O processo hidráulico caracteriza-se pelo controlo do caudal que fluí no circuito. O controlo da pressão no circuito é uma característica indireta que decorre do volume do acumulador e da pressão a que está sujeito o seu gás. A caracterização de um caso particular, referente a um acumulador de 0,002 m³ e uma pressão de trabalho de 20 MPa, pode ser observada graficamente na figura 3.3.
Para a obtenção da equação de controlo, optou-se pelo controlo do volume do acumulador, ainda que não seja uma característica diretamente mensurável. Na figura 3.2, pode observar-se o diagrama de blocos proposto.
O controlo em malha fechada é realizado com base no erro do volume presente no acumulador. O bloco C(s), representa a função transferência correspondente ao controlador. O erro, isto é, a diferença entre o volume de referência do acumulador e o volume correspondente a pressão no circuito, serve como entrada do controlador, que converte na rotação desejada do motor e consequentemente da bomba.
A função transferência T(s), converte a tensão elétrica, (baseada na posição de um potenciómetro), que reflete a pressão desejada para o circuito hidráulico, no volume de referência do acumulador, correspondente à pressão desejada.
O sensor S(s), é responsável pela leitura da pressão do circuito hidráulico, tal como se apresenta na figura 3.2. A tensão elétrica, u(s), é então convertida para volume, de acordo com a especificação de T(s).
O motor e o driver que lhe está associado, está representado na forma da função transferência M(s). Como se pode observar, a entrada desta função transferência é modelada por uma tensão
Figura 3.2 Esquema de blocos do processo
P [Pa] P [Pa] - u(s) (ref.) erro + - ω(s) ω*(s) V(s) Vr(s) u(s)
Projeto e desenvolvimento de uma central hidráulica servo acionada
Capítulo 3 – Modelação 31
elétrica que reflete a velocidade desejável do motor, tendo como saída a mesma velocidade sob a forma de uma rotação mecânica.
A função G(s), representa o comportamento do circuito hidráulico, tendo como entrada a velocidade do eixo da bomba, ω*(s), e na saída, a pressão na linha do circuito hidráulico provocada pela pressão do gás no acumulador.
O caudal do acumulador é resultado do equilíbrio entre o caudal de saída do circuito e do caudal proporcionado pela bomba.
Podemos escrever a uma equação de equilíbrio do sistema tendo como base o equilíbrio dos caudais:
q = q + q ( 3.1 )
Caudal de entrada ou da bomba = [ / ]; Caudal na entrada do acumulador = " [ / ]; Caudal de retorno ao tanque ou de saída = [ / ].
O caudal de entrada ou da bomba é resultado da rotação, rendimento e deslocamento da bomba. De acordo com as equações utilizadas no modelo da bomba do Matlab Simulink, calcula-se a seguir o caudal fornecido pela bomba em função da sua rotação, tendo em conta as perdas volumétricas relacionadas com a pressão e propriedades do fluido.
= # ∗ $ − %& "'∗ ( ( 3.2 ) %& "' =+ ∗ ,%)* ( 3.3 ) %)* = # ∗ $-./.∗ 1 − 1( 2 ∗ +-./.∗ ,-./. -./. ( 3.4 ) Em que: Deslocamento de bamba = D [m . 456 7];
Projeto e desenvolvimento de uma central hidráulica servo acionada
32 Capítulo 3 – Modelação
Rotação da bomba = $ [456· −1]; Rendimento volumétrico = 12; Coeficiente de perda = %& "'; Pressão da linha = P [Pa];
Coeficiente Hagen – Poiseuille = %)*; Viscosidade cinemática = + [mm2· 7];
Densidade do fluido = , [kg. ];
O caudal de retorno ao tanque é o somatório dos caudais de todos os atuadores.
= 9 :
- ;
( 3.5 )
De acordo com a lei de Hagen-Poiseuille3, o caudal de saída pode ser calculado em função da pressão e da resistência hidráulica, <= :
=∆(<
=
( 3.6 )
Em condições isotérmicas para gases ideais, a pressão e o volume estão relacionadas segundo a lei de Boyle-Mariotte4, que pode ser simplificada da seguinte forma:
3A lei de Poiseuille ou equação de Poiseuille, relaciona a queda de pressão de um fluido ao longo de um tubo cilíndrico. Foi obtida experimentalmente por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen em 1839 e Jean Léonard Marie Poiseuille em 1838, e publicada por Poiseuille em 1840 e 1846, (in wikipedia.org).
4A Lei de Boyle-Mariotte (geralmente citada somente comoLei de Boyle) enuncia que apressãoabsoluta e ovolumede uma certa quantidade de gás confinado são inversamente proporcionais se atemperaturapermanecer constante num sistema fechado. A lei recebe o nome deRobert Boyle, que publicou a lei original em 1623e deEdme Mariotteque posteriormente realizou os mesmo experimento e publicou seus resultados na França em 1676, (in wikipedia.org).
Projeto e desenvolvimento de uma central hidráulica servo acionada
Capítulo 3 – Modelação 33
P;. V; = P7. V7 ( 3.7 ) Onde:
(; A (7= Pressão do gás inicial e final respetivamente;
B; A B7 = Volume do gás inicial e final respetivamente.
Nas condições da equação anterior, assume-se que a transformação ocorre num sistema fechado, em que há troca de energia com os sistemas na sua vizinhança.
A troca de energia referida é típica de um reservatório sujeito a mudanças de pressão e volume, suficientemente lentas, que permitem que todo o sistema se ajuste continuamente.
No processo adiabático não há troca de energia térmica entre o reservatório e os sistemas na sua vizinhança. Toda a energia térmica produzida é transformada no processo de compressão/expansão do nitrogénio no interior do acumulador.
A equação matemática que descreve um processo adiabático de um gás é a seguinte:
P ∗ VC= Constante ( 3.8 ) Onde:
P = Pressão do gás no acumulador;
V= Volume do gás no acumulador;
γ = EF
EG Razão entre os calores específicos molares à pressão constante.
O gás utilizado nos acumuladores é o nitrogénio em que H =I
J= 1,4. Podemos assim, rescrever (3.7) na seguinte forma:
P;. V;C= P7. V7C ( 3.9 ) De acordo com a Bosch Rexroth AG, o acumulador segue a lei isométrica e a descarga a lei adiabática.
Projeto e desenvolvimento de uma central hidráulica servo acionada
34 Capítulo 3 – Modelação
No gráfico da figura 3.3, comparam-se as curvas isométrica e adiabática para uma gama de pressões. Como se pode observar, a aproximação da curva adiabática à reta linear apresentada introduz um erro negligenciável para o processo de controlo uma vez que se deseja uma pequena variação de pressão no sistema.
Assim, podemos escrever:
B ( = 5 + M ∗ ( ( 3.10 ) Em que “a” e “b” são constantes a determinar após a escolha do acumulador e V o volume do fluido no acumulador. Substituindo em (3.6), obtém-se: 1 <=∗ B 5 M ( 3.11 )
O caudal do acumulador pode ser determinado derivando o seu volume:
y = 7E-05x - 0,0012 R² = 0,9984 0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0,0003 0,00035 17,5 18 18,5 19 19,5 20 20,5 21 21,5 V o lu m e d o f lu id o [ m 3 ] Pressão [MPa]