Neste tópico faremos uma breve análise sobre os fundamentos teóricos dos registros de representação semiótica na visão do psicólogo Raymond Duval, pelo fato da nossa proposta de trabalhar as operações com os números fracionários utilizar mais de uma forma de registros, sendo assim a teoria de registros de representação semiótica servirá para fazer uma análise mais apurada sobre o que foi trabalhado com os alunos no decorrer do desenvolvimento das atividades.
Sempre que o aluno está estudando algum conteúdo matemático e faz a sua representação por meio de tabelas, gráficos, desenhos, etc., ele está caracterizando esse objeto matemático por uma representação com a finalidade de obter uma melhor compreensão desse objeto. Segundo Duval (2009). Para este autor,
Basta olhar para a história do desenvolvimento da matemática para ver que o desenvolvimento de representações semióticas foi um elemento essencial que deu grande contribuição para o desenvolvimento da matemática. (DUVAL, 2009, p. 106).
De acordo com Duval (2009)
[...] há uma diferença básica entre a matemática e os outros domínios do conhecimento científico. Objetos matemáticos, em contraste com os fenômenos da astronomia, física, química, biologia, etc. não são acessíveis pela percepção ou por instrumentos (microscópios, telescópios, aparelhos de medição). A única maneira de ter acesso a eles e lidar com eles é usar sinais e representações semióticas. (DUVAL, 2009, p. 107, tradução nossa
Para o autor, não se pode estudar tudo que é referente ao conhecimento sem recorrer à representação pelo fato da inexistência de conhecimento algum que possa ser mobilizado por uma pessoa sem uma atividade de representação.
Duval afirma que “[...] basta olhar para a história do desenvolvimento da matemática para perceber que o desenvolvimento de representações semióticas era uma condição essencial para o desenvolvimento do pensamento matemático” (Ibid, p. 106).
Os diversos tipos de registros de representação de um objeto matemático são de grande importância para que o educando consiga realizar a sua apreensão, pois de acordo com Damm (2008) quanto maior for a mobilidade com registros de representações diferentes do mesmo objeto matemático, maior será a possibilidade de apreensão desse objeto.
A utilização de diferentes tipos de registros de representação no processo de aprendizagem de matemática faz com que o educando tenha a possibilidade de optar pela forma mais adequada possível de representar uma situação estudada, contribuindo assim para o seu pleno desenvolvimento intelectual.
Existem vários tipos de representações semióticas a considerar, tais como, as representações gráficas, as figuras geométricas, a escrita algébrica ou as línguas. Para Duval (2009) a parte visível representada obedece a leis de organização que lhe são peculiares e próprias, e que podem permitir outra forma de representação. As representações semióticas têm dois aspectos: a forma (ou o representante) e o conteúdo (ou o representado). Duval (2009) denomina de registro uma maneira típica de representar um objeto matemático, um problema ou uma técnica. Para um mesmo objeto matemático dispõe-se de diversas formas para fazer a sua representação. Podemos ver como exemplo, o caso dos números fracionários: o registro de representação na língua natural: três quintos; o registro de representação fracionária: 3/5: o registro de representação decimal: 0,6 e registro de representação figural (um desenho).
No ensino da matemática, de acordo com Duval (2009), não se dá a devida atenção à dualidade forma/ conteúdo das representações semióticas e à variedade de registros de representação que se utiliza, pois ainda segundo ele “um objeto matemático não deve ser confundido com a representação que se faz dele, é o conteúdo representado que é importante e não a forma sob a qual é representado. Porém, não podemos nos esquecer de que as representações semióticas, que consideramos como representações ‘materiais’, são suporte para as representações mentais”.
Desta forma então se pode perceber que é essencial e fundamental para a compreensão do conceito de número racional, a mobilização de vários registros de
representação: fracionária, decimal, figural, e da língua natural, pois cada uma destas formas de representação tem suas características próprias.
De acordo com que Duval (2009) vem chamando atenção, é que pretendemos mostrar que os números racionais e as operações fundamentais com os mesmos podem ser representados pelas diversas formas de registros que foram citadas anteriormente, também é importante ressaltar que o conhecimento de um deles não implica necessariamente, no conhecimento e necessidade de utilização de outros registros.
Duval (2009) observa que para a compreensão da matemática é importante que fique bem claro a distinção entre um objeto matemático e seus registros de representação semiótica: “os objetos matemáticos não devem ser confundidos com as representações semióticas utilizadas, embora não haja acesso a eles sem as representações semióticas” (Ibid, p. 126).
Ele considera que os objetos matemáticos não são acessíveis diretamente pela percepção ou por outra experiência intuitiva, como são os objetos do mundo real. Os objetos matemáticos necessitam de representações, sendo assim percebe-se que as representações semióticas merecem uma grande atenção pelo fato de exercerem um papel fundamental na atividade matemática. Segundo Freitas (2008), com relação às atividades cognitivas ligadas e vinculadas as representações semióticas, Duval chama atenção para que um sistema semiótico seja um registro de representação é necessário que ele permita três atividades cognitivas fundamentais: a formação de uma representação identificável, o tratamento e a conversão.
a formação de uma representação identificável como a representação de um registro dado (enunciado de uma frase compreensível em uma linguagem natural, composição de um texto, desenho de uma figura geométrica, elaboração de um esquema ou resumo, escrita de uma fórmula, elaboração de um diagrama ), cuja formação implica na seleção de traçados e dados do conteúdo a representar. Para fazer tal seleção são necessárias regras de formação que são próprias ao registro semiótico. Assim pode-se dar o entendimento de que o registro é comparável com uma tarefa de descrição. As regras de formação garantem as condições de identificação e de reconhecimento da representação e possibilitam a sua utilização para os devidos tratamentos.
Tratamento de uma representação é a transformação internamente ao registro na qual ela é formada. Cada registro tem as formas de tratamento que lhe são próprias. Por exemplo, a paráfrase e a inferência são formas de tratamento de registro em língua natural; o cálculo (numérico, algébrico etc.) é uma forma de tratamento da linguagem semiótica. As regras de
tratamento, também são próprias de cada registro, por exemplo, as regras de derivação, as regras de coerência temática, etc.
A conversão de uma representação é a transformação de uma representação em outra representação de outro registro que conserva a totalidade ou parte do conteúdo da representação inicia. Por exemplo, a ilustração é a conversão de uma representação linguística em outra representação; a descrição é a conversão de uma representação não verbal em uma representação linguística. (FREITAS, 2008, p.178) O tratamento de uma representação está ligado ao objeto matemático e consiste da transformação interna a um registro.
Podemos considerar que o número “um meio” pode ter diversas representações: representação figural, representação na língua natural (verbal ou escrita), representação fracionária e representação decimal. Para a maioria delas podemos definir regras operatórias que possibilitarão o tratamento no registro escolhido. Podemos também fazer a conversão, por exemplo, o registro fracionário para o registro decimal. A adição representada por 1
5+ 1 5=
2
5 pode ser representada também por 0,2 + 0,2 = 0,4 no registro decimal.
A representação figural é muito utilizada para a introdução da noção de números fracionários com a ideia de parte todo, isto é, um inteiro que foi dividido em partes de mesma área das quais algumas são consideradas. Geralmente, estas são pintadas ou hachuradas para diferenciá-las das outras, como podemos ver na figura 1, onde o inteiro foi dividido em cinco partes de mesma área e duas foram consideradas.
Figura 1 – representação figural para número fracionário
Fonte: produção do autor
A importância de se trabalhar com diversos registros conduz a buscar a representação que permitirá economia de tempo para os cálculos, uma melhor interpretação da situação que está sendo trabalhada.
De acordo com Duval (2009), as representações mentais recorrem a um conjunto de imagens, e mais globalmente, às concepções que um indivíduo pode ter sobre um objeto ou sobre uma situação que está associada a este.Considerar
as representações semióticas como um meio de exteriorização de representações mentais, com o objetivo de comunicação é um raciocínio falho, pois “as representações não são necessárias apenas para fins de comunicação, são essenciais para a atividade cognitiva do pensamento. ” (DUVAL, 2009, p. 39).
Para o autor as representações semióticas possuem um papel primordial em alguns aspectos tais como:
- desenvolvimento de representações mentais: o que depende de uma interiorização das representações semióticas, do mesmo modo que as imagens mentais são uma interiorização das percepções;
- na realização de diferentes funções cognitivas: a função de objetivação (expressão particular), que é independente da de comunicação (expressão para o outro), e a função de tratamento que não pode ser completada pelas representações mentais (certas atividades de tratamento são diretamente ligadas à utilização de sistemas semióticos, por exemplo, o cálculo);
- na produção de conhecimento: as representações semióticas permitem representações radicalmente diferentes de um mesmo objeto na medida em que elas podem depender de sistemas semióticos totalmente diferentes. Assim, o desenvolvimento da ciência está ligado a um desenvolvimento de sistemas semióticos muito específicos e independentes da linguagem natural.
De acordo com Duval (2009), a coordenação de diversos registros é uma condição de grande importância e necessária para que o esquema didático da representação comumente admitida corresponda a um funcionamento eficaz por parte do aluno. Numerosas observações, em diferentes níveis de escolaridade, mostram que essa coordenação não se realiza espontaneamente pela maioria dos sujeitos. Em nossas escolas, o sistema de ensino de matemática normalmente é organizado como se a coordenação dos diferentes registros de representação utilizados ocorresse de forma imediata e espontaneamente.
A resolução de problemas depende primeiramente da compreensão do enunciado e da conversão das informações pertinentes que estão presentes. Há necessidade então, de se passar de uma descrição discursiva dos objetos relevantes para uma escrita simbólica para que os tratamentos possam ser aplicados. Para Duval (2009) não se pode negligenciar ou descartar a linguagem
natural no quadro do ensino da matemática, pois ela é um tipo de registro de grande importância e tão fundamental quanto os outros tipos de registros.
Alguns trabalhos realizados por pesquisadores abordando números fracionários apontaram dificuldades apresentadas pelos alunos, como podemos destacar o de Bianchini (2001) que trabalhou explorando a representação figural, fracionária e decimal e apontou erros cometidos pelos alunos referentes à representação figural e a leitura reforçando a necessidade de se explorar vários tipos de registros de representação.
A razão de se querer trabalhar com a teoria dos registros de representação semióticas, é pelo fato de que iremos trabalhar com as operações com números fracionários, e para que o aluno possa ter um uma melhor compreensão dessas operações, é necessário que se trabalhe as mesmas utilizando mais de uma forma de registro com a finalidade de propiciar uma melhor compreensão para esse aluno, pois de acordo com (DAMM, 2008, p. 177) “quanto maior for a mobilidade com os registros de representações diferentes do mesmo objeto matemático, maior será a apreensão desse objeto”.
2 ANÁLISES PRELIMINARES
Neste capítulo que constitui a primeira fase da Engenharia Didática, trataremos sobre o uso das tecnologias na escola, apresentaremos os diferentes significados de número fracionário na visão de pesquisadores que realizaram trabalhos de grande importância nesse assunto, as operações com os números fracionários, o uso da calculadora e as operações em livros didáticos