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Havia entre os professores chineses uma parcela que tinha compreensão do tópico subtração com muitos pontos comuns. Inclusive defendendo o uso do conceito de “empréstimo”. Uma professora, que ela identificou por “Y” relatou a maneira como ensina subtração:

Diria aos alunos que, quando calculamos problemas como 53-25, alinhamos primeiro os números e começamos a subtração pela coluna das unidades. Uma vez que o 3 não é suficientemente grande para dele tirar 5, devemos pedir emprestada uma dezena da coluna das dezenas e transformá-la em 10 unidades. Ao adicionarmos as 10 unidades a 3 obtemos 13. Se subtrairmos 5 de 13 obtemos 8. Coloca-se o 8 na coluna das unidades em baixo. Depois movemo-nos para a coluna das dezenas. Uma vez que o 5 da coluna das dezenas emprestou um 10 à coluna das unidades, restam apenas 4 dezenas. Tiramos 20 de 40 e obtemos 20. Coloca-se o 2 na coluna das dezenas em baixo. (MA, 2009, p.40).

Assim, percebe-se o foco no algoritmo, com grande ênfase em regras preestabelecidas sem, contudo, se preocupar com a fundamentação lógica para o processo. A parcela de professores chineses que defendiam essa ideia era muito

menor que a dos professores americanos, 14% contra 83%, conforme ilustra o gráfico 01.

GRÁFICO 01 – Entendimento dos professores sobre subtração Fonte: Saber e Ensinar Matemática Elementar (adaptado).

A maioria dos professores chineses, centram suas ideias no reagrupamento. Além disso, 35% dos professores chineses descreveram mais de um modo de reagrupar. Referindo-se assim, não só à fundamentação lógica do algoritmo, mas também, sobre outras formas de resolver os problemas oferecidos aos alunos.

Pensando na frase: “decompor uma unidade de ordem superior” é um termo da aritmética chinesa tradicional baseada no ábaco. Cada fio do ábaco representa o valor posicional diferente do outro, portando o valor de cada conta (peça sobre o fio) depende do fio em que está colocada, quanto mais à esquerda maior seu valor em relação às da direita.

Ao utilizar o ábaco para efetuar operações com reagrupamento, precisa-se retirar uma conta de um frio à esquerda e transformá-la em 10 ou em potências de 10 contas nos fios à direita. A esse procedimento dá-se o nome de “decompor uma unidade de ordem superior”

Os professores chineses, em sua maioria (86%) descreveram o processo de “tirar” no algoritmo como um processo de “decompor uma unidade de ordem superior” utilizando em vez de “emprestamos uma dezena” citaram “decompomos uma dezena”.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

empréstimo reagrupamento várias formas de reagrupamento americanos chineses

Em geral, quando discutia com os professores, estes tendiam a relacionar a “decomposição de uma unidade de ordem superior” com a adição com transporte que trata de “compor uma unidade de ordem superior”. Ao descrever como ensinaria subtração, uma professora, que Ma (2009) identifica por “L” relata:

Eu começaria com um problema de subtração fácil, como 43-22=? Depois de eles o resolverem, mudaria o problema para 43-27=? Como é que o problema novo difere do primeiro? O que acontecerá quando estivermos a resolver o segundo problema? Descobrirão que 7 é maior que 3 e que não temos unidades suficientes. Então direi: ok, hoje não temos unidades suficientes. Mas às vezes temos unidades a mais. Devem lembrar-se que na semana passada, quando fizemos a adição com transporte, tínhamos muitas unidades. O que fizemos nessa altura? Eles dirão que as compusemos em dezenas. Então, quando temos muitas unidades, compomo-las em dezenas; o que podemos fazer quando não temos unidades que cheguem? Podemos decompor uma dezena de novo em unidades. Se decompusermos um 10 de 40, o que acontece? Teremos unidades suficientes. Deste modo, introduziria o conceito de “decompor uma unidade de ordem superior em 10 unidades de ordem inferior”. (MA, 2009, p. 42).

Fica evidente no discurso a conexão entre os conhecimentos que o aluno já havia construído a partir da adição e da subtração sem reagrupamento para o conhecimento seguinte, e o foco do trabalho está na aprendizagem do conceito matemático envolvido, ao invés de focar num procedimento.

Quando ressalta a importância do uso da decomposição de uma unidade de ordem superior, a autora afirma que:

Explicar o passo de “tirar” como um processo de decompor uma unidade de ordem superior reflete um entendimento ainda maior do que a explicação que assenta no “reagrupar”. Embora a fundamentação lógica do algoritmo seja reagrupar o aditivo, o reagrupar é uma abordagem matemática que não está confinada à subtração: é fundamental para uma variedade de cálculos matemáticos. (MA, 2009, p. 44).

Nesse parágrafo, Ma (2009) refere-se ao fato de que o reagrupamento é uma ferramenta útil também na adição e na multiplicação. Assim, o uso da decomposição se torna mais relevante à subtração que o próprio reagrupamento, por ser ação necessária apenas a essa operação.

Além disso, ao usar o conceito de decompor uma unidade de ordem superior, o procedimento da subtração é explicado de um modo que mostra a sua ligação com a operação da adição. Fornece um apoio conceitual maior para a aprendizagem da subtração e reforça a aprendizagem anterior dos alunos. (MA, 2009, p. 44).

Com relação à composição de unidades de ordem superior, alguns professores chineses foram mais profundos no aspecto de “transformar” do procedimento. Cerca de metade deles, enfatizou que 1 dezena é composta por 10 unidades. A outra metade, referiu-se a uma ideia matemática mais básica - a base para compor uma unidade de ordem superior – como um conceito que os alunos deveriam aprender antes de utilizar o reagrupamento.

Os professores afirmaram que os alunos devem ter uma ideia bem definida sobra essa base para que melhor possam compreender porque uma unidade de ordem superior é decomposta em 10 ou potências de 10, unidades de ordem inferior. Afirmam que alunos com esse conhecimento tem melhores condições de aprendizados de outros conceitos no futuro. Um dos professores participantes do estudo relata:

Discutir a base para compor uma unidade de ordem superior ajuda-os a lidar não só com a subtração de números com muitos algarismos, mas também com versões mais complicadas de problemas. Decompor uma dezena em 10 unidades ou decompor uma centena em 10 dezenas é decompor 1 unidade em 10 unidades da ordem imediatamente inferior. Mas às vezes precisamos de decompor 1 unidade em 100,1000 ou até mais unidades de ordem inferior. Por exemplo, para calcular 302-17, precisamos de decompor uma centena em 100 unidades. Mais uma vez, para efetuar a subtração 10005-206, precisamos de decompor 1 unidade em 10000 unidades de ordem inferior. Se os nossos alunos estiverem limitados ao facto de que uma dezena é igual a 10 unidades, podem sentir-se confusos perante problemas deste tipo. Mas se no início da aprendizagem lhes for explicada a base para compor uma unidade de ordem superior, talvez possam deduzir as soluções para estes problemas novos. Ou, pelo menos, têm uma chave para os resolver. (MA, 2009, p. 46).

Esse tipo de concepção por parte do professor revela que ele possui uma clara ideia sobre a aprendizagem dos alunos. Pois sua abordagem para ensinar a subtração de números com dois algarismos, contempla competências para que os alunos resolvam operações com maior quantidade de algarismos onde a decomposição não

se restringe à unidade imediatamente inferior. Ma (2009) atribui esta visão à compreensão profunda que o professor possui sobre o tópico.

Comparando a ideia de trocar uma dezena por 10 unidades, a ideia de compor uma unidade de ordem superior toca uma camada mais profunda da compreensão matemática. De fato, a ideia de compor uma unidade de ordem superior é uma ideia básica do sistema de numeração decimal. E conclui:

O fato de alguns professores conseguirem relacionar o passo de transformar à ideia de compor unidades no sistema decimal, revela não somente a visão deles sobre as ideias básicas subjacentes aos fatos, mas também a sua capacidade de incluir uma ideia fundamental da disciplina em um simples fato. (MA, 2009, p. 47).

Além da composição e do reagrupamento usual, alguns professores chineses foram além, relataram o uso de diversas maneiras de reagrupar. De fato, o modo usual funciona melhor na maioria dos casos, mas não em todos.

Eles relataram que, para resolver, por exemplo, 53-26, o modo usual sugere o reagrupamento do aditivo (minuendo) em 40+13, porém, ofereceram uma segunda opção: -reagrupar também o subtraendo em 10 + 10 + 3, aí então subtrair 6 de 10 e obter 4, adicionar 4 e 3 obtendo 7, subtrair 20 de 40 e obter 20, para então finalizar somando 20 e 7 obtendo 27. A vantagem desse segundo método está no fato que é mais fácil subtrair 6 de 10 do que de 13. Nesse processo não há a presença do transporte durante a adição, por isso é tão simples.

Alguns professores chineses ofereceram uma terceira opção: -reagrupar apenas o subtraendo em 20+3+3. Assim, primeiro poderia subtrair 3 de 53 obtendo 50, depois subtrair o outro 3 de 50 obtendo 47 para então subtrair 20 de 47 e obter a diferença.

Em seus comentários, a autora explica que, embora a separação dos valores em mais partes pareça gerar alguma complexidade, os cálculos utilizando essa maneira são mais fáceis do que do modo usual. Pois, há simplesmente a necessidade de subtrair as unidades do subtraendo de 10, ao invés de um número maior que este.

Além disso, esses modos de decomposição são muito utilizados no cotidiano das pessoas, e, segundo a autora, essas abordagens são mais compreensíveis pelas crianças, atendendo às suas limitações de conhecimento matemático.

Alguns professores chineses citaram algumas dicas de quando usar o segundo ou o terceiro método:

O segundo modo de reagrupar é usado mais frequentemente quando o algarismo do subtrativo situado na posição de ordem inferior é substancialmente maior que o do aditivo, como, por exemplo, em 52-7, ou 63-9. Estes problemas são fáceis de resolver se primeiro subtrairmos 7 de 50 e adicionarmos 2 a primeira diferença 43, ou primeiro subtrairmos 9 de 60 e adicionarmos 3 a primeira diferença 51, já que neste tipo de problema os números a subtrair estão normalmente perto de 10. O terceiro modo e particularmente fácil quando os valores dos algarismos do aditivo e do subtrativo na posição de ordem inferior estão perto um do outro. Por exemplo, 47- 8, ou 95-7. E fácil subtrair 7 de 47 e depois subtrair 1 a primeira diferença a 40, ou subtrair 5 de 95 e depois subtrair 2 a primeira diferença 90. (MA, 2009, p. 49).

Em suas conversas com professores chineses, está presente relatos de diversas concepções de abordagens das operações, em vários momentos os professores deixam os alunos à vontade para escolher de que maneira vão decompor ou reagrupar os valores envolvidos nas operações. Assim, é possível que os alunos encontrem vários modos de reagrupar se tentarem resolver os problemas por si próprios.

É ressaltada a importância de o professor, nesse momento, liderar um debate produtivo, após os alunos expressarem suas ideias acerca de como resolveram os problemas, o professore deve conhecer várias maneiras de resolver os problemas, perceber como e porque os alunos chegam a elas, conhecer os modos de resolução menos comuns e o modo usual e conhecer o conceito único subjacente a todos eles.

Entre os chineses, foi muito frequente a procura em estabelecer relações entre tópicos matemáticos, por exemplo, a maioria mencionou a “subtração até 20” como fundamento conceitual e procedimental para a subtração com reagrupamento.

Relataram ainda que a ideia de reagrupar na subtração, ou seja, a ideia de decompor uma unidade de ordem superior, se desenvolve através da aprendizagem de três níveis de problemas:

O primeiro nível inclui problemas com aditivos entre 10 e 20, como 15-7,16-8, etc. Neste nível os alunos aprendem o conceito de decompor um 10, e a aptidão que daí deriva. Aprendem que, ao decompor um 10, serão capazes de subtrair números com um algarismo de números na casa

dos 10 com o algarismo das unidades menor que o subtrativo. Este passo e crítico porque antes disso a subtração era direta — subtraiam-se números com um algarismo de números maiores também com um algarismo ou de números na casa dos 10 com o algarismo das unidades maior que o subtrativo. O aspecto conceitual e a aptidão adquiridos neste nível irão servir de base para os procedimentos de reagrupar nos outros níveis. O segundo nível inclui problemas com aditivos entre 19 e 100, como 52-25, 72-48, etc. No segundo nível, a dezena a ser decomposta está combinada com várias outras dezenas. A nova ideia e separá-la das outras dezenas. O terceiro nível inclui problemas com aditivos maiores, isto é, aditivos com três ou mais algarismos. A nova ideia no terceiro nível é a decomposição sucessiva. Quando no aditivo a próxima posição de ordem superior contém um zero, temos de decompor uma unidade de uma posição mais distante do que essa próxima. Os problemas incluem decompor duas ou mais vezes. Por exemplo, no problema 203-15, ao trabalhar na posição das unidades, devemos decompor uma centena em 10 dezenas e, para além disso, decompor uma dezena em 10 unidades. (MA, 2009, p. 53).

De acordo com os professores chineses, a ideia básica da subtração com reagrupamento deve ser consolidada durante esses três níveis, porém, a semente conceitual é dada já no primeiro, onde os valores ficam limitados até 20.

Uma sensível diferença entre o entendimento nos dois países, é que operações do tipo 5+7=12 ou 17-7=5 são considerados pelos americanos como fatos matemáticos básicos, que os alunos devem simplesmente memorizar. Enquanto na China, essas situações são tratadas como problemas de composição e de decomposição até 20. Sendo a primeira ocasião onde os alunos devem recorrer à aprendizagem anterior e em que a capacidade de compor e decompor uma dezena é significativamente consolidada.

Em se tratando de consolidar os conhecimentos e habilidades, um comentário típico dos professores chineses é:

Visto que os meus alunos não têm um sólido conhecimento dos problemas até 20, como podem resolver problemas como 37-18=? e 52-37=? Sempre que seguirem o algoritmo, encontrarão problemas como 17- 8=? e 12-7=? Vamos continuar a confiar na contagem dos pauzinhos para sempre? Todos os procedimentos da subtração em problemas com números maiores são transformados em subtrações até 10 ou até 20. Por isso é que o primeiro nível é tão importante. (MA, 2009, p. 55).

Embora citem a elevada importância da aprendizagem da subtração até 20, os professores chineses reconheciam que esse não é o único ponto importante no processo. Eles citaram vários outros itens e atribuíram chamaram esse conjunto de

“base de conhecimentos” e que esses não compõem uma sequência, mas sim, um

conjunto de conhecimentos que o professor deve ter como objetivo a ser alcançado quando ensina determinado conteúdo ou procedimento.

Além disso, ressaltaram a importância de não se abordar de forma isolada cada conhecimento, os diferentes conhecimentos que se conectam e suportam um ao outro devem ser ensinados e trabalhados de forma integrada e essa integração varia de acordo com o contexto, com a situação ou a turma que o professor está a trabalhar.

Esse conjunto de elementos, as principais ideias que os professores chineses usam ao agrupar os elementos do conhecimento e que compõem a base de conhecimento integrada conforme mostra a figura 01.

Pode-se verificar o sentido das setas no desenho que ilustra a ordem em que cada conhecimento deve ser trabalhado com os alunos, sugerindo que um sustenta o outro. O retângulo representa a questão levantada pela autora nas entrevistas com os professores e as elipses os elementos de conhecimento relacionados pelos professores quando descreviam os processos de aprendizagem.

Figura 1 - Uma base de conhecimento para a subtração com reagrupamento Fonte: Livro – Saber e Ensinar Matemática Elementar (adapatado)

Em seus comentários sobre os possíveis uso desse esquema para ensinar subtração, ela descreve possíveis subsequências, que dependem da intenção do professor como:

Podemos imaginar que, se mudarmos de perspectiva, por exemplo, se o nosso tópico for como ensinar a subtração sem reagrupamento, esta subsequência pode tornar-se a sequência central da base de conhecimento dos professores. Um tópico do círculo “compor e decompor uma unidade de ordem superior”, pode ser considerado outro elemento-chave da base, porque é o conceito nuclear subjacente ao algoritmo da subtração. (MA, 2009, p. 58).

Assim, quando o professor escolher determinado tópico a ser ensinado, ele pode definir uma subsequência para promover uma aprendizagem sólida. Fica óbvio que alguns desses itens são essenciais, e apoiam-se ou apoiam outros itens, como por exemplo, a subtração sem reagrupamento, estes, por sua vez, servem principalmente de apoio procedimental. Outros, como a decomposição de uma unidade de ordem superior, servem principalmente como apoio conceitual. Outros, como a concepção de subtração e adição como operações inversas, servem de apoio tanto conceitual como procedimental.

O uso de materiais manipuláveis também foi citado pelos professores chineses, embora com menor frequência do que pelos professores americanos, eles participam como suporte de uma estratégia frequentemente relatada pelos professores chineses. A diferença, no entanto, era que a maioria dos professores chineses afirmaram que fariam um debate entre os alunos durante a aula seguinte ao uso desses materiais.

Durante o debate, os alunos deveriam relatar, mostrar, explicar e argumentar suas próprias soluções. Com isso, poderiam estabelecer a construção explícita de ligações entre ações perceptíveis sobre os objetos e procedimentos simbólicos relacionados.

É no momento de liderar um debate que a profundidade do conhecimento do tópico relacionado se mostra como diferencial para a aprendizagem dos alunos pois através dos materiais os alunos podem levantar vários questionamentos, mostrar diferentes caminhos encontrados para resolver determinada situação. Diante disso questiona-se: “se o professor não conhece várias maneiras de resolver os problemas, como pode ele liderar o debate sobre os diferentes caminhos que os alunos apresentam à classe?”

Em diversas situações, os debates em sala podem tratar de problemas mais complicados, uma das professoras participantes, relatou um debate que começou no início do ano com uma de suas turmas e só terminou no final daquele ano:

No Outono passado, quando os meus alunos trabalhavam com este tipo de problemas usando materiais manipuláveis, deparámo-nos com uma dificuldade. Reparámos que o procedimento manipulativo era diferente do que seguimos com colunas no papel. Digamos que estamos a resolver o problema 35-18. Com os materiais manipuláveis começamos pela posição de ordem superior. Tiramos primeiro o 10 existente em 18 e só depois o 8. Com as colunas começamos pela posição das unidades, subtraindo o 8 primeiro. O modo de utilização dos materiais manipuláveis corresponde de facto ao modo como efetuamos habitualmente a subtração no dia-a-dia. Quando pensamos no troco que vamos receber ao pagar com 2 yuans alguma coisa que custa 1 yuan e 63 cêntimos, subtraímos primeiro 1 yuan, depois 60 cêntimos e depois 3 cêntimos. Mas com o modo tradicional, em colunas, fazemos o cálculo no sentido oposto: subtraímos primeiro 3 cêntimos, depois 60

cêntimos e finalmente 1 yuan. Na perspectiva da experiência de vida dos alunos, o modo como aprendem na escola parece ser mais complexo e fazer menos sentido. Tentamos fazer no quadro para ver o que aconteceria se começássemos na posição de ordem superior. Descobrimos que começar pelas dezenas iria dar primeiro uma diferença de 2 na posição das dezenas: 35-18=2 Depois, quando trabalhamos na posição das unidades, aconteceu que tivemos de mudar a diferença que já tínhamos obtido na posição das dezenas: 35-18=17 Mas, se começássemos a partir da posição das unidades, esta confusão podia ser evitada. Obteríamos diretamente a diferença final. No entanto, esta explicação resolveu apenas metade do problema — porque é que com colunas precisamos de começar pela posição de ordem inferior. Os alunos não estavam ainda convencidos de que tinham de aprender o modo tradicional, uma vez que não viam nele qualquer vantagem. Sugeri que de momento esquecêssemos este imbróglio, já que provavelmente voltaríamos a ele mais tarde. No final do ano escolar, trabalhamos na subtração com decomposição de números grandes. Levantei novamente a questão para uma discussão. Os meus alunos rapidamente descobriram que, com números grandes, o modo tradicional é muito mais fácil na maioria dos problemas. Depois concordaram que vale a pena aprender o modo tradicional. (MA, 2009, p. 61).

Eis uma situação onde o conhecimento da professora fez toda a diferença na condução da discussão, caso seu conhecimento fosse limitado a um procedimento ou a outro, dificilmente seus alunos atingiriam tal grau de compreensão do tópico matemático em questão.

3.1.4 Fazer ligações conscientemente e inconscientemente

Quando se fala de conhecimento matemático, fica óbvio que o do professor difere daquele que possui uma pessoa não ligada ao ensino. Isso se deve à tarefa de promover a aprendizagem desse conhecimento pelos alunos. Ma (2009, p. 62) afirma que “para facilitar a aprendizagem, os professores tendem a tornar explícitas as ligações entre tópicos matemáticos que permanecem tácitas para os não- professores.”

Os professores afirmavam haver dois tipos dessas ligações: primeiramente, relacionavam o tópico a dois ou mais tópicos procedimentais relacionados, normalmente os de menor estatuto, a exemplo, a subtração sem reagrupamento e o