ρ(x, t) = 1 π ∞ Z 0 dk e−Kµ|k|µtcos(kx). (3.54)
Ao se reescrever a exponencial como uma função H de Fox e usar a propriedade (2.195) e as propriedades dessa função, descritas na seção 2.3.3, pode-se escrever
ρ(x, t) = 1 µ|x|H 1,1 2,2 |x| (Kµt)1/µ 1, 1/µ), (1, 1/2) 1, 1), (1, 1/2) . (3.55)
3.3 Longos tempos de espera e voos de Lévy
Como último caso, considera-se que as distribuições w(s) e λ(k) fazem que hti e hx2i sejam
divergentes respectivamente. Ao se substituir as distribuições (3.35) e (3.47) em (3.19), obtém- se ρ(k, s) = √1 2π 1 s + Kµ,α|k|µs1−α , (3.56)
em que Kµ,α ≡ σµ/τα tem dimensão [Kµ,α] = mµs−α. É possível reescrever a equação acima
como
sρ(k, s)− ρ(k, 0) = − s1−αρ(k, s)Kµ,α|k|µ, (3.57)
em que ρ(k, 0) é a transformada de Fourier da condicão inicial em s = 0. Aplicando a transfor- mada inversa de Laplace,
L−1{sρ(k, s) − ρ(k, 0); t} = −L−1s1−αρ(k, s); t Kµ,α|k|µ, (3.58) obtém-se ∂ ∂tρ(k, t) =−Kµ,α|k| µ RL 0D 1−α t ρ(k, t). (3.59)
Aplicando a transformada inversa de Fourier, ∂ ∂tF −1 {ρ(k, t); x} = Kµ,αRL0D 1−α t F −1 {−|k|µρ(k, t); x} , (3.60) e identificando essa transformada do lado direito da equação como o operador de Riesz-Weyl (2.186), tem-se ∂ ∂tρ(x, t) = Kµ,α RL 0D 1−α t −∞RWD µ xρ(x, t). (3.61)
Pode-se usar uma outra notação para evitar confusão, a saber: ∂ ∂tρ(x, t) = Kµ,α RL 0D 1−α t ∂µ ∂|x|µρ(x, t), (3.62) em que ∂µ ∂|x|µ ≡ RW −∞D µ x.
3.3. Longos tempos de espera e voos de Lévy
Observa-se que, quando as distribuições possuem comportamentos diferentes, as equações diferenciais que regem esse sistema possuem diferentes estruturas. Quando o valor das quanti- dades hx2i e hti são: (i) finitos, o sistema é regido por uma equação de difusão usual; (ii) finito
e divergente respectivamente, o sistema é regido por uma equação do tipo difusão, conhecida como equação de difusão fracionária de Schneider-Wyss, tendo um operador de derivada fra- cionária de Riemann-Liouville no tempo; (iii) divergente e finito respectivamente, o sistema é regido por uma equação do tipo difusão, tendo um operador de derivada fracionária de Riesz- Weyl na posição; e (iv) divergentes, o sistema é regido por uma equação diferencial do tipo difusão com operadores de derivadas fracionárias na posição e no tempo. A tabela 3.1 relaciona as convergências dex2 e hti e a quais equações tais comportamentos nos conduzem.
Tabela 3.1: Equações diferenciais segundo o comportamento dex2 e hti.
x2 hti Equação Finito Finito ∂ ∂tρ(x, t) =D ∂2 ∂x2ρ(x, t) Finito Diverge ∂ ∂tρ(x, t) = RL 0D 1−α t Kα ∂2 ∂x2ρ(x, t) Diverge Finito ∂ ∂tρ(x, t) = Kµ ∂µ ∂|x|µρ(x, t) Diverge Diverge ∂ ∂tρ(x, t) = Kµ,α RL 0D 1−α t ∂µ ∂|x|µρ(x, t)
Neste capítulo, portanto, características gerais do cálculo fracionário e das transformadas integrais foram apresentadas. Mostrou-se que, a partir da caminhada aleatória contínua no tempo, dependendo do tipo de distribuição que se assume para os intervalos de tempo de cada passo e para a distribuição dos passos, é possível que o sistema seja regido por uma equação de difusão particular.
Nos capítulos seguintes, serão abordados alguns problemas teóricos que são regidos por equações diferenciais distintas, semelhantes à equação de difusão usual. Para que a análise destes sistemas físicos seja feita de maneira adequada, o capítulo mostrará que existem distintas equações diferenciais, algumas envolvendo operadores de derivada fracionária, que podem ser usadas para estudar fenômenos de transporte, como será visto nos capítulos seguintes.
Parte II
Análise de sistemas físicos regidos por
equações de difusão e equações
CAPÍTULO 4
EQUAÇÃO DE DIFUSÃO
FRACIONÁRIA NO TEMPO COM
SIMETRIA RADIAL E CONDIÇÕES DE
CONTORNO
INTEGRO-DIFERENCIAIS
O
primeiro capítulo deste trabalho teve uma preocupação em tratar do conhecimento básico dos processos difusivos. Foi salientado pontos históricos, alguns dos mo- delos que contribuíram para o desenvolvimento dessa área de pesquisa, o que ca- racteriza este processo em usual e anômalo e quais as mudanças feitas na equação diferencial que rege o sistema para alguns casos específicos. O segundo capítulo fez uma introdução sobre cálculo fracionário e como ele está vinculado a processos de transporte não usuais, isto é, à di- fusão anômala. Neste capítulo, serão abordados problemas que envolvem um sistema difusivo governado por uma equação diferencial do tipo difusão.O primeiro problema será o caso do processo difusivo em um sistema com simetria radial sendo governado por uma equação fracionária do tipo difusão. Especificamente, será conside- rado um sistema esférico definido no intervalo semi-infinito [R, ∞) e sujeito a efeitos de su- perfície descritos por meio de condições de contorno integro-diferenciais, as quais incorporam casos que, por sua vez, possuem diversas aplicações [80]. Para resolver a equação de difusão fracionária proposta, utiliza-se o método das funções de Green, mostrando uma grande diversi- dade de comportamentos distintos, os quais podem ser relacionados aos fenômenos difusivos. Alguns fatores, como a análise dos parâmetros da solução analítica, foram considerados, a fim de tornar o cenário teórico o mais próximo possível de uma situação real. Nesse sistema, os processos físicos de adsorção e dessorção serão considerados e mencionados diversas vezes.
4.1. Processos de sorção e dessorção
4.1 Processos de sorção e dessorção
Na interface entre a parte sólida e a fluida de um sistema composto, existe uma interação em nível microscópico: partículas do fluido se ligam em pequenos sítios existentes na superfície sólida. Independentemente do processo de limpeza utilizado ou se a superfície desse material sólido foi polida, esse aspecto adquirido não se estende ao nível microscópico, ou seja, mesmo que o objeto seja completamente liso em escala macroscópica, em um nível microscópico, ele ainda possui imperfeições que permitem o alojamento das partículas do fluido. Esse fenômeno ocorre devido às forças interatômicas atuando entre as partículas do fluido e as da superfície sólida.
Essa distinção entre os fenômenos de adsorção que acontecem em sistemas físicos e quími- cos se deve ao fato de existir processos de adsorção com naturezas diferentes. Nos processos físicos, acontece adsorção física, cuja interação entre as partículas do fluido e do sólido se dá por meio de forças físicas, por exemplo, forças de natureza elétrica, mantendo sua estrutura ori- ginal. Nos processos químicos, acontece adsorção química, cuja ligação química é estabelecida entre a partícula sendo adsorvida e a partícula adsorvente (da superfície sólida) [18].
Os termos adsorção e absorção remetem a fenômenos bem diferentes. O primeiro se refere ao fato de partículas do fluido se alojarem nas imperfeições da superfície do material sólido devido a algum agente físico ou químico e permanecerem na superfície do material sólido. Já em um processo de absorção, partículas de um meio penetram em outro atravessando a interfaceformada pelos materiais. Existe, também, o fenômeno oposto à adsorção, chamado de dessorção, quando partículas adsorvidas ganham energia suficiente para quebrar o tipo de ligação existente entre ela e as partículas da superfície sólida, de maneira que elas voltem para o meio, ou seja, para o fluido. Os processos de adsorção e absorção são denominados de sorção.