Beregnet utgiftsbehov 2015
7. ROLLEN SOM DEMOKRATISK ARENA
Para ilustração dos resultados, vamos estudar dois exemplos da Teoria da proba- bilidade e aplicar teoremas de limites locais a fim de ter exemplos concretos. Para isso, primeiro faremos uma breve introdução a caminhos aleatórios sobre grupos.
Vamos considerar aqui sempre G um grupo enumerável e µ uma medida de pro- babilidade sobre G. Vejamos a definição de caminhos aleatórios sobre grupos segundo o trabalho de Kaimanovich e Vershik (ver em [12]).
Definição 4.5. Um processo estocástico (Xn)n∈N é uma coleção de variáveis aleatórias
Xn : Ω→ RN tal que w 7→ (Xn(w) : n∈ N) é mensurável em relação a σ-álgebra B(RN).
Observe que Xn representa o estado do processo no tempo n. Como N é um
conjunto enumerável, então (Xn)n∈N é dito um processo estocástico discreto no tempo.
Portanto, um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias que descreve a evolução de algum processo através do tempo.
Definição 4.6. O caminho aleatório sobre G é definido por Ω espaço mensurável, {Pg :
g ∈ G} medidas de probabilidade sobre Ω e uma sequência Xn : Ω → G com n ∈ N tal
que para cada n ∈ N, gi ∈ G,
Pg(X1 = g1, ..., Xn = gn) = n−1
Y
i=1
µ(gi−1gi+1) (17)
Em outras palavras, a posição de um caminho aleatório pode ser obtido a par- tir do anterior, através da multiplicação à direita com um elemento aleatório do grupo distribuição µ. Note que a definição de caminhos aleatórios segue apenas pela sua proba- bilidade de transição (sem qualquer distribuição inicial fixada), assim o caminho aleatório pode ser identificado com o par (G, µ). O caminho aleatório esquerdo pode ser defi- nido similarmente com a probabilidade de transição P (g|h) = µ(gh−1). Evidentemente,
P (g−1|h−1) = µ(h−1g) e substituindo a medida µ por uma reflexão reduz o estudo do
caminho aleatório a esquerda ao estudo da direita somente.
Exemplo 1 Este exemplo é baseado em caminhos aleatórios de Polya (ver [19]) em Zd. Para pi ∈ (0, 1) : i ∈ ({±1, . . . , ±d}) com Pd
i=1(pi + p−i) = 1, considere o caminho
aleatório em Zdcom a probabilidade de transição P (±e
i) = p±ionde eirefere-se ao i-ésimo
elemento da base canônica de Zd. Este passeio aleatório tem uma descrição equivalente
através da seguinte extensão por grupo.
Seja Σ o shift completo com 2d símbolos {−d, . . . , −1, 1, . . . , d} e ϕ a função localmente constante definida por ϕ|[±i] := p±i. Note quePdi=1(pi+ p−i) = 1 implica que
Lϕ(1) = 1. Além disso, sabemos que a medida é definida por µ([i1. . . in]) := pi1· · · pin. É fácil ver que µ é θ-invariante, ergódica e 1/ϕ-conforme. Finalmente a extensão por grupo é definida por ψ : Σ→ Zd, (i1i2· · · ) 7→ ei1 : i1 > 0 −e−i1 : i1 < 0 .
Por construção de ν(x,g) e o fato de Σ ser shift completo, ϕ localmente constante
temos que ν(x,g)= ν(y,g) , para todo x, y ∈ Σ e g ∈ G. Além disso vamos escrever νg para
ν(x,g). Afim de aplicar o conhecido resultado sobre o teorema do limite local a partir da
teoria da probabilidade note que Ln ϕ(1Xid)(x, g) = X w∈Wn: ψ n(w)=g φn(τw(x)) = X (i1···in): ψn(i1···in)=g pi1· · · pin = P (Xn = g),
com Xn = h refere-se ao passeio aleatório no tempo n começando na identidade com a
distribuição (Pi) e P a probabilidade do processo de Markov associado. No entanto, o
teorema do limite local para passeios aleatórios de Polya em ([30] , teorema 13.12) temos que (k1, . . . , kd)∈ Zd e n ∈ N tal que n − (k1+· · · + kd) temos,
P (Xn = (k1, . . . , kd))∼ Cn−d/2 2Pdi=1√pip−i nYd i=1 p pi/p−i ki . Assim, para ρ = 2Pd
i=1√pip−i e, com λi :=
p
pi/p−i, podemos concluir que
Ln ϕ(1X(k1,...,kd))(x, id)∼ Cn−d/2ρn d Y i=1 λ−ki i .
Lembre-se que um passeio aleatório é chamado de simétrico se pi = p−i, para todo i =
1, ..., d é então imediato que ρ = 1 se e somente se o passeio aleatório é simétrico. Além disso pela proposição 4.3, o termo n−d
conservativa no que diz respeito a ν se e somente se d = 1 ou d = 2. Observe que a conclusão não depende da simetria. A fim de obter estimativas para νid(X(k1,...,kd)), note que a estimativa acima implica que
νid(X(k1,...,kd)) = lim k→∞ P n∈Nbns−nk (Lnϕ1X(k1,...,kd))(x, id) P n∈Nbns−nk (Lnϕ1Xid))(x, id) = d Y i=1 λ−ki i .
Pela conformalidade de νid, obtemos para o cilindro [(i1, . . . , in), z] em Σ× Zd, que
νid([(i1. . . in), z]) = ρ−npi1· · · pinνid(Xz+ψn(i1...in)) = ρ−npi1· · · pinνid(Xz) n Y k=1 λ−1ik = ρ−nνid(Xz) n Y k=1 √p ikp−ik = 1 2nνid(Xz) n Y k=1 √p ikp−ik Pd i=1√pip−i (18) Em particular, o último termo em (18) revela a simetria local
νid([(i1. . . ik. . . in), z]) = νid([(i1. . .− ik. . . in), z]), (k∈ 1, . . . , n),
Enquanto que a nível global, a medida é multiplicativa com respeito ao último componente que é
νid([(i1. . . in), z1+ z2]) = νid([(i1. . . in), z1])νid([(i1. . . in), z2])
Por fim , (18) implica que a função do teorema 4.2 é dada por h((x, g), (y, z)) = dνg
dνid
(y, z) = ν(Xg).
Estas considerações podem ser resumidas como se segue. Se ϕ é simétrica, então λi = 1 Para todo i = 1, . . . , d. Em particular ρ = 1 e ν(Xg) = 1 para todo g ∈ Zd. Se
ϕ não é simétrica, então ρ < 1 e {νid(Xg) : g ∈ Zd} não é limitada inferiormente nem
superiormente. No entanto, a função h definida por h(x, g) := νg(Xid) é uma função Lϕ
adequada pela proposição 4.4 e portanto dm := hdν e T -invariante.
No entanto como facilmente pode ser verificado, m(Xg) = 1, para todo g ∈ Zd. e,
em particular, m é a medida associada ao passeio aleatório simétrico com probabilidade de transição P (±ei) = √pip−i/(2Pk√pkp−k).
Exemplo 2 Neste exemplo vamos substituir o grupo Zd pelo grupo livre Fd com os
geradores g1, ..., gd. Para isso, primeiro vamos dar a definição de grupo livre. Seja Fd =
{e1, e−11 , . . . , ed, e−1d }. O grupo livre Fd é definido por
Fd:=∪m∈N{(v1, . . . , vm)∈ Fm
d : vi 6= v−1i+1,∀i = 1, . . . , m − 1}.
Assim, Fd× Fd → Fd, onde (v1, . . . , vm).(w1, . . . , wn) = (v1, . . . , vm, w1, . . . , wn), o qual
Em analogia com o exemplo acima, as transições são dadas por P (g±i) = p±i com
g−i := g−1i . A extensão por grupos associada é definindo através de
ψ : Σ→ Fd, (i1i2· · · ) 7→ gi1.
Como acima, podemos agora aplicar o teorema do limite local para o grupo livre de Gerl e Woess em [10]. Este resultado é aplicável para probabilidades de transição arbitrárias, no entanto, para facilitar a exposição, nos restringimos ao caso especial em que q := √pip−i não depende de i. Então, por (5.3) e (5.4) em [10], temos que ρ = 2q
√ 2d− 1 e lim n→∞ P (Xn = gi1· · · gik) P (Xn= id) = 1 + d−1d k(2d− 1)−k/2 k Y i=1 λik, (19)
para n e k e gi1· · · gik em forma reduzida, ou seja, gil 6= g
−1
il+1 para l = 1, . . . , k −1. Usando os mesmos argumentos que no exemplo 1, obtemos que
νid(Xgi1···gik) = 1 +d−1d k (2/ρ)k k Y i=1 qλ−ik = 1 + d−1 d k (2/ρ)k k Y i=1 p−ik.
Observe que os mesmos objetos que calculamos no exemplo 1, podemos calcular de forma semelhante para Fd.
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