Para o dimensionamento da armadura de flexão, o programa parte do princípio de equilíbrio de forças resultantes entre as tensões do aço (Fs) e do concreto (Fc).
Figura 25: Diagrama parábola-retângulo e diagrama simplificado de tensões no estado limite último.
Fonte: Baseado em Carvalho e Figueiredo Filho (2009).
De forma a permitir a utilização dos novos critérios normativos, o programa permite a entrada desses novos coeficientes estabelecidos, de forma a aumentar a potencialidade do programa. Portanto, foi necessário deduzir as equações de dimensionamento de forma a utilizar esses valores como variáveis e não mais como constantes. Portanto:
𝐹𝑠= 𝐹𝑐 (𝐸𝑞. 4.2.1.1) 𝐹𝑐= (𝛼𝑐∗ 𝑓𝑐𝑑) ∗ 𝑏𝑤∗ (𝜆𝑥) (𝐸𝑞. 4.2.1.2) 𝑧 = 𝑑 −𝜆𝑥2 (𝐸𝑞. 4.2.1.3) Sabendo que Md = Fc * z: 𝑀𝑑 = (𝛼𝑐∗ 𝑓𝑐𝑑) ∗ 𝑏𝑤∗ (𝜆𝑥) ∗ (𝑑 −𝜆𝑥2 ) 𝑀𝑑 = (𝛼𝑐∗ 𝑓𝑐𝑑) ∗ 𝑏𝑤∗ (𝑑 ∗ 𝜆𝑥 −𝜆 2𝑥2 2 ) 𝑀𝑑 𝛼𝑐∗ 𝑓𝑐𝑑∗ 𝑏𝑤∗ 𝑑2= 𝜆𝑥 𝑑 − 0,5 ∗ 𝜆2𝑥2 𝑑2 Chamando, 𝐾𝑀𝐷, 𝛼 = 𝑀𝑑 𝛼𝑐∗ 𝑓𝑐𝑑∗ 𝑏𝑤∗ 𝑑2 (𝐸𝑞. 4.2.1.4) 𝐾𝑋, 𝜆 =𝜆𝑥𝑑 (𝐸𝑞. 4.2.1.5)
Chega-se, a:
𝐾𝑀𝐷, 𝛼 = 𝐾𝑋, 𝜆 − 0,5 ∗ 𝐾𝑋, 𝜆2 (𝐸𝑞. 4.2.1.6)
Sabendo que x varia entre 0 e d na flexão simples, determina-se os limites da equação:
p/ x = 0, KMD,α = 0;
p/ x = d, KMD,α = λ – 0,5 * λ²;
Dividindo os dois termos da equação da alavanca (z) por d, chega-se a: 𝑧
𝑑 = 1 − 0,5 ∗ 𝜆𝑥
𝑑
𝐾𝑍, 𝜙 = 1 − 0,5 ∗ 𝐾𝑋, 𝜆 (𝐸𝑞. 4.2.1.7)
E, finalmente, sabendo que a equação para definir a área de armadura é: 𝐴𝑝=𝑧 ∗ 𝑓𝑀𝑑
𝑠=
𝑀𝑑
𝐾𝑍, 𝜙 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓𝑠 (𝐸𝑞. 4.2.1.8)
A equação que relaciona a altura da linha neutra com as deformações: 𝐾𝑋, 𝜆 =ɛɛ𝑐∗ 𝜆
𝑐+ ɛ𝑠 (𝐸𝑞. 4.2.1.9)
Logo, em função de cada domínio de deformação, obtém-se uma equação para o calculo da deformação do concreto (ɛc), para o domínio 2, e do aço (ɛs), para o domínio 3.
ɛ𝑐= 𝜆ɛ𝑠 𝐾𝑋,𝜆− 1
(𝐸𝑞. 4.2.1.10) ɛ𝑠= ɛ𝑐∗ (𝐾𝑋, 𝜆 − 1) (𝐸𝑞. 4.2.1.11)𝜆
Com estas equações definidas, criou-se uma tabela com os valores adimensionais semelhante àquela presente em Carvalho e Figueiredo Filho (2009) com a diferença de que no cálculo dos valores adimensionais estão presentes os coeficientes αce λ, relativo ao tipo
Tabela 12: Valores para cálculo da armadura longitudinal de seções retangulares.
Toda a base de cálculo está definida. Para melhorar a qualidade do programa, impedindo que alguns valores levem a conflitos matemáticos (como divisões por zero ou raiz de números negativos), é necessário verificar se algum dos coeficientes pode levar a este tipo de problema.
Resolvendo a equação de segundo grau:
𝐾𝑋, 𝜆 = 1 ± √1 − 2 ∗ 𝐾𝑀𝐷, 𝛼
Como x deve estar contido entre 0 e d para o caso de flexão simples, pode-se eliminar a solução de soma da equação. Logo:
𝐾𝑋, 𝜆 = 1 − √1 − 2 ∗ 𝐾𝑀𝐷, 𝛼 (𝐸𝑞. 4.2.1.12) 1 − 2 ∗ 𝐾𝑀𝐷, 𝛼 ≥ 0
𝐾𝑀𝐷, 𝛼 ≤ 0,5
Até este momento foram apresentadas as fórmulas e as hipóteses adotadas para o dimensionamento da armadura de protensão. No entanto existe uma série de situações que tornam o problema ligeiramente mais complexo do que se aparenta. Por exemplo, essa rotina de programação deve considerar a todas as situações possíveis partindo do mais simples, como uma seção retangular simples, até a mais complexa de uma seção “I” com capa solidarizada e fck diferente. Neste último caso existe a possibilidade, ainda, de a linha
neutra estar localizada na alma da peça pré-moldada.
Como se pode observar, generalizar uma rotina que englobe todas as situações não é simples. Para tanto, a lógica que melhor se enquadrou nesse problema foi a de tentativa para calcular a influência das abas e, quando resta apenas a seção retangular, utilizam-se
as equações apresentadas anteriormente. Nesse modelo, o usuário insere um valor inicial de x/d (cujo valor padrão é o de 0,45) a partir do qual o programa faz a primeira tentativa calculando toda a seção comprimida das abas. Quando todas as abas foram consideradas, utilizam-se as equações na seção retangular para definir os coeficientes e a posição da linha neutra final. Se a diferença entre a profundidade da linha neutra inicial e final for menor que 0,01 a armadura estará dimensionada.
Em relação à consideração de tipos diferentes de concreto, o programa faz uma média ponderada entre os valores de fck, αc e γc da seção retangular e a utiliza nas
equações.
As Figuras 26 e 27 apresentam as regiões consideradas no cálculo de uma seção com múltiplas abas.
Primeiramente, desconsidera-se a região da mísula. Em seguida define-se a região das abas em função da menor largura de cada seção. E, finalmente, considera-se a seção retangular utilizando as equações deduzidas.
Figura 26: Consideração da região comprimida de uma seção com múltiplas abas com largura mínima definida pela região compreendida pelas lajes.
Figura 27: Consideração da região comprimida de uma seção com múltiplas abas com largura mínima definida pela alma da viga pré-moldada.
Finalizando a parte de dimensionamento destaca-se a etapa do cálculo da tensão atuante na cordoalha em função de sua deformação. Como descrito na norma, pode-se
simplificar o diagrama tensão-deformação de armaduras ativas. Em Carvalho (2012), encontram-se as equações que representam essa curva.
- p/ ɛp < fpyd / Ep 𝜎𝑠𝑑 =𝑓𝑝𝑦𝑑ɛ ∗ ɛ𝑝 𝑦𝑑 (𝐸𝑞. 4.2.1.13) - p/ ɛp > fpyd / Ep 𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑝𝑦𝑑+ (𝑓𝑝𝑡𝑑ɛ − 𝑓𝑝𝑦𝑑 𝑢− ɛ𝑦𝑑 ) ∗ (ɛ𝑝− ɛ𝑦𝑑) (𝐸𝑞. 4.2.1.14)
O oposto, ou seja, a definição da deformação para uma dada tensão pode ser definida pelas seguintes equações:
- p/ σp < fpyd ɛ𝑝=ɛ𝑦𝑑𝑓 ∗ 𝜎𝑝 𝑝𝑦𝑑
(𝐸𝑞. 4.2.1.15)
- p/ σp > fpyd ɛ𝑝= ɛ𝑝𝑦𝑑+ (𝑓𝜎𝑝− 𝑓𝑝𝑦𝑑 𝑝𝑡𝑑− 𝑓𝑝𝑦𝑑) . (ɛ𝑢− ɛ𝑦𝑑)(𝐸𝑞. 4.2.1.16)
Dessa forma, possuindo os valores de tensão de escoamento característico (fpyk), de
resistência à tração (fptk) e o alongamento após a ruptura (ɛuk) de uma cordoalha, pode-se
calcular as tensões decorrentes do pré-alongamento e do carregamento.
O diagrama padrão é baseado nos valores proposto por Vasconcelos (1980), adotando-se: fpyd = 1460 MPa; ɛyd = 7,3‰; fptd = 1626 MPa e ɛu = 35‰, para cordoalha do
tipo CP 190. Ressalta-se que o usuário poderá editar esses valores para adequar o dimensionamento às informações de cada projeto.
Até o momento, calcularam-se as deformações decorrentes do carregamento e do pré-alongamento. Por último, falta calcular a deformação até chegar ao estado de descompressão (ɛ7), que é feito conforme a seguinte equação:
ɛ7= (𝑁𝐴𝑝 𝑐 + 𝑁𝑝∗ 𝑒𝑝2 𝐼 ) ∗ 1 𝐸𝑐
(𝐸𝑞. 4.2.1.17)
O módulo de dimensionamento parte dos princípios de cálculo definidos até o momento. Por meio das informações de carregamento e de seção informadas pelo usuário, o programa calcula a área de armadura ativa necessária para satisfazer o ELU. Em seguida, o próprio usuário posiciona a armadura da maneira que lhe parecer mais conveniente. O programa possui um módulo gráfico que permite a visualização da posição da armadura no momento da inserção de seus dados. Caso o usuário deseje, o programa permite a inserção de armadura passiva junto à ativa, de forma a utilizar armadura mista.
Após finalizado o detalhamento manual passa-se a ter um novo valor de altura útil (dreal), logo, o programa realiza todos os cálculos novamente com este valor de altura útil.
Para definição da altura útil real, é necessário encontrar o centro de força da armadura. Como a viga protendida permite a utilização simultânea de um ou mais tipos de aços, deve-se levar em consideração essa diferença de propriedades entre elas. Por exemplo, utilizando aço CA-50 com aço de protensão CP190, o centro de força tende a se aproximar mais do aço de protensão (desde que a área de aço seja igual para ambas). A função do programa que calcula essa posição utiliza a seguinte equação de forma genérica:
CGyp=y1AA1σ1+ y2A2σ2+ ⋯ + ynAnσ𝑛
1σ1+ A2σ2+ ⋯ + Anσ𝑛 (𝐸𝑞. 4.2.1.18)
Onde a tensão do aço de armadura passiva é sua tensão de escoamento e do aço para protensão é sua tensão final em utilização. A tensão final utilizada pelo programa é aquela inserida pelo usuário no momento de entrar com o valor da tensão de estiramento das cordoalhas e a porcentagem de perda de protensão total.
Como forma padrão do programa, o pré-dimensionamento de Ap é feito considerando
uma altura útil fictícia (“dfictício”) equivalente à altura total da seção menos quatro centímetros.
𝑑𝑓𝑖𝑐𝑡í𝑐𝑖𝑜= ℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙− 4𝑐𝑚 (𝐸𝑞. 4.2.1.19)
Em relação à tensão final, esta é calculada considerando-se, primeiramente, os valores de tensão inicial de protensão, estabelecidos pela norma, para a pré-tração e com aço de relaxação baixa:
𝜎𝑝𝑖≤ {0,85 ∗ 𝑓0,77 ∗ 𝑓𝑝𝑡𝑘
𝑝𝑦𝑘 (𝐸𝑞. 4.2.1.20)
Em seguida considerou-se uma perda de protensão de 25%.
Descrita a etapa de pré-dimensionamento, há um detalhe importante a ser considerado de forma a melhorar a precisão do programa. Quando a seção transversal apresenta apenas armadura ativa, rapidamente se define a altura útil desta por meio do centro de força, afinal, considera-se que todas as cordoalhas apresentem a mesma tensão. Logo, a equação pode ser simplificada na seguinte forma:
CGyp=y1AA1+ y2A2+ ⋯ + ynAn
1+ A2+ ⋯ + An
(𝐸𝑞. 4.2.1.21)
A tensão não é necessária para a definição da altura útil.
Mas, considerando que existam armaduras passivas na seção, a tensão passa a ser fundamental para a correta definição do centro de gravidade do aço. Utilizar a tensão de escoamento do aço de armadura passiva é coerente, afinal, no dimensionamento, espera-se que o concreto trabalhe nos domínios 2 ou 3. No entanto, para definir a tensão atuante na armadura ativa, não basta considerar, apenas, a deformação de pré-alongamento após as perdas (ɛp). Há que se considerar, ainda, as deformações até a descompressão (ɛ7) e a
tensão decorrente do carregamento (ɛs). Em relação à perda de protensão decorrente da
definir a deformação provocada pelo carregamento e, consequentemente, o aumento de tensão na cordoalha, é necessário conhecer a altura útil (cuja tensão utilizada para definir considera apenas o pré-alongamento dos cabos com as perdas totais).
Portanto, após realizar os cálculos com a altura útil real inicial (dreal,i = dreal) recalcula-
se a altura útil com a tensão atuante na cordoalha já considerando todas as deformações, chegando, finalmente, a uma altura útil final (dreal,f).
Se a diferença entre elas for superior a 0,1 cm (ou 0,001 m), o programa realiza o dimensionamento utilizando o novo valor de altura útil. Este procedimento é executado até que a diferença seja igual ou inferior a 0,1 cm. Dessa forma, garante-se maior precisão no dimensionamento da armadura.
Lembrando que este procedimento é feito, apenas, quando há armaduras com tensões diferentes.
Explicado como funciona o dimensionamento da armadura, faz-se, agora, algumas considerações sobre o pré-dimensionamento das cordoalhas. Esta etapa possui o intuito de direcionar o usuário em relação à quantidade de armadura ativa necessária para o dimensionamento da peça no ELU.
Para tanto se fez uso do estudo apresentado no capítulo 3 sobre os limites de protensão em uma viga. Resumidamente, o estudo propõe a definição de uma série de intervalos de armadura ativa (Ap) que satisfaçam as equações de verificação de tensão em
serviço. Fazendo isso para cada uma das verificações necessárias se restringe a quantidade de armadura ativa que pode ser utilizada para satisfazer as condições. No referido estudo foi possível definir cinco situações particulares que auxiliam o usuário a dimensionar a armadura ativa de uma viga.
O programa realiza essa função, como se pode observar na Figura 28.
Nas ordenadas apresentam-se uma série de números cuja legenda ao lado define qual verificação está sendo calculada.
No eixo das abcissas se pode observar a área, em cm², da armadura ativa. A linha vertical (em cinza) que, de acordo com a legenda, representa o “ApFic” (Ap fictício), é a
quantidade de armadura ativa necessária para satisfazer o ELU.
Durante o pré-dimensionamento o gráfico apresenta apenas uma linha vertical. Durante o processo de dimensionamento, após o usuário entrar com um arranjo de armadura ativa, o gráfico é atualizado com os novos valores de tensão e altura útil, além de uma segunda linha vertical “ApUtil” (Ap utilizado) que representa a quantidade de armadura
ativa que existe na seção, conforme os dados inseridos pelo usuário. A Figura 29 apresenta o gráfico gerado pela função de dimensionamento do programa.
Figura 29: Intervalo de soluções geradas pela função de dimensionamento.
A linha vertical “ApFic” indica que é necessário utilizar, no mínimo, 2 cm² para satisfazer o ELU. Enquanto que a linha vertical “ApUtil” representa a quantidade de armadura que o usuário inseriu no detalhamento manual.
Para mais detalhes sobre este trabalho ler o capítulo 3.
Por último, há a necessidade de se considerar a ação da armadura passiva na composição da resistência da seção à ruptura. Para isso, o programa realiza a conversão da área do aço convencional posicionado na seção em área de aço de protensão (As para AP).
Em Carvalho (2012), apresenta-se uma forma de calcular esse tipo de situação: 𝑀𝑑
𝑧 = 𝐴𝑝∗ 𝜎𝑝𝑑+ 𝐴𝑠∗ 𝑓𝑦𝑑 Onde,
Por meio do arranjo de barras e cordoalhas inseridas pelo usuário, verifica-se a igualdade de forças entre o momento atuante e a somatório da força dos aços (Fp + Fs) e, caso:
𝐴𝑝∗ 𝜎𝑝𝑑+ 𝐴𝑠∗ 𝑓𝑦𝑑 ≥𝑀𝑧 𝑑
(𝐸𝑞. 4.2.1.23)
O arranjo da armadura satisfaz o ELU. Caso contrário, não o satisfaz.