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Panel 24: Recommended national and international actions
• Elabora¸c˜ao do Modelo Te´orico
A primeira etapa da An´alise de Equa¸c˜oes Estruturais consiste na elabora¸c˜ao de um modelo te´orico a priori, isto ´e, no estabelecimento de um modelo onde se definem as hip´oteses das rela¸c˜oes causais entre as vari´aveis.
• Recolha dos Dados
Ap´os a elabora¸c˜ao do modelo te´orico ´e necess´ario fazer a recolha dos dados. Uma quest˜ao importante nesta etapa ´e a dimens˜ao da amostra a recolher. Uma das condi¸c˜oes mais utilizadas para a determina¸c˜ao da dimens˜ao da amostra, n, ´e dada pela express˜ao (Westland, 2010)
n ≥ 50r2− 450r + 1100 (3.5)
onde r = (p + q)/f , em que p ´e o n´umero de vari´aveis manifestas end´ogenas, q o n´umero de vari´aveis manifestas ex´ogenas e f o n´umero de vari´aveis latentes.
• Especifica¸c˜ao do Modelo
A especifica¸c˜ao do modelo consiste na tradu¸c˜ao das hip´oteses que se estabelecem no modelo te´orico num diagrama de caminhos. Nesta etapa, o erro mais cr´ıtico ´e a inclus˜ao ou a omiss˜ao de uma ou mais vari´aveis preditoras, um problema conhecido como erro de especifica¸c˜ao que pode impedir a estima¸c˜ao dos parˆametros do modelo ou produzir estimativas enviesadas dos mesmos.
• Identifica¸c˜ao do Modelo
Os Modelos com Equa¸c˜oes Estruturais podem ser classificados em trˆes tipos (Schumacker e Lomax, 2004): modelos sub-identificados; modelos identificados e modelos sobre-identificados. Esta classifica¸c˜ao ´e feita tendo em conta o n´umero de parˆametros a estimar, t, e o n´umero de elementos n˜ao redundantes da matriz de variˆancia-covariˆancia das vari´aveis manifestas, (p+q)(p+q +1)/2, onde p ´e o n´umero de vari´aveis manifestas end´ogenas e q o n´umero de vari´aveis manifestas ex´ogenas.
Quando o n´umero de parˆametros a estimar ´e superior ao n´umero de elementos n˜ao redundantes da matriz de variˆancia-covariˆancia, os modelos denominam-se modelos sub-identificados ou indeterminados. Neste caso, o modelo tem pouca informa¸c˜ao para determinar as estimativas dos parˆametros, existindo assim um n´umero infinito de solu¸c˜oes. Para a resolu¸c˜ao do problema de indetermina¸c˜ao, fixa-se ou restringe-se um ou mais parˆametros livres do modelo, ou ent˜ao adicionam-se vari´aveis manifestas no caso de as vari´aveis latentes serem definidas por um n´umero reduzido de vari´aveis manifestas.
Se o n´umero de parˆametros a estimar ´e igual ao n´umero de elementos n˜ao re- dundantes da matriz de variˆancia-covariˆancia, os modelos denominam-se modelos identificados ou determinados. Neste caso, existe apenas uma ´unica estimativa para cada parˆametro. A qualidade do ajustamento do modelo ´e perfeita, bem como a sua significˆancia.
Caso o n´umero de parˆametros a estimar seja inferior ao n´umero de elementos n˜ao redundantes da matriz de variˆancia-covariˆancia, os modelos denominam-se modelos sobre-identificados. Neste caso, ´e necess´ario impor algum tipo de restri¸c˜ao para que os parˆametros possam ser estimados e assim ´e poss´ıvel avaliar a qualidade de ajustamento do modelo.
Modelos identificados ou sobre-identificados podem apresentar problemas de sub- identifica¸c˜ao emp´ırica, que ocorre quando um parˆametro necess´ario para a identi- fica¸c˜ao do modelo assume um valor pr´oximo de zero ou quando existe multicoli- nearidade entre vari´aveis. A solu¸c˜ao para a sub-identifica¸c˜ao emp´ırica consiste na reespecifica¸c˜ao do modelo com a remo¸c˜ao de vari´aveis manifestas colineares e o aumento da dimens˜ao da amostra.
Algumas das condi¸c˜oes e regras mais utilizadas para avaliar a identifica¸c˜ao dos modelos s˜ao: regra B = 0; regra recursiva; condi¸c˜ao de ordem; condi¸c˜ao de carac- ter´ıstica e regra-t.
(i) Regra B = 0
A regra B = 0 ´e uma condi¸c˜ao suficiente, mas n˜ao ´e uma condi¸c˜ao necess´aria para a identifica¸c˜ao do modelo. Esta regra dita que o modelo ´e identificado se a matriz B for nula (Salgueiro, 2012);
(ii) Regra Recursiva
A regra recursiva ´e uma condi¸c˜ao suficiente, mas n˜ao ´e uma condi¸c˜ao necess´aria para a identifica¸c˜ao do modelo. Esta regra dita que se a matriz B for triangular inferior e a matriz Ψ for diagonal, ent˜ao o modelo ´e identificado (Salgueiro, 2012);
(iii) Condi¸c˜ao de Ordem
A condi¸c˜ao de ordem ´e uma condi¸c˜ao necess´aria, mas n˜ao ´e uma condi¸c˜ao su- ficiente para a identifica¸c˜ao do modelo. Esta condi¸c˜ao dita que uma equa¸c˜ao ´e identificada se todos os elementos sujeitos `a estima¸c˜ao de Ψ s˜ao livres e se o n´umero de vari´aveis exclu´ıdas dessa equa¸c˜ao ´e maior ou igual a p − 1, onde p ´e o n´umero de vari´aveis manifestas end´ogenas (Salgueiro, 2012);
(iv) Condi¸c˜ao de Caracter´ıstica
A condi¸c˜ao de caracter´ıstica ´e uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para a iden- tifica¸c˜ao do modelo. Esta condi¸c˜ao dita que uma equa¸c˜ao ´e identificada se todos os elementos de Ψ s˜ao livres e se ao se construir uma matriz C dada por
C = [(I − B) | − Γ]
onde I ´e a matriz identidade, B ´e a matriz dos coeficientes das vari´aveis latentes end´ogenas e Γ ´e a matriz das vari´aveis manifestas ex´ogenas, quando se eliminam todas as colunas desta matriz que n˜ao tenham zeros na i-´esima linha e se constr´oi uma nova matriz Ci com as restantes colunas, a caracter´ıstica de Ci ´e igual a p − 1, onde p ´e o n´umero de vari´aveis manifestas end´ogenas (Salgueiro, 2012);
(v) Regra-t
A regra-t ´e uma condi¸c˜ao necess´aria, mas n˜ao ´e uma condi¸c˜ao suficiente para a identifica¸c˜ao do modelo. Esta regra dita que o n´umero de parˆametros a estimar
tem de ser menor ou igual ao n´umero de elementos n˜ao redundantes da matriz de
variˆancia-covariˆancia, ou seja,
t ≤ (p + q) (p + q + 1)
2 (3.6)
onde p ´e o n´umero de vari´aveis manifestas end´ogenas e q o n´umero de vari´aveis manifestas ex´ogenas (Salgueiro, 2012).
• Estima¸c˜ao do Modelo
O objetivo da estima¸c˜ao do modelo ´e encontrar um vetor de estimativas dos parˆametros que maximize a probabilidade de se observar a estrutura correlacional das vari´aveis manifestas. Assim, nesta etapa pretende-se obter um vetor de estima- tivas dos parˆametros do modelo, θ, que gere uma matriz de variˆancia-covariˆancia, Σ(θ), que reproduza a matriz de variˆancia-covariˆancia populacional das vari´aveis manifestas, Σ, ou seja, pretende-se obter bθ tal que
Σ = Σ( bθ). (3.7)
A matriz de variˆancia-covariˆancia populacional das vari´aveis manifestas, Σ, ´e dada por (J¨oreskog e S¨orbom, 1996)
Σ = Σyy Σyx Σxy Σxx .
Atrav´es da ´algebra de matrizes e considerando as equa¸c˜oes (3.1), (3.2), (3.3) e (3.4), esta pode ser escrita em fun¸c˜ao dos parˆametros do modelo como (ver Apˆendice A)
Σ = Λy(I − B)−1(ΓΦΓT + Ψ) (I − B)−1TΛT y+ Θε Λy(I − B)−1ΓΦΛTx ΛxΦΓT (I − B)−1TΛT y ΛxΦΛTx+ Θδ . (3.8)
Na pr´atica, como n˜ao se conhecem as verdadeiras variˆancias e covariˆancias popula- cionais trabalha-se com a matriz de variˆancia-covariˆancia amostral, S. Pretende-se assim, obter bθ tal que
S = Σ( bθ). (3.9)
Para se obterem as estimativas dos parˆametros, os softwares de An´alise de Equa¸c˜oes Estruturais implementam um ou v´arios dos seguintes m´etodos de es- tima¸c˜ao: m´etodo da m´axima verosimilhan¸ca; m´etodo dos m´ınimos quadrados n˜ao ponderados; m´etodo dos m´ınimos quadrados generalizados; e distribui¸c˜ao assint´otica livre ou m´etodos dos m´ınimos quadrados ponderados. Todos estes m´etodos utili- zam algoritmos iterativos para a obten¸c˜ao do vetor bθ que minimize uma fun¸c˜ao da diferen¸ca da matriz de variˆancia-covariˆancia amostral, S, e a matriz de variˆancia- covariˆancia gerada pelo modelo te´orico, Σ( bθ). A fun¸c˜ao que traduz essa diferen¸ca ´e designada fun¸c˜ao de discrepˆancia e ´e dada por
f = FS − Σ( bθ). (3.10)
As fun¸c˜oes de discrepˆancia possuem as seguintes propriedades: f ´e um escalar; f ≥ 0; f = 0 se e s´o se o ajustamento ´e perfeito (S = Σ( bθ)); e f ´e cont´ınua em S e em Σ( bθ).
(i) M´etodo da M´axima Verosimilhan¸ca
O m´etodo da m´axima verosimilhan¸ca (Maximum Likelihood, ML) ´e o m´etodo de estima¸c˜ao mais utilizado em SEM e requer a normalidade multivariada da distri- bui¸c˜ao conjunta das vari´aveis manifestas. A fun¸c˜ao de discrepˆancia deste m´etodo ´e dada por (J¨oreskog e S¨orbom, 1996)
fM L= log|Σ( bθ)| + tr(SΣ −1
( bθ)) − log|S| − (p + q) (3.11)
onde p ´e o n´umero de vari´aveis manifestas end´ogenas e q o n´umero de vari´aveis manifestas ex´ogenas.
Os estimadores de m´axima verosimilhan¸ca s˜ao consistentes (`a medida que a dimens˜ao da amostra aumenta, as estimativa obtidas tendem para os verdadei- ros valores dos parˆametros), assintoticamente eficientes (para amostras grandes, a variˆancia dos estimadores ´e m´ınima), assintoticamente n˜ao enviesados (para amos- tras de grande dimens˜ao, os estimadores dos parˆametros s˜ao n˜ao enviesados) e in- dependentes da escala de medida das vari´aveis (Babakus et al., 1987; Curran et al., 1996; Finch et al., 1997; Olsson et al., 2000; Tomarken e Waller, 2005).
(ii) M´ınimos Quadrados N˜ao Ponderados
O m´etodo dos m´ınimos quadrados n˜ao ponderados (Unweighted Least Squares, ULS) minimiza a soma dos quadrados dos erros (SQE), isto ´e, minimiza a soma dos quadrados de cada elemento da matriz residual, E, que ´e dada por
E = S − Σ( bθ). (3.12)
Os estimadores s˜ao consistentes, n˜ao assintoticamente eficientes e dependentes da escala de medida das vari´aveis. A fun¸c˜ao de discrepˆancia deste m´etodo ´e dada por (Bollen, 1989b; J¨oreskog e S¨orbom, 1996)
fU LS = 1
2tr[(S − Σ( bθ))
2]. (3.13)
(iii) M´ınimos Quadrados Generalizados
O m´etodo dos m´ınimos quadrados generalizados (Generalized Least Squares, GLS) minimiza a soma dos quadrados dos erros (SQE) ponderada pelo inverso da matriz de variˆancia-covariˆancia amostral. A fun¸c˜ao de discrepˆancia deste m´etodo ´e dada por (Arbuckle, 2008; J¨oreskog e S¨orbom, 1996)
fGLS = 1 2tr[S −1 (S − Σ( bθ))]2 = 1 2tr[(I − S −1 Σ( bθ))2]. (3.14)
Tal como o m´etodo da m´axima verosimilhan¸ca, este m´etodo requer a normali- dade multivariada da distribui¸c˜ao conjunta das vari´aveis manifestas. Os estimadores s˜ao consistentes, assintoticamente eficientes, assintoticamente n˜ao enviesados e in- dependentes da escala de medida das vari´aveis.
(iv) Distribui¸c˜ao Assint´otica Livre ou M´ınimos Quadrados Ponderados A fun¸c˜ao de discrepˆancia do m´etodo de distribui¸c˜ao assint´otica livre (Asymptotic Distribuition Free, ADF) ´e dada por (Arbuckle, 2008; J¨oreskog e S¨orbom, 1996)
fADF = (s − σ( bθ))TW −1 (s − σ( bθ)) = k X g=1 g X h=1 k X i=1 i X j=1 wgh,ij(sgh− σgh)(sij − σij) (3.15) onde sT = [s
11, s21, s22, s31, . . . , skk] ´e o vetor de elementos da matriz triangular inferior incluindo a diagonal de S com k = p + q; σ( bθ)T = [σ
11, σ21, σ22, σ31, . . . , σkk] ´e o vetor de elementos da matriz triangular inferior incluindo a diagonal de Σ( bθ) e wgh,ij um elemento gen´erico de uma matriz de pesos W−1
, definida positiva. ´E a presen¸ca desta matriz de pesos que faz com que este m´etodo tamb´em seja conhecido por M´ınimos Quadrados Ponderados (Weighted Least Squares, WLS). Os elementos da matriz W−1
devem ser estimativas consistentes da covariˆancia assint´otica entre sgh e sij, que se calcula a partir de
acov(sij, sgh) = 1
n(σijgh− σijσgh) (3.16)
onde σijgh´e o momento de quarta ordem em torno da m´edia e σij e σghas covariˆancias populacionais de xi com xj e de xg com xh, respetivamente.
• Avalia¸c˜ao da Qualidade do ajustamento
Nesta etapa, avalia-se como o modelo estimado na fase anterior se ajusta aos dados. Para o efeito, utilizam-se: o teste do Qui-Quadrado de ajustamento; os ´ındices de qualidade de ajustamento e a an´alise de res´ıduos, a significˆancia dos parˆametros e a fiabilidade individual. O teste do Qui-Quadrado de ajustamento e os ´ındices de qualidade de ajustamento testam o ajustamento global, enquanto a an´alise dos res´ıduos e da significˆancia do modelo testa o ajustamento local do modelo.
(i) Teste do Qui-Quadrado de Ajustamento
O teste do Qui-Quadrado (χ2) de ajustamento ´e um teste `a significˆancia da fun¸c˜ao da diferen¸ca entre a matriz de variˆancia-covariˆancia populacional, Σ, e a ma- triz de variˆancia-covariˆancia estimada pelo modelo, Σ( bθ). As hip´oteses estat´ısticas do teste s˜ao
H0 : Σ = Σ( bθ) vs. H1 : Σ 6= Σ( bθ)
e a estat´ıstica de teste ´e calculada por (Bollen, 1989b; J¨oreskog e S¨orbom, 1996) X2 = (n − 1)fmin
a
∼ χ2(p+q)(p+q+1) 2 −t
onde fmin ´e o valor m´ınimo da fun¸c˜ao de discrepˆancia do m´etodo de estima¸c˜ao apli- cado. Este teste ´e sens´ıvel `a viola¸c˜ao do pressuposto da normalidade multivariada da distribui¸c˜ao conjunta das vari´aveis manifestas e `a dimens˜ao da amostra. Quanto maior ´e o valor da estat´ıstica de teste X2, pior ´e o ajustamento do modelo.
Quando a normalidade multivariada da distribui¸c˜ao conjunta das vari´aveis mani- festas n˜ao ´e verificada, uma corre¸c˜ao deve ser utilizada (corre¸c˜ao de Satorra-Bentler) para se calcular a estat´ıstica X2. Esta corre¸c˜ao ´e dada por (Satorra e Bentler, 2001)
XSB2 = X 2 c a ∼ χ2(p+q)(p+q+1) 2 −t (3.18) onde c ´e um fator de corre¸c˜ao estimado por
c = 1
(p + q) (p + q + 1)
2 − t
tr [U × WADF] (3.19)
onde WADF ´e a matriz dos pesos do m´etodo ADF. Se o m´etodo de estima¸c˜ao for o de m´axima verosimilhan¸ca, a matriz U ´e estimada por
UM L= WM L− WM L∆ ∆TWM L∆
−1
∆TWM L (3.20)
onde ∆ = ∂σ( bθ)
∂ bθT ´e a matriz jacobiana.
(ii) ´Indices de Qualidade de Ajustamento
Os ´ındices de qualidade de ajustamento avaliam a qualidade de ajustamento do modelo, quando comparado com o modelo saturado ou o modelo basal.
O modelo saturado ´e o modelo com o melhor ajustamento poss´ıvel, ou seja, o modelo em que todas as vari´aveis manifestas se encontram relacionadas. O modelo basal ou modelo de independˆencia total ´e o modelo com o pior ajustamento poss´ıvel, ou seja, o modelo em que nenhuma vari´avel se encontra relacionada com as restantes vari´aveis no modelo.
Estes ´ındices podem ainda ser classificados em ´ındices absolutos, relativos, de parcim´onia, de discrepˆancia populacional e baseados na teoria de informa¸c˜ao. (A) ´Indices Absolutos
Os ´ındices absolutos avaliam a qualidade de ajustamento do modelo sem o com- parar com nenhum outro modelo.
(A.1) X2/gl
X2/gl corrige o valor da estat´ıstica Qui-Quadrado de ajustamento do modelo
pelos seus graus de liberdade (gl). Se o valor de X2 ´e grande face aos graus de
liberdade, ´e porque ´e poss´ıvel obter informa¸c˜ao adicional a partir dos dados. Se o ajustamento for perfeito, esta raz˜ao ´e igual a 1. Se for inferior a 3, considera-se que o ajustamento ´e bom; entre 3 e 5, considera-se que o ajustamento ´e aceit´avel; e se for superior a 5, ent˜ao o ajustamento ´e inaceit´avel (Arbuckle, 2008; Wheaton, 1987).
(A.2) Root Mean Square Residual (RMSR)
O Root Mean Square Residual (RMSR) ´e uma medida da m´edia dos res´ıduos ajustados que quantifica a diferen¸ca entre a matriz de variˆancia-covariˆancia estimada pelo modelo e a matriz de variˆancia-covariˆancia amostral. Este ´ındice ´e de dif´ıcil interpreta¸c˜ao e, por isso, ´e normalmente estandardizado. O RMSR ´e calculado por (J¨oreskog e S¨orbom, 1996) RM SR = v u u u t2 p+qP i=1 i P j=1 (sij − bσij)2 (p + q)(p + q + 1) (3.21)
onde p ´e o n´umero de vari´aveis manifestas end´ogenas e q o n´umero de vari´aveis manifestas ex´ogenas.
Este ´ındice ´e sobrestimado para amostras de pequena dimens˜ao e para modelos envolvendo a estima¸c˜ao de muitos parˆametros (Kenny et al., 2015). Se o ajustamento for perfeito, isto ´e, se S = Σ( bθ), o RMSR ´e igual a 0 e valores menores do que 0,08 indicam um bom ajustamento (Hu e Bentler, 1999).
(A.3) Goodness of Fit Index (GFI)
O Goodness of Fit Index (GFI) mede a propor¸c˜ao de covariˆancias amostrais que o modelo estima corretamente. Este ´ındice ´e calculado para cada uma das fun¸c˜oes de discrepˆancia dos m´etodos de estima¸c˜ao utilizados. Para os m´etodos de m´axima verosimilhan¸ca e m´ınimos quadrados ponderados, o GFI ´e calculado por (J¨oreskog e S¨orbom, 1996) GF IM L = 1 − trΣ( bθ)−1 S − I2 trΣ( bθ)−1 S2 , (3.22) GF IU LS = 1 − trS − Σ( bθ)2 tr [S2] . (3.23)
Para o m´etodo dos m´ınimos quadrados generalizados, o GFI ´e calculado por (Tanaka e Huba, 1985)
GF IGLS = 1 −
trI − Σ( bθ)S−12
p + q . (3.24)
O GFI aumenta com o aumento da dimens˜ao da amostra e com a adi¸c˜ao de vari´aveis ao modelo. Valores inferiores a 0,90 s˜ao indicadores de um modelo com mau ajustamento; valores entre 0,90 e 0,95 indicam um bom ajustamento; valores superiores a 0,95 s˜ao indicadores de um ajustamento muito bom e GFI = 1 indica um ajustamento perfeito.
(A.4) Adjusted Goodness of Fit Index (AGFI)
O Adjusted Goodness of Fit Index (AGFI) ajusta o GFI pelos graus de liberdade e ´e calculado por
AGF I = 1 − (p + q)(p + q + 1) 2 gl [1 − GF I] (3.25)
onde GFI deve ser substitu´ıdo por (3.22), (3.23) ou (3.24) dependendo do m´etodo de estima¸c˜ao utilizado. Valores superiores a 0,90 s˜ao indicadores de um modelo com um bom ajustamento.
(B) ´Indices Relativos
Os ´ındices relativos avaliam a qualidade de ajustamento comparando o modelo
estimado com o modelo basal. X2 e gl representam, respetivamente, a estat´ıstica
Qui-Quadrado de ajustamento do modelo estimado e os seus graus de liberdade,
enquanto que X2
b e glb representam, respetivamente, a estat´ıstica Qui-Quadrado de ajustamento do modelo basal e os seus graus de liberdade.
(B.1) Normed Fit Index (NFI)
O Normed Fit Index (NFI) avalia de que forma a qualidade de ajustamento do modelo estimado melhora em rela¸c˜ao ao modelo basal. Este ´ındice ´e calculado por (Bentler e Bonett, 1980) N F I = 1 − X 2 X2 b . (3.26)
O NFI aumenta com o aumento da dimens˜ao da amostra e com a adi¸c˜ao de vari´aveis ao modelo. Valores inferiores a 0,80 indicam um mau ajustamento; valores entre 0,80 e 0,90 indicam um ajustamento sofr´ıvel; valores superiores a 0,90 indicam um bom ajustamento e NFI = 1 indica um ajustamento perfeito (Arbuckle, 2008). (B.2) Incremented Fit Index (IFI)
O Incremented Fit Index (IFI) corrige o NFI pelos graus de liberdade e pela dimens˜ao da amostra. Este ´ındice ´e calculado por (Bollen, 1989a)
IF I = X 2 b − X2 X2 b − gl (3.27) e valores pr´oximos de 1 indicam um bom ajustamento.
(B.3) Comparative Fit Index (CFI)
O Comparative Fit Index (CFI) corrige a subestima¸c˜ao que ocorre quando se aplica o ´ındice NFI a amostras de pequena dimens˜ao e a sua interpreta¸c˜ao ´e equi- valente `a interpreta¸c˜ao do NFI. Este ´ındice ´e calculado por (Bentler, 1990)
CF I = 1 − max(X
2− gl, 0)
max(X2
b − glb, 0)
. (3.28)
Valores inferiores a 0,90 indicam um mau ajustamento; valores entre 0,90 e 0,95 indicam um bom ajustamento; valores superiores a 0,95 indicam um ajustamento muito bom e CFI = 1 indica um ajustamento perfeito.
(B.4) Relative Fit Index (RFI)
O Relative Fit Index (RFI) compara o ajustamento do modelo estimado com o modelo basal. Este ´ındice ´e calculado por (Bollen, 1989b)
RF I = 1 − X2 gl X2 b glb . (3.29)
O RFI aumenta com o aumento da dimens˜ao da amostra e com a adi¸c˜ao de vari´aveis ao modelo. Valores inferiores a 0,90 indicam um mau ajustamento e valores pr´oximos de 1 indicam um bom ajustamento.
(B.5) Tucker-Lewis Index (TLI)
O Tucker-Lewis Index (TLI) corrige o IFI pelos graus de liberdade. Este ´ındice ´e calculado por (Bentler e Bonett, 1980)
T LI = X2 b glb −X 2 gl X2 b glb − 1 . (3.30)
Este ´e o ´ındice menos afetado pela dimens˜ao da amostra. Valores pr´oximos de 1 indicam um ajustamento muito bom.
(C) ´Indices de Parcim´onia
Os ´ındices de parcim´onia determinam o impacto da adi¸c˜ao de parˆametros ao modelo, sendo obtidos atrav´es da corre¸c˜ao dos ´ındices relativos por um fator de penaliza¸c˜ao (gl/glb).
Valores inferiores ou iguais a 0,60 s˜ao indicadores de um mau ajustamento (Mu- laik et al., 1989); valores entre 0,60 e 0,80 s˜ao indicadores de um ajustamento razo´avel e valores superiores a 0,80 s˜ao indicadores de um bom ajustamento (Blunch, 2008).
(C.1) Parsimony Normed Fit Index (PNFI)
O Parsimony Normed Fit Index (PNFI) aplica o fator de penaliza¸c˜ao ao NFI P N F I = N F I × gl
glb
. (3.31)
(C.2) Parsimony Comparative Fit Index (PCFI)
O Parsimony Comparative Fit Index (PCFI) aplica o fator de penaliza¸c˜ao ao CFI
P CF I = CF I × gl
glb
. (3.32)
(C.3) Parsimony Goodness Fit Index (PGFI)
O Parsimony Goodness Fit Index (PGFI) aplica o fator de penaliza¸c˜ao ao GFI
P GF I = GF I × gl
glb
. (3.33)
(D) ´Indices de Discrepˆancia Populacional
Os ´ındices de discrepˆancia populacional avaliam a qualidade de ajustamento, comparando o modelo em que o m´ınimo da fun¸c˜ao de discrepˆancia ´e obtido atrav´es dos momentos amostrais e o modelo em que o m´ınimo da fun¸c˜ao de discrepˆancia ´e obtido atrav´es dos momentos populacionais.
(D.1) Non Centrality Parameter (NCP)
O Non Centrality Parameter (NCP) calcula o qu˜ao afastado est´a o valor esperado da estat´ıstica X2 do verdadeiro valor da χ2, sob a validade de H
0. Este parˆametro, δ, ´e calculado por (Steiger et al., 1985)
N CP = max[X2− gl, 0]. (3.34)
Quanto menor ´e o valor deste ´ındice, melhor ´e o ajustamento do modelo e NCP=0 indica um ajustamento perfeito.
(D.2) Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA)
O Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA) analisa a discrepˆancia entre a matriz de variˆancia-covariˆancia estimada pelo modelo e a matriz de variˆancia- covariˆancia populacional. ´E um dos crit´erios mais informativos de Modela¸c˜ao com Equa¸c˜oes Estruturais. Este ´ındice ´e calculado por (Steiger et al., 1985)
RM SEA = s
b F0
onde bF0 ´e calculada por b F0 = max X2− gl n − 1 , 0 = N CP n − 1. (3.36)
O RMSEA ´e sobrestimado para amostras pequenas e para modelos envolvendo a estima¸c˜ao de muitos parˆametros. Valores superiores a 0,10 indicam um ajustamento inaceit´avel; valores entre 0,08 e 0,10 indicam um ajustamento med´ıocre; valores en- tre 0,05 e 0,08 indicam um ajustamento bom e valores inferiores a 0,05 indicam um ajustamento muito bom (Arbuckle, 2008).
(E) ´Indices Baseados na Teoria de Informa¸c˜ao
Os ´ındices baseados na teoria de informa¸c˜ao servem para comparar v´arios mo- delos alternativos que se ajustam aos dados. Estes ´ındices n˜ao possuem valores de referˆencia, sendo o melhor modelo aquele que apresenta os menores valores em um ou em v´arios dos ´ındices.
(E.1) Akaike Information Criterion (AIC)
O Akaike Information Criterion (AIC) ´e calculado por (Arbuckle, 2008)
AIC = X2 + 2t (3.37)
onde t ´e o n´umero de parˆametros estimados no modelo.
(E.2) Consistent Akaike Information Criterion (CAIC)
O Consistent Akaike Information Criterion (CAIC) ajusta o AIC pela dimens˜ao da amostra e ´e calculado por (Bozdogan, 1987)
CAIC = X2+ t (ln(n) + 1) (3.38)
onde t ´e o n´umero de parˆametros estimados no modelo e n a dimens˜ao da amostra. (E.3) Browne-Cudeck Criterion (BCC)
O Browne-Cudeck Criterion (BCC) ´e calculado por (Arbuckle, 2008)
BCC = X2+ 2t
(n − 1)(p + q)(p + q + 3) n − (p + q) − 2
(p + q)(p + q + 3) (3.39)
onde p ´e o n´umero de vari´aveis end´ogenas e q o n´umero de vari´aveis ex´ogenas do modelo.
(E.4) Bayesian Information Criterion (BIC)
O Bayesian Information Criterion (BIC) ´e calculado por (Arbuckle, 2008)
BIC = X2+ t ln(n). (3.40)
(E.5) Expected Cross-Validation Index (ECVI)
O Expected Cross-Validation Index (ECVI) mede a diferen¸ca entre a matriz de variˆancia-covariˆancia amostral e a matriz de variˆancia-covariˆancia esperada que seria obtida numa outra amostra equivalente. Este ´ındice ´e calculado por (Arbuckle, 2008)
ECV I = AIC
n − 1. (3.41)
Quando o m´etodo de estima¸c˜ao dos parˆametros foi o m´etodo de m´axima verosi- milhan¸ca, o ECVI deve ser substitu´ıdo pelo MECVI
M ECV I = BCC
n . (3.42)
Estes ´ındices s˜ao particularmente utilizados para comparar modelos n˜ao aninha- dos. Dois modelos dizem-se aninhados ou encaixados se um dos modelos ´e submodelo do outro.
(iii) An´alise de res´ıduos, significˆancia de parˆametros e fiabilidade indivi-