Seja um sinal PSK transmitido sobre um canal afetado por AWGN. A representa¸c˜ao em banda base do sinal recebido pode ser dada por
ˆ
r(t) = ˆs(t) + η(t), mTs t (m + 1)Ts, m 2 N, (3.7) em que ˆs(t) ´e definido pela Equa¸c˜ao (3.3), e η(t) representa o ru´ıdo aditivo modelado por um processo Gaussiano branco complexo, com m´edia nula e densidade espectral de potˆencia (DEP) igual a @0/2 por dimens˜ao, em que
@0 = 10−0,1·SN RdB, (3.8)
e a SN RdB (ou rela¸c˜ao sinal-ru´ıdo em dB) corresponde `a raz˜ao entre a potˆencia do sinal e a potˆencia do ru´ıdo (TRANTER et al.,2003).
Os efeitos do AWGN, contudo, n˜ao s˜ao suficientes para descrever os efeitos do canal de comunica¸c˜ao sem fio. Esse tipo de ambiente se caracteriza por m´ultiplos percursos de propaga¸c˜ao, com um atraso e um fator de atenua¸c˜ao associados a cada um destes percursos. Ambos os parˆametros s˜ao variantes no tempo como resultado das altera¸c˜oes frequentes na estrutura do meio.
Ao se transmitir um pulso extremamente curto, idealmente um impulso, por um canal multi-percurso variante no tempo, o sinal recebido pode parecer com uma sequˆencia de pulsos. Nesse tipo de ambiente, ao repetir-se o experimento, ´e poss´ıvel observar claras altera¸c˜oes na sequˆencia de pulsos recebidos. Do ponto de vista do usu´ario do canal, as varia¸c˜oes temporais percebidas parecem imprevis´ıveis. Estas varia¸c˜oes podem ser enxerga- das na dura¸c˜ao de cada pulso, nos atrasos relativos entre os pulsos, e, frequentemente, no n´umero de pulsos obtidos na sequˆencia recebida (P¨ATZOLD, 1999; JERUCHIM et al., 2000; PROAKIS, 2000; SKLAR, 2001;TRANTER et al.,2003). A Figura3.2 ilustra esse efeito.
Sinal transmitido Sinal recebido
t = t0 t = t1 t = t3 0 0 0 t t t
Figura 3.2 - Resposta ao impulso de um canal multi-percurso variante no tempo.
Dessa forma, o sinal modulado na sa´ıda do canal pode ser expresso no receptor por
r(t) = N X
k=1
α(k, t)s(t − τk(t)), (3.9)
em que α(k, t) e τk(t) s˜ao, respectivamente, o fator de atenua¸c˜ao do sinal recebido no k- ´esimo percurso e o atraso correspondente ao k-´esimo percurso, no instante t. Substituindo s(t), definido na Equa¸c˜ao (3.1), na Equa¸c˜ao (3.9), tem-se que
r(t) = N X
k=1
αk(t)A(t − τk(t)) cos [2πfc(t − τk(t)) + θ(t − τk(t))] , (3.10)
que pode ser reescrito como
r(t) = N X k=1 αk(t)A(t − τk(t))< 4 ej2πfcte−j2πfcτk(t)ejθ(t−τk(t)) . (3.11)
Considerando a transmiss˜ao de sinais PSK, e levando em conta que αk(t) ´e real, a Equa¸c˜ao (3.11) pode ser reescrita como
r(t) = < ( N X k=1 αk(t)ˆs(t − τk(t))ej2πfcte−j2πfcτk(t) ) , (3.12) em que ˆs(t) = ejθm para mT s t (m + 1)Ts, m 2 N.
Seja o valor complexo da atenua¸c˜ao por percurso definido como
ˆ
αk(t) = αk(t)e−j2πfcτk(t), (3.13) de tal forma que
r(t) = < ( N X k=1 ˆ αk(t)ˆs(t − τk(t))ej2πfct ) . (3.14)
Ent˜ao, a envolt´oria complexa na sa´ıda do canal ´e dada por
ˆ r(t) = N X k=1 ˆ αk(t)ˆs(t − τk(t)). (3.15)
A rela¸c˜ao entre entrada e sa´ıda definida pela Equa¸c˜ao (3.15) corresponde a um sistema linear variante no tempo com resposta ao impulso
ˆh(τ, t) = N X k=1 ˆ αk(t)δ(t − τk(t)). (3.16)
Assim, a resposta ao impulso que descreve o canal variante no tempo, denominada ˆh(τ, t), ´e uma fun¸c˜ao do tempo τ que define a dura¸c˜ao do impulso δ(t−τk(t)) sobre o canal, e do tempo t em que o efeito do impulso ´e observado na sa´ıda do canal (PROAKIS,2000). ´
E atrav´es dessas vari´aveis que os efeitos dos m´ultiplos percursos do canal se manifestam, de acordo com esse modelo (JERUCHIM et al., 2000).
Exemplo com trˆes percursos.
Nesse exemplo, o modelo de simula¸c˜ao desconsidera o ru´ıdo e ´e constitu´ıdo de trˆes percursos, assumindo-se que:
a) o meio de transmiss˜ao n˜ao sofre altera¸c˜oes em sua geometria durante a transmiss˜ao, fazendo com que as atenua¸c˜oes e os atrasos correspondentes ao k-´esimo atraso sejam constantes;
b) o desvanecimento que afeta o canal n˜ao influencia a fase do sinal transmi- tido, apenas a sua amplitude;
c) a magnitude da atenua¸c˜ao de cada componente multi-percurso ´e conside- rada constante sobre intervalos adjacentes;
O sinal recebido para este exemplo pode ser escrito como ˆ r(t) = α0ˆs(t − τ0) | {z } 1◦ Percurso Rayleigh + α1ˆs(t − τ1) | {z } 2◦ Percurso Rayleigh + α2ˆs(t − τ2) | {z } 3◦ Percurso Rayleigh , (3.17)
onde α0, α1 e α2 representam as atenua¸c˜oes de cada percurso, e τi ´e o atraso relativo entre dois percursos consecutivos. Considerando que τ0 = 0 e que τ = τ1 = τ2/2, a transformada de Fourier da Equa¸c˜ao (3.17) ´e dada por
ˆ
R(f ) = α0S(f ) + αˆ 1S(f )eˆ −j2πfcτ + α2S(f )eˆ −j4πfcτ, (3.18) que leva `a fun¸c˜ao de transferˆencia
ˆ
H(f ) = α0+ α1e−j2πfcτ+ α2e−j4πfcτ. (3.19) A partir da Equa¸c˜ao (3.19), fica claro que se o produto fcτ n˜ao for desprez´ıvel com rela¸c˜ao `a faixa de frequˆencias que o sinal ocupa, o canal ´e seletivo em frequˆencia, levando ao espalhamento dos atrasos e `a interferˆencia inter-simb´olica (TRANTER et al.,2003). ⇤
Enquanto a teoria eletromagn´etica fornece modelos f´ısicos para descrever isolada- mente os fenˆomenos que caracterizam ambientes de comunica¸c˜ao sem fio, ´e poss´ıvel utilizar modelos estat´ısticos que simulem a rela¸c˜ao entre entrada e sa´ıda em um canal m´ovel para ambientes complexos. Em particular, a resposta do canal em banda base, levando em considera¸c˜ao tanto os efeito em grande quanto em pequena escala, pode ter a forma
Γ(τ, t) = ( k dngsh(p(t)) <1/2) ˆh(τ, p(t)). (3.20)
Nessa equa¸c˜ao, o termo entre chaves modela os efeitos de desvanecimento em grande escala, como na Equa¸c˜ao (3.6). A constante K = −10log10(k) ´e a m´edia de atenua¸c˜ao de potˆencia, em dB, associada a uma distˆancia fixada, d ´e a distˆancia em metros entre transmissor e receptor, e o fator gsh(p(t)) considera o efeito de sombreamento por pr´edios, t´uneis e outras obstru¸c˜oes a uma determinada posi¸c˜ao p(t). O termo ˆh(τ, p(t)), neste trabalho simplificado como ˆh(τ, t), considera os efeitos causados por m´ultiplos percursos e por desvanecimentos localizados em fun¸c˜ao de uma determinada posi¸c˜ao p(t) a um instante t.
Na Equa¸c˜ao (3.20), os termos que calculam o desvanecimento em grande escala pro- vocados pelo sombreamento e pela atenua¸c˜ao de percurso variam muito lentamente, em fun¸c˜ao do tempo, para velocidades veiculares comuns, quando comparados a ˆh(τ, p(t)). Sendo assim, a atenua¸c˜ao provocada pelos efeitos em grande escala podem ser tratados
como constantes em uma regi˜ao delimitada. Por outro lado, o comportamento de equa- lizadores, demoduladores e decodificadores s˜ao significativamente afetados pela dinˆamica do comportamento em pequena escala caracterizado por ˆh(τ, p(t)). Por isso, a maior parte do esfor¸co na modelagem e simula¸c˜ao do ambiente sem fio m´ovel ´e focado nos fenˆomenos de desvanecimento em pequena escala (TRANTER et al., 2003).