2. Materialer og metoder
2.1 Prøveinnhenting og preopparbeiding av potetprøver
Esta seção trata, em parte, de uma curiosidade sobre o surgimento do termo Random Walk e sua relação com o andar de um bêbado, e também trata do modo como o problema da caminhada aleatória unidimensional pode ser resolvido e qual a sua conexão com os fenômenos difusivos. Em 1905, Karl Pearson escreve à revista Nature uma carta indagando sobre o problema da
1.5. Movimento Browniano e os caminhos aleatórios para a equação de difusão
caminhada aleatória. O texto dessa carta pode ser visto a seguir:
Can any of your readers refer me to a work wherein I should find a solution of the following problem, or failing the knowledge of any existing solution provide me with and original one? I should be extremely grateful for aid in the mattter.
A man starts from a point O and walks l yards in a straight line; he then turns through any angle whatever and walks another l yards in a second straight line. He repeats this process n times. I require the probability that after these n stretches he is at a distance between r and r + δr from his starting point, O. The problem is one of considerable interest, but I have only succeeded in obtai- ning an integrated solution for two stretches. I think, however, that a solution ought to be found, it only in the form of a series in powers of r/n, when n is large.
Lord Rayleigh responde que o problema proposto é o mesmo do sistema que lida com a composição de n vibrações iso-periódicas de amplitudes e fases iguais distribuídas aleatoria- mente. A resposta para esse problema e, consequentemente, para o da caminhada aleatória, é dada da seguinte forma:
2 n e
−r2/n
rdr, (1.66)
para quando n é muito grande.
Na carta de agradecimento escrita por Pearson, é possível ler o seguinte trecho: “The lesson of Lord Rayleigh’s solution is that in open country the most probable place to find a drunken man who is at all capable of keeping on his feet is somewhere near his starting point.”
De certa maneira, Pearson, ao fazer uma analogia do movimento com o caminhar do bêbado, introduz/cria o termo “Random Walk”, além de apresentar de maneira simples o problema em questão.
Trata-se, agora, do problema da caminhada aleatória unidimensional e de como ele está relacionado com fenômenos difusivos. A ilustração do modelo que se segue tem base na refe- rência [30].
Considera-se uma partícula ou um caminhante que se desloca em linha reta no eixo x a partir da origem. O movimento da partícula não possui restrições, isto é, ela é livre para caminhar para a direita ou para a esquerda a partir da posição em que se encontra. O deslocamento dela é feito por meio de passos de comprimento fixo l. Por exemplo, supõe-se que a partícula se encontre na origem, x = 0, e dê um passo para a direita (esquerda). Após esse passo, ela é encontrada na posição x = l (x = −l). Dessa forma, uma probabilidade é associada à direção em que o passo será dado. Define-se como p a probabilidade de a partícula dar um passo para a direita e q a probabilidade de ela dar um passo para a esquerda. Considerando um sistema unidimensional, tem-se que p+q = 1, o que implica a probabilidade do sistema ser normalizada e a da partícula não poder permanecer na mesma posição que se encontra, tendo que dar um passo para a esquerda ou para a direita.
1.5. Movimento Browniano e os caminhos aleatórios para a equação de difusão
O problema da caminhada aleatória consiste na probabilidade de encontrar a partícula em uma posição x = ml depois de esta ter dado N passos, sendo essa probabilidade designada como PN(m), em que m∈ Z, de modo que −N ≤ m ≤ N.
Para uma quantidade de passos igual a N, com Nd passos para direita e Ne passos para a
esquerda, de modo que Nd+ Ne = N , a probabilidade é dada por
(p· · · p) | {z } Ndvezes (q· · · q) | {z } Ne vezes = pNdqNe. (1.67)
A sequência mostrada em (1.67) é muito particular e, de fato, enfatiza o que foi dito por Karl Pearson, já que, neste caso, em particular, o caminhante termina seu movimento, após N passos, exatamente no seu ponto de origem.
Existem inúmeras formas de se distribuir Nd e Ne de modo a resultar em um total de N
passos. De fato, o número exato de maneiras que se pode combinar esses passos é dado por N !
Nd!Ne!
. (1.68)
Dessa forma, a probabilidade considera que todas as combinações de passos possíveis é dada por
WN(Nd) =
N ! Nd!Ne!
pNdqNe, (1.69)
que é a distribuição binomial, já normalizada, pois
N X Nd WN(Nd) = N X Nd N ! Nd!Ne! pNdqNe = (p + q)N = 1. (1.70)
Para explicitar a conexão com os fenômenos de difusão, pode-se formular o problema da caminhada aleatória por meio de uma equação estocástica que envolve variáveis aleatórias como a força X de colisão em (1.58). Supõe-se que o intervalo de tempo entre um passo e outro seja igual a τ, como feito no modelo de Einstein. Assim, PN(m) pode ser interpretado como a
probabilidade da partícula ser encontrada na posição x = ml no instante de tempo t = Nτ. Somente uma partícula que esteja nas posições x = (m + 1)l ou x = (m − 1)l no tempo t = N τ pode alcançar a posição x = ml no passo seguinte, ou seja, em um tempo t = (N +1)τ . Considerando essas observações, pode-se escrever a seguinte relação de recorrência:
PN +1(m) = pPN(m− 1) + qPN(m + 1) (1.71)
ou, de maneira equivalente,
1.5. Movimento Browniano e os caminhos aleatórios para a equação de difusão
equação que é melhor elucidada na Figura 1.5.
Figura 1.5: Ilustração da relação de recorrência (1.71).
Sequências em que a probabilidade em um dado instante depende apenas do valor das pro- babilidades do instante anterior são conhecidas como cadeias de Markov e possuem grande relevância em problemas de interesse físico.
Se se fizer uma expansão em série de Taylor nos termos de (1.72), têm-se:
• no tempo, P (x, t + τ ) = P (x, t) +∂P (x, t) ∂t τ + O τ 2; (1.73) • na posição, P (x− l, t) = P (x, t) −∂P (x, t) ∂x l + 1 2! ∂2P (x, t) ∂x2 l 2+ O l3 (1.74) e P (x + l, t) = P (x, t) +∂P (x, t) ∂x l + 1 2! ∂2P (x, t) ∂x2 l 2+ O l3. (1.75)
Substituindo essas expansões em (1.72) e usando o fato de que p + q = 1, obtém-se ∂P (x, t) ∂t = l τ (q− p) ∂P (x, t) ∂x + 1 2 l2 τ ∂2P (x, t) ∂x2 . (1.76)
Para o caso particular em que as probabilidades de dar um passo para a direita e para a esquerda são iguais, isto é, p = q = 1/2, a equação (1.76) é simplificada e escrita como
∂P (x, t)
∂t = D
∂2P (x, t)
∂x2 , (1.77)
em que D ≡ l2/2τ , com dimensão [D] = m2s−1. Essa equação é a equação de difusão ou
equação de Fourier. A partir de um modelo simples de caminhada aleatória, é possível derivar a equação de difusão. Outro fato interessante é que algumas das características desse modelo remetem ao de Einstein para o movimento Browniano, como o fato de ter um intervalo de tempo determinado entre os passos e de as probabilidades serem iguais para passos dados tanto para a direita quanto para a esquerda.