7. IMPLEMENTATION OF THE TSI
7.3. Specific cases
7.3.2. List of specific cases
A Situação de Aprendizagem 2, explora a relação entre fórmulas e equações. Entendemos que o trabalho com fórmulas é uma estratégia valiosa para trabalhar com equações sem a preocupação explícita de “resolvê-las”. A fórmula possui um contexto que lhe é inerente e que favorece a compreensão e a aprendizagem do aluno. Nessa Situação de Aprendizagem, o objetivo principal é fazer com que o aluno realize operações com expressões algébricas sem se preocupar com técnicas e métodos de resolução. (SÃO PAULO, 2009, p. 9).
No Quadro 13, temos o tempo previsto para a realização desta Situação de Aprendizagem, os conteúdos e temas a serem trabalhados durante sua resolução, as competências e habilidades a serem desenvolvidas e as estratégias sugeridas.
Tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: letras para representar números ou grandezas; valor numérico de
uma fórmula/expressão algébrica.
Competências e habilidades: ler e interpretar enunciados; transpor linguagem escrita para
algébrica e vice-versa; resolver equações.
Estratégias: resolução de problemas usando fórmulas relacionadas a diferentes contextos. Quadro 13 - Tempo previsto, conteúdos e temas, competências e habilidades, e estratégias
referentes à Situação de Aprendizagem 2
Fonte: São Paulo, 2009, p. 11
Ainda, de acordo com Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009):
Nesse contato do aluno com a Álgebra, a exploração de fórmulas constitui uma estratégia eficaz para introduzir o uso de letras em Matemática. Elas podem ser facilmente manipuladas pelos alunos, sem a preocupação explícita de “resolver” uma equação. Além disso, o contexto inerente a uma fórmula constitui uma forma de dar significado ao uso das letras, à substituição destas por valores numéricos e, também, a alguns princípios de resolução [...] (SÃO PAULO, 2009, p. 21).
Também, destaca que “A ideia central que deve nortear o trabalho com fórmulas é a de que as letras servem para representar um valor numérico qualquer.” (SÃO PAULO, 2009, p. 21).
Ressaltamos que durante as análises no que se refere às fórmulas segundo Ursini et al (2005, p. 80) “[...] fórmulas geométricas, interpretando as letras como número genérico [...]”.
Nesta Situação de Aprendizagem são apresentados onze problemas, envolvendo fórmulas na geometria, fórmulas de média aritmética, fórmula do imposto de renda, fórmula para o cálculo do Índice de Massa Corpórea (IMC) e fórmulas da Física. Estes problemas estão subdivididos em: Você aprendeu?, Lição de casa e um Desafio!. A seguir, temos estes problemas, suas resoluções apresentadas pela Secretaria de Educação Estadual e suas respectivas análises.
Iniciando-se com uma Pesquisa individual, na qual dois exemplos de fórmulas são solicitados aos alunos, como mostra a Figura 16.
Figura 16 - Problema 1 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 13
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
1. O resultado da pesquisa é pessoal. Cada aluno deverá procurar exemplos de
fórmulas em livros escolares (Matemática, Ciências ou Geografia), enciclopédias, jornais e revistas ou na internet. Procure orientá-los sobre o tipo de expressão que os alunos devem procurar, pois alguns podem não saber do que se trata uma fórmula. Além disso, estimule-os a pesquisar sobre o significado das fórmulas encontradas.
Observação: O objetivo dessa pesquisa é ampliar o repertório dos alunos a respeito de fórmulas. Reserve um tempo da aula para que os alunos socializem os resultados de suas pesquisas.
Análise
Nesta seção Pesquisa individual, os temas a serem abordados são: letras para representar números ou grandezas. De acordo com o Modelo 3UV, temos o aspecto G2 da variável como número genérico, visto que deverão interpretar a variável simbólica (letra) como a representação de um número genérico, indeterminado, que pode assumir qualquer valor. Com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998), temos a concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, já que teremos uma relação entre grandezas e serão utilizadas fórmulas.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 EQUAÇÕES E FÓRMULAS
1. Faça uma pesquisa e encontre dois exemplos de fórmulas. Registre-as no espaço
abaixo e escreva um parágrafo sobre o que você sabe sobre elas (para que são usadas, como funcionam, de que área do conhecimento elas vêm, etc.).
Dicas de pesquisa: Você pode encontrar exemplos de fórmulas em seus livros
escolares (Matemática, Ciências ou Geografia), enciclopédias, jornais e revistas ou na internet. Fórmula 1: ___________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Fórmula 2: ___________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________
Na Figura 17, apresentamos a seção Você aprendeu? Contendo o problema 2 utilizando Fórmulas na Geometria.
Porém, segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009):
Podemos iniciar esta atividade solicitando aos alunos que procurem no livro ou no caderno todas as fórmulas relacionadas ao cálculo de áreas e perímetros que eles aprenderam. A partir desta lista, o professor pode desenvolver uma série de atividades exploratórias, envolvendo a interpretação da sentença matemática presente na fórmula, o significado das letras que a compõem, a obtenção de resultados a partir de valores numéricos, etc. (SÃO PAULO, 2009, p. 22).
Figura 17 - Problema 2 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 13-14
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
2. a) P = 4 + 4 + 6 + 6 = 20 b) P = 22,5 + 22,5 + 42 + 42
P = 45 + 84 P = 129
Fórmulas na Geometria
2. a) Calcule o perímetro de um retângulo de lados iguais a 4 cm e 6 cm. Escreva a
sentença matemática correspondente a essa operação.
P = _________________ = ______
b) Como ficaria a sentença matemática se o retângulo tivesse lados iguais a 22,5 cm e 42 cm?
P =__________________________________________ = _______
c) Vamos substituir as medidas dos lados do retângulo pelas letras a e b, representando o comprimento e a largura, respectivamente. Escreva a expressão do perímetro desse retângulo.
P =__________________________________________ = _______
d) A expressão matemática encontrada no item anterior é a fórmula do perímetro do retângulo. Usando essa fórmula, calcule o perímetro de um retângulo cujo comprimento a mede 8,3 cm e a largura b, 4,1 cm.
e) Sabendo que a medida da largura de um retângulo é 5 m e que seu perímetro vale 22 m, descubra qual é a medida de seu comprimento.
f) Usando a fórmula do perímetro, encontre as medidas a e b dos lados de um retângulo para que seu perímetro seja igual a 36 cm.
c) P = a + a + b + b
Observação: comente com os alunos que a expressão acima é equivalente a se escrever P = 2.a + 2.b.
d) P = 2.a + 2.b = 2. 8,3 + 2. 4,1 = 16,6 + 8,2 = 24,8 cm.
O perímetro desse retângulo vale 24,8 cm.
e)
22 = 2.a + 2.5 a = 6 m
f) Solução em aberto.
Em um primeiro momento, esse problema pode ser resolvido livremente pelos alunos, por meio da atribuição de valores para a e b. Contudo, é importante mostrar em seguida como ficaria a resolução usando-se a fórmula do perímetro.
Por exemplo, se a for igual a 8, a fórmula ficaria assim: 36 = 2.8 + 2.b, ou 36 = 16 + 2.b. Ou seja, o valor de b seria 10.
Análise
Notamos que nas resoluções apresentadas pelo gabarito, nos itens (a), (b) e (f) não estiveram presentes as unidades de medida na resposta do problema, nos itens (c), (d), (e) e (f), precisamos observar com atenção, pois o ponto é utilizado no lugar do sinal de multiplicação.
Nesta seção Você aprendeu? temos o problema 2, cujo objetivo é explorar as letras para representar números e grandezas, e ainda o valor numérico de uma fórmula, neste caso, relacionada à geometria para o cálculo do perímetro de um retângulo.
Neste problema, de acordo com o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3, G4 e G5 da variável como número genérico. Nos itens (a), (b), (d), (e) e (f) é necessário o aspecto I1, pois deverão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema. Já para os itens (d), (e) e (f) também são indispensáveis os aspectos I2, I4 e I5, visto que deverão interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a representação de valores específicos (I2); determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos (I4) e simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em
uma situação específica e utilizá-las para formular equações (I5). No item (c) são necessários os aspectos G2, G3, G4 e G5, já que deverá interpretar a variável simbólica (letra) como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor (G2); deduzir regras e métodos gerais em famílias de problemas (G3); manipular (simplificar, desenvolver) a variável simbólica (G4) e simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5).
Já em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998), temos a concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, visto que teremos uma relação entre grandezas, neste caso, foi utilizada a fórmula do perímetro de um retângulo. Além disso, no item (c) temos a concepção e dimensão Álgebra como aritmética generalizada, pois necessitarão generalizar modelos, e nos itens (a), (b), (d), (e) e (f) temos a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, já que precisarão resolver e apresentar a solução do problema.
Nas Figuras 18 e 19, temos a seção Lição de casa, com o problema 3:
Figura 18 - Problema 3 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 14-15
3. A fórmula para o cálculo da área de um
triângulo qualquer é
2 .h
l
A = , onde A representa a medida da área, l a medida de um lado é h, a medida da altura do triângulo em relação a esse lado. Considere o triângulo retângulo ABC, de catetos a e b e hipotenusa
c, representado ao lado.
a) Sabendo que os catetos a e b são perpendiculares entre si, qual seria a fórmula da área para um retângulo de lados a, b e c?
b) Use a fórmula do item anterior para calcular a área de um triângulo retângulo cujos catetos medem, respectivamente, 28 cm e 32 cm.
c) A área de um triângulo é conhecida e igual a 144 cm2. Use a fórmula
2 .h
l
A = para descobrir quais dos pares de valores a seguir podem representar as medidas dos catetos desse triângulo.
I. 12 cm e 25 cm.
II. 14 cm e 24 cm.
III. 16 cm e 18 cm.
Figura 19 - Continuação do problema 3 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 15
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
3. a) Como a medida de um cateto corresponde à altura do triângulo relativa ao
outro cateto, podemos escrever a fórmula da área como
2 .b
a
A = .
É importante observar que, nesse item, a generalização da medida do lado e da altura como sendo os catetos de um triângulo retângulo implicou uma substituição de duas letras (l e h) por outras duas letras (a e b).
b) 448 2 32 . 28 2 . = = = ab A . Portanto, A = 448 cm². c) III. 16 cm e 18 cm. 2 144 2 18 . 16 2 .b cm a A= = =
d) Nesse caso, comente com os alunos que o valor da área já é conhecido, e, por
isso, pode ser inserido na fórmula da área no lugar da letra A. O problema passa a ser a descoberta do valor da medida de um dos catetos. Substituindo-se A por 40 e
a por 10, obtemos a seguinte igualdade:
2 . 10
40= b. A equação a seguir corresponde à seguinte pergunta: Qual é o valor de b que, multiplicado por 10 e dividido por 2 resulta em 40? Os alunos não terão dificuldade para concluir que b vale 8.
Análise
Observamos que no problema 3, onde temos a expressão “área de um triângulo”, a meu ver, deveria ser substituída por “a medida da área de um triângulo” e quando é apresentada a fórmula para este cálculo o ponto é utilizado no lugar do sinal de multiplicação e o mesmo acontece durante as resoluções apresentadas pelo gabarito.
Na seção Lição de casa temos o problema 3, que tem como objetivo explorar as letras para representar números e grandezas e ainda o valor numérico de uma fórmula. Neste caso, também é utilizada uma fórmula relacionada à geometria, mas agora para o cálculo da medida da área do triângulo.
d) Sabendo que a área de um triângulo retângulo é 40 cm2 e que um dos catetos mede 10 cm, determine a medida do outro cateto.
No terceiro problema, segundo o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3 e G5 da variável como número genérico. No item (a) são necessários os aspectos G2, G3 e G5, pois deverão interpretar a variável simbólica (letra) como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor (G2); deduzir regras e métodos gerais em famílias de problemas (G3); e simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5). Nos itens (b), (c) e (d) são indispensáveis os aspectos I1, I2, I4 e I5, visto que deverão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinada, considerando as restrições do problema (I1); interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação como a representação de valores específicos (I2); determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos (I4); e simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações (I5).
Em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como estudo de relação entre grandezas e dimensão da Álgebra funcional, uma vez que teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada a fórmula para a medida da área de um triângulo. Além disso, no item (a) temos a concepção e dimensão Álgebra como aritmética generalizada, visto que precisarão generalizar modelos. Já nos itens (b), (c) e (d) temos a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, já que precisarão resolver e apresentar a solução do problema.
Na Figura 20, temos a seção Você aprendeu? com o problema 4, contendo Fórmulas de Média Aritmética.
Segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009):
A fórmula da média aritmética é bem conhecida pelos alunos, principalmente quando têm que calcular os resultados obtidos em diversas avaliações. Ela constitui um exemplo rico para explorar outras características de uma fórmula. (SÃO PAULO, 2009, p. 24).
Figura 20 - Problema 4 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 16
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
4. a) M = (6 + 7,5) ÷ 2 = 13,5 ÷ 2 = 6,75.
b) Generalizando a ideias de que a média aritmética entre dois valores é obtida
somando-se os dois valores e dividindo-se por 2, a fórmula pode ser escrita como: 2 ) , ( b a M ab = + ou ( ) 2 ) , ( = a+b ÷ M ab .
Nesse último caso, é importante ressaltar com os alunos a importância dos parênteses na sentença matemática.
c) De forma análoga, precisamos somar os três valores e dividir o resultado por 3.
3 ) , , ( c b a M abc = + + d) Solução: 26 3 35 24 19 ) 35 , 24 , 19 ( = + + = M .
e) Substituindo os valores das provas P e 1 P2, e o valor da média desejada na fórmula, obtemos a seguinte equação:
3 5 , 7 5 , 5 6= + +P3 ou 3 13 6= +P3 .
Nesse caso, podemos olhar para a segunda equação como uma pergunta do tipo: qual é o valor que somado com 13 e dividido por 3 resulta em 6? Sem utilizar
Fórmulas de Média Aritmética
4. Um aluno obteve notas 6 e 7,5 em duas provas de Matemática.
a) Calcule a média aritmética das notas obtidas.
b) Escreva uma fórmula para calcular a média aritmética M(a, b) de dois valores quaisquer, representados pelas letras a e b.
c) Escreva uma fórmula para calcular a média aritmética M(a, b, c) de três valores quaisquer, representados pelas letras a, b e c.
d) Use a fórmula encontrada no item anterior e calcule a média aritmética dos números 19, 24 e 35.
e) Um aluno obteve 5,5 e 7,5 em duas provas de Geografia. Restando mais uma prova a ser realizada, qual nota ele deve obter para que média aritmética das três provas seja igual a 6?
nenhum procedimento de resolução de equação, um aluno da 6ª série é capaz de responder a essa pergunta. Se o resultado da divisão de um número por 3 é 6, esse número é 18. Portanto, o número procurado somado com 13 é igual a 18. O número procurado é 5.
Análise
Nesta seção Você aprendeu? temos o problema 4, cujo o objetivo é explorar as letras para representar números e grandezas e ainda o valor numérico de uma fórmula, neste caso é utilizado a fórmula de Média Aritmética.
Neste problema, de acordo com o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3 e G5 da variável como número genérico. Nos itens (a), (d) e (e) é necessário o aspecto I1, uma vez que deverão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema; já os itens (d) e (e) são indispensáveis também os aspectos I2, I4 e I5, pois terão que interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a representação de valores específicos (I2); determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos (I4); e simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular equações (I5). Nos itens (b) e (c) são necessários os aspectos G2, G3 e G5, já que deverão reconhecer interpretar a variável simbólica (letra) como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor (G2); deduzir regras e métodos gerais em famílias de problemas (G3); e simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5).
Já com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, visto que teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada a fórmula de Média Aritmética. Além disso, nos itens (b) e (c) temos a concepção e dimensão Álgebra como aritmética generalizada, pois precisarão generalizar modelos. E nos itens (a), (d) e (e) temos a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, uma vez que precisarão resolver e apresentar a solução do problema.
Na Figura 21, apresentamos a Pesquisa individual, em que é solicitado aos alunos fazerem uma pesquisa a respeito do que são os impostos, quem os arrecada, para onde vai o dinheiro e o que é o Imposto de Renda.
De acordo com o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009):
Muitas das fórmulas que são publicadas em jornais e revistas referem-se a cálculos econômicos e financeiros. Os exemplos mais conhecidos são as fórmulas de juros simples e compostos, do cálculo de impostos, taxas de câmbio, etc. Saber utilizar essas fórmulas é importante para o cidadão interpretar e atuar sobre a realidade econômico-financeira vigente. Vamos explorar, como exemplo, o cálculo do Imposto de Renda mensal aplicado sobre os rendimentos de uma pessoa.
Esta pode ser uma oportunidade para conversar com os alunos sobre alguns conceitos relacionados à Economia. O que são os impostos, quem arrecada, para onde vai o dinheiro, como se cobra esse tributo, o que é o Imposto de Renda, etc. (SÃO PAULO, 2009, p. 25).
Além disso, este material recomenda que durante as resoluções dos problemas, utilize-se calculadoras para efetuar os cálculos, pois dessa forma, os estudantes podem se concentrar mais no uso das fórmulas, que é o objetivo principal desta Situação de Aprendizagem.
Figura 21 - Problema 5 da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 17
Já na Figura 22, temos Leitura e Análise do Texto, em que são apresentados dois textos a respeito do Imposto de Renda:
Fórmulas na Economia
5. Faça uma pesquisa sobre o Imposto de renda, tendo como base as seguintes
perguntas: O que são os impostos? Quem arrecada? Para onde vai o dinheiro? O que é o Imposto de Renda? Registre o resultado de sua pesquisa nas linhas a seguir. __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________
Figura 22 - Leitura e Análise de Texto da Situação de Aprendizagem 2 Fonte: São Paulo, 2009a, p. 17-18
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
5. Procure orientar a pesquisa dos alunos, fornecendo indicações de livros,
dicionários, revistas ou sites que tragam informações sobre impostos. Indicamos alguns sites que trazem informações a respeito de impostos e do imposto de renda. O papel dos impostos: http://leaozinho.receita.fazenda.gov.br/escola/default.htm http://www.alemg.gov.br/cedis/cartilha/Modulo%20Vermelho/Aula4/default.htm
Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda?
A “mordida do leão” dói todo ano no bolso do contribuinte e todo mundo se pergunta onde os recursos recolhidos são aplicados. Uma maneira de garantir que pelo menos uma parte do imposto seja usada para uma causa nobre é doar para entidades de apoio à criança e ao adolescente. Pouca gente sabe dessa possibilidade, apesar de a lei ser de 1990, mas qualquer pessoa ou empresa pode abater do Imposto de Renda o valor doado a instituições, desde que elas estejam cadastradas nos conselhos ligados aos Fundos da Criança e do Adolescente.
CASALETTI, Danilo. Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda? In: Revista Época. Disponível em: <http://revistaepoca.globo.com/Revista/Epoca/ 0,,ERT 29453- 15201-294553-3934.html>. Acesso em: 21 jul. 2009.
O surgimento do Leão
No final de 1979, a Secretaria da Receita Federal encomendou uma campanha publicitária para divulgar o Programa Imposto de Renda. Após análise das propostas, foi imaginado o leão como símbolo da ação fiscalizadora da Receita Federal e, em especial, do imposto de renda. De início, a ideia teve reações diversas, mas mesmo assim, a campanha foi lançada.
A escolha do leão levou em consideração algumas de suas características:
1) É o rei dos animais mas não ataca sem avisar; 2) É justo;
3) É leal;
4) É manso, mas não é bobo.
A campanha resultou numa identificação pela opinião pública do leão com a Receita Federal, e em especial com o imposto de renda. Embora hoje em dia a Receita Federal não use a figura do leão, a imagem do símbolo ficou guardada na mídia e na mente dos contribuintes.
Disponível em: <http://receita. fazenda.gov.br/Memoria/irpf/curiosidades/ curiosidades.asp#surgimentodoLeão>. Acesso em: 23 jul. 2009.
6. Explique o significado da expressão “mordida do leão”, que aparece na matéria
apresentada na seção Leitura e Análise de Texto.
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Imposto de renda:
http://www.receita.fazenda.gov.br/Memoria/irpf/historia/historia.asp. Acessado em 29 set. 2009.
A ideia central que deve ser discutida com os alunos é a de que os impostos são contribuições em dinheiro que os governos cobram dos cidadãos e das empresas para promover investimentos públicos (construção de ruas, pontes, usinas, etc.), implantar e manter serviços públicos (água, luz, telefone, etc.). Há diversos tipos de impostos, cada qual com uma finalidade. Existem os impostos