. Um sentido muito próximo ao da formação do poeta e a dos que combatem qualquer tipo de dogmatismo.
Não podemos definir ou prever o futuro de nossos estudantes, assim como não sabemos se toda a matemática que estuda na escola um dia lhes será útil, o que sabemos é que devemos ensiná-la na esperança de contribuir com suas expectativas de uma vida melhor.
Ao aderir a uma teoria, é preciso conhecer as críticas feitas a ela. Sendo assim, o professor deve estar continuamente atualizando-se e buscando novas perspectivas que o ajudem na tarefa de ensinar matemática. Não podemos acreditar cegamente numa teoria educacional, já que a nossa compreensão sobre uma teoria não pode prever as suas possíveis falhas quando