Sammenligning av tradisjonell og ny utvanningsmetode

Chegamos, agora, com um enfoque muito próximo dos propósitos do ensino da matemática que delineiam a proposta dessa pesquisa, contudo precisamos recorrer aos estudos de Paul Goldenberg para dar satisfação à comunidade que nos assiste e possibilitar o entendimento do que viriam a ser “hábitos do pensamento matemático.”

Antes de apresentarmos alguns “hábitos do pensamento matemático”, entendemos que a indicação de alguns fatores, que influenciaram essa proposta de Goldenberg e que são amplamente concernentes ao propósito de nosso estudo, seria esclarecedora e interessante ao nosso leitor.

Goldenberg retira da matemática que pretende ensinar uma sobrecarga de responsabilidade pela função de desenvolvimento do raciocínio, dividindo com outras disciplinas essa condição, frisamos o dividir para deixar claro que concordamos que a matemática desenvolve essa habilidade, mas não o faz isoladamente, d’outra afirmação que faz sobre a aplicabilidade da matemática em tudo o que fazemos, Goldenberg argumenta indicando que, por vezes, alguns desses hábitos são próprios da matemática e podem não servir a modos de pensar especiais de um dado contexto:

O que se afirma não é que o ensino da Matemática se justifica porque é bom para desenvolver as capacidades de raciocínio. Isto não é mais (nem menos) correto para a Matemática do que para o Grego ou o Latim. Também não é verdade que todos os hábitos de pensamento em

matemática sejam essenciais em contextos não matemáticos (ou que sejam equivalentes, ou sirvam de base para modos de pensar especiais nesses contextos não matemáticos). Existem alguns hábitos matemáticos de pensamento que não são tão aparentes em outras disciplinas, mas que devem, apesar disso, estar presentes num curso (tal como os conteúdos matemáticos o devem ser) para que ele possa ser considerado de matemática.71

Portanto, ao centrar a organização do currículo em determinados hábitos do pensamento matemático, Goldenberg vê surgir melhores condições de aprendizagem numa formação mais substancial, focada às necessidades dos alunos que se identificam ou não com a matemática escolar:

Mas, ao escolher determinados hábitos de pensamento que são essenciais em matemática e também nos bons modos de pensar em domínios mais amplos, podemos ensinar matemática que sirva para preparar os alunos para estudos avançados de matemática (um objetivo importante), e ao mesmo tempo corresponder às necessidades dos alunos que podem não ter ainda desenvolvido um especial interesse ou aptidão para a matemática, ou mesmo daqueles que nunca o farão (um segundo objetivo importante). 72

Sentimos a necessidade da exposição de alguns hábitos do pensamento matemático, para auxiliar na compreensão das intenções didáticas do nosso ambiente de aprendizagem, concatenados a Goldenberg, no que se refere ao papel que estes podem desempenhar para o desenvolvimento curricular da matemática, em fase que precede a especialização.

Tal como todas as destrezas, estas exigem aprendizagem, e devem ser sistematicamente construídas e exercitadas quando se pretende que sejam adquiridas. As tarefas que contribuem para essa aprendizagem incluem propostas ‘não-matemáticas.73

Goldenberg apresenta-nos algumas tendências verificadas no ensino em geral e busca uma relação mais próxima à matemática, identificando alguns hábitos que precisam ser desenvolvidos por nossos alunos e, logicamente, espera nossa contribuição para isso, indicando por vezes, algumas propostas nesse sentido.

Estudaremos alguns dos hábitos de pensamento matemáticos que Goldenberg e outros autores publicaram na coleção Connected Geometry -- um currículo apoiado pela National Science Foundation (Education Develop. Center, 1996).

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GOLDENBERG [1], E. Paul.Hábitos de Pensamento: um princípio organizador para o currículo (1). Tradução por Eduardo Veloso. Disponível na Internet em:

< http://www.apm.pt/apm.revista/educ47/educ47_6.htm> Acesso em fev. 2006 72

GOLDENBERG [2], E. Paul.Hábitos de Pensamento: um princípio organizador para o currículo (II). Tradução por Eduardo Veloso. Disponível na Internet em:

< http://www.apm.pt/apm.revista/educ48/educ48_6.htm> Acesso em fev. 2006 73

Os exemplos, quando apresentados, retratarão a forma pela qual foram extraídos da coleção Connected Geometry, conforme o texto original traduzido por Eduardo Veloso e disponibilizado pela APM74. Na seqüência, alguns "hábitos de pensamento matemático" apropriados para o desenvolvimento curricular antecedente à especialização e relacionados a tendências:

• A tendência da visualização

A tendência da visualização assim entendendo a capacidade de imaginar, criar e manipular, sejam processos ou objetos que não estão ao alcance de sua visão, ainda em outras vezes, imaginar o que nunca foi visto.

E é particularmente especial no ensino da matemática, para o apoio de experiências mentais que auxiliam em investigações matemáticas, tal como escreve Goldenberg:

A visualização, talvez especialmente a componente da revisão, é também um instrumento valioso para apoiar os tipos de experiências mentais que orientam os alunos nas investigações matemáticas e os ajudam a construir conexões lógicas e demonstrações. As destrezas que apóiam a visualização têm um preço: o seu desenvolvimento deve constituir uma parte explícita da aprendizagem do estudante.75

Dá nos exemplos de Interpretação de diagramas

Quadro Informativo 11 – Exemplo de visualização – Fonte: Paul Goldenberg

E comenta que para muitos, o entendimento e a análise desse diagrama dependerá do nível de amadurecimento matemático que o aluno se encontra. Para alguns em nada ajudará a análise da figura, outros mais hábeis podem considerar tal diagrama como um tipo de “demonstração visual” da relação algébrica que representa ignorando algumas particularidades da figura que não estão explícitas, já para matemáticos mais “maduros”, a comunicação que o diagrama estabelece, constitui-se em possíveis elementos que podem

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APM é sigla para a Associação de Professores de Matemática de Portugal que disponibiliza sua revista, especificamente os nºs 47 e 48, no endereço eletrônico:http://www.apm.pt/apm/revista/educ47/educ47_6.htm

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auxiliar na composição de uma demonstração, entendendo que a ausência de propriedades matemáticas não permitem considerar o todo como um processo de prova.

Muitos currículos usam diagramas como este, mas não fornecem suficientes oportunidades explícitas aos alunos para aprender melhor como produzir ou transformar estes diagramas, ou para compreender o seu conteúdo e limitações. Uma vez mais, estas capacidades não são naturais e necessitam ser aprendidas.76

• A tendência para descrever, formal e informalmente, relações e processos Entendemos que a compreensão e ascensão aos conceitos matemáticos se fazem pelo uso de nossa linguagem natural, que permite o acesso aos conteúdos pelos alunos e pela comunicação entre professor e esses, com a finalidade de estabelecer negociações eficazes da aprendizagem, mas isso só permite, segundo Goldenberg, a compreensão do significado geral, acrescentando que a matemática possui sua própria estrutura lingüística, propícia ao entendimento de minúcias e detalhes que corporificam o aprendizado, daí concordamos com Goldenberg quanto à necessidade de se investir no desenvolvimento das duas formas de linguagem:

Uma pessoa pode reparar em coisas que está mal preparado para descrever, mas está em melhor posição para tornar mais acutilante a sua percepção se for capaz de falar sobre ela. Do mesmo modo, uma pessoa pode aprender um vocabulário, sem ter muito que dizer com ele, mas, tendo alguma coisa de valor sobre a qual falar, torna a tarefa mais fácil. Uma das coisas não compensa a outra, neste caso. Um currículo atingirá certamente melhor cada um dos objetivos se tiver os dois em conta.77 O pesquisador americano ressalta o importante papel das definições na linguagem matemática. Por vezes, uma definição se aplica a determinado contexto e é preciso habituar nossos alunos com essas situações, comunicando com clareza sobre suas idéias matemáticas. Uma das referências que Goldenberg se utiliza é encontrada na definição do que é um cilindro e na dificuldade que muitos têm em considerar uma moeda ou um espaguete como exemplos desta forma geométrica, surgindo daí um outro exercício que enquadra o hábito de pensamento matemático relacionado à descrição.

• A tendência para traduzir informação apresentada verbalmente em

informação visual (e vice-versa)

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GOLDENBERG [2], E. Paul. op. cit. 77

Desenhar roteiros que descrevem caminhos percorridos pelo estudante é uma das sugestões que podem colaborar para o desenvolvimento dessa habilidade. Acreditamos que, auxiliando com interpretações de situações tangíveis, o avanço para o desenvolvimento do contexto matemático desse hábito parece mais plausível ao nosso aluno.

• A tendência para fazer experiências (tinker)

Goldenberg, ao descrever hábitos relacionados a essa tendência, faz referência aos cilindros que vimos anteriormente. Entende aquele autor que os alunos devem verificar um mesmo problema em contextos diferentes, fazer explorações, encontrando possibilidades diferentes permitindo que através de seus próprios ensaios surjam à luz de seus olhos evidências de ordem matemática.

Um problema que é colocado a duas dimensões pode ser reexaminado a uma ou a três. Um problema que diz respeito a retas pode ser reexaminado com linhas curvas. Um problema que é proposto no plano pode ser reexaminado numa esfera, num cilindro ou num toro.78

• A tendência para procurar invariâncias

Goldenberg entende que a demonstração é o “coração da matemática” e considera que o desenvolvimento do hábito de procurar e identificar invariâncias, aliado ao uso de argumentos lógicos, é uma das formas de se trabalhar o ato de demonstrar em matemática. Conjectura que a procura de invariâncias, por ser central ao curso de matemática, pode ser trabalhada em qualquer conteúdo para auxiliar o aluno no treino desta habilidade, contudo admite que o conteúdo, qualquer que seja, pode ser ensinado sem este “aspecto globalizante”.

• A tendência para misturar experimentação e dedução

Além da procura de invariâncias, a experimentação é uma ferramenta que vem se corporificando em matemática, principalmente pelo uso de computadores como ferramenta no processo ensino-aprendizagem.

Construções geométricas e a função “arrastar” e “soltar” permitem aos nossos alunos, visualizar e observar o comportamento de uma dada construção. A questão facilitadora, sempre associada ao uso do computador, serve ao aluno pela grande

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quantidade e diversidade de experimentos de uma mesma espécie, que torna-se possível ser feita. A sugestão de Goldenberg, para esse tipo de destreza, é “ ajudar os alunos a ver como podem (cuidadosamente) traduzir uma experiência em palavras, de modo a construir uma demonstração.”.

• A tendência para construir explicações sistemáticas e demonstrações para

invariâncias observadas

Goldenberg propõe que a compreensão do significado de demonstrar deve estar presente em todos os níveis e em todos os temas matemáticos, ressaltando que esta proposta deve ser adaptada à maturidade do aluno e não só no ensino de geometria do secundário.

O que interessa não é a forma de uma demonstração, mas o ato de construir demonstrações, e o conhecimento da estrutura de boa demonstração são essenciais em matemática.79

Sua predileção pela face interdisciplinar da matemática, através da adoção dos hábitos de pensamento, faz com que o pesquisador americano relacione, com a devida prudência, que o encadeamento coerente de nossos pensamentos, tal e qual serve à matemática, também o faz a outras disciplinas.

• A tendência para construir algoritmos e raciocinar acerca deles (uma das

muitas conexões com a álgebra)

O uso de algoritmos é uma das principais recorrências que o aluno faz da matemática. A conexão entre campos da matemática é um dos principais objetivos do programa constante no Connected Geometry. Conseqüentemente, ajudar o aluno a construir seus próprios algoritmos ao invés de só utilizar, é também uma das destrezas que precisamos trabalhar nele. O uso de softwares apropriados pode auxiliar em muito o desenvolvimento dessa habilidade, pois permite observar invariâncias e outros padrões através da visualização que ajudam na formulação de hipóteses.

• A tendência para raciocinar por continuidade (uma das muitas conexões com

a análise)

O uso de programas de geometria dinâmica é ilustrado por Goldenberg para descrever a atuação de alunos criando construções, arrastando e observando o efeito que

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se propaga pela tela do computador. Foca sua aplicação ao estudo de funções, possibilitando uma conexão entre geometria e análise, assim entendendo a contribuição de softwares tais como: o Geometer’s Sketchpad, Cabri ou o Geometry Inventor.

Afirma que alunos encontram maiores facilidades para a compreensão da continuidade de funções, além do que, em alguns objetos geométricos, estes softwares, pela dinâmica de “arrastar” possibilitam observar o “efeito que isso tem em outro objeto ( ponto, segmento, medição, ...)”, ampliando o campo visual do aluno, que acaba por retro- alimentar seu repertório de idéias, permitindo uma melhor condição de conjeturar sobre o contexto.

...esta abordagem ajuda os alunos a desenvolver idéias que depois a linguagem algébrica pode exprimir e ampliar, em contraste com a abordagem tradicional de estudar uma linguagem sem ter idéias para exprimir com ela e depois, mais tarde, basear essas idéias numa linguagem ainda mal dominada.80